围棋棋盘图
五年级奥数讲义：棋盘中的数学(含答案)
五年级奥数讲义：棋盘中的数学（含答案）1．棋盘中的图形与面积；2．棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。
实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。
（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。
（3）重要结论：① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n中至少有一个是偶数．② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n．3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。
这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。
解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。
1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；2、利用象棋知识寻找路线；例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×3答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）．分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？答案：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格 32个，白格 30个．另外，如果用2×1骨牌 31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格．这与32个黑格数，30个白格数的事实相矛盾．所以，无论如何用这31张2×1的骨牌盖不住这个残角棋盘．分析刚一想，31个2×1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62个格，好像很有可能盖住．但只要简单一试，便发现不可能．仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2×1骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格．只要发现这个基本事实立即可以找到解答．例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：答案：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成．图形来拼．只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例．分析：这道类型题用排除法，排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，但是呢也不表明的就是这种情况．n|3。
围棋别名及棋盘
围棋别名及棋盘围棋的别名从古文献来看，围棋最早被人称为弈或棋。
据说，这是各地方言不同的缘故。
北人称弈，南人谓棋。
后来，有人根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称下棋是围棋。
汉代，围棋虽已作为一个专用名词出现，但在很长一段时间里，围棋还是被当作动宾词组使用。
如古诗中溪头烘药烟霞暖，花下围棋日月长，昂头说《易》当闲客，落手围棋对俗人都是明显的例证。
到了佛道盛行的南北朝时期，围棋活动极为普遍，文人学士中有的已嗜弈成癖，有些遁迹沙门的佛门弟子也乐此不疲。
这期间，围棋又得了两个富有时代特点的别名。
东晋高僧支道林与颇负棋名的辅国重臣谢安等人相交甚笃，他长期枰边观战见棋手交锋时缄口不语，手起棋落，意蕴其中，共藏多少意，不语两相和，于是说围棋是手谈。
意思是对弈的双方通过一递一着进行着无言的交谈，同样达到了交流思想、融洽情感的目的。
稍后，王坦之把弈者正襟危坐、运神凝思时毫无喜怒哀乐表情的那副神态，比作是僧人参禅入定，故又称围棋为坐隐。
晋人的神话小说中有则故事，说有个名叫王质的青年樵夫，入山砍柴，遇见仙者对弈，因在旁侧观棋入迷，虽岁移月逝斧柯烂尽犹不自知，待一局棋罢，及归故里，无复时人，王质回到故居方知同辈之人皆已作古由于这段故事流传极广，后人遂将烂柯戏作围棋的别称。
至今，烂柯一词不仅在国内围棋书刊上还是屡见不鲜，甚至在日本，也有高段棋手特意将烂柯两字书于扇面，用此馈赠海内外弈友。
围棋的棋子呈黑白两色，古代文人对此曾有一番别出心裁的比喻。
引如征鸿赴沼，布若群鹊依枝。
黑白子被喻为鹊鸟、鸿雁。
五代时，有位年仅十岁的孩童名叫廖凝，他随长者一起观棋，且赋诗一首以记其事，其中形容白棋优势满汀沤不散，一局黑全输一句，尤使闻者叹服。
玉子声乾，纹楸色净，星点连还直。
全似落浦斜晖，寒鸦游鹭，乱点沙汀碛。
把黑白子比作羽色玄素的飞禽，这在宋词中更见神采。
王之道有《蝶恋花》词：玉子纹楸频较路。
胜负等闲，休冶黄金注。
黑白斑斑乌间鹭，明窗净几谁知处。
围棋入门知识
围棋常识一、围棋的起源和名称围棋，亦名“弈、手谈、坐隐、成都府”等，相传是尧为了教化其子丹朱而造的，因为丹朱顽劣。
而征诸信史，围棋的名字最早见于历史文献《左传》、《论语》，出土文物则最早是西汉年间的十七道棋盘。
二、围棋用具：下围棋用棋盘。
棋盘，亦称之为纹枰，实物图如下所示：通常来说，正规比赛中，用木质十九道棋盘下棋。
所谓十九道棋盘是说，棋盘上竖着有十九道直线，横着也有十九道直线（也可以说是曲线，不过习惯说是直线），它们纵横相交，两两平行，组成361个交叉点，其中黑棋子181，白棋子180 。
平常下棋，乃至摆谱（琴有琴谱，棋有棋谱），随便什么材质都可以，特别是打谱时，往往连棋盘都不要，只手持一书，在心中打谱。
这种打谱方式虽然辛苦一些，但长棋速度也较快，不少专业棋手这样打谱。
下图说明的是棋盘上的常用名称。
三、行棋规则：有对立的两方，一方执黑，一方执白。
现代围棋是先行者执黑，后行者执白，一方一手，交替落子，直至局终。
棋子下定后，不得移动。
棋子落于由纵横十九道直线组成的361个交叉点上，占据棋盘交叉点多者为胜。
占据交叉点可以是直接用己方的棋子占据，也可以是通过运用一定的战略战术，通过围空、吃子间接占据。
由纵横十九道直线组成的小方格不是落子点。
其实，最核心的规则就只有一句话：占据棋盘交叉点多者为胜，这是围棋规则的精神，其它的一切都是围绕着这句话在转。
可是就是这样一句话，却从中衍生出了许多东西。
中国古代正式下围棋实行的是座子制，即在开始下棋之前，首先在棋盘的对角星上，各放下黑白棋子两颗，然后由白棋先行，这是读古谱时应注意的一点。
中国棋手在20世纪二十年代与日本棋手交流过程中渐渐取消了座子制。
四、一个棋子的气一个棋子落于棋盘上之后，在该棋子的四正位方向上有四个空交叉点，也即与该棋子距离为零的四个点为该棋子的生存点。
这四个点上没有对方的棋，此棋就是活的，当然，不能说就是活净了。
如果这四个点被对方全部占据之后，己方的棋就处于无气状态，这时须要将其从棋盘上拿去。
华罗庚学校数学教材(六年级上)第10讲 棋盘中的数学(一)
本系列共14讲第十讲棋盘中的数学（一）——什么是棋盘中的数学.文档贡献者：与你的缘所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．例1这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．顶点为（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面积为：×8×7=28；12顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：×9×6=27。
12所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题．例2下左图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如上右图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是102＋12=112枚答：这堆棋子原有112枚．说明：本题也可以列方程求解．设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：（m＋1）2－9＝m2＋12．即2m＋1＝21，解得m＝10．所以棋子总数为102＋12＝112枚．本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．例3如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如上右图所示．例4在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．分析注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．例5国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．例6如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：①以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题。
围棋棋盘口决
围棋棋盘口决一、棋盘口决，规则口决：横排十九竖十九，交叉三百六十一。
九个星星排整齐，中间天元忘记。
黑棋先下白后下，一次只许下一手。
下在盘中不许动，无气棋子要拿走。
二、气的口决：横是气，竖是气，斜着不是气。
三、打吃与逃跑的口决：对方来打吃，想法往外逃。
确定逃不了，马上要弃掉。
边线似围墙，攻敌它帮忙。
赶向边线处，无路必灭亡。
四、禁入点的口决：当你下了一颗子，对方棋子不能吃，下的棋子又没气，就算自杀不可以。
五、连接与切断的口决：棋子有断点，想法快连接。
敌人切断了，两边不好逃。
六、吃子技巧口决：吃子技巧很重要，门吃抱吃少不了。
只要技巧掌握好，我吃敌子跑不了。
双叫棋子真奇妙，落子下去两边叫。
无论你逃哪一边，总有一边要提掉。
七、打劫口决：两个虎口相对应，黑白不能来回提。
回提先要找劫材，对方应劫才能提。
八、做眼的口决：棋子做眼很简单，同色棋子围个圈。
圈内一个交叉点，此点就是一个眼。
区别真、假眼的口决：真眼假眼分仔细，“田”字四角关键棋。
两角被我抢占去，此眼一定是假的。
九、活棋口决：棋子做活别着急，想法做眼才聪明。
做的假眼没有用，两只真眼是活棋。
十、破眼口决：敌方要点，我方要点，我抢要点，敌人全完。
十一、扑的口决：送子你吃你高兴，接着吃回我高兴。
虎口投子是要点，紧气破眼是关键。
十二、着法名称口决：挖打接断长，立尖跳飞虎。
扳夹双刺提，曲冲挡压托。
渡挂拆点。
十三、要子和废子有的棋子很重要，对方打吃一定逃。
有的棋子没用了，对方要吃就弃掉。
十四、双活口决：这块棋子真稀奇，没有两眼有公气。
谁也不能吃对方，这就叫作双活棋。
十五、征吃口决：征吃敌子有方法，哪边跑就哪边打。
连续叫吃不放松，越跑越死别犯傻。
十六、枷吃口决：枷吃要比征吃好，吃子干净利用少。
关键一点找得好，吃住敌子跑不了。
十七、围空口决：金角银边草肚皮，边角围空最容易。
棋子下在三四线，不下废棋多围地。
十八、大眼气数的口决：丁四方四五口气，刀五花五八口气。
只有花六气最长，足足共有十二气，角上气数有变化，刀五四气方四三。
围棋基础(入门)有图 图示
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*围棋基础（入门）教学大纲第一课棋具与规则①围棋简介及棋盘棋子。
②规则：围棋规则及术语——气、连、断、打吃、长、提。
第二课吃子及如何吃子吃子练习①双吃②门吃③抱吃④征子⑤封——枷⑥扑与倒扑⑦接不归⑧边角吃子要领⑨比气⑩逃子第三课什么是死棋和活棋①两眼活棋，眼、做两真眼活棋、简单做眼和破眼②双活③基本死活型，直三、曲三、直四、曲四、丁四、方块四、刀把五、梅花五、葡萄六。
第四课下棋的基本常规和常识①金角银边草肚皮②一般招法及术语：拆边、挂角、夹攻、跳（单官）、镇、飞攻、搭、尖出、飞出、大场、分投、打入。
③攻守意识：什么是进攻、防守④胜负的计算：做棋、黑185胜、白177胜。
第五课行棋中的基本攻杀着法①挖②夹③立④点⑤枷——飞封和软封⑥滚打⑦倒脱靴等七种着法在吃子和死活棋中的应用。
第六课死活棋基本型的攻杀着法①二路爬边“七死八活”②板六：中腹的完整板六、断头板六、角上板六第七课连接与分断①连接和补断的方法：连、双、虎、飞、跳，尖过、夹过、飞过、跳过、挤过、托过、巧连。
②分断：扳断、尖断、挖断、搭断、冲断、扭断。
第八课弃子舍小就大.弃子争先.弃子杀棋.弃子做活.弃子取势.弃子转换.弃子连接.弃子滕挪。
第九课杀气（紧气）①杀气的基本知识：公气、外气、内气，眼杀，长气杀短眼，大眼杀小眼。
②长气和紧气方法宽气（长气）法：做眼——眼吃、做大眼、不入气。
紧气法：缩小对方大眼、破眼。
数眼气（内气）的口诀：“三三”“四五”“五八”“六十二”第十课劫①劫的种类：单劫、生死劫、无忧劫、紧气劫、缓气劫、先手劫、后手劫。
②劫的运用：劫杀、劫活、借劫出棋、盘角曲四。
第十一课棋型与攻守的要点①好形与坏形坏形有：愚形（曲三、丁四、刀把五、葡萄六）、裂形、重复形、薄形好形有：厚形、协调形、严紧形、轻灵形②攻守要点第十二课星定式基本变化二十型第十三课让子棋下法第十四课官子①官子的计算方法：如何算目、先手官子、后手官子、逆收官子②常见官子大小③官子技巧第十五课中盘战术①攻击：常见棋形的攻击方法、攻击的目的②打入：常见棋形的打入、打入与周边③拆边④腾挪⑤浅消第十六课定式及其选择①小目低挂②小目高挂③目外定式④高目定式⑤三三定式⑥定式的选择第十七课布局①布局常识：步调要快、要立体、避免被压低、争双方的要点②常见布局的下法课程进度第一部第1节第一课棋具与规则棋盘：19X19 ，361点，星九颗，天元规则：黑185胜白177胜术语：气，连，断，打吃，长，提。
围棋
学围棋要明棋理，下子目的争空地，一、围棋规则棋之盘，方十九，三百六十一叉点；（天元，星位，小目）黑白子，黑先走，黑胜要过一八五；（猜先）（贴子3.75）交叉口，气相连，气尽棋亡最自然；（气）（死活）遇打劫，停一手，防止全局形再现。
P2（以后讲，比较重要）二、围棋棋盘三、四、气围棋的气就是和棋子相邻的空白点，一个棋子周围只有4个相邻点，两个相连的棋子周围有6个相邻点，有几个相邻点就有几气。
己方棋子占的位置不能算气，气只能算空白点。
五、行棋三原则1.你的势力范围要先手攻击，2.他人的势力范围要敢快活棋，3.双方的势力范围要灵活转身。
六、围棋故事（古代）1．烂柯的传说晋朝时有一位叫王质的人，有一天他到信安郡的石室山（今浙江省衢qu县）去打柴。
看到一童一叟在溪边大石上正在下围棋，于是把砍柴用的斧子放在溪边地上，住足观看。
看了多时，童子说“你该回家了”，王质起身去拿斧子时，一看斧柄（柯）已经腐朽了，磨得锋利的斧头也锈的凸凹不平了。
王质非常奇怪。
回到家里后，发现家乡已经大变样。
无人认得他，提起的事，有几位老者，都说是几百年前的事了。
原来王质石室山打柴误入仙境，遇到了神仙，仙界一日，人间百年。
后来，后人就把“烂柯”作为围棋的一个别名。
围棋故事（现代）早年经历聂卫平1952年8月17日出生河北深县。
小时候受父亲的影响下而喜欢上了围棋，从九岁开始学棋。
他刻苦钻研围棋，在张福田、雷簿华、过惕生、陈祖德、吴淞笙等老师的辅导和自身的努力下，棋艺大进，运思敏捷，算路精确，灵活善变。
小小年纪便崭露头角，十岁时就在北京市少年儿童围棋赛上夺得冠军，还获得过全国少年棋赛冠军。
“文革”时期聂卫平下放黑龙江插队6年。
虽然下棋有机会很少，但聂卫平认为是北大荒磨练出围棋之道的“境界”。
1966年冬，日本围棋代表团访华，聂卫平出场对弈，四赢一输，显示出了他的棋艺水平。
1969年秋，聂卫平到黑龙江山河农场插队“接受再教育”，开始知青生涯。
尽管干的都是体力活且可以支配的时间很有限，但聂卫平仍尽可能利用一切机会与一些围棋爱好者切磋棋艺，充实生活。
第十讲-棋盘中的数学(一)
第十讲棋盘中的数学（一）——什么是棋盘中的数学所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．例1 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．顶点为（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面积为：1×8×7=28；2顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：1×9×6=27。
2所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题．例2 下左图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如上右图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是102＋12=112枚答：这堆棋子原有112枚．说明：本题也可以列方程求解．设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：（m＋1）2－9＝m2＋12．即2m＋1＝21，解得m＝10．所以棋子总数为102＋12＝112枚．本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．例3 如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如上右图所示．例4 在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．分析注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．例5 国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．例6 如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：①以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题。