克莱姆法则解线性方程组三
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克莱姆法则
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相 比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的 。
作者介绍
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书， 1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的 旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一 生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
克莱姆法则
线性代数中一个关于求解线性方程组的定理
01 作者介绍
目录
02 基本介绍
03 法则总结
04 技术应用
05 不确定的情况
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于 变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》 中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为 记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解 为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。 记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。
作者介绍
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书， 1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的 旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一 生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
克莱姆法则
线性代数中一个关于求解线性方程组的定理
01 作者介绍
目录
02 基本介绍
03 法则总结
04 技术应用
05 不确定的情况
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于 变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》 中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为 记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解 为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。 记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。
克莱姆法则解线性方程组三
或
D a ij Aij a1 j A1 j a 2 j A2 j a nj Anj j 1,2,, n
i 1
n
一、行列式计算（续） 1.递推行列式 例1：计算下列行列式
1 1 0 0 1 1 Dn 0 0 0 0 0 1 1 1
线性代数
0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1
内容概括讲练结合讲授方法行列式按行列展开难点行列式按行列展开矩阵概念重点作业要求掌握行列式按行按列展开的性质和定理会用行列式的性质和余子式定理求行列式的值理解克莱姆法则
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
班级： 时间： 年 月 日；星期
教学目的 重点
掌握行列式按行按列展开的性质和定理，会用行 列式的性质和余子式定理求行列式的值，理解克 莱姆法则。 行列式按行（列）展开、矩阵概念
2 5 0 2 4.
2 5
线性代数
第一章 行列式
17
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
例3（2001.4）设行列式
3 0 4 2 2 2 D 0 7 0 5 3 2
0 2 0 2
则第4行各元素余子式之和的值为_____
分析：本题求得是余子式，可将其转换为代数余子式求解，即
M41 M42 M43 M44 A41 A42 A43 A44
a11 a1n
a11 Ai 1 a12 Ai 2 a1n Ain
a11 a1n a j1
线性代数 第一章 行列式
0 a jn
13
an1 ann
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
同理，用第j行元素对应取代第i行元素，则由于行列式两 行元素相等，得0值。 a11 a1n
D a ij Aij a1 j A1 j a 2 j A2 j a nj Anj j 1,2,, n
i 1
n
一、行列式计算（续） 1.递推行列式 例1：计算下列行列式
1 1 0 0 1 1 Dn 0 0 0 0 0 1 1 1
线性代数
0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1
内容概括讲练结合讲授方法行列式按行列展开难点行列式按行列展开矩阵概念重点作业要求掌握行列式按行按列展开的性质和定理会用行列式的性质和余子式定理求行列式的值理解克莱姆法则
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
班级： 时间： 年 月 日；星期
教学目的 重点
掌握行列式按行按列展开的性质和定理，会用行 列式的性质和余子式定理求行列式的值，理解克 莱姆法则。 行列式按行（列）展开、矩阵概念
2 5 0 2 4.
2 5
线性代数
第一章 行列式
17
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
例3（2001.4）设行列式
3 0 4 2 2 2 D 0 7 0 5 3 2
0 2 0 2
则第4行各元素余子式之和的值为_____
分析：本题求得是余子式，可将其转换为代数余子式求解，即
M41 M42 M43 M44 A41 A42 A43 A44
a11 a1n
a11 Ai 1 a12 Ai 2 a1n Ain
a11 a1n a j1
线性代数 第一章 行列式
0 a jn
13
an1 ann
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
同理，用第j行元素对应取代第i行元素，则由于行列式两 行元素相等，得0值。 a11 a1n
克莱姆法则
7 − 5 13 = − 2 −1 2 7 − 7 12
= −3 3 −7 −2
−3 −5 3 c1 + 2c2 − 0 −1 0 c3 + 2c2 −7 −7 −2
= 27 ≠ 0,
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8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 = = 81, − 5 2 −1 2 0 4 −7 6
解 系数行列式
−5 1 1 −3 0 −6 D= 0 2 −1 2 2 1 1 4 −7 6
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2 1 −5 1 0 7 − 5 13 1 − 3 0 − 6 r1 − 2r2 1 − 3 0 − 6 D= 0 2 −1 2 r4 − r2 0 2 − 1 2 1 4 −7 6 0 7 − 7 12
1 1
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λ
×A j 1 ×A2 j M ×An j
将所得各方程两端相加，得方程： 将所得各方程两端相加，得方程： （a11A1j+ a21A2j+···+ ai1Aij+···+ an1Anj）x1+ +（a12A1j+ a22A2j+···+ ai2Aij+···+ an2Anj）x2 （ + ··· ··· +（a1jA1j+ a2jA2j+···+ aijAij+···+ anjAnj）xj + ··· （ ··· +（a1nA1j+ a2nA2j+···+ ainAij+···+ annAnj）xn （ = b1A1j+ b2A2j+···+ biAij+···+ bnAnj
§1-4克莱姆法则
a11 k1 a12 k 2 a1n k n 1 a n1 k1 a n 2 k 2 a nn k n
b
bn
a12 a1n D1 a n 2 a nn
同理可证 k2 D D2， ，kn D Dn
1. 用克莱姆法则解n元线性方程组有两个前提: (1) 方程组个数等于未知数个数; (2) 系数行列式不等于零。 2. 用此法则解n元线性方程组要算n+1个n 阶行列式计算大，
b1 a11 A12 D1，A13 bn a n1
所以 bi D ai 1 D1 ai 2 D2 ain Dn 0，
Dn D1 D2 ai 1 ai 2 ain bi，i 1， 2， ，n D D D
即（2）是（1）的解
再证解唯一,
( i 1， 2， ，n)
先证解的存在，即(2)是(1)的解, 再证解的唯一，即(2)是(1)的唯一解.
先证解的存在，要证(2)是(1)的解, 即证
Dn D1 D2 ai 1 ai 2 ain bi，i 1， 2， ，n D D D
即证 bi D ai1 D1 ai 2 D2 ain Dn 0
§1- 4 克莱姆(Cramer)法则
现在应用行列式讨论n元线性方程组的解, 将得到于 二、三元线性方程组相仿的公式
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 线性方程组 （1） a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
若x1 k1，x2 k2， ，xn kn 是(1)的任一解, 证明必有 Dn D1 D2 k1 ，k2 ， ，kn ，即证 ki D Di，i 1， 2， ，n D D D 行列式 k1 D中分别将第 2列乘以 k 2，第3列乘以 k 3， ，第n列乘
b
bn
a12 a1n D1 a n 2 a nn
同理可证 k2 D D2， ，kn D Dn
1. 用克莱姆法则解n元线性方程组有两个前提: (1) 方程组个数等于未知数个数; (2) 系数行列式不等于零。 2. 用此法则解n元线性方程组要算n+1个n 阶行列式计算大，
b1 a11 A12 D1，A13 bn a n1
所以 bi D ai 1 D1 ai 2 D2 ain Dn 0，
Dn D1 D2 ai 1 ai 2 ain bi，i 1， 2， ，n D D D
即（2）是（1）的解
再证解唯一,
( i 1， 2， ，n)
先证解的存在，即(2)是(1)的解, 再证解的唯一，即(2)是(1)的唯一解.
先证解的存在，要证(2)是(1)的解, 即证
Dn D1 D2 ai 1 ai 2 ain bi，i 1， 2， ，n D D D
即证 bi D ai1 D1 ai 2 D2 ain Dn 0
§1- 4 克莱姆(Cramer)法则
现在应用行列式讨论n元线性方程组的解, 将得到于 二、三元线性方程组相仿的公式
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 线性方程组 （1） a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
若x1 k1，x2 k2， ，xn kn 是(1)的任一解, 证明必有 Dn D1 D2 k1 ，k2 ， ，kn ，即证 ki D Di，i 1， 2， ，n D D D 行列式 k1 D中分别将第 2列乘以 k 2，第3列乘以 k 3， ，第n列乘
线性代数第1章第5节克莱姆法则
第一章 行列式
第五节 克莱姆法则
1
二元一次方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
当
D
a11 a21
a12 a22 b1 b2
a11a22 a12 a21 0,
D1
则，
a12 a22
D2
D2 x2 D
a11 a21
b1 b2
所以，四平面相交于一点的条件为
的一组非零解．
因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是 D 0
a1 a2 a3 a4
b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4
d1 d2 d3 d4 0
17
y f ( x ) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 例： 已知三次曲线
在四个点 x 1, x 2 处的值为
a1 x1 b1 x2 c1 x3 d1 x4 0 a x b x c x d x 0 2 1 2 2 2 3 2 4 a3 x1 b3 x2 c3 x3 d 3 x4 0 a4 x1 b4 x2 c4 x3 d 4 x4 0
1 2 1
3
2 3 1
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
D
1 3 41 21 3
1 3 21 2 3 ( 2)( 3)
齐次方程组有非零解，则 D 0 所以 0, 2 或 3 时齐次方程组有非零解．
15
对于n元齐次线性方程组的Cramer法则的推论，常 被用来解决解析几何的问题． 例: 求空间的四个平面 ai x bi y ci z d i 0 相交于一点的条件．
第五节 克莱姆法则
1
二元一次方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
当
D
a11 a21
a12 a22 b1 b2
a11a22 a12 a21 0,
D1
则，
a12 a22
D2
D2 x2 D
a11 a21
b1 b2
所以，四平面相交于一点的条件为
的一组非零解．
因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是 D 0
a1 a2 a3 a4
b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4
d1 d2 d3 d4 0
17
y f ( x ) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 例： 已知三次曲线
在四个点 x 1, x 2 处的值为
a1 x1 b1 x2 c1 x3 d1 x4 0 a x b x c x d x 0 2 1 2 2 2 3 2 4 a3 x1 b3 x2 c3 x3 d 3 x4 0 a4 x1 b4 x2 c4 x3 d 4 x4 0
1 2 1
3
2 3 1
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
D
1 3 41 21 3
1 3 21 2 3 ( 2)( 3)
齐次方程组有非零解，则 D 0 所以 0, 2 或 3 时齐次方程组有非零解．
15
对于n元齐次线性方程组的Cramer法则的推论，常 被用来解决解析几何的问题． 例: 求空间的四个平面 ai x bi y ci z d i 0 相交于一点的条件．
1.3克莱姆法则
列元换成常数列元所得到 换成常数列元 其中 Bi 为系数行列式 A 的第i 列元换成常数列元所得到
例
用克拉默则解方程组
2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8, x − 3 x − 6 x = 9, 1 2 4 2 x2 − x3 + 2 x4 = −5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0.
b1 a12 b2 a22 x1 = , a11 a12 a21 a22 a11 b1 a21 b2 x2 = a11 a12 a21 a22
三元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
a11 a21 A= M an1
a12 L a1n a22 L a2 n M M an 2 L ann
克拉默法则) 定理 (克拉默法则 克拉默法则
如果n元线性方程组的系数行列式 如果 元线性方程组的系数行列式
A ≠ 0 ,则方程组有唯一解 且 则方程组有唯一解 则方程组有唯一解,且 Bi xi = , i = 1, 2,L , n A
思考题解答
此时方程组的解为无解或有无穷多解. 此时方程组的解为无解或有无穷多解
有非零解？ 有非零解？
解:
1 − λ −3 + λ 4 1 − λ −2 4 1− λ 1 A= 2 3−λ 1 = 2 1 0 1− λ 1 1 1− λ 3 = (1 − λ ) + ( λ − 3) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ )( −3 + λ )
例
用克拉默则解方程组
2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8, x − 3 x − 6 x = 9, 1 2 4 2 x2 − x3 + 2 x4 = −5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0.
b1 a12 b2 a22 x1 = , a11 a12 a21 a22 a11 b1 a21 b2 x2 = a11 a12 a21 a22
三元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
a11 a21 A= M an1
a12 L a1n a22 L a2 n M M an 2 L ann
克拉默法则) 定理 (克拉默法则 克拉默法则
如果n元线性方程组的系数行列式 如果 元线性方程组的系数行列式
A ≠ 0 ,则方程组有唯一解 且 则方程组有唯一解 则方程组有唯一解,且 Bi xi = , i = 1, 2,L , n A
思考题解答
此时方程组的解为无解或有无穷多解. 此时方程组的解为无解或有无穷多解
有非零解？ 有非零解？
解:
1 − λ −3 + λ 4 1 − λ −2 4 1− λ 1 A= 2 3−λ 1 = 2 1 0 1− λ 1 1 1− λ 3 = (1 − λ ) + ( λ − 3) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ )( −3 + λ )
1.4 克莱姆( Cramer )法则
24
1 1 6 1 1 1 6 1 D3 144, 1 2 6 8 1 2 6 8
1 1 1 1 D4 1 2 1 2
1 6 1 6 72, 4 6 4 6
D1 576 所以 a0 8, D 72
D3 144 a2 2, D 72
D2 72 a1 1, D 72
(1 ) (2 )
2
因为方程组有非零解, 则
D (1 )2 (2 ) 0
故 λ =1 或 λ= −2.
12
例3 问 取何值时, 齐次线性方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0 2 x1 3 x2 x3 0 有非零解？ x x 1 x 0 2 3 1
其余 xi ( i j ) 的系数均等于0, 而等式右端为 D j 于是
Dx j Dj j 1, 2,
,n
2
当D≠0时, 方程组(2)有唯一的一个解为
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
3
(1)
的系数行列式 D
a21 a n1
0
则线性方程组(1)有唯一解，且
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D Dn , xn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组
右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即
a11 Dj a n1
解 先求系数行列式，得
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2
1 1 6 1 1 1 6 1 D3 144, 1 2 6 8 1 2 6 8
1 1 1 1 D4 1 2 1 2
1 6 1 6 72, 4 6 4 6
D1 576 所以 a0 8, D 72
D3 144 a2 2, D 72
D2 72 a1 1, D 72
(1 ) (2 )
2
因为方程组有非零解, 则
D (1 )2 (2 ) 0
故 λ =1 或 λ= −2.
12
例3 问 取何值时, 齐次线性方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0 2 x1 3 x2 x3 0 有非零解？ x x 1 x 0 2 3 1
其余 xi ( i j ) 的系数均等于0, 而等式右端为 D j 于是
Dx j Dj j 1, 2,
,n
2
当D≠0时, 方程组(2)有唯一的一个解为
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
3
(1)
的系数行列式 D
a21 a n1
0
则线性方程组(1)有唯一解，且
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D Dn , xn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组
右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即
a11 Dj a n1
解 先求系数行列式，得
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2
克莱姆法则解方程组解法
克莱姆法则解方程组解法
克莱姆法则是一种用于解线性方程组的方法，它基于行列式的性质。下面是使用克莱姆法 则解方程组的步骤：
1. 给定一个线性方程组，假设有n个未知数和n个方程。
2. 将方程组的系数矩阵记为A，常数矩阵记为B。
3. 计算系数矩阵A的行列式，记为|A|。
4. 对于每个未知数Xi，将系数矩阵A中第i列替换为常数矩阵B的列，得到新的矩阵Ai。
克莱姆法则解方程组解法
此外，克莱姆法则的计算复杂度较高，特别Байду номын сангаас对于大型的方程组来说，计算行列式和替换 矩阵的操作都需要较大的计算量。因此，在实际应用中，通常会使用更高效的解方程组的方 法，如高斯消元法或矩阵求逆等。
克莱姆法则解方程组解法
5. 计算新矩阵Ai的行列式，记为|Ai|。
6. 使用克莱姆法则的公式，解出每个未知数的值：Xi = |Ai| / |A|。
7. 重复步骤6，依次解出所有未知数的值。
需要注意的是，克莱姆法则只适用于方程组的系数矩阵满足非奇异（可逆）的条件，即 |A| ≠ 0。如果方程组的系数矩阵是奇异的，即|A| = 0，那么克莱姆法则无法使用。
克莱姆法则是一种用于解线性方程组的方法，它基于行列式的性质。下面是使用克莱姆法 则解方程组的步骤：
1. 给定一个线性方程组，假设有n个未知数和n个方程。
2. 将方程组的系数矩阵记为A，常数矩阵记为B。
3. 计算系数矩阵A的行列式，记为|A|。
4. 对于每个未知数Xi，将系数矩阵A中第i列替换为常数矩阵B的列，得到新的矩阵Ai。
克莱姆法则解方程组解法
此外，克莱姆法则的计算复杂度较高，特别Байду номын сангаас对于大型的方程组来说，计算行列式和替换 矩阵的操作都需要较大的计算量。因此，在实际应用中，通常会使用更高效的解方程组的方 法，如高斯消元法或矩阵求逆等。
克莱姆法则解方程组解法
5. 计算新矩阵Ai的行列式，记为|Ai|。
6. 使用克莱姆法则的公式，解出每个未知数的值：Xi = |Ai| / |A|。
7. 重复步骤6，依次解出所有未知数的值。
需要注意的是，克莱姆法则只适用于方程组的系数矩阵满足非奇异（可逆）的条件，即 |A| ≠ 0。如果方程组的系数矩阵是奇异的，即|A| = 0，那么克莱姆法则无法使用。
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分析：按照第一列展开
第一章 行列式
4
第二讲
1 0 Dn 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1
行列式的运算
1 1 (1)
n1
0 1 0 0 0
0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
n 1
ad bc
n
D2 k ad bc D2 k 1
线性代数 第一章 行列式
D2 n ad bc D2 n m
m
7
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
2.范德蒙行列式
1 x1 1 x2 x 22 x 2n1 1 xn
Dn x12 x1n1
6.递推行列式——方法：递推公式是关键； 7.范德蒙行列式——方法：归纳证明； 8.利用展开式构造行列式——方法：元素换值构造新行列式。 展开式如下：
线性代数 第一章 行列式
3
第二讲
n j 1
行列式的运算
D a ij Aij a i 1 Ai 1 a i 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n
内容概括
按行展开可降阶递推，第i行换值可算余子式之 和，克莱姆法则用于齐次非齐次的分类，矩阵的 定义有记法和特殊阵，运算有加减同型数乘全。
线性代数
第一章 行列式
1
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
本次课学习：
一、行列式计算（续）； 二、克莱姆法则解线性方程组 三、矩阵的定义与基本运算 下次课学习：
一、第二章第二节：矩阵的运算（续）；
线性代数 第一章 行列式
8
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
对于 Dn , 从第n行开始，后一行减去前一行的 x1倍，
1 x1 Dn
目的是使第1列产生0
1 x2 x 22 x 2n 2 x 2n1
1 xn
2 xn
x12 x1n 2 x1n1
n 2 xn n 1 xn
线性代数
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
1 x2 1 x3 1 xn
x2 x1 x3 x1 xn x1 x 22 x 2n 2
2 ( xi x j ) x 32 x n ni j 2 n 2 x 3n 2 x n
或
D a ij Aij a1 j A1 j a 2 j A2 j a nj Anj j 1,2,, n
i 1
n
一、行列式计算（续） 1.递推行列式 例1：计算下列行列式
1 1 0 0 1 1 Dn 0 0 0 0 0 1 1 1
线性代数
0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1
0 1 1
0 0 0
1 0 1
Dn1 (1) n1 (1) n1 Dn1 1
关键：Dk Dk 1 1
又一个公式：Dn Dn m m
Dn Dn1 1 ( Dn2 1) 1 Dn2 2
0
0
b
b
0 1
1 2 n
0
D2 n
11 1 a
0
c
D c 2n d1
0
0
d
a b D 0 2 n 1
0
d
0 d2(n 1)
0
0 0
线性代数 第一章 行列式
c 0 2 0(n 1)
6
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
adD2 n1 b 1 D2 n
2
2 n 11
ad bc D2 n1 cD2 n1
ad bc D2 n 2
ad bc D2n n1 n 1 ad bc D2 b n 1 a ad bc c d
D2 (n 2) 1 1 1 1 (n 2) n
线性代数
第一章 行列式
5
例2 . 计算
a a D2 n
b
0
a c b d
b
0
c
0
d d
0 a b 0 c c b d
c 解 按第一行展开，只有a、b不为0，其余均为0
a a
2 xi x j xn n i j 1 n 1 xn 注意，是下标
证 用数学归纳法证。 当 n=2 时，
大的元素减下 标小的元素
1 D2 x1
1 xi x j x2 x1 2 i j 1 x2
显然成立。 现假设对于n-1阶范德蒙德行列式成立， 分析：这是一种从上往下的升幂行列式，一般要自下而上 乘幂相减，以得到相应的0
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
班级： 时间： 年 月 日；星期
教学目的 重点
掌握行列式按行按列展开的性质和定理，会用行 列式的性质和余子式定理求行列式的值，理解克 莱姆法则。 行列式按行（列）展开、矩阵概念
作业要求
练习册 P5-8，习 行列式按行（列）展开 难点 题6-8， 讲授方法 讲练结合 其中：交： 讲授方法主 按照行列展开，不同行D或0；克莱姆法则解方程； P5-6， 本章总结求行列式是重点、矩阵及其分类、加法 习题 线 与数乘。 6（1）-（4）
二、第二章第三节：逆矩阵
线性代数
第一章 行列式
2
第三讲 行列式计算续与矩阵的概念
复习行列式计算的分类： 1.行（列）和相等行列式——方法：提公因子； 2.爪形行列式——方法：段一爪为零； 3.行（列）递增行列式——方法：逐行（列）相减多减少； 4.分块行列式——方法：类似二阶有零块；
5.按行（列）展开行列式——方法：行中很少元素不为零；
1 0
1
1
0
x2 x2 x1 x2n 2 x2 x1
第一章 行列式
x2 x1
x3 x3 x1 xn xn x1
n 2 xn x1 x3n 2 x3 x1 xn
9
x3 x1
1 xn x1
0