分类计数原理和分步计数原理
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共40张PPT)
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
分类和分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、分类加法计数原理：完成一件事情可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法注：在分类计数原理中，n 类办法中相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事. 例1. 一个书包内有7本不同的小说，另一个书包内有5本不同的教科书，从两个书包中任取一本书的取法有多少种？例2. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？（合理分类）二、分步乘法计数原理：完成一件事情需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的办法……，做第n 步有m n 种不同的办法，那么完成这件事共有N 种不同的方法.N=n m m m ⨯⨯⨯ 21 注：分步计数原理各步骤相互依存，只有各步骤都完成才能做完这件事.例1. 用0，1，2，3，4排成可以重复的5位数，若中间的三位数字各不相同，首末两位数字相同，这样的5位数共有多少个？例2. （1）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本有多少种不同的分法？（2）若将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？若3位旅客到4个旅馆住宿，又是多少种住宿方法？ 例3. 将红、黄、绿、黑四种颜色涂入图中的五个区域，要求相邻的区域不同色，问有多少种不同的涂色方法？变式训练：1、如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域 不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有多少种？2、如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有多少种？三、计数原理综合应用作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 方法：（1）列举数数法：就是完成一件事方法不是很多，一一列举出来，然后一种一种地数，这种方法适用于：数目较少的问题.（2）字典排序法：把所有的字母或数字或其它，按照顺序依次排出来，所有的字母或数字或其它排完后结束.（3）模型法：根据题意构建相关的图形，利用图形构建两个原理的模型.AB C D典型例题分析（先分类再分步.）【例1】 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？变式训练1 在夏季，一个女孩有红、绿、黄、白4件上衣，红、绿、黄、白、黑5条裙子，3双不同鞋子，3双不同丝袜，这位女孩夏季某一天去学校上学，有多少种不同的穿法?变式训练2 有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？【例2】 有四位同学参加三项不同的竞赛.(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？变式训练1 火车上有十名乘客，沿途有五个车站，乘客下车的可能方式有多少种？变式训练2 有4种不同溶液倒入5只不同的量杯,如果溶液足够多,每只量杯只能倒入一种溶液,有几种不同倒法?【例3】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？【例4】d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？【例5】 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练1 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，各取1张，其中甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练2 设有编号①，②，③，④，⑤的5个球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个球投入这5个盒子内，要求每个盒子内投入一个球，并且恰好有2个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为多少【例6】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答） 654321四、课堂练习1.一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_______________种.若是选取两本书且它们不相同则有_______________种2.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有______种不同的选法.3.一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有__________种.4.从分别写有1，2，3，……，9的九张数字卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_______种不同的抽法.5.从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有______种。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法 ，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的办法。
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同方法，那么完成这件事共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法。
特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。
不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有n 类办法，这n 类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。
二、题型剖析例1、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？解：（1）不同涂色方法数是：60345=⨯⨯（种）（2）如右图所示,分别用a,b,c,d 记这四块,a 与c 可同色,也可不同色,先考虑给a,c 两块涂色,分两类(1) 给a,c 涂同种颜色共15C 种涂法,再给b 涂色有4种涂法,最后给d 涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有4415⨯⨯C 种涂法(2) 给a,c 涂不同颜色共有25A 种涂法,再给b 涂色有3种方法,最后给d 涂色也有3种，此时共有3325⨯⨯A 种涂法 故由分类计数原理知，共有4415⨯⨯C +3325⨯⨯A =260种涂法。
例2、（1）如图为一电路图，从A 到B 共有-___________条不同的线路可通电。
分类计数原理和分步计数原理
想一想：如果去掉(1)中每人限报一项的要求，又有多少种不同 的报名结果？ 我们把三个项目记为 a、 b 、 c ，这样每个人就有八种不同 选择，分别为选 a、选 b、选c、选 ab、选 ac 、选 bc、选 abc以及 不选．再用原来的分步方法，使用分步计数原理，共有 86 种不 同的投报结果．
用分步计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：
13×15=195(个)．
例3.已知集合A={-2，0 ，1 ，3}，集合B={-5，-4，2，4}．从两 个集合中各取一个元素作为点的坐标，那么在平面直角坐标系 内，位于第一、二象限中不同的点共有多少个？ 解：选法分为两类： 分析：本题要完成的事情是：选出横坐标、纵坐标组成一个点， 但没有说明从哪个集合中选出的数作为横坐标，从哪个集合中选 (1)先从A中选出一个数作为横坐标，有 3种选法，再从B中选出 出的数作为纵坐标，因此选法可分两类： (1)从A中选出一数作为横 一个数作为纵坐标，有 2 种选法（因为纵坐标必须大于 0），故 坐标 ,从 中选出一数作为纵坐标 ;(2)从 B中选出一数作为横坐标 ,从 共有3 ×B 2=6 种选法． A中选出一数作为纵坐标．而每一类选法中又分两步完成． (2)先从B中选出一个数作为横坐标，有 4种选法，再从 A中选出 一个数作为纵坐标，有2种选法，故共有4×2=8种选法． 根据分类计数原理，所有选法总数是 6+8=14种，也即位于第一、 二象限内的点共有14个．
要到达目的地,需要分成2步, 第1步。有3种不同的方法,
在第2 步，有2种不同的方法……
那么完成这件事共有：N=3×2种不同的方法.
关于分步计数原理的几点注意：
⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤
的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理 ；
分类计数原理和分步计数原理
分步计数原理的核心思想是“分步”，即根据事件的某些特征将 其分成不同的步骤，然后分别计算每一步中的方法数，最后将这 些方法数相乘得到复杂事件的总方法数。
两者关系与区别
关系
分类计数原理和分步计数原理都是解决复杂事件计数问题的方法，它们的核心思想都是将复杂事件进行分解，然 后分别进行计算。
04 计数原理在算法中的应 用
动态规划算法
最优子结构
动态规划算法通过把原问题分解为若干个子问题，并求解子 问题的最优解，进而得到原问题的最优解。这种通过子问题 的最优解来推导原问题最优解的方法体现了分类计数原理的 思想。
状态转移方程
动态规划算法中，通常定义一个状态转移方程来描述子问题 之间的关系。这个方程可以帮助我们计算出每个子问题的最 优解，并最终得到原问题的最优解。状态转移方程的构建和 求解过程体现了分步计数原理的思想。
路线规划问题
从起点到终点需要经过三个城市，每两个城市之间都有多 条路线可选。根据加法原理和乘法原理，可以计算出从起 点到终点所有可能的路线组合数。
彩票选号问题
一张彩票需要选择7个号码，每个号码可以是1~49中的任 意一个。根据乘法原理，共有 $49 times 48 times 47 times 46 times 45 times 44 times 43 $ 种不同的选号方 式。
组合问题
排列与组合的区别
排列是把元素按顺序排列，而组合是 把元素无顺序地组合起来。
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n）的所有排列的个数，叫做从n 个元素中取出m个元素的组合数。
概率统计问题
古典概型
如果每个样本点发生的可能性相 等，则事件A发生的概率等于事件 A包含的样本点个数与样本空间包
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自然数2520有多少个约数？ 有多少个约数？ 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成： 分四步完成： 第一步： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种 第二步： 第二步：取30，31，32有3种； 种 第三步：取50，51有2种； 第三步： 种 第四步： 第四步：取70，71有2种。 种 由分步计数原理，共有4× × × ＝ 种 由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种 练习： 张 元币 元币， 张 角币 角币， 张 分币 分币， 张 分币 分币， 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（ 张不取， ？（1张不取 角不计在内） 多少种不同的币值？（ 张不取，即0元0分0角不计在内） 元 分 角不计在内 元：0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， 角：0，1，2，3，4 ， ， ， ， 分：0，2，4，5，7，9 ， ， ， ， ， 6×5×6－1＝179 × × － ＝
பைடு நூலகம்
（染色问题） 染色问题）
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理
【例2】一城市的电话号码都由8位数字组成， 其中前4位数字是统一的，后4位数字都是0到9 之间的一个数字，那么不同的电话号码可有多 少个？ 【引申1】4封信全部投入10个不同的信箱 中，有多少种不同的投法？
【引申2】A集合中有4个元素，B集合中有10 个元素，问：可以建立多少个从A到B的映射？
【引申3】运动会上4位同学报名参加10个项目， 每人必须且只能报一项，有多少种报名方法？
”智深道：“洒家也不杀你，只要问你买酒吃。”那汉子见不是头，挑了担桶便走。智深赶下亭子来，双手拿住匾担，只一脚，交裆踢着，那汉子双手掩着，做一堆蹲在地下，半日起不得。智深把那两桶酒都提在亭子上，地下拾起旋子，开了桶盖，只顾舀冷酒吃。无移时，两大桶酒吃了 一桶。智深道：“汉子，明日来寺里讨钱。”那汉子方才疼止，又怕寺里长老得知，坏了衣饭，忍气吞声，那里敢讨钱？把酒分做两半桶挑了，拿了旋子，飞也似下山去了。 只说鲁智深在亭子上坐了半日，酒却上来。下得亭子，松树根边又坐了半歇，酒越涌上来。智深把皂直裰褪膊下 来，把两只袖子缠在腰里，露出脊背上花绣来，扇着两个膀子上山来。但见：头重脚轻，眼红面赤；前合后仰，东倒西歪。踉踉跄跄上山来，似当风之鹤；摆摆摇摇回寺去，如出水之蛇。指定天宫，叫骂天蓬元帅；踏开地府，要拿催命判官。裸形赤体醉魔君，放火杀人花和尚。鲁达看看 来到山门下，两个门子远远望见，拿着竹篦来到山门下，拦住鲁智深便喝道：“你是佛家弟子，如何噇得烂醉了上山来？你须不瞎，也见库局里贴的晓示：但凡和尚破戒吃酒，决打四十竹篦，赶出寺去，如门子纵容醉的僧人入寺，也吃十下。你快下山去，饶你几下竹篦。” 鲁智深一者 初做和尚，二来旧性未改，睁起双眼骂道：“直娘贼！你两个要打洒家，俺便和你厮打。”门子见势头不好，一个飞也似入来报监寺，一个虚拖竹篦拦他。智深用手隔过，揸开五指，去那门子脸上只一掌，打得踉踉跄跄；却待挣扎，智深再复一拳，打倒在山门下，只是叫苦。智深道：“ 洒家饶你这厮。”踉踉跄跄，攧入寺里来。监寺听得门子报说，叫起老郎、火工、直厅、轿夫，三二十人，各执白木棍棒，从西廊下抢出来，却好迎着智深。智深望见大吼了一声，却似嘴边起个霹雳，大踏步抢入来。众人初时不知他是军官出身，次后见他行得凶了，慌忙都退入藏殿里去 ，便把亮槅关上。智深抢入阶来，一拳一脚，打开亮槅，三二十人都赶得没路，夺条棒从藏殿里打将出来。 监寺慌忙报知长老，长老听得，急引了三五个侍者直来廊下，喝道：“智深不得无礼！”智深虽然酒醉，却认得是长老，撇了棒，向前来打个问讯，指着廊下对长老道：“智深吃 了两碗酒，又不曾撩拨他们，他众人又引人来打洒家。”长老道：“你看我面快去睡了，明日却说。”鲁智深道：“俺不看长老面，洒家直打死你那几个秃驴！”长老叫侍者扶智深到禅床上，扑地便倒了，齁齁地睡了。 （1）在空格内依次填写一个动词。概括文中鲁智深与酒的几件事。 想酒～买酒～抢酒～闹酒 （2）文中汉子的唱词有哪些作用？ （3）结合水浒传，完成下面题目 ①鲁智深在上五台山之前所做的义事是A A拳打镇关西 B大闹桃花村 C火烧瓦官寺 D大闹野猪林 ②鲁智深为何被称作花和尚 ③与林冲和李逵相比，鲁智深的性格有什么特别之处，请举例具体 分析。 【考点】9E：小说阅读综合． 【分析】本文主要描述了鲁智深大闹五台山的故事．第一段写鲁智深来到五台山几个月没喝酒，正想着酒，外面传来了卖酒的歌声；第二段写鲁智深想买酒遭拒，就开始动手抢酒，吓跑了卖酒的汉子；第三至五段，写鲁智深喝完，酒劲上来看返回寺 院，门子见状阻拦，鲁智深反打门子，惊扰到长老送至房间便酒意大发睡去了． 【解答】（1）本题考查主要内容的概括．解答此题明确本文的写作线索为“酒”，按写作的顺序找出事件，然后分别用两个字来概括即可．文章第一段写鲁知深想到了喝酒，第二段写鲁智深想买酒遭到了拒 绝，便开始抢酒；第三至五段，主要写他喝酒后回寺大闹寺院．可分别概括为：想酒、买酒、抢酒和闹酒． （2）本题考查内容的理解与分析．唱词与战争、项羽相关，结合前文情节我们知道，鲁智深曾经作过提辖，这个唱词则触发了鲁智深的英雄豪情，想起自己此时却在寺院中为僧， 这样就刺激了他的酒瘾，从而引发了下面的情节． （3）本题考查名著情节的识记与人物形象的对比分析．解答此题关键在于平时的阅读与积累．①鲁智深上山之前是提辖，因为救助金氏父女而拳打镇关西，为了逃脱人命官司而来到了这里．故选A．②鲁智深上山为僧，但他的脊背上有 花绣，又因为他不守戒律，喝酒吃肉打人，所以得名“花和尚”． ③林冲在《水浒传》中一开始的性格是软弱的，就因为一再的忍让才被害．李逵的勇猛和鲁智深很相似，但李逵有勇无谋，没有头脑．而鲁智深有智慧，如拳打镇关西至他于死地时，用郑屠的装死来骗众人，取得逃跑的 时间等情节就能体现出来． 代谢： （1）买 抢 闹（共3分，每空1分） （2）汉子的唱词进一步触发了曾为军官的鲁智深的豪情和他对当时处境的不满，更刺激了他的酒瘾． （3）①A ②因为他出家为僧，且脊背上有花绣，也因为他喝酒吃肉打人，不守戒律． ③示例：与林冲相比，鲁 智深办事更加果断干脆．例如，林冲在被奸人高俅陷害后一再隐忍退让，而鲁智深为解救金氏父女，直接痛打了恶人郑屠． （2017安徽）【二】（21分） 扁担的一生 范宇 ①在村庄的记忆里，几乎任何时间、任何角落都能见到扁担的身影。挑粪、挑种子、挑谷子、挑土豆、挑橘子…… 农人在土地上的所有倾注与收获，都与扁担密不可分。扁担就是农人的精神脊梁，让他们挑起一个家庭重担的同时，也挑起了一个村庄沉重的历史与殷殷期盼。 ② 。母亲嫁给父亲时，半背篼谷子便是全部的家当。泥墙茅顶的房子破败不堪，常常在狂风骤雨中摇摇欲坠，只有立于墙角略 弯的扁担显得精神抖擞，给人信心与希望。或许，母亲嫁给父亲的勇气，有几分便来自于扁担的抖擞精神。总之，在昼夜有序更替的村庄里，父母用扁担慢慢挑起了生活的担子，就像蚂蚁搬家一样，虽然缓慢，却渐渐挑出了一个家庭的崭新面貌。 ③ 。 ④20年前，父亲从山里找到一截 不错的木材，正想着用来做点什么呢。身为木匠的舅舅几乎脱口而出——扁担。对，扁担！父亲也认为，只有改成一根扁担，才不辜负这上好的木材。说干就干，粗糙的木材到了舅舅手里，不用半天，就变成了一根笔直的扁担。扁担不能太直，太直则易伤肩头和腰。因此，还得将扁担以 火烤之后，用外力将之略微压弯成弓形。可这根扁担实在太有骨气了，即便火烤、重压，仍然笔直，没有半点屈服。 ⑤这根扁担挑起来更吃力，父亲却爱不释手。之后的许多年里，父亲无论挑什么，都用她。有次在挑玉米时，父亲不小心闪了腰，疼了好长一段时间。但父亲并没有放弃 她，用汗水和心血一点点浸润着她，渐渐地，她坚硬的心被融化了，挺直的腰板，也弯了下来。父亲挑起扁担来越来越有默契，像与母亲的婚姻一样，虽偶有磕磕绊绊，感情却越来越深厚。她也没有辜负父亲的良苦用心，苦心经营，以顶天立地般的气慨，让一个家庭从贫穷落后走向富足 安逸。 ⑥可这样的日子并没有持续多少年。越来越多的人开始离开村庄，离开赖以生存的土地，扁担也渐渐地走向了落寞。不少人再也没有回来，在城里买了房子，过上了舒坦的日子。这也让父亲坚信一根扁担能够挑出一个未来的信念，逐渐土崩瓦解。或许，这背后更多是村庄现实的 无奈。 ⑦无论如何，父亲最终选择了离开。 ⑧曾经朝夕相对的扁担被搁置在了一个冰冷的墙角，孤零零的。说来也奇怪，没有了重压，扁担却一天比一天更弯，弯得像一个苟延残喘的暮年老者。或许，再过几年，抑或十余年，她便将走完一生，彻底告别深爱了一生也奋斗了一生的村庄 。 ⑨这也是农人的一生。 ⑩九月，村庄又迎来冷冷清清的收获季节。我返城时，碰见正挑着谷子从田边迎面走来的大伯。大伯今年已60余岁了，还在田间劳作着。他也曾短暂离开过村庄，却始终没能走出像扁担一样的命运。他仍然坚信着，只要村庄还在，扁担还在，就一定能够扛起生 活的重担。甚至，在人烟越来越少的村庄里，不少死守的农人还是坚信——一根扁担仍能挑起一个村庄。 ?这是一种可贵精神，或许它与现实追求早已背道而驰，却让人肃然起敬。 （选自《襄阳晚报》2016年3月3日，有删改） 10、根据上下文，将下面两个句子分别填入文章②③两段横 线处，第②段应填（ ），第③段应填（ ）。（4分） A、这让我有了探索一根扁担一生的浓厚兴趣。 B、我的家也是扁担挑起来的。 11、阅读文章④—⑥段，概括补充扁担经历的主要变化过程。（每空不超过5个字）（4分） 上好的木材→ →渐弯的扁担→ 12、作者提到“扁担”，多 次使用第三人称“她”，有何表达效果？（3分） 13、联系上下文，简要分析第⑩段画线句子蕴含了作者怎样的情感。（4分） 14、“扁担”在文中有着丰富的内涵，请结合全文谈谈你的理解。（6分）[来源:学科网 代谢：【二】 10. （4分）B A 11. （4分）不屈的扁担 落寞的扁担 12.（3分） 运用拟人化的手法，把扁担当成了与自己家庭命运休戚相关的一员，抒发了对扁担对既往岁月的无限怀念留恋之情，同时也表达了对父亲对家庭的热爱之情。 13.（4分） 表达了对大伯不能与时俱进，还固守着旧有的生活方式，希望能用一根扁担扛起生活重担精神的钦佩与 惋惜之情 14.（4分）扁担是农人的希望，是农人精神脊梁；扁担也是父亲的命运与精神的反映 。扁担有着不屈的精神，挑起过生活的重担，创造过富足安逸，也有着英雄暮年的孤寂衰老，它的一生也反映了人的一生；在一定程度上，扁担也是落后生活方式的代表。 （2017浙江温州）4 ． 天道立秋 张承志 （1）1990年立秋日，是个神秘的日子。 （2）年复一年地，代谢人渐浙开始从春末就恐怖地等着入伏。一天天地熬，直到今年是一刻刻地熬。长长无尽的代谢苦夏，在这一回简直到了极致。 （3）一点一点地挨着时间；无法读书，无法伏案。不仅是在白昼，夜也是 潮闷难言，漆黑中的灼烤实在是太可怕了。 （4）我有时独自坐在这种黑热里，像一块熄了不多时的炉膛里的烧烬。心尖有一块红红的煤火，永无停止地折磨着自己。似乎又全靠着它，人才能与这巨大的黑热抗衡。久久坐着，像是对峙。 （5）天亮以后几个时辰，大地便又堕入凶狠的爆 烤。有谁能尽知我们的苦夏呢？ （6）街上老外，满脸汗水。 （7）度夏的滋味、中国人是说不出的。 （8）后来愈热愈烈，我几乎绝望。再这样热下去，连我也怀疑没有天理了。 （9）可是，那一天是立秋。上午我麻木地走进太班有男生30人， 女生24人，要从中选一人参加学校会议，问： 总共有多少种选法？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
解法三（分类法）：完成涂色的方法分为两类， 2011高考导航 第一类：四个区域涂四种不同的颜色共有 ＝120种 第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不相 邻只能是A、D两区域颜色一样，将A、D看做一个区 域，共 ＝60种涂法． 由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)． 方法总结：对涂色问题，有两种解法： 法1是逐区图示法，注意不相邻可同色.
点也有2种染色方法. 则有5×4×3（1×3+2×2）=420种.
方法二、按所用颜色种数分类.
第一类，5种颜色全用，共有
A5
5
种不同的方法；
第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色 （A与C，或B与D），共有2× A 4 种不同的方法； 5
第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，
3 共有A 5 种不同的方法.
4、有无特殊条件的限制；
5、检验是否有重漏.
1.如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我
们称这样的图案为L型（每次旋转90°仍为L型图案）， 那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同 位置的L型图案的个数是（ ） A.16 C.48 B.32 D.64 C
解析、每四个小方格（2×2型）中有“L”型图案4个， 共 有 2×2 型 小 方 格 12 个 ， 所 以 共 有 “ L” 型 图 案 4×12=48个.
分类计数原理
与 分步计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方 法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件 事共有N m1 m2 mn 种不同的方法.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分类计数原理与分步计数原理年级__________ 班级_________ 学号_________ __________ 分数____ 总分一二三一、选择题(共33题，题分合计165分)1.从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车法有A.12种B.19种C.32种D.60种2.若x∈｛1，2，3｝，y∈｛５，7，9｝，则x·y的不同值有A.2个B.6个C.9个D.3个3.七名男同学和九名女同学，组成班组乒乓球混合双打代表队，共可以组成A.7队B.8队C.15队D.63队4.集合A={1，2，3，4}，B={a,b,c}，从集合A到集合B的不同映射f个数有A.24个B.4个C.34个D.435.计算1！+2！+3！+…+100！得到的数，其个位数字是A.2B.3C.4D.56.已知集合{}{}7,6,5,4,3,2,1--=-=NM，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐得分阅卷人标系中可表示第一、二象限不同的点的个数是A.18B.10C.16D.147.用1，2，3，4四个数字中任取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有A.8个B.9个C.10个D.5个8.若1001005544332212AAAAAAS++++++=，则S的个位数字是A.8B.5C.3D.09.7名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法有A.720种B.360种C.1440种D.120种10.有三位同学去阅览室借5本不同的书，不同的借法种数有A.3B.5C.35D.5311.某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有A.3种B.6种C.7种D.9种12.某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有A.510种B.10５种C.50种D.以上都不对13.三位同学分别从"计算机"及"英语打字"两项活动中选修一项，不同的选法种数有A.3B.6C.8D.914.从1~8这八个数字中任取两个数相加（不重复取），其和是偶数的种数比其和是奇数的种数A.多1种B.多4种C.少2种D.少4种15.正方体的每一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数最多是A.3对B.6对C.12对D.24对16.从6本不同的书中任意取出4本分给四位同学，每人一本，不同的分法共有A.24种B.120种C.360种D.1440种17.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有A.5种B.6种C.7种D.8种18.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有A.34B.43C.A 34 D.4419.5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是A.54B.45C.5×4×3×2D.!42 345⨯⨯⨯20.乘积(a1+a2+a3+a4)·(b1+b2)·(c1+c2+c3)展开后的项数是A.9B.11C.12D.2421.某城市的由七位数字组成，此城市最多可以安装多少门（0不能打头）A.97B.79C.106D.9×10622.3个人坐在列成一排的8个座位的位子上，若每人的左右两边都有空座位，则不同的坐法种数有A.18B.24C.56D.33623.四面体的顶点和各棱中点共10个点，其两两连线可组成异面直线的对数为A.83B.87C.91D.9524.若x，y分别在0，1，2，…，10中取值，则点P(x，y)在第一象限的个数是A.100B.101C.121D.11125.由1，2，3，4组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，其中a18等于A.1243B.3421C.4123D.341226.加工某一机械零件，需要经过两个工序，完成第一个工序有3种不同的方法，完成第二个工序有4种不同的方法，那么加工这一零件不同的方法种数有A.12种B.7种C.4种D.3种27.集合M={}3,2,1的子集共有A.8B.7C.6D.528.设集合A={}4,3,2,1，B={}7,6,5，则从A集到B集所有不同映射的个数是A.81B.64C.12D.以上都不正确29.将数字1,2,3,4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，如果每个方格的标号与所填的数字有且只有一个相同，那么不同的填法种数有A.4B.8C.6D.2430.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖放在五个茶杯上、则至少有两个杯盖与茶杯的编号相同的放法有A.12种B.24种C.31种D.32种31.设东、西、南、北四面通往某山顶的路分别有k，l，m，n条(k＜l＜m＜n)，要使从一面上山，再从任意方向下山的走法最多，应A.从东面上山B.从西面上山C.从南面上山D.从北面上山32.足球比赛的计分规则是:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,那么一个队打14场共得19分的情况共有A.3种B.4种C.5种D.6种33.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间传递的最大信息量为A.20B.24C.26D.19B二、填空题(共38题，题分合计132分)1.现有高一学生8名，高二学生12名，高三学生10名，组成课外活动小组：（1）选其中一人为组长，有多少种不同选法？ （2）每一年级选一名组长，有多少种不同选法？2.从1到200的自然数中，有多少个各位数上都不含数字5的数？3.某人两顶帽子，两件上衣，三条裤子，两双鞋，问穿戴整齐共有多少种不同的装束？4.有3名学生和4个课外小组，每名学生都只参加一个课外小组，问有多少种不同的方法？5.有币值为5分，1角，2角，1元，2元，5元，10元，50元，100元的人民币各一，共可组成多少种不同的币值？6.有1角，2角，5角人民币各一，1元人民币3，5元人民币2，100元的2，由这10人民币可组成多少种不同的币值？7.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有多少种？8.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有多少种？9.有三卡片0、1、6，若允许把6当作9用，则可以组成没有重复的三位数的个数是 . 10.由数字2，3，4，5可组成_________个三位数，_________个四位数，_______五位数.11.商店里15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有__________种不同的选法，要买上衣，裤子各一件，共有_________种不同的选法.12.在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有_______个.13.7个人排队，甲、乙必须排在一起的排法有多少种？甲、乙不能排在一起的排法有多少种？14.四名男生和四名女生，要求男女相间的排法有多少种？15.6人站一排，甲不站在排头，已不站在排尾，共有_______种不同排法.16.5名男生和4名女生排成一队，其中女生必须排在一起，一共有______种不同的排法17.dcba,,,排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法有_______种.18.直线a、b上分别有m、n个点，取m+n个点中的任意两个点作直线，一共可作直线__________条.19.从1到10的10个自然数中任意取两数相加，所得的和为奇数的不同情形有______种.20.乓乓球队有男运动员7人，女运动员6人，从中选出一名队长有_______种方案，派出2人参加男女混合双打有________方案.21.有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？22.一个五棱柱的任何两个侧面都不平行，且底面任意一条对角线与另一底面的边也不平行，则以棱柱的顶点为顶点的四面体的个数是 .23.多项式(a1+a2+a3)·(b1+b2)+(a4+a5)·(b3+b4)展开后共有_____________项.24.有4封不同的信投入3个不同的邮筒，可有种不同的投入方法25.若1≤x≤5,2≤y≤7，以有序数对(x,y)为坐标的整点个数为26.已知三个不同的点A（x1、y1），B（－x2,－y2）,C(x1－x2,y1－y2),现将此三点与原点彼此连成线段，则构成图形OACB由点A、B、C位置而定，则下列图形：（1）线段（2）梯形（3）三角形（4）矩形（5）平行四边形，其中可以成立的是（注：把你认为正确的序号都填上）27.市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望学校，每所小学至少得到两台，不同送法的种数共有___________种28.某班三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一名学生去领奖，共有________种不同的选派方法；从中选一名男生一名女生去领奖，则共有_________种不同的选派方法.29.把体育组9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不少于其编号数，则不同的放法共有______种.30.同室4人各写1贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1别人送出的贺年卡，则4贺年卡不同的分配方式有种.31.有不同颜色的上衣5件，裤子3条，从中选一样送给某人，共有__________种不同的选法，从中选出一套送给某人，共有___________种不同的选法.32.若a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3,4}，则函数y =a bx 表示的不同直线有___________条.33.在(2x 3+21x )n (n ∈N )的展开式中，若存在常数项，则最小的自然数n =_____________.34.从1到10的10个自然数中任意取两数相加，所得的和为奇数的不同情形有______种. 35.若x ,y ∈N ，且x +y ≤6，则有序自然数对(x ,y )共有 个. 36.多项式(a 1+a 2+a 3)·(b 1+b 2)+(a 4+a 5)·(b 3+b 4)展开后共有 项.37.从1到10的所有自然数中任取两个相加，所得的和为奇数的不同情形有_______种.38.乓乓球队有男运动员7人，女运动员6人，从中选出一名队长有_______种方案，派出2人参加男女混合双打有________方案.三、解答题(共28题，题分合计243分)1.从6名运动员中选出4人参加m 1004 接力赛，如果甲、乙两人都不能跑第一棒，那么共有多少种不同的参赛方案？2.现从5名男同学，4名女同学中选出3名男同学和2名女同学，分别担任语文、数学、物理、化学、外语的课代表，选派的方法有多少种？3.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？4.平面上有12个点（1）没有三点在一条直线上能连成多少条直线？ （2）没有三点在一条直线上能组成多少个三角形？（3）没有四点在一个平面上时能确定多少个平面？5.平面上有12个点（1）如果有5个点在一条直线上，那么能连成多少条直线？（2）如果有5个点共线能组成多少个三角形？6.高中年级18个班，每年级6个班举行篮球比赛，比赛时每年级各班采用单循环制决定所级冠军，再由三个年级冠军仍采用单循环赛，决定冠军，请问一共比赛多少场次？7.有10本不同的，其中数学书4本，文学书3本，外语书3本，某人借书5本，其中数学书2本，外语书1本，问有几种不同借法？8.科技小组共13人，其中男生8人，女生5人，现在从13人选出3人参加一个研究项目，在选出的三人中至少要有一个女生，问有多少种选法？至多有一个女生，问有多少种选法，至少有二个女生，至多有一个男生的选法有多少种？9.某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人.(1)选其中1人为总负责人，有多少种不同的选法?(2)每一年级各选1名组长，有多少种不同的选法?(3)推选出其中2人去外校参观学习，要求这2人来自不同年级，有多少种不同的选法?10.用0,1,2,3,…,9十个数字可组成多少个不同的:(1)三位数;(2)无重复数字的三位数;(3)小于500且没有重复数字的自然数.11.(1)某教学楼有三个不同的楼梯，4名学生要下楼，共有多少种不同的下楼方法?(2)有4名同学要争夺3个比赛项目的冠军，冠军获得者共有多少种可能?12.有三个袋子，其中一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个.一个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个，第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个.(1)从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法?(2)从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同的取法?13.设集合A={2,4,6,8},B={1,3,5,7,9}，今从A中取一个数作为十位数字，从B中取一个数作为个位数字，问：(1)能组成多少个不同的两位数?(2)能组成多少个十位数字小于个位数字的两位数?14.乘积（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项？15.电视台在电视节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？16.小有10个朋友，其中两人是夫妻，他准备邀请其中4人到家中吃饭，这对夫妻或者都邀请，或者都不邀请，有几种请客方法?17.集合A={1,2,3},B={4,5,6,7}，从集合A和集合B的元素之间所有建立不同的映射有多少个？18.由0,1,2,3,4可组成多少个:(1)可以有重复数字的四位数?(2)无重复数字的四位数?(3)无重复数字的四位偶数?(4)百位是奇数的四位偶数?19.王平同学有若干本课外参考书,其中外语5本,数学4本,物理3本,化学2本,他欲带参考书到图书馆看书:(1)若从这些参考书中带一本去图书馆,有多少种不同的选法?(2)若外语､数学､物理和化学参考书各带一本,有多少种不同的选法?(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆,有多少种不同的选法?20.有5名运动员同时参加三项运动竞赛，若每个运动项目只设一项冠军，问取得冠军的不同情况共有多少种？21.三个口袋第一个口袋中装有20个红球球上分别标有1-20的第二个口袋中装有15各白球球上分别标有1-15的;第三个口袋中装有8个黄球球上分别标有1-8的.(1)从袋中任取一个球,有多少种不同的取法?(2)从袋中任取红,白,黄球各一个,有多少种不同的取法?22.有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？23.用1到9九个数字能组成多少个：(1)没有重复数字的三位数?(2)能被5整除的没有重复数字的三位数?(3)大于500且没有重复数字的三位数?24.4卡片的正、反面分别有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？25.如图，在某个城市中，M、N两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N不同的走法总数为多少种？26.现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？27.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放入这五个盒子，要求每个盒子投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则不同投放方法有多少种？28.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项?分类计数原理与分步计数原理答案一、选择题(共33题，合计165分)1.5144答案：B2.5145答案：C3.23答案：D4.25答案：C5.28答案：B6.29答案：D7.31答案：A8.40答案：C9.41答案：C10.120答案：C11.4952答案：C12.4953答案：A13.5102答案：C14.5115答案：D15.5116答案：B16.5118答案：C17.5230答案：C18.4984答案：B19.4985答案：B20.5100答案：D21.5101答案：D22.5104答案：B23.5125答案：B24.5129答案：A25.5411答案：B26.5419答案：A28.4987答案：A29.5103答案：B30.5122答案：C31.5127答案：D32.5132答案：B33.5233答案：D二、填空题(共38题，合计132分)1.17答案：（1）30种（2）960种2.18答案：162个3.19答案：24种方法4.20答案：64种不同方法.5.21答案：1023种6.22答案：287种7.26答案：53种8.27答案：36种9.30答案：810.32答案：54 34;4;411.33答案：33 ； 27012.34答案：40个13.36答案：360014.37答案：115215.42答案：50416.43答案：1728017.44答案：918.52答案：mn+219.115答案：25种20.116答案：13；42.22.147答案：19023.4954答案：1024.4956答案：8125.5108答案：3026.5121答案：(1) (4) (5) .27.5124答案：1028.5146答案：10,2429.5212答案：1030.49答案：931.4955答案：8 ;1532.5106答案：1133.5123答案：534.5182答案：2535.4957答案：1536.5117答案：1037.5147答案：2538.5183答案：13；42三、解答题(共28题，合计243分)1.45答案：240种2.114答案：72003.4982答案：81;644.46答案：66条；220个；220个.5.47答案：（1）57条（2）210个6.48答案：48场7.50答案：54种8.51答案：230；196；90.9.4949答案：25;560;206.10.4950答案：900;648;37811.4951答案：81;64.12.4958答案：（1）43（2）240013.4959答案：（1）20（2）1014.4983答案：60项.15.4994答案：28800种16.5015答案：9817.5110答案：6418.5130答案：(1)500(2)96(3)60(4)2819.5161答案：(1)有14种(2)有120种(3)有71种20.5170答案：12521.5171答案：(1)43(2)240022.5186答案：7123.4960答案：（1）504（2）56（3）28024.4990答案：16825.4991答案：1526.4992答案：1280种27.4993答案：2028.5126答案：60。