(完整版)分类计数原理和分步计数原理练习题
(完整版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题(有答案)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案）选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题 1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( ) A．182 B．14 C．48 D．91 [答案] C [解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C. 2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( ) A．13种 B．16种 C．24种 D．48种 [答案] A [解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A. 3．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是( ) A．24 B．81 C．6 D．64 [答案] D [解析] 由分步乘法计数原理得43＝64，故选D. 4．5本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法( ) A．720种 B．7776种 C．360种 D．3888种 [答案] B [解析] 每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种． 5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( ) A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 [答案] B [解析] 设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，用分类加法计数原理求解，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法． 6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A．2 000 B．4096 C．5 904 D．8 320 [答案] C [解析] 可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8×8×8×8＝4 096个，所以符合题意的共有5 904个． 7．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( ) A．26 B．24 C．20 D．19 [答案] D [解析] 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D. 8．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( ) A．42 B．30 C．20 D．12 [答案] A [解析] 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第1个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以不同的插法共6×7＝42(种)． 9．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( ) A．34 B．43 C．12 D．24 [答案] C [解析] 显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素．故选C. 10．某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有( ) A．16种 B．15种 C．14种 D．13种 [答案] C [解析] 解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题．试验方案有：①消炎药为X1、X2，退烧药有4种选法；②消炎药为X3、X4，退烧药有3种选法；③消炎药为X3、X5，退烧药有3种选法；④消炎药为X4、X5，退烧药有4种选法，所以符合题意的选法有4＋3＋3＋4＝14(种)．二、填空题11．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有________个(用数字作答)． [答案] 24 [解析] 可以分三类情况讨论：①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成12个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排在前3位，且0不是首位数字，则共有4个五位数；③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则共有8个五位数，所以符合要求的五位数共有24个． 12．三边均为整数且最大边长为11的三角形有________个． [答案] 36 [解析] 另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11.要构成三角形，需x＋y≥12.当y＝11时，x∈{1,2，…，11}，有11个三角形；当y＝10时，x∈{2,3，…，10}，有9个三角形……当y＝6时，x＝6，有1个三角形．所以满足条件的三角形有11＋9＋7＋5＋3＋1＝36(个)． 13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答) [答案] 48 [解析] 本题可分为两类完成：两老一新时，有3×2×2＝12(种)排法；两新一老时，有2×3×3×2＝36(种)排法，即共有48种排法． 14．已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能．在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有______种． [答案] 16 [解析] 五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有1＋5＋8＋2＝16种情况能使电路接通．三、解答题 15．有不同的红球8个，不同的白球7个． (1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？ (2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？ [解析] (1)由分类加法计数原理得从中任取一个球共有8＋7＝15种； (2)由分步乘法计数原理得从中任取两个球共有8×7＝56种． 16．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数． [分析] 由题目可获取以下主要信息： (1)由x，y∈N*且x＋y≤6，知x，y的取值均不超过6； (2)(x，y)是有序数对．解答本题可按x(或y)的取值分类解决． [解析] 按x的取值时行分类：x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对； x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对；… x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对． [点评] 本题是分类计数原理的实际应用，首先考虑x，y的取值均为正整数，且其和不能超过6，同时注意(x，y)是有序数对，如(1,2)与(2,1)是不同的数对，故可按x或y 的取值进行分类解决．计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤，一个步骤是否又会分若干类． 17．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容．交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并有3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ [解析] 将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法．根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8＝11 232 000(个)．同理，字母组合在右的牌照也有11 232 000个．所以，共能给11 232 000＋11 232 000＝22 464 000辆汽车上牌照． 18．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj(i＝1,2,3,4，j＝1,2)均为实数． (1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？ (2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？ [解析] (1)因为集合A中的元素ai(i＝1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成A→B的映射有N＝24＝16个． (2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一元素b1或b2的情形．此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个．。
综合练习-分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合练习一．选择题1．有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种3．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种 C．6种 D．9种4．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种5．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种6．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．307．现有A B C D E、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( )A．120种B．5种C．35种D．53种8．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（）A．6 B．5 C．3 D．2 9．已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b∈∈，则方程22()()4x a y b-+-=可表示不同的圆的个数为（）A．7 B．9 C．12 D．1610．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252 C．261 D．279二．填空题11．要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答）12．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．13．从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.14．从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)；15．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.16．某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.17．联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种．三．解答题18．某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱?19．设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?20．集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？21．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？22．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.分类加法计数原理与分步乘法计数原理一．选择题1．（2019·湖南高二月考）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种【答案】C【解析】每位同学有5种选择，则不同的报名方法共有：5525⨯=种选法故选：C2．（2019·陕西高二期末（理））完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种【答案】C【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.3．（2019·重庆高二月考（理））小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种C．6种 D．9种【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC 卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法．4．（2019·吉林省实验高二期末（理））有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种【答案】D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.5．（2019·辽宁实验中学高三月考（理））高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种【答案】C【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；则符合条件的有种，故选：C．6．（2019·陕西高二期末（理））某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法， 一是可以用分析法来证明，有3种方法， 根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果， 故选A ．7．（2019·湖北高二期末（理））现有A B C D E 、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( ) A ．120种 B ．5种C ．35种D ．53种【答案】D 【解析】A 同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择. 同理BCDE 四位同学也各有3种选择,乘法原理得到5333333⨯⨯⨯⨯= 答案为D8．（2020·全国高三专题练习）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（ ） A ．6 B ．5C ．3D ．2【答案】B 【解析】选女同学有3种选法，选男同学有2种选法，所以共有5种选法. 故选：B.9．（2020·全国高三专题练习）已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b ∈∈，则方程22()()4x a y b -+-=可表示不同的圆的个数为（ ） A ．7 B ．9C ．12D ．16【答案】C【解析】得到圆的方程分两步：第一步：确定a 有3种选法；第二步：确定b 有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12（个）. 故选：C.10．（2020·全国高三专题练习）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279 【答案】B 【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252． 二．填空题11．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答） 【答案】81 【解析】把四封信投入3个信箱,每封信都有3种选择,根据分步计数原理共有43=81种不同的投法. 故答案为：8112．（2018·吉林高二期中（理））5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________． 【答案】243【解析】每个人都有3种选择方法，根据分步计算原理可知方法有53243=种.13．（2020·全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.【答案】12 【解析】（1）分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12（种）方法. 故答案为：12.14．（2020·北京高二期末）从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)； 【答案】24 【解析】先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法，根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的安排方案种数为 4×3×2＝24， 故答案为： 24．15．（2019·江苏高二期末（理））已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A ，B ，C ，D ，E 这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）. 【答案】45 【解析】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有5945⨯=个不同的编号.16．（2019·河北高二期中（理））某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________. 【答案】54 【解析】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为3233=54⨯⨯⨯.17．（2018·浙江高考模拟）联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种． 【答案】25.【解析】分析：按照每个国家都要有物资援助，分类型，求解即可． 详解：联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资， 每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助， 需要分为：粮食和药品都有，方法1种； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×（2+2）=12种方法； 方法总数是：25． 故答案为：25． 三．解答题18．（2016·全国高二课时练习（理））18．（2016·全国高二课时练习（理））某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱? 【答案】8640元【解析】第一步：从01至10中选3个连续的号码有01,02,03；02,03,04；…；08,09,10，共8种不同的选法；第二步：同理，从11至20中选2个连续的自然数有9种不同的选法；第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法；第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法.共可组成8×9×10×6=4320注，所以需要花费2×4320=8640元钱.19．（2018·海林市朝鲜族中学高二单元测试）设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?(2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?【答案】（1）36；（2）6；（3）30【解析】(1)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b也有6种方法，根据分步乘法计数原理共有6×6＝36(个)不同的点．(2)分两步，第一步确定a，有3种方法，第2步确定b，有2种方法，根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2＝6(个)．(3)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b，有5种方法，根据分步乘法计数原理不在直线y＝x上的点共有6×5＝30(个)．20．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】当A1=φ时，A2=A，此时只有1种分拆；当A1为单元素集时，A2=∁A A1或A，此时A1有三种情况，故拆法为6种；当A1为双元素集时，如A1={a，b}，A2={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，此时A1有三种情况，故拆法为12种；当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种；综上，共27种拆法．21．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？【答案】（1）120（个）；（2）96个；（3）36（个）.【解析】（1）可组成N=5×4×3×2=120（个）.（2）依次确定千、百、十、个位，有N=4×4×3×2=96（个）.（3）依次确定个位、首位、百位、十位，有N=2×3×3×2=36（个）22．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.【答案】（1）480（种）；（2）n=5.【解析】（1）对区域A,B,C,D按顺序着色，共有6×5×4×4=480（种）(2) 对区域A,B,C,D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分布乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5.。
分类计数原理与分步计数原理例题
分类计数原理与分步计数原理例题一、分类计数原理例题1：有4个不同的苹果和3个不同的橘子，请问由这些水果组成一串长度为7的水果串有多少种情况？解析：根据分类计数原理，我们可以将问题分解为两个步骤来考虑。
首先，我们要确定苹果的数量，假设苹果的数量为0、1、2、3或4，那么橘子的数量就是7减去苹果的数量。
1.当苹果数量为0时，橘子数量为7，这种情况只有1种。
2.当苹果数量为1时，橘子数量为6，这种情况有3种。
3.当苹果数量为2时，橘子数量为5，这种情况有3*2=6种。
4.当苹果数量为3时，橘子数量为4，这种情况有3*2*1=6种。
5.当苹果数量为4时，橘子数量为3，这种情况有3*2*1*1=6种。
所以，组成一串长度为7的水果串的种类总数为1+3+6+6+6=22种。
二、分步计数原理分步计数原理是将大问题分解为若干个小问题，然后将小问题的计数结果相乘得到最终的结果。
例题2：假设John有3个不同的帽子和4个不同的围巾，他每天只能戴一个帽子和一条围巾，请问他有多少种不同的搭配方式？解析：根据分步计数原理，我们可以将问题分解为两个小问题。
首先，我们可以计算帽子和围巾的搭配方式数量：-帽子的选择有3种，围巾的选择有4种，因此搭配方式数量为3*4=12种。
所以，John有12种不同的搭配方式。
例题3：旅行团计划去三个不同的城市，在每个城市停留的天数分别为4天、5天和6天，且天数的顺序不限，请问旅行团一共有多少种行程方案？解析：根据分步计数原理，我们可以将问题分解为三个小问题。
首先，我们可以计算每个城市的行程天数的选择数量：-第一个城市的停留天数有4天、5天和6天三种选择，第二个城市的停留天数有3种选择，第三个城市的停留天数有2种选择。
所以，旅行团一共有3*3*2=18种行程方案。
综上所述，分类计数原理和分步计数原理是解决组合问题常用的两种计数方法。
通过分解大问题为小问题，我们可以更方便地解决组合计数问题。
这两种方法可以相互结合使用，也可以单独使用，取决于具体的问题。
高中数学排列组合必考知识点经典练习题(完整版)
排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同3. 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
完整版分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
联系
区别一
加法原理
乘法原理
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
区别二
每一步得到的只是中间结果，
每类办法都能独立完成
这件事情。
任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
N＝4＋3+2＝9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?
N＝4 ×3×2＝24
（3）从书架上取2本不同种的书,有多少种不同 的取法?
解：需先分类再分步. 第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法； 第二类：从一、三层各取一本，有4×2=8种方法； 第三类：从二、三层各取一本，有3×2=6种方法；
不能完成这件事情，只有每
个步骤完成了，才能完成这
件事情。
各类办法是互斥的、
区别三 并列的、独立的
各步之间是相关联的
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学 生物学 化学 医学 物理学
B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
1.1分类计数原理
与分步计数原理
问题 1用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数 字给教室里的座位编号，总共能够编出多少 种不同的号码？
因为英文字母共有 26个,阿拉伯数字0 ~ 9共有10个, 所以总共可以编出 26 ? 10 ? 36种不同的号码.
分类计数原理与分步计数原理例题
分类计数原理与分步计数原理例题分类计数原理与分步计数原理是概率统计学中非常重要的概念，掌握这两个原理对于解决概率问题至关重要。
下面，我们将给出几个例题，帮助大家更好地理解分类计数原理与分步计数原理。
1. 有一张包含26个字母的字母表，从中任意挑选3个字母组成一个三字母单词，问有多少种不同的单词可以组成？解：根据分类计数原理，可以将问题分解成三个步骤。
第一步，从26个字母中选取第一个字母，有26种可能性；第二步，从剩下的25个字母中选取第二个字母，有25种可能性；第三步，从剩下的24个字母中选取第三个字母，有24种可能性。
所以，一共有26×25×24=15,600种不同的三字母单词可以组成。
2. 一支队伍有15名球员，其中有5名前锋、5名中场和5名后卫，教练要选出4名球员组成一支小队，其中至少要有1名前锋、1名中场和1名后卫，问有多少种不同的选择方法？解：根据分步计数原理，可以将问题分解成两个步骤。
第一步，选出必须要有的1名前锋、1名中场和1名后卫，共有5×5×5=125种选择方法；第二步，从剩下的12名球员中选取1名任意位置的球员，共有12种选择方法。
因此，共有125×12=1,500种不同的选择方法。
3. 一家公司有5名男员工和3名女员工，要从中挑选3人组成一组参加会议，其中至少要有一名女员工，问有多少种不同的选择方法？解：根据分步计数原理，可以将问题分解成两个步骤。
第一步，从8名员工中选取必须要有的至少1名女员工，共有C(3,1)=3种选择方法；第二步，从剩下的7名员工中选取2名任意员工，共有C(7,2)=21种选择方法。
因此，共有3×21=63种不同的选择方法。
以上就是几个关于分类计数原理与分步计数原理的例题，希望对大家有所帮助。
在实际应用中，分类计数原理与分步计数原理经常会被使用到，因此需要掌握这两个原理的应用方法。
(完整word版)分类计数原理与分步计数原理练习测验题
分步计数原理与分类计数原理基本知识点复习1.分步计数原理:2.分类计数原理:复习练习题选一、选择题1．甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出地4人中恰好有1名女同学地选法有（ ）A.150种 B.180种 C.300种 D.345种2.某班新年联欢会原定地5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个节目插入原节目单中，那么不同地插法地种类为（ ）A.42 B.30 C.20 D.123.甲、乙两人从4门功课中各选修2门，则甲、乙所选地课程中至少有一门不相同地选法共有（ ）A.6种B.12种C.30种D.36种4.三边长均为整数，且最大边长为11地三角形地个数是（ ）A.25B.26C.36D.375.设集合I={1,2,3,4,5}，选择I 地两个非空子集A 、B 要使B 中最小地数大于A 中最大地数，则不同地选择方法共有（ ）A.50种 B.49种 C.48种 D.47种6.设P 、Q 是两个非空集合，定义P*Q=},|),{(Q b P a b a ∈∈，若P={0,1,2}，Q={1,2,3,4}，则P*Q 中地元素地个数是（ ）A.4 B.7 C.12 D.167.从长度分别为1,2,3,4,5地五条线段中任取三条地不同取法有n 种，以取出地三条线段为边可组成地钝角三角形地个数为m ，则nm 等于（ ）A.101 B.51 C.103 D.52 8.若)(x f y =是定义域为A={}*,71|N x x x ∈≤≤，值域为{0,1}地函数，则这样地函数共有（ ）A.128个B.126个C.14个D.16个9.已知直线01=++by ax 中地a,b 是取自集合}2,1,0,1,2,3{---中地两个不同地元素，并且直线地倾斜角大于060，那么符合这些条件地直线共有（ ）A.8条 B.11条 C.13条 D.16条10.从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中地m 和n ，则能组成落在区域}9||11|||),{(<<=y x y x B 且内地椭圆个数为（ ）A.43 B.72 C.86 D.90二、填空题11.从集合{1,2,3，…，11}中选处由5个数组成地子集，使得这5个数中任何两个数地和都不等于11，这样地子集共有个12.将4名大学生分配到3个乡镇去任村官，每个乡镇至少一名，则不同地分配方案有种（用数字作答）13.某班共30人，其中13任喜欢篮球运动，10任喜欢乒乓球运动，8人对着两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动地人数是14.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字地四位数，其中个位，十位和百位上地数字之和为偶数地四位数共有个（用数字作答）15.三、解答题16.从1得到100地自然数中，每次取出不同地两个数，使它们地和大于100，则不同地取法有多少种？17.设有编号为1,2,3,4,5地5个球和编号为1,2,3,4,5地5个盒子，现将这5个球放入这5个盒子内.（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（2）没有一个盒子空着，但球地编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(3)每个盒子里投放一球，并且至少有两个球地编号与盒子编号是相同地，有多少种投放方法？18.有0,1,2，…，8这9个数字.（1）用这9个数字组成四位数，共有多少个不同地四位数？（2）用这9个数字组成四位地密码，共有多少个这样地密码？（3）用5张卡片，正反两面分别写上0,8；1,7；2,5；3,4；6,6，且6可作9用，这5张卡片共能拼成多少个不同地四位数？19.（1）从集合}3,2,1,0,1,2,3{--=-中任取3个不同地数作为抛物线c bx ax y ++=2地系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，则这样地抛物线共有多少条？（2）甲、乙两个自然数地最大公约数为60，则甲、乙两数地公约数共有多少个？20.在平面直角坐标系内，点),(b a P 地坐标满足b a ≠，且a,b 都是集合{1,2,3,4,5}地元素，有点P 到原点地距离5||≥OP ，求这样地点P 地个数.21.已知集合}3,2,1,0{},,,,{4321==B a a a a A ,f 是从A 到B 地映射.（1）若B 中任一映射都有原像，则这样地映射f 有多少个？（2）若B 中地映射0必无原像，则这样地映射f 有多少个？（3）若f 满足4)()()()(4321=+++a f a f a f a f ，这样地映射f 又有多少个？版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.y6v3A。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（理）概率（文）第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理（理）时间：45分钟分值：75分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1 .教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到四层共有走法种数为（）A. 6B. 23C. 42D. 44解析由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择f/.23 = 8.答案B2.按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、0、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有（）A. 6种B. 9种C. 10种D. 12 种解析找出其父母血型的所有情况分两步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3X3 = 9（种）・答案B3∙ （2014・惠州月考）2012年奥运会上，8名运动员争夺3项乒乓球冠军，获得冠军的可能有（）A. 83种B. 38种D. C3种8解析把8名运动员看作8家“店” 3项冠军看作3位“客”，它们都可住进任意一家“店”，每位“客”有8种可能.根据乘法原理，共有8义8 X 8=83（种）不同的结果.答案A4.若三角形的三边均为正整数，其中一边长为4,另外两边长分别为A C,且满足bW4Wc,则这样的三角形有（）A. 10 个B. 14 个C. 15个D. 21 个解析当b=1时，c = 4 ;当b=2时，c=4,5 ；当b = 3时，C =4,5,6 ;当b = 4时，c=4,5,6,7.故共有10个这样的三角形.答案A5.（2014∙湘潭月考）25人排成5义5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有（）A. 60 种B. IOo种C. 300种D. 600种解析5×5的方阵中，先从中任意取3行，有C§ = 10（种）方法，再从中选出3人，其中任意2人既不同行也不同列的情况有CleC 二5 4 3 60（种），故所选出的3人中任意2人既不同行也不同列的选法共有10X60 = 600（种）.6.（2013・山东卷）用0,1,…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A. 243B. 252C. 261D. 279解析0~9能组成的三位数的个数为9×10×10 = 900（个），能组成的无重复数字的三位数个数为9×9×8 = 648（个），故能组成的有重复数字的三位数的个数为900 - 648=252（个），故选B.答案B二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）7 .如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有个.解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类,有一条公共边的三角形共有8X4 = 32（个）；第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32 + 8=40（个）.8 .有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现从三名工人中选两名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有种.解析若选甲、乙两人，则有甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙两人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙两人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法..∙.共有2 + 1 +1 = 4（种）不同的选派方法.答案49 .用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答）.解析若1在①或⑥号位，2在②或⑤号位，方法数各4种.若1在②、③、④、⑤号位，2的排法有2种，方法数各8种，故有4 + 4 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40（个）.答案40三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）10 .某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 解从O 型血的人中选1人有28种不同的因去,从A 型血的人 中选1人共有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人共有9种不 同的选法,从AB 型血的人中选1人共有3种不同的选法.⑴任选1人去献血，即不论选哪种血型的哪一个人，这件“任 选1人去献血”的事情就已完成，所以用分类加法计数原理，有28 + 7 + 9 + 3 = 47(种)不同选法.(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次 选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘 法计数原理，有28X7X9X3 = 5 292(种)不同的选法.子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A 球不能放在1,2号，B 球 必须放在与A 球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种?解根据A 球所在位置分三类： d小鬼放11.编号为A, B, C, D, E 的五 如图所示的五个盒⑴若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E ,则根据分步乘法计数原理得，3X2Xl = 6（种）不同的放法；（2）若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E ,则根据分步乘法计数原理得，3X2Xl = 6（种）不同的放法；⑶若A球放在4号盒子内，则8球可以放在2号、3号、5号盒子中的彳丑可一个，余下的三个盒子放球C。
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1、一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_________________种。
2、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有_________________种不同的选法。
3、一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有
__________种。
4、从分别写有1，2，3，…，9九张数字的卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_________________种不同的抽法。
5、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，（1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？
（2）从中选出两位不同国家的人作为成果发布人，有多少种不同选法？
6、（1）3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？
（2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？
7、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，
（1）共有多少种不同的涂色方法？
（2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？
8、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有_________________种不同的走法。
9、某电话局的电话号码为，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有_________________个。
10、从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有_________________种。
11、将3封信投入4个不同的信箱，共有_________________种不同的投法；
3名学生走进有4个大门的教室，共有_________________种不同的进法；
3个元素的集合到4个元素的集合的不同的映射有_________________个。
12、、4个小电灯并联在电路中，每一个电灯均有亮与不亮两种状态，总共可表示__________种不同的状态，其中至少有一个亮的有__________种状态。
13、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域涂不同颜色，那么共有________________种不同的涂色方法。
14、在一次读书活动中，有5本不同的政治书，10本不同的科技书，20 本不同的小说书供学生选用，
（1）某学生若要从这三类书中任选一本，则有多少种不同的选法？
（2）若要从这三类书中各选一本，则有多少种不同的选法？
（3）若要从这三类书中选不属于同一类的两本，则有多少种不同的选法？
15、某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游人从上山到下山共有___________种不同的走法。
16、某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则该生的购书方案有_____种。
17、已知两条异面直线上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可确定
___________个不同的平面。
18、为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同种植密度，3种不同播种时间的因素下进行种植实验，则不同的实验方案共有___________种。
19、某市提供甲、乙、丙和丁四个企业供育才诈中学高三级3个班级进行社会实践活动，其中甲是市明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有
___________种。
20、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1，2，3，任取3面，它们的颜色与号码均不相同的取法有___________种
参考答案：
1、12
2、20
3、6
4、20
5、（1）20 （2）119
6、（1）64 （2）81
7、（1）625 （2）180
8、11
9、32 10、20 11、64、64、64 12、15 13、260 14、（1）35 （2）1000 （3）350 15、25 16、7 17、13 18、72 19、37 20、6。