分类分步计数原理

1.1分类加法计数原理
与 分步乘法计数原理
（第二课时）
用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决计数问题 的方法． 用两个计数原理解决计数的问题时， 最重要的是开始计算 之前要进行仔细分析——需要 分类 还是 分步 ．
分类要做到“ 不重不漏 ”， 分类后再分别对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理 求和 ，得到总数． 分步要做到“ 步骤完整 ”——完成了所有步骤， 恰好完 成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的 方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法 数 相乘 ，得到总数．
第 2 类，当首位数字为偶数数字即 2,4,6 中任一个，例如 4，则末位数字可以是 0,2,6 中的任一个，百位数字不能取与这 两个数字重复的数字， 十位数字则不能取与这三个数字重复的 数字． 根据分步乘法计数原理，有 3×3×5×4＝180 种取法． 根据分类加法计数原理， 共可以组成 240＋180＝420 个无 重复数字的四位偶数．
解析：分两步：先选首位，再选个位．共有 4×4＝16 种． 答案：C
2．5 名学生报名参加两个课外活动小组，每名学生限报 其中的一个小组，则不同的报名方法共有( A．10 种 C．25 种 B．20 种 D．32 种 )
解析：5 名学生报名参加两个课外活动小组，每名学生限 报其中的一个小组，则每名学生均有 2 种不同的报名方法，故 不同的报名方法共有 25＝32 种．故选 D.
解答此题， 每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生对完成 整个事件的影响至关重要，否则容易把两问结果混淆，其原因 是对题意理解不清，对事情完成的方式有错误的认识．
变式训练4
(1)8 本不同的书，任选了 3 本分给 3 个同
学，每人 1 本，有多少种不同的分法？ (2)将 4 封信投入 3 个邮筒，有多少种不同的投法？ (3)3 位旅客到 4 个旅馆住宿， 有多少种不同的住宿方法？
要点二 例2
用计数原理解决“ 选（抽）取”问题
变式训练2
要点三
用计数原理解决“涂色(种植)” 问题
涂色(种植)问题是计数原理应用中的典型问题， 涂色(种植) 本身就是策略的一个运用过程，解决区域涂色(种植)问题时， 为便于分析问题，应先给区域(种植的品种)标上相应序号，然 后按涂色 ( 种植 ) 的顺序分步或颜色 ( 种植的品种 ) 当选情况分 类，最后利用两个计数原理求解．
很多实际问题需要综合应用两个基本计数原理方能解决，此 时可根据需要先分类再分步，或者先分步再分类。
探究成果
1.应用两个基本计数原理解题时，首先必须弄明白怎 样就能“完成这件事”？其次要做到合理分类，准确分步， 按元素的性质分类，按事件发生的过程分步是计数问题的 基本方法。
2.对于有特殊元素或特殊位置的问题，可优先安排。
解：(1)分三步，每位同学取书一本，第 1、2、3 个同学分 别有 8、7、6 种取法，因而由分步乘法计数原理，不同分法共 有 N＝8×7×6＝336(种)．
(2)完成这件事情可以分作四步， 第一步投第一封信， 可以 在 3 个邮筒中任选一个， 因此有 3 种投法； 第二步投第二封信， 同样有 3 种投法；第三步投第三封信，也同样有 3 种投法；第 四步，投第四封信，仍然有 3 种投法．由分步乘法计数原理， 可得出不同的投法共有 N＝3×3×3×3＝81(种)． (3)分三步， 每位旅客都有 4 种不同的住宿方法， 因而不同 的方法共有 N＝4×4×4＝64(种).
第4步, 从10个数字中选 1个, 放在第 4位,有10种选法;
升华提高：
第5步, 从剩下的 9个数字中选 1个, 放在第 5位,有9 种选法; 第6步, 从剩下的 8 个数字中选 1个, 放在第 6位,有8 种选法. 根据分步乘法计数原理 ,字母组合在左的牌照共 有26 25 24 10 9 8 11 232 000个. 同理,字母组合在右的牌照也 有 11 232 000个. 所以,共能给11232000 11232000 22464000 辆汽车上牌照 .
变式训练1
由数字 0、1、2、3、4、5 可组成多少个
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
没有重复数字且不能被 5 整除的四位数字？
解：组成四位数可分四步，第一步排千位有 5 种，第二步 排百位有 5 种， 第三步排十位有 4 种， 第四步排个位有 3 种． 由 分步乘法计数原理得共有四位数 5×5×4×3＝300(个) 同理，个位数为 0 的四位数有 5×4×3＝60(个)，个位数 为 5 的四位数有 4×4×3＝48(个)． ∴不能被 5 整除的四位数共有 300－48－60＝192(个).
能力提升2
例3
如图，要给地图 A，B，C，D 四个区域分别
涂上 3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但 相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
【思路启迪】 根据地图的特点确定涂色的顺序，再进行 计算．
【解】 步完成：
按地图 A，B，C，D 四个区域依次涂色，分四
第一步：涂 A 区域，有 3 种选择； 第二步：涂 B 区域，有 2 种选择； 第三步：涂 C 区域，由于它与 A，B 区域颜色不同，有 1 种选择； 第四步，涂 D 区域，由于它与 B，C 区域颜色不同，有 1 种选择． 所以根据分步乘法计数原理， 得到不同的涂色方案种数共 有 3×2×1×1＝6.
(2)当仅使用三种颜色时：从 4 种颜色中选取 3 种，有 4 种方法，先着色第 1 区域，有 3 种方法，剩下 2 种颜色涂四个 区域，只能是一种颜色涂第 2、4 区域，另一种颜色涂第 3、5 区域，有 2 种着色方法，由分步乘法计数原理得有 4×3×2＝ 24 种．综上共有 48＋24＝72 种．
课堂总结
四个题型：
1.组数问题 ；2.选取问题； 3.涂色问题 ；4.分给问题。
应用两个基本计数原理解题时应注意的问题：
1.首先必须明确怎样就“完成这件事”？ 2.其次分类要不重不漏，分步要步骤完整。 3.还须注意特殊元素（或特殊位置）优先安排以及是 否重复等。
1．由数字 0,1,2,3,4 可组成无重复数字的两位数的个数是 ( A．25 C．16 B．20 D．12 )
解：将汽车牌照分为2类, 一类字母组合在左, 另一 类的字母组合在右. 字母组合在左时 ,分6个步骤确定一个汽车牌 照的 字母和数字 : 第1步, 从26个字母中选 1个, 放在首位 ,有26种选法; 第 2 步, 从剩下的 25个字母中选 1 个, 放在第 2位,有 25种选法; 第3步, 从剩下的 24个字母中选 1 个, 放在第 3位,有 24种选法;
竞赛项目选择学生，分三步完成．
【解】 (1)学生可以选择竞赛项目， 而竞赛项目对于学生 无条件限制，所以每位学生均有 3 个不同的机会．要完成这件 事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行， 因此需分四 步．而每位学生均有 3 个不同机会，所以用分步乘法计数原理 可得 3×3×3×3＝34＝81 种不同结果． (2)竞赛项目可挑选学生， 而学生无选择项目的机会， 每一 个项目可挑选 4 位不同学生中的一位． 要完成这件事必须是每 项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分 步乘法计数原理可得 4×4×4＝43＝64 种不同结果．
要点四
用计数原理解决“分给问题”
对于这一类问题要搞清到底是“谁选择谁”， 这是要完成 这件事的关键，然后依据分步乘法计数原理加以解决．
例4
有四位同学参加三项不同的竞赛．
(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛， 有多少种不同 结果？ (2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？
【思路启迪】
(1)学生选择竞赛项目，分四步完成；(2)
答案：D
3．已知集合 A {1,2,3}，且 A 中至少有一个奇数，则这样 的集合有( A．2 个 C．4 个 ) B．3 个 D．5 个
解析：满足题意的集合 A 可以是{1}，{3}，{1,2}，{1,3}， {2,3}共有 5 个，故选 D.
答案：D
4．某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成，现从中选出 2 名参加校学生会的竞选， 其中至少有 1 名女生当选的选法种数 是__________．
解析：分五步，由左到右依次种植， 种法分别为 4,3,3,3,3. 由分步乘法计数原理：4×3×3×3×3＝324.
答案：324
6
能力提升1 已知函数 y＝ax2＋bx＋c，其中 a，b，c∈
{0,1,2,3,4}，求不同的二次函数的个数．
解：若 y＝ax2＋bx＋c 为二次函数，则 a≠0，要完成该事 件，需分步进行： 第一步：对于系数 a 有 4 种不同的选法； 第二步：对于系数 b 有 5 种不同的选法； 第三步：对于系数 c 有 5 种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，共有 4×5×5＝100(个)．
变式训练3
如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给
地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有 4 种颜色 可供选择，则不同的着色方法共有多少种(以数字作答)?
解： (1)当使用四种颜色时， 先着色第 1 区域， 有 4 种方法， 剩下 3 种颜色涂其他四个区域， 即有一种颜色涂相对的两块区 域，有 3×2×2＝12 种，由分步乘法计数原理得，共有 4×12 ＝48 种．
解析：至少有 1 名女生当选有两种可能： (1)参加竞选的只有 1 名女生，有 4×3＝12 种选法； (2)参加竞选的有 2 名女生，有 3 种不同选法． 因此至少有 1 名女生当选的选法为 12＋3＝15(种)．
答案：15
5．将 4 种蔬菜种植在如图所示的 5 块试验田里，每块试 验田种植一种蔬菜，相邻试验田不能种植同一种蔬菜，不同的 种法有________种．(种植品种可以不全)
情境引入 例 2 随 着人们生活水平的提 高 , 某城市家
庭汽车拥有量迅速增长, 汽车牌照号码需要 扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组 成办法, 每一个汽车牌照都必须有 3 个不重 复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数 字, 并且3个字母必须合成一组出现,3个数字也 必须合成一组出现 .那么这种办法共能给多 少辆汽车上牌照 ? 分析 按照新规定 , 牌照可以分为 2 类,即字 母组合在左和字母组合 在右.确定一个牌照 的字母和数字可以分 6个步骤.