分类计数原理与分布计数原理
分类计数原理与分步计数原理-课件
目 录
• 分类计数原理 • 分步计数原理 • 分类计数原理与分步计数原理的
应用 • 分类计数原理与分步计数原理的
区别与联系 • 练习与思考
01
分类计数原理
定义
定义
分类计数原理也称为加法原理，是指完成一件事情，需要分成$n$个不同的类 ，每一类都有$m$种不同的方法，则完成这件事情共有$n times m$种不同的 方法。
02
分步计数原理
定义
定义
分步计数原理，也称为乘法原理，是指完成一件事情需要分成n个步骤，并且第1 步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，第3步有m3种不同的方法， ……，第n步有mn种不同的方法，则完成这件事情共有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法。
解释
分步计数原理强调每个步骤的可能性，最后将这些可能性相乘得到最终结果。
解释
分类计数原理强调的是将问题分成若干个独立的子问题，然后分别对每个子问 题进行计数，最后将各个子问题的计数结果相加，即可得到完成整个问题的总 方法数。
适用场景
适用场景
分类计数原理适用于将问题分解为若 干个独立的子问题，每个子问题都有 固定的方法数，且各个子问题之间没 有相互影响的情况。
举例
例如，一个班里有$30$名学生，每个 学生有$2$种选择（选数学或者不选 ），则这个班里总共有$30 times 2 = 60$种不同的选择方式。
题目9
在5个不同编号的球中取出3个，其 中有一个特定编号的球必须被取出 ，有多少种不同的取法？
感谢观看
THANKS
示例解析
• 解析：以一个具体的例子来解析分类计数原理的应用。假设一 个班里有$30$名学生，每个学生有$2$种选择（选数学或者不 选），根据分类计数原理，这个班里总共有$30 \times 2 = 60$种不同的选择方式。具体来说，第一个学生有$2$种选择， 第二个学生也有$2$种选择，以此类推，直到最后一个学生都 有$2$种选择。因此，总的方法数是各个学生的选择数相加的 结果。
分类计数原理与分步计数原理1-课件
本课件介绍分类计数原理与分步计数原理，包括定义、公式、示例，以及两 者的区别和联系。并提供应用实例和参考文献。
引言
介绍分类计数原理与分步计数原理的背景和意义。
分类计数原理
定义：将问题划分为多个互斥的子问题进行计数。 公式：使用乘法法则计算各个子问题的计数，再求和得到总数。 示例：如何从一副扑克牌中抽取一手顺子的方法。
分步计数原理
定义：将问题分解为多个步骤进行计数。 公式：使用乘法法则计算各个步骤的计数，再求积得到总数。 示例：如何从头发型、上装和下装三个方面选择搭配服装的方法。
两者的区别及联系
比较：分类计数原理通过划分子问题计数，分步计数原理通过分解步骤计数。 总结：两者都是通过乘法法则计算总数，但应用场景和思维方式有所区别。
应用实例
全排列、组合等相关问题的计数方法。 案例分析：如何计算一副扑克牌中同花的数量。
总结
重点回顾分类计数原理与分步计数原理的核心概念。 发现问题：探索这两种计数原理的局限性和改进空间。 展望进一步研究：探索更复杂的计数问题和解决方法。
参考文献
引用来源：相关学术论文和教材。 推荐阅读：进一步深入学习计数原理的参考书目。
分类计数原理和分步计数原理
拓展应用：离散数学、计算机科学
离散数学
分类计数和分步计数原理在离散数学中被广泛应用 于组合问题、图论、递归和算法等领域。
计算机科学
分类计数和分步计数原理在计算机科学中被用于解 决计算复杂性、优化问题和算法设计等。
总结和应用建议
分类计数原理和分步计数原理是数学和计算机科学中重要的计数方法。了解 它们的定义、应用和联系，可以帮助我们解决各种计数问题。
2 区别
分类计数原理是将问题分为不同的分类进行计数，而分步计数原理是将问题分解为多个 步骤进行计数。
实例应用：组合、排列、二项式定理等
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
组合
通过分类计数，可以计算出从给定集合
排列
2
中选择不同元素的组合数。
使用分步计数，可以计算出在给定元素
集合中选择和排序元素的排列数。
3
二项式定理
通过应用分步计数原理，可以推导出二 项式定理，用于展开二次方和三次方的 多项式。
分类计数原理的定义和应用
分类计数原理是一种通过将问题分成不同分类的方式来计数。它在组合数学、离散数学和计算机科学中被广泛 应用。
分步计数原理的定义和应用
分步计数原理是一种通过将问题分解为多个步骤来计数的方法。它通常在组合数学和排列问题中使用。
分类计数原理和分步计数原理的联系 和区别
1 联系
两种原理都可以用于解决计数问题，但是采用不同的分解方式。
分类计数原理和分步计数 原理
本演示将介绍分类计数原理和分步计数原理。了解基本概念、定义、应用、 联系和区别，并深入探讨实例应用以及拓展领域。最后进行总结和应用建议。
基本概念
分类计数原理
通过将问题分解为各个独立分类，然后对每个 分类进行计数，得到最终的计数结果。
分类计数原理和分步计数原理
分步计数原理的核心思想是“分步”，即根据事件的某些特征将 其分成不同的步骤，然后分别计算每一步中的方法数，最后将这 些方法数相乘得到复杂事件的总方法数。
两者关系与区别
关系
分类计数原理和分步计数原理都是解决复杂事件计数问题的方法，它们的核心思想都是将复杂事件进行分解，然 后分别进行计算。
04 计数原理在算法中的应 用
动态规划算法
最优子结构
动态规划算法通过把原问题分解为若干个子问题，并求解子 问题的最优解，进而得到原问题的最优解。这种通过子问题 的最优解来推导原问题最优解的方法体现了分类计数原理的 思想。
状态转移方程
动态规划算法中，通常定义一个状态转移方程来描述子问题 之间的关系。这个方程可以帮助我们计算出每个子问题的最 优解，并最终得到原问题的最优解。状态转移方程的构建和 求解过程体现了分步计数原理的思想。
路线规划问题
从起点到终点需要经过三个城市，每两个城市之间都有多 条路线可选。根据加法原理和乘法原理，可以计算出从起 点到终点所有可能的路线组合数。
彩票选号问题
一张彩票需要选择7个号码，每个号码可以是1~49中的任 意一个。根据乘法原理，共有 $49 times 48 times 47 times 46 times 45 times 44 times 43 $ 种不同的选号方 式。
组合问题
排列与组合的区别
排列是把元素按顺序排列，而组合是 把元素无顺序地组合起来。
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n）的所有排列的个数，叫做从n 个元素中取出m个元素的组合数。
概率统计问题
古典概型
如果每个样本点发生的可能性相 等，则事件A发生的概率等于事件 A包含的样本点个数与样本空间包
分类计数原理与分步计数原理例题
分类计数原理与分步计数原理例题一、分类计数原理例题1：有4个不同的苹果和3个不同的橘子，请问由这些水果组成一串长度为7的水果串有多少种情况？解析：根据分类计数原理，我们可以将问题分解为两个步骤来考虑。
首先，我们要确定苹果的数量，假设苹果的数量为0、1、2、3或4，那么橘子的数量就是7减去苹果的数量。
1.当苹果数量为0时，橘子数量为7，这种情况只有1种。
2.当苹果数量为1时，橘子数量为6，这种情况有3种。
3.当苹果数量为2时，橘子数量为5，这种情况有3*2=6种。
4.当苹果数量为3时，橘子数量为4，这种情况有3*2*1=6种。
5.当苹果数量为4时，橘子数量为3，这种情况有3*2*1*1=6种。
所以，组成一串长度为7的水果串的种类总数为1+3+6+6+6=22种。
二、分步计数原理分步计数原理是将大问题分解为若干个小问题，然后将小问题的计数结果相乘得到最终的结果。
例题2：假设John有3个不同的帽子和4个不同的围巾，他每天只能戴一个帽子和一条围巾，请问他有多少种不同的搭配方式？解析：根据分步计数原理，我们可以将问题分解为两个小问题。
首先，我们可以计算帽子和围巾的搭配方式数量：-帽子的选择有3种，围巾的选择有4种，因此搭配方式数量为3*4=12种。
所以，John有12种不同的搭配方式。
例题3：旅行团计划去三个不同的城市，在每个城市停留的天数分别为4天、5天和6天，且天数的顺序不限，请问旅行团一共有多少种行程方案？解析：根据分步计数原理，我们可以将问题分解为三个小问题。
首先，我们可以计算每个城市的行程天数的选择数量：-第一个城市的停留天数有4天、5天和6天三种选择，第二个城市的停留天数有3种选择，第三个城市的停留天数有2种选择。
所以，旅行团一共有3*3*2=18种行程方案。
综上所述，分类计数原理和分步计数原理是解决组合问题常用的两种计数方法。
通过分解大问题为小问题，我们可以更方便地解决组合计数问题。
这两种方法可以相互结合使用，也可以单独使用，取决于具体的问题。
分类计数原理和分步计数原理
典型例题
例 1. 书架放有 3 本不同的数学书， 5 本不同的语文书， 6 本不同 的英语书。 （1）若从这些书中任取1本书，有多少种不同的取法? （2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本， 有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中，取不同科目的书两本，有多少种不同 的取法？ 解：（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各一本， 需分成三个步骤完成：
第1类办法是数学书、语文书各取1本，有3×5种办法； 第2类办法是数学书、英语书各取1本，有3×6种办法； 第3类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种办法； 根据分类计数原理，不同取法的种数是 N= 3×5+3×6+5×6=63 答：若从这些书中，取不同科目的书两本，有63种不同的取法。
典型例题
一、导入 情景：
一学生从外面进入教室有多少种 走法？若进来再出去，有多少走法？
分类计数原理和分步计数原理
二、新课 情景一：
从甲地到乙地，可以乘火车，也 可以乘轮船。一天中，火车有3班，轮 船有2班。那么一天中，乘坐这些交通 工具从甲地到乙地共有多少种不同的 走法？
பைடு நூலகம்
分类计数原理
做一件事情，完成它可以有n类办法,在 第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办 法中有m2种不同的方法……在第n类办法中 有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。 (此原理又称加法原理 )
例2：由1，2，3，4可组成多少个数字可以重复的
四位数？
变式1：由0，1，2，3可组成多少个数字可以重复
的四位数？
变式2：由1，2，3，4可组成多少个数字不可以
重复的自然数？
思考题：
分类计数原理、分步计数原理
分类计数原理、分步计数原理授课难点：1．解决学生思考过程中对加法，分步计数原理理解产生的误区。
2．帮助学生找到“重”，“漏”产生的原因。
一、概念与规律1．分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法。
在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中m2种不同的方法，……，第n类办法中有m n种不同方法。
那么完成这件事共有N=m1+m2+……+m n种不同的方法。
2．分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m1·m2·……m n种不同的方法。
3．分类计数原理和分步计数原理的共同点是，它们都是研究完成一件事情，共有多少种不同的方法；不同点在于完成一件事情的方式不同，分类计数原理是在“分类完成”，即任何一类办法中任何一种方法都能独立完成这种事。
分步计数原理是在“分步完成”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情。
二、例题讲解例1．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同。
（1）从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取1个4球，有多少种不同的取法。
解：（1）从两个口袋中任取一个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N=m1+m2=5+4=9(种)。
（2）从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步在第二个口袋内取1个小球，有4种方法。
根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2=5×4=20(种)。
即：从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法；从两个口袋内各取1个小球，有20种不同取法。
分类计数原理和分步计数原理的区别
分类计数原理和分步计数原理的区别
《分类计数原理和分步计数原理的区别》
嘿呀，今天咱来唠唠分类计数原理和分步计数原理的差别哈。
就说我上次去超市买水果吧，那可真是让我深刻体会到了这两者的不同呢。
我一进超市水果区，哇，各种各样的水果摆在那。
我先看到了苹果，有红苹果、青苹果，这就是分类计数原理呀，我可以一类一类地数，红苹果有几个，青苹果有几个。
然后呢，我又看到了香蕉，嘿，香蕉也有不同的品种呢。
接着重点来了哈，我决定买些水果回家做水果沙拉。
我想选苹果、香蕉和橙子。
我先挑苹果，挑完红的挑青的，这一步完成了；然后再去挑香蕉，挑完一种香蕉又挑另一种，这又是一步；最后去挑橙子，这是第三步。
这整个过程可不就是分步计数原理嘛，一步一步地来，每一步都有不同的选择和可能性。
你看，在超市买水果这么一件平常的事儿，就把这两个原理体现得淋漓尽致呀。
分类计数原理就是把东西分成不同的类来数，分步计数原理呢就是一步一步地做事，每一步都有多种选择。
这下是不是很好理解啦！以后再遇到类似的情况，咱就能清楚地分辨出来啦。
哎呀，生活中处处都有学问呢！。
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自主思考
(1) 由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重 复三位数？ 解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成： 第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个 数字，共有5种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复， 这仍有5种选法， 第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选 法． 根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是 N=5X5X5=125． 答：可以组成125个三位数．
例题讲解
例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同 的语文书． 2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？ 解 （2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两 个步骤完成： 第一步取一本数学书，有6种方法； 第二步取一本语文书，有5种方法． 根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N＝6X5＝30． 答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的 方法
1.1分类计数原理与分步计算原理
问题二： 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地 乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中， 从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
1.1分类计数原理与分步计算原理 分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步 有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的 方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完 成这件事共有 N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
加法原理 乘法原理 选排列公式 排列 排列数公式 全排列公式 应用
选修2-3 排列、组 合和概率
组合
排列数公式 通项公式
组合数性质
二项式定理 系数性质 随机事件的概率 概率 互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时发生的概率
排列应用问题
有限制条件的 排列问题(在 与不在，邻与 不邻) 有限制条件的 组合问题 (含与不含)
四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自 己送出的贺卡，共有多少种不同的方法？
我们可排出所有的分配方案： （1）甲取得乙卡，然后类推，按甲、乙、丙、丁各取得的贺卡列出方案 如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙； （2）甲取得丙卡，方案为： 丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲； （3）甲取得丁卡，方案为： 丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲. 由分类计数原理，共有3+3+3=9种. 另外，此题也可分步解决： 第一步：甲取一张，有3种取法； 第二步：由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法； 第三步：由剩余两人中任一人取，有一种取法； 第四步：最后一人取，只有一种取法. 由分步计数原理得不同取法有3×3×1×1=9种.
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
N = 5 × 4 ×3×4 = 240
注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法 数
hezuotanjiu 4张卡片的正、反面分别有0与1，2与3，4与5，6与7， 将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位 数？
解：分三个步骤： 第一步：首位可放8－1=7个数； 第二步：十位可放6个数； 第三步：个位可放4个数. 根据分步计数原理，可以组成 N=7×6×4=168个数.
从实际问题中如何判断该用哪个定理？
例1 书架上层放有6本不同的数学书， 下层放有5本不同的语文书． 1）从中任取一本，有多少种不同的 取法？ 2）从中任取数学书与语文书各一本， 有多少不同的取法？
自主思考：
表一： 题 号 完成一件什么事？
完成这件事可分 几类？ 每类方案中分别 有几种不同的方 法？
分类加法与分步乘法计数原理的区别和联系：
分类加法
分步乘法
共同点
区别一
都是要解决完成一件事情的方法种数的问题。
完成一件事情共有n类 方案。
完成一件事情,共分n个 步骤。
每步要而且只要拿出一种方法 就可以完成一件事情。
区别二
每类中的任一种方法都 能独立完成这件事情。
怎样联合两个定理解决问题？
［例2］电视台在“欢乐大本营”节目中 拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞 猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有 30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽 奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之 星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴， 有多种不同的结果？
1.1分类计数原理与分步计算原理
对于分类计数原理，注意以下几点.
（1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互 独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所 以分类计数原理又称加法原理； （2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分 类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类； （3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类， 并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方 法.
怎样联合两个定理解决问题？解：分两大类： （1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之 星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有： 30×29×20=17400种结果； （2）幸运之星在乙箱中抽，同理有 20×19×30=11400种结果， 因此共有不同结果17400+11400=28800种
大家在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又能合 理分步， 一般情形是先分类后分步.
练习： (1)由数字l，2，3，4，5 可以组成多少个数字不允许重复三 位数？ (2)由数字0，l，2，3，4， 5可以组成多少个数字不允许重复三 位数？
（3）:如图,要给下面A、B、C、D四个区域分别涂上5种 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域 必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
综合问题
给合应用问题
1.1分类计数原理与分步计算原理
问题一： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火 车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到 乙地共有多少种不同的走法？
1.1分类计数原理与分步计算原理
：完成一件事，有n类办法，在第1类办法 中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不 同的方法.那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
小结升华
知识
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
归纳与类比 分类法、分步法 特殊到一般 化归转化
方法 思想
感 悟 计数原理入门径， 何时相加何时乘？ 分类相加无重漏， 分步相乘步骤整.
课堂小结
要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法， 分步时用乘法，其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习
完成这件事共有 多少种不同的方 法？
书架上层放有6 本不同的数学 书，下层放有5 本不同的语文 书． 1）从中任取一 本，有多少种 不同的取法？
完成表格，归纳结论
自主思考：
书架上层放有6本 不同的数学书，下 层放有5本不同的 语文书． 2）从中任取数学 书与语文书各一本， 有多少的取法？
表二：
题 号 完成一件什么事？ 完成这件事可分几 步？ 每步中分别有几种 不同的方法？ 完成这件事共有多 少种不同的方法？
1.1分类计数原理与分步计算原理 对于分步计数原理，应注意以下几
点.
（1）分步计数原理与“分步”有关，各个步 骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事 才算完成；分步计数原理又叫乘法原理。 （2）分步时首先要根据问题的特点确定一个 分步的标准； （3）分步时还要注意满足完成一件事必须并 且只需连续完成n个步骤后这件事才算完成.
完成表格，归纳结论
例题讲解
例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同 的语文书． 1）从中任取一本，有多少种不同的取法？ 解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法： 第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一 本，有6种方法 第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一 本，有5种方法． 根据加法原理，得到不同的取法的种数是 6十5=11． 答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．
练习题：
1。有两个口袋，分别装有5个小球和4个小球，所有这些小球的颜色互不相 同， （1）从两口袋中任取一个，有多少种不同的取法。 （2）从两口袋中各取一个，有多少种不同的取法。 2。从3名男生和2名女生中选出优秀学生3人，要求其中至少有1名女生，那 么有多少中不同的选法？ 3。有大小两个正方体，在它们的6个表面上分别标有1，2，3，4，5，6。将 两个正方体掷在桌面上，向上一面的两个数的和为偶数的情形有多少种？ 4。 三面不同颜色的旗帜，可以升一面、两面，页可以三面一起升，那么可 以表示多少种不同的信号？ 5。平面上有10个点，无三点共线，每三点连一个三角形，可以画出多少个三 角形？ 6。从1到100的自然数中，每次取出两个，要它们的和大于100，有多少种不 同的取法？ 7。从8男5女中选4人参加比赛，其中至少要有两名女生，有多少中选法？ 8。从9名学生中选三名参赛，有多少中选法？ 9。完全相同的7个球，放入三个同样的盒子，允许有的盒子空，有多少种不 同的放法？
1. 2. 3.
4.
5.
6.
在计算完成事件的方法种数时，何时用加法原理？何时用乘法原理？ 这两个原理分别是怎样叙述的？它们的根本区别是什么？ （口答）一件工作可以用两种方法完成．有 5人会用第一种方法完成， 另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种 选法？ 在读书活动中，一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、 3本文艺书里任 选一本，共有多少种不同的选法？ 从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地 有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不 同的走法？ 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的 颜色互不相同 （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？