补充：分类计数原理和分布技术原理

在运用“分类记数原理、分步记数原理”处理具体应用 题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分 类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程 中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。
㈣ 课堂练习
练习1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必 须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 解: 按地图A、B、C、D四个区域 依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据分步记数原理, 得到不同×1 = 6 种。
补充讲解： 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
（一）新课引入：
问题1:. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘
汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车 有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工 具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种方法。
问题2: 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村
的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的 走法? 北 北 A村 中 南
B村
南
C村
分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有2种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。
（二）新课：
分类记数原理: 做一件事情，完成它可以有
n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在 第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第 n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件 事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步记数原理：做一件事情，完成它需要分
成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第 二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
B
当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。
m1
A
m2
……
B
mn
点评: 我们可以把分类 记数原理看成“并联 电路”;分步记数原理 看成“串联电路”。 如图:
A
m1
m2
…...
mn
B
练习3.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条 路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路 可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 解:从总体上看,由甲到丙有 两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙, 甲地 又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙, 也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的 丁地 走法。
例2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字 的两位数共有多少个？
分析1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一 类中满足条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 则根据分类记数原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).
（三）例题：
例 1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有 3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书， （1）从书架上任取1本书，有多少不同的取法？ （2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不 同的取法？
分析: (1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法, 从第1层中任取一本书, 共有 m1 = 4 种不同的方法; 第二类 办法, 从第2层中任取一本书, 共有 m2 = 3 种不同的方法; 第三类办法：从第3层中任取一本书,共有 m3 = 2 种不同的 方法,所以, 根据分类记数原理, 得到不同选法种数共有 N = 4+3+2= 9 种。 点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完 成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类记数原 理”;“分步完成”用“分步记数原理”。
答:首位数字不为0的号码数是N =9×10×10 ×10 = 9×103 种, 首位数字是0的号码数是 N = 1×10×10 ×10 = 103 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号 码数之和等于号码总数。
例 3. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共 十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位 上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首 位数字是0的号码数又是多少？ 问: 若设置四个、五个、六个、…、十个等号码盘,号码数 分别有多少种？
练习2.如图,该
电路,从A到B共有 多少条不同的线 路可通电？
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类记数原理, 从A到 B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。 A
答:它们的号码种数依次是 104 , 105,
106, …… 种。
点评:
分类记数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不 能重复、交叉;类与类之间是并列的、互斥的、独立的,也就 是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一 种方法。若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交为空集 ,n类的并为全集。 分步记数原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步 ”之间是连续的,不间 断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若 完成某件事情需n步, 则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件 事情才算完成。
分析2: 按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中 满足条件的两位数分别是 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 则根据分类记数原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个)
例 3. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十 个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上 的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数 字是0的号码数又是多少？ 分析: 按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三 位,第四位、需分为 四步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m2 = 10，第 四步 ， m4 = 10. 根据分步记数原理, 共可以设置N = 10×10×10 ×10 = 104种四位数的号码。
乙地
丙地
㈤ 小结：
1. 本节课学习了那些主要内容？ 答:分类记数原理和分步记数原理。 2.分类记数原理和分步记数原理的共同点是什么？ 不同点什么？ 答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种 不 同的方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同,分类 记 数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一 个方法都能完成这件事。分步记数原理是“分步完成 ”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步 都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。
㈤ 小结：
3. 何时用分类记数原理、分步记数原理呢? 答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算 完成这件事情的方法总数用分类记数原理。 完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完 成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完 成这件事的方法总数用分步记数原理。