换底公式与自然对数
对数的运算及换底公式2012.10.27
关系： １．关系： a b = N
指数式
b = log a N
对数式
a
指数式 a b = N 对数式 log a N = b 底数 对数的底数
N
幂 真数
b
指数 对数
2.特殊对数：1）常用对数 — 以10为底的对数；lg N 特殊对数： ） 为底的对数； 特殊对数 为底的对数 2）自然对数— 以 e 为底的对数；ln N ）自然对数 为底的对数； 3.重要结论：1）log a a = 1；2）log a 1 = 0 重要结论： ） 重要结论 ； ） 4.对数恒等式：a log a N = N 对数恒等式： 对数恒等式
n N = log a N m
n
(a, c ∈ (0,1) U (1,+∞), N > 0) a, b ∈ (0,1) U (1,+∞)
1、计算： (1) log 5 35 －2log 5 、计算：
7 + log 5 7 －log 5 1. 8 3
(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2
解法一： 解法一： 解法二： 解法二：
7 7 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 3 3 7 7 2 = lg 14 − lg( ) + lg 7 − lg 18 = lg(2 × 7) − 2 lg 3 3 2 + lg 7 − lg(2 × 3 ) 14 × 7 = lg 7 2 = lg 2 + lg 7 − 2(lg 7 − lg 3) ( ) × 18 3 + lg 7 − (lg 2 + 2 lg 3) = lg 1 = 0 =0
log运算法则换底公式
log运算法则换底公式在数学领域中，log运算法则换底公式是一种非常重要的数学工具，它在解决复杂的数学问题中起到了至关重要的作用。
log运算法则换底公式是指将一个对数的底换成另一个对数的底的变换方法，它可以简化对数运算、化简数学表达式并解决实际问题。
在本文中，我们将深入探讨log运算法则换底公式的原理和应用。
首先，让我们回顾一下对数的基本概念。
对数是指以某个数为底的幂运算的逆运算，常用的对数有以10为底的常用对数和以e为底的自然对数。
对数的换底公式是log_a(b) = log_c(b) /log_c(a)，其中a、b、c分别为底数。
这个公式的作用是将一个对数的底换成另一个对数的底，从而简化对数运算。
log运算法则换底公式的应用非常广泛，特别是在解决复杂的数学问题和化简数学表达式时。
例如，在求解复杂的指数方程或对数方程时，使用log运算法则换底公式可以将问题简化为更容易解决的形式。
此外，在求导、积分和解微分方程等数学问题中，log 运算法则换底公式也经常被用到。
除了在数学理论中的应用，log运算法则换底公式在实际生活中也有着重要的作用。
例如，在工程领域中，log运算法则换底公式常常被用来分析复杂的电路、信号传输和控制系统。
在经济学和金融学中，log运算法则换底公式也被用来分析复杂的经济模型和金融市场。
总之，log运算法则换底公式是一种非常重要的数学工具，它在解决复杂的数学问题和应用数学中起着至关重要的作用。
通过深入理解log运算法则换底公式的原理和应用，我们可以更好地应用它来解决实际问题，并且更好地理解数学的美妙之处。
希望本文能够帮助读者更深入地理解log运算法则换底公式，并在数学领域中取得更多的成就。
对数公式
对数目录对数的概念定义若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log(a)(b)基本性质如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么：1、a^log(a)(b)=b2、log(a)(a)=13、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);第5条的公式写法5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)6、log(a)[M^（1/n）]=log(a)(M)/n（注：下文^均为上标符号，例：a^1即为a）推导1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、因为a^b=a^b令t=a^b所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)令b=1，则1=log(a)(a)3、MN=M×N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)4、与（3）类似处理M/N=M÷N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)5、与（3）类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)基本性质4推广log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下：由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)换底公式的推导：设e^x=b^m,e^y=a^n则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/yx=ln(b^m),y=ln(a^n)得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] =(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}再由换底公式log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]--------------------------------------------（性质及推导完）函数图象1.对数函数的图象都过(1,0)点.2.对于y=log(a)(n)函数,①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的减小,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.其他性质性质一：换底公式log(a)(N)=log(b){N}/log(b){a}推导如下：N = a^[log(a){N}]a = b^[log(b){a}]综合两式可得N = {b^[log(b){a}]}^[log(a){N}] = b^{[log(a){N}]*[log(b){a}]} 又因为N=b^[log(b){N}]所以 b^[log(b){N}] = b^{[log(a){N}]*[log(b){a}]}所以 log(b){N} = [log(a){N}]*[log(b){a}]...... [这步不明白或有疑问看上面的]所以log(a){N}=log(b){N} / log(b){a}公式二：log(a){b}=1/log(b){a}证明如下：由换底公式 log(a){b}=log(b){b}/log(b){a} ----取以b为底的对数log(a){b}=1 =1/log(b){a} 还可变形得: log(a){b}×log(b){a}=1 在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进制整数或小数的对数。
换底公式
(3)
loga
M N
log a M log a N;
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震 级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震 的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度
分别为I1和I2，由题意得
6.9 0.6 lg I1 ,
loga b logb c logc a 1.(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a 1 lg a lg b lg c
2.利用换底公式求值。
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
3 (1)log6 216 2
(2) log0.5 1 log0.5 4 2
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1) lg(x2 yz 3) 2 lg x lg y 3 lg z
(2) lg
x y3z
1 lg x 3 lg y lg z 2
问题1: 使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”， 如果底不同怎么办？ 问题2: 我们知道科学计算器通常只能对常用对数或自然 对数进行计算，要计算log215，必须将它换成常用对数 或自然对数，如何转换？
2.三个结论：
(1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
复习旧知
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;
log公式数学转换
log公式数学转换对数是数学中一种重要的运算，用于解决指数运算的各种问题。
对数的定义是指数运算的逆运算。
当我们求解指数运算的结果时，可以使用对数来转换问题，从而简化计算。
对数的定义可以表示为：如果 a^b = c，那么 b = log_a(c)。
其中，a 称为底数，b 称为指数，c 称为真数。
在实际应用中，常用的对数有自然对数（以 e 为底数的对数）和常用对数（以 10 为底数的对数）。
自然对数可以用 ln 来表示，常用对数可以用 log 来表示。
下面是一些常用的log公式及其数学转换：1.对数的定义公式：对于任意的实数a，正整数b和正实数x，有以下等式成立：a^b = x等价于 b = log_a(x)2.对数的换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)这个公式允许我们在计算对数时使用不同的底数。
3.对数的乘法公式：log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c)它表示了对数在乘法运算中的分配性。
4.对数的除法公式：log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)这个公式表示了对数在除法运算中的相减性。
5.对数的幂公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)它表示了对数在幂运算中的传递性。
6.对数的根公式：log_a(b^(1/c)) = log_a(b) / c这个公式表示了对数在开方运算中的传递性。
7.自然对数的特殊性质：ln(e) = 1ln(1) = 08.常用对数的特殊性质：log(10) = 1log(1) = 0这些公式和性质可以用于解决各种与对数相关的数学问题。
例如，如果我们需要计算一些数的对数，可以使用对数的换底公式将其转换成以常用对数或自然对数进行计算；如果需要将一个指数问题转换成对数问题，可以使用对数的定义公式进行转换；如果需要计算多个数的对数之和，可以使用对数的乘法公式。
对数在数学和科学中有广泛的应用，例如在指数增长和衰减问题、对数曲线的分析、指数函数的图像绘制等方面。
最新高教版数学教案——换底公式与自然对数
换底公式与自然对数教学目标：1.理解对数换底公式的意义，掌握其推导方法，并能应用公式进行恒等变形，提高解题能力.2.通过一题多解，培养学生的发散思维.3.通过多思、多解、多变的引导，培养学生的综合能力，全面提高学生的素质.教学重点：1.换底公式的证明.2.应用公式的能力.教学难点：证明思路的发现.教学方法：启发式讲授法.教学过程：一、新课引入在对数式的计算与含对数式的证明过程中，常需要把不同的对数化为同底的对数，所以我们现在引进对数的换底公式，即＝(、、均为正数，≠1，≠1).二、讲授新课为了加深对换底公式的记忆与理解，下面我们用多种方法加以证明：证明一：利用指数式与对数式互化(通过一题多解，达到灵活，综合应用的目的，同时，也可打开学生的证明思路).令，＝，则＝，两边数以(＞0，且≠1)为底的对数，得＝ .∵ ≠1，∴ ≠0. ∴ ＝，即＝.证明二：利用对数恒等式令＝，则＝，由对数恒等式，得＝(＞0，≠1).∴ ＝()＝.∵ ≠1，∴ ≠0.化为对数式，得＝·＝，即＝.证明三：利用对数恒等式由对数恒等式知＝(＞0，且≠1).两边同时取以为底的对数，得＝＝·，∵ ≠1，∴ ≠0.∴ ＝.证明四：利用对数恒等式的换元法.由对数恒等式知：＝，＝，＝(＞0，且≠1，＞0，且≠1).∵ ＝＝()＝，∴ ＝·.∴ ＝.证明五：设＝，∴ ＝·＝.∴ ＝，＝，即＝.证明六：令＝＝，＝＝，∴ ()＝＝.∴ ＝·＝·，即＝.注学生还可运用更多的方法证明，这个公式也可根据情况，略讲证明一、二.在科学技术中，常使用以＝2.718 28…为底的对数，以为底的对数叫做自然数，通常记作，根据换底公式，可以得到自然对数与常用对数的关系：≈2.30 26.练习：利用换底公式证明(这组题均可视为换底公式的推广)：(1)＝；(2).证明：(1)(变形·＝1)；(2).熟悉这些由换底公式变形得来的公式，在求对数值，进行对数的恒等变换、解对数方程时，可简化计算过程.例1 求的值.解法一：＝解法二：例2 已知，求.(可以先分析证明思路，后让学生以课外作业的形式完成它.)解法一：(分析，观察已知条件，对数与幂的底均为18，因此联想换底公式，把换成以18为底的对数，沟通条件与结论的联系.)∵ ＝5，∴ .∴ .解法二：(分析，比较题中所求各式中的底数，真数、指数值分别为18、9、5、36、45将它们分解质因数得2、3、5，进而有4、6、9、10、12、15、18等为因数，因此在换底时，可以分别选择它们做对数的底数.)统一换成以2为底，.由＝5.∴ ，代入值，得＝.可以因底的不同选择而有多种不同解法.解法三：(分析：两已知条件中一个为对数形式，一个为指数形式，将其统一为对数形式，应用对数的运算法则进行计算.)＝5∴ ，∴ ＋＝＋,即＝＋或＝＋,(＋)·＝＋,(2－)·＝＋.∴ ＝.解法四：统一为指数式∵ ＝＝9 已知＝5，∴ 45＝·＝.两边取36为底的对数，∴ .＝.以上各种解法，可根据实际情况选用，讲思路后，让学生以课外作业的形式完成.三、小结1.对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具.2.利用对数换底公式，可以把一个对数换成以1之外的任何正数为底数的对数.3.在使用公式时应注意公式成立的条件：＞0，≠1，＞0，≠1，＞0.四、作业第120页练习第3，4，5题，练习第1，4题.。
对数函数求导公式大全
对数函数求导公式大全对数函数是高中数学学科中的常见函数之一、在微积分中，对数函数求导是基础的求导技巧，掌握对数函数的求导公式对于解题和理解函数的性质非常重要。
下面将列举常见的对数函数及其求导公式。
一、自然对数函数（ln x）自然对数函数是以自然数e为底数的对数函数，记作ln x。
自然对数函数的导函数是它自身的倒数，即ln'(x) = 1/x。
用数学符号表示如下：d/dx (ln x) = 1/x二、以a为底的对数函数（logₐx）以a为底的对数函数记作logₐx。
其中，a>0且a≠1，而x>0。
以a 为底的对数函数的导函数与自然对数函数类似，只是需要应用换底公式，用数学符号表示如下：d/dx (logₐx) = 1/(xlna)三、对数函数的换底公式当我们需要对以a为底的对数函数求导时，可以利用换底公式进行计算。
换底公式是指我们可以将以一个底数为a的对数转换成以另一个底数为b的对数，并通过求导公式计算导数。
具体换底公式如下：logₐx = log_bx / log_ba四、对数函数的求导法则对于一些复合函数，我们可以利用链式法则来求导。
对数函数的求导法则包括以下几种情况：1. 形式为ln(u)的函数：如果函数y = ln(u)，其中u是关于x的函数，那么其导数可以用链式法则表示为：dy/dx = 1/u * du/dx2. 形式为logₐ(u)的函数：如果函数y = logₐ(u)，其中u是关于x 的函数，那么其导数可以用链式法则表示为：dy/dx = 1/(u ln a) * du/dx3. 形式为ln，u，的函数：如果函数y = ln，u，其中u是关于x的函数，那么其导数可以用链式法则表示为：dy/dx = 1/u * du/dx (u>0)1/u * du/dx (u<0)需要注意的是，当u为负数时，对数函数是没有定义的，因此负数的对数函数的导数也是没有定义的。
对数函数公式转换
对数函数公式转换对数函数是一种特殊的函数形式，由指数函数逆运算得到。
在常用的对数函数公式中，最经典的是以10为底的常用对数函数和以自然对数e为底的自然对数函数。
1.以10为底的常用对数函数公式为：y = log₁₀(x)这个公式表示，y是以10为底的对数函数，x是自变量。
这个公式的意义是，y表示的是一个数x在以10为底的对数函数中的指数值。
例如，若y=2，则表示x=10²=100。
对数函数的特点是，它将一个数的指数转换为以10为底的对数值。
这种转换能够帮助我们更直观地理解数的大小关系，特别是在处理大数字时更为方便。
2.以自然对数e为底的自然对数函数公式为：y = ln(x)这个公式表示，y是以e为底的自然对数函数，x是自变量。
与常用对数函数类似，这个公式的意义是，y表示的是一个数x在以e为底的自然对数函数中的指数值。
对数函数的公式可以在一定条件下进行转换。
这里我们介绍两种常见的对数函数公式转换方法。
1.换底公式：对于任意的底数a、b和正实数x，满足a>0、b>0、a≠1、b≠1，我们有以下换底公式：logₐ(x) = logₐ(b) · log_b(x)这个公式的意思是：将底数为a的对数转换为底数为b的对数，需要将底数为a的对数值除以底数为b的对数的值。
换底公式是在实际应用中常用的对数函数公式转换方式，特别是当需要将对数底数转换为10或e以外的其他数时。
2.对数函数的幂函数表示：对数函数可以使用幂函数来表示。
以常用对数函数为例，将其转换为幂函数形式，则有：y = log₁₀(x)x=10^y这个公式的意思是：将常用对数函数y = log₁₀(x)转换为x = 10^y，即将对数值y转换为以10为底的指数值。
对数函数的幂函数表示提供了一种直观的理解对数函数的方式，帮助我们更好地理解对数函数和指数函数之间的关系。
综上所述，对数函数公式的转换可以通过换底公式和幂函数形式来实现。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
师：如何换底？
学生分组讨论，思考求x的思路，找出解决问题的方法．
教师在学生探究的基础上给出问题的解答过程．
通过对数的应用例子，提出新的问题激发学生好奇心，提高学生学习兴趣．
提出和本节课密切相关的问题，让学生思考，充分发挥学习小组的作用，展开热烈的讨论．
教学过程
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
在生物科学中，常常要研究某种细胞的分裂问题：
某种细胞第1次分裂，1个分裂为2个，第二次分裂，2个分裂为4个……，问经过多少次分裂，1个这样的细胞分裂的总数为4 096个？
将对数式转化为指数式：
4 096＝2x．
两边取常用对数得
lg 4 096＝lg 2x．
即lg 4 096＝xlg 2
小
结
1．换底公式：
logbN＝loga Nloga b
2．自然对数：lnN
教师总结本节内容之一：换底公式，要理解推导过程，掌握公式内容，会用公式进行比较简单的计算和化简．
点明本节课的重点知识，便于学生记忆．
作
业
必做题：
教材P112，练习A组第2题，练习B组第3题．
选做题：
教材P112，练习B组第1、2题．
练习1、2学生独立完成，教师巡视指导．
练习3、4、5有一定难度，需要小组合作完成，教师巡视指导．
换底公式的证明不做教学要求，教师可针对学生的情况取舍．
使学生对换底公式的底数有清醒的认识即大于零且不等于1．
使学生了解自然对数与常用对数的关系，揭示数学知识的普遍联系．
将例让学生感觉自己是最棒的．
x＝lg 4096lg 2
＝12
教师通过课件展示回顾4.2.1节的引入实例，并提出问题．
师：该问题也就是如果知道最终分裂得到的细胞y＝4 096个，我们能否求出分裂的次数x？
生：log2y＝x．
师：像log24 096这样的对数值，是不能直接从常用对数表中查出也不能用计算器求出的．怎么办？
学生探究问题的解决方式．
面对学生实际，对课后书面作业实施分层设置．
特殊例子的推导为学习后面的换底公式打好基础．
新
课
新
课
一、对数的换底公式
一般地，有下面的公式
logbN＝logaNlogab．
注意
(1)成立前提：
b＞0且b≠1，a＞0，且a≠1．
(2)公式应用：对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具．通常换成以10为底．
二、自然对数
在科学技术中常常使用以无理数e＝2.718 28…为底的对数，以e为底的对数叫做自然对数，记作：lnN．
教案
授课日期
授课班级
授课课时
授课形式
授课章节
名称
使用教具
教学目的
1.掌握换底公式，了解自然对数，能利用换底公式求对数值．
2.培养学生的逻辑思维能力和应用能力．
3．培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．
教学重点
换底公式．
教学难点
利用换底公式求值、化简及证明．
内容更删
课外作业
练习5求证：
logxylogyz＝logxz．
教师板书课题．
教师强调使用换底公式要注意的两个问题，使学生对两项注意有深刻认识．
教师直接给出自然对数定义，注意e是一个常数，是一个无理数．
师：换底公式的第一次应用，换成以10为底．
lnN＝lg Nlg e≈lg N0.4343．
教师指导学生使用计算器求解．
探究
1．利用换底公式如何得到自然对数和常用对数的关系？
2．利用计算器直接计算：
ln 34≈3.526 4．
练习1将下列对数换成以10为底的常用对数．
log26；ln 10．
练习2求下列各式的值
elnx；ln e2．
练习3求值：
log89log2732；log54log85．
练习4化简：log53log27125．
教学后记
本节采用启发引导式教学，并利用多媒体以体现“教师为主导，学生为主体”的教学原则．
通过一个特殊例子导出课题．针对本节课的特点，教师应多引导，多启发，与学生之间进行适当交流和讨论，在应用换底公式时可设定不同层次的题目，让各层次同学都能掌握公式，从而培养学生学习数学的兴趣和运用公式的能力．
授课主要内容或板书设计