中考复习专题圆中切线的证明-切线专题(无答案)
1．已知：如图，以ABC △的边AB 为直径的O 交边AC 于点D ，且过点D 的切线DE 平分边BC ．
（1）求证：BC 是O 的切线；
（2）当ABC △满足什么条件时，以点O 、B 、E 、D 为顶点的四边形是正方形？请说明理由．
A B
C
D E
O
（1）证明：
（2）ABC △满足的条件是 ．
理由：
2．已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．
D
C
O A
B E
3如图，⊙O 的直径AB=6，C 为圆周上的一点，BC=3.过点C 作⊙O 的切线GE ，作AD ⊥GE 于点D ，交⊙O 于点F.
（1）求证：∠ACG=∠B
（2）计算线段AF 的长.
4．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点D 是BC 的中点，DP AC ,垂足为点P .求证：PD 是⊙O 的切线. D
B
O C A P
B
A C
E
D
F O G
5、如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AC 平分∠DAB 。
（1） 求证：AD ⊥CD ；
（2） 若AD=3，AC=15，求AB 的长。
6．如图，已知AD 是O 的切线，切点为D AC ，经过圆心O ，交O 于B C ，两点，弦DE AC ⊥，垂足为F ，30A ∠=．
（1）求BED ∠的度数；
（2）DCE △是否是等边三角形？请说明理由；
（3）若O 的半径2R =，试求CE 的长．
7.如图，割线ABC 与⊙O 相交于B 、C 两点，D 为⊙O 上一点，E 为弧BC 的中点，OE 交BC 于点F ，DE
交AC 于G ，∠ADG ＝∠AGD.
(1)求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若AB=2,AD=4,BC=6,EG=2，求⊙O 的半径.
A B
C D
E
O F
A D
C O E B G F
8.如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于A 、C 两点，点D 在⊙O 上，∠A ＝∠B ＝30°.
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若点N 在⊙O 上，且DN ⊥AB ，垂足为M ， NC=10，求AD 的长
9已知：如图（1）AB 是⊙O 的直径，CB ⊥AB ，AC 交⊙O 于E ，D 是的BC 的中点，求证：直线DE 是⊙O 的切线。
10.如图，在△ABC 中, AB=AC, 以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D, 过点D 作DE ⊥AC 于E.判断DE 与⊙O 的位置关系, 并证明．
A
E
D C
O
B
11．如图，CA 和CB 都是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，连结OC 交弦AB 于点D, 已知⊙O 的半径为4，
弦AB=43．
（1）求证：OC 垂直平分AB ；
（2）求AC 的长． D O
C
B
A
12．如图： BC 是⊙O 的直径，BD=CD, AD=DC.
(1)求证:AB 是⊙O 的切线.
(2)若AC ＝24cm ，求⊙O 的半径．
D
O C
B A
13．如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA ⊥OB ，P 是OA 上任一点，BP 的延长线交⊙O 于点Q ，过点Q 作 QR 与OA 延长线交于点R , 且PR=QR.
（1）求证：QR 是⊙O 的切线；
（2）若OP ＝PA ＝1，试求RQ 的长.
O R
Q P
B
A
⌒ ⌒
14.如图:AB是⊙O的直径，点D是⊙O上的一点,过D作一条直线交AB的延长线于C.
(1)请添加一个条件, 使DC是⊙O的切线。
(2)利用题中的条件及你添加的条件, 证明: DC是⊙O的切线.
D
C
O B
A
15.已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A
的直线交于B点，OC = BC，AC =1
2 OB
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD =45º，OC =2，求弦CD的长.。
中考专题复习[33]ZZzzl圆的切线的证明
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证明：作CE⊥AB于E，
连接AC、OC、BC， ∵ AB是⊙O的直径，
D
C
1 3 2
A E
O
B
∴ ∠ACB = 90°，∴ ∠2 + ∠ACO = 90°，
又∵ CD是⊙O的切线，∴ OC⊥DC， ∴ ∠1 + ∠ACO = ∠DCO = 90°， ∴ ∠1 = ∠2， 又∵ OC = OB，∴ ∠2 = ∠B，∴ ∠1 = ∠B，
A O C E B D
∵ ∠B = ∠D， ∠CAE = ∠B，
∴ ∠D = ∠CAE，
∴ ∠CAE + ∠DAC = ∠D + ∠DAC = 90°， 即∠DAE = 90°， ∴ OA⊥AE， ∴ AE是⊙O的切线.
3
二、例题讲解 2. 如图，AB是半圆⊙O的直径，C为半圆上的一点，CD切⊙O 于点C，AD⊥CD于D，以C为圆心CD为半径作圆C， 求证：AB是⊙C的切线.
又AC = AC， ∠CDA = ∠CEA = 90°，
∴ △ACD≌△ACE，
∴ CE = CD， ∴ AB是⊙C的切线.
5
三、巩固练习 1. 如图，已知∠AOB = 30°，M是OA边上任意一点，以M为 圆心，2 cm为半径作⊙M，当OM = ____ 4 cm时，⊙M与OB
相切.
分析：作MC⊥OB于C， 当MC = 2 cm时，⊙M与OB相切， ∵ ∠O = 30°， ∴ OM = 2MC = 2×2 = 4(cm)
O M
）30°
A
C
B
6
三、巩固练习 2. 如图AB是⊙O的直径，OD⊥BC与弦BC于点F，交⊙O于E， ∠AEC = ∠ODB， （1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明；
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用(一)
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用（一）一．选择题1．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB＝BC＝3，则PA的长是（）A．9 B．3 C．D．182．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，且PA＝2，BC＝2PB，那么PB 的长为（）A．2 B．C．4 D．3．如图，⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA＝6，AB＝4，PC＝5，则CD＝（）A．B．C．7 D．244．如图，已知P为⊙O外一点，PO交⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，且PB ＝BC，若OA＝7，PA＝4，则PB的长等于（）A．B．C．6 D．5．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝8，那么PA的长为（）A．2 B．4 C．6 D．6．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE ＝5，则DE的长为（）A．3 B．4 C．D．7．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX•AY＝4，则图中圆环的面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π8．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（）A．6 B．7 C．8 D．99．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（）A．B．C．D．410．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB ＝60°，PA＝8，那么点P与O间的距离是（）A．16 B．C．D．二．填空题11．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB 延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS＝．12．如图，过点P引圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆于点A，B和C，D，连接AC，BD，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你认为成立的比例式的序号都填上）．13．如图，割线PAB与⊙O交于点A、B，割线PCD与⊙O交于点C、D，PA＝PC，PB＝3cm，则PD＝cm．14．如图，过⊙O外一点P作两条割线，分别交⊙O于A，B和C，D．已知PA＝2，PB ＝5，PD＝8，则PC的长是．15．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC 的平分线交BC于D点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．三．解答题16．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E．若AB＝CD＝2，求CE的长．17．如图所示，⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，CE⊥AB于点E，FE交⊙O于G．解答下列问题：（1）若BC＝10，BE＝8，求CD的值；（2）求证：DF•DB＝EG•EF．18．如图1，已知Rt△ABC的直角边AC的长为2，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，过D点作⊙O的切线（1）求证：BE＝DE；（2）延长DE与AC的延长线交于点F，若DF＝，求△ABC的面积；（3）从图1中，显然可知BC＜AC．试分别讨论在其它条件不变，当BC＝AC（图2）和BC＞AC（图3）时，直线DE与直线AC还会相交吗？若不能相交，请简要说明理由；若能相交，设交点为F'且DF'＝，请再求出△ABC的面积．19．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O 于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．20．如图PAB、PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径．（1）如图甲，若PA＝8，PC＝10，CD＝6．①求sin∠APC的值；②sin∠BOD＝；（2）如图乙，若AC∥OD．①求证：CD＝BD；②若，试求cos∠BAD的值．参考答案一．选择题1．解：∵PB＝BC＝3，∴PC＝6，∵PA2＝PB•PC＝18，∴PA＝3，故选：C．2．解：设PB＝x，则PC＝3x，∵PA2＝PB•PC，PA＝2，BC＝2PB，∴x•3x＝12，∴x＝2．故选：A．3．解：由于PAB、PCD都是⊙O的割线，根据切割线定理可得：PA•PB＝PC•PD，即PA•（PA+PB）＝PC•PD，∵PA＝6，AB＝4，PC＝5，∴PD＝12，即CD＝PD﹣PC＝7；故选：C．4．解：延长PO交圆于D；设PB＝BC＝x，∵PB•PC＝PA•PD，PB＝BC，OA＝7，PA＝4，∴x•2x＝72，∴x＝6．故选：C．5．解：∵PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，∴PA2＝PB•PC＝16，即PA＝4；故选：B．6．解：连接CE；∵，∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，∴AD＝5；由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，故选：D．7．解：过点A作圆的切线AD，切点是D，∵AD2＝AX•AY，AX•AY＝4，∴AD＝2，∴圆环的面积＝πAD2＝4π．故选：C．8．解：∵PB，PD是⊙O的割线，∴PA•PB＝PC•PD，∵PA＝2，PC＝CD＝3，∴2PB＝3×6解得：PB＝9．故选：D．9．解：如图，若，且AB＝10，∴AD＝4，BD＝6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB＝A′B，∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．而A′C•A′A＝A′D′•A′B，即A′C•2A′C＝4×10＝40．则A′C2＝20，又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，∴CB＝4．故选：A．10．解：连接OA，OP∵PA，PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，∴∠OPA＝∠APB＝30°，OA⊥OP，∴OP＝＝＝，∴点P与O间的距离是．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：连接OQ交AB于M，则OQ⊥AB，连接OA，则OA⊥AQ．∵∠QMP＝∠QSP＝90°，∴S，P，Q，M四点共圆，故OS•OP＝OM•OQ．又∵OM•OQ＝OA2＝2，∴OS•OP＝2．故答案为：2．12．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠PAD＝∠C，∠PAD＝∠B∴△PAD∽△PCB根据相似三角形的对应边的比相等，得到②③是正确的．13．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝PC，PB＝3cm∴PB＝PD＝3cm．14．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝2，PB＝5，PD＝8∴PC＝＝．15．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．三．解答题（共5小题）16．解：如图，由切割线定理，得CD2＝CB•CA，（2分）CD2＝CB（AB+CB），CB2+2CB﹣4＝0，解得CB＝（负数舍去）连接OD，则OD⊥CD，又EB与⊙O相切，∴EB⊥OC，∴Rt△ODC∽Rt△EBC，（6分）于是，即∴CE＝．17．（1）解：∵AB为直径，BD⊥CD∴∠ABC+∠A＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°∵CD为⊙O切线∴∠BCD＝∠A∴∠ABC＝∠BCD∵CD⊥BD，CE⊥BE∴CE＝CD∴CE＝＝6∴CD＝6（2）证明：∵CD为切线，BD为割线∴CD2＝DF•DB①∵∠ACB＝90°，CE⊥AB∴RT△ACE∽RT△CBE∴CE2＝EA•EB②∵EG•EF＝EA•EB③由①②③及CD＝CE得DF•DB＝EG•EF．18．（1）证明：连接OD，∴OD⊥DE，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE；（2）解：在直角三角形ODF中，OD＝1，DF＝，∴∠OFD＝30°，∴OF＝2，AF＝3．∴tan∠A＝，∴BC＝AC•tan∠A＝2×tan30°＝．S△ABC＝AC•BC＝×2×＝；（3）解：如图，当BC＝AC时，直线DE与直线AC平行；当BC＞AC时，在直角三角形ODF′中，OD＝1，DF′＝，∴∠OF′D＝30°，∴OF′＝2，AF＝1，∴CF′＝3，∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan∠BAC＝2×tan60°＝2．S△ABC＝AC•BC＝×2×2＝2．19．（1）证明：∵PF与⊙O相切，∴PF2＝PD•PA．∵PE＝PF，∴PE2＝PD•PA．∴PE：PD＝PA：PE．∵∠APE＝∠APE，∴△EPD∽△APE．∴∠PED＝∠A．∵∠ECB＝∠A，∴∠PED＝∠ECB．∴PE∥BC．（2）解：PE与BC仍然平行．证明：画图如图，∵△EPD∽△APE，∴∠PEA＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B．∴PE∥BC．20．解：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．①根据垂径定理，得CE＝3．设圆的半径是r．根据勾股定理，得OP2﹣PE2＝OC2﹣CE2，（8+r）2﹣169＝r2﹣9，解得r＝6．则OE＝3．则sin∠APC＝＝；②设OF＝x．根据勾股定理，得PD2﹣PF2＝OD2﹣OF2，256﹣（14+x）2＝36﹣x2，解得x＝．所以DF＝．所以sin∠BOD＝＝＝．（2）①∵AC∥OD，∴∠1＝∠2．又OA＝OD，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．所以弧CD＝弧BD，所以CD＝BD；②∵AC∥OD，∴＝．又CD＝BD，AB＝2OA，∴＝．∴cos∠BAD＝＝．。
最新中考总复习圆的切线专题
题型专项(八)与切线有关的证明与计算类型1与全等三角形有关1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，交于BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为点M.求证：(1)△ACO≌△BDO；(2)CE＝DF.证明：(1)∵AC，BD分别是⊙O的切线，∴∠A＝∠B＝90°.又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，∴△ACO≌△BDO.(2)∵△ACO≌△BDO，∴OC＝OD.又∵OM⊥CD，∴CM＝DM.又∵OM⊥EF，点O是圆心，∴EM＝FM.∴CM－EM＝DM－FM.∴CE＝DF.2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB 的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.(1)求证：△CDQ是等腰三角形；(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°.∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°.∵CD是⊙O的切线，CO是半径，∴CD⊥CO.∴∠DCQ＝∠BCO＝30°.∴∠DCQ＝∠Q.故△CDQ是等腰三角形．(2)设⊙O的半径为1，则AB＝2，OC＝1，BC＝ 3.∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ＝CB＝ 3.∴AQ ＝AC ＋CQ ＝1＋ 3. ∴AP ＝12AQ ＝1＋32.∴BP ＝AB －AP ＝3－32.∴PO ＝AP －AO ＝3－12. ∴BP ∶PO ＝ 3.3．(2016·柳州)如图，AB 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，点P 是线段CA 的延长线上一点，点E 在弧上且满足PE 2＝PA ·PC ，连接CE ，AE ，OE 交CA 于点D. (1)求证：△PAE ∽△PEC ； (2)求证：PE 为⊙O 的切线；(3)若∠B ＝30°，AP ＝12AC ，求证：DO ＝DP.证明：(1)∵PE 2＝PA·PC ， ∴PE PC ＝PA PE. 又∵∠APE ＝∠EPC ，∴△PAE ∽△PEC.(2)∵△PAE ∽△PEC ，∴∠PEA ＝∠PCE. ∵∠PCE ＝12∠AOE ，∴∠PEA ＝12∠AOE.∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA.∵∠AOE ＋∠OEA ＋∠OAE ＝180°， ∴∠AOE ＋2∠OEA ＝180°， 即2∠PEA ＋2∠OEA ＝180°. ∴∠PEA ＋∠OEA ＝90°. ∴PE 为⊙O 的切线．(3)设⊙O 的半径为r ，则AB ＝2r.∵∠B ＝30°，∠PCB ＝90°，∴AC ＝r ，BC ＝3r. 过点O 作OF ⊥AC 于点F ， ∴OF ＝32r.∵AP ＝12AC ， ∴AP ＝r 2.∵PE 2＝PA·PC ，∴PE ＝32r.在△ODF 与△PDE 中，⎩⎨⎧∠ODF ＝∠PDE ，∠OFD ＝∠PED ，OF ＝PE ，∴△ODF ≌△PDE.∴DO ＝DP. 类型2 与相似三角形有关4．(2016·泰州)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，在D 为AB 上一点，以CD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，交⊙O 于点F ，连接DF ，∠CAE ＝∠ADF. (1)判断AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若PF ∶PC ＝1∶2，AF ＝5，求CP 的长．解：(1)AB 是⊙O 切线． 理由：∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋∠CEA ＝90°.∵∠CAE ＝∠ADF ，∠CDF ＝∠CEA ，∴∠ADF ＋∠CDF ＝90°. ∴AB 是⊙O 切线． (2)连接CF.∵∠ADF ＋∠CDF ＝90°，∠PCF ＋∠CDF ＝90°， ∴∠ADF ＝∠PCF. ∴∠PCF ＝∠PAC. 又∵∠CPF ＝∠APC ， ∴△PCF ∽△PAC.∴PC PA ＝PFPC .∴PC 2＝PF·PA.设PF ＝a ，则PC ＝2a. ∴4a 2＝a(a ＋5)． ∴a ＝53.∴PC ＝2a ＝103.5．(2015·北海)如图，AB ，CD 为⊙O 的直径，弦AE ∥CD ，连接BE 交CD 于点F ，过点E 作直线EP 与CD 的延长线交于点P ，使∠PED ＝∠C. (1)求证：PE 是⊙O 的切线； (2)求证：ED 平分∠BEP ；(3)若⊙O 的半径为5，CF ＝2EF ，求PD 的长．解：(1)证明：连接OE. ∵CD 是圆O 的直径， ∴∠CED ＝90°. ∵OC ＝OE ， ∴∠C ＝∠OEC. 又∵∠PED ＝∠C ，∴∠PED ＝∠OEC.∴∠PED ＋∠OED ＝∠OEC ＋∠OED ＝90°，即∠OEP ＝90°. ∴OE ⊥EP.又∵点E 在圆上，∴PE 是⊙O 的切线．(2)证明：∵AB ，CD 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝∠CED ＝90°.∴∠AEC ＝∠DEB(同角的余角相等)． 又∵∠PED ＝∠C ，AE ∥CD ， ∴∠PED ＝∠DEB ， 即ED 平分∠BEP.(3)设EF ＝x ，则CF ＝2x. ∵⊙O 的半径为5，∴OF ＝2x －5.在Rt △OEF 中，OE 2＝EF 2＋OF 2，即52＝x 2＋(2x －5)2，解得x ＝4， ∴EF ＝4.∴BE ＝2EF ＝8，CF ＝2EF ＝8. ∴DF ＝CD －CF ＝10－8＝2. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°. ∵AB ＝10，BE ＝8，∴AE ＝6.∵∠BEP ＝∠A ，∠EFP ＝∠AEB ＝90°， ∴△EFP ∽△AEB. ∴PF BE ＝EF AE ，即PF 8＝46. ∴PF ＝163. ∴PD ＝PF －DF ＝163－2＝103.6．(2014·桂林)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，∠PAC ＝∠B ，AD 为⊙O 的直径，过点C 作CG ⊥AD 于点E ，交AB 于点F ，交⊙O 于点G. (1)判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)求证：AG 2＝AF·AB ；(3)若⊙O 的直径为10，AC ＝25，AB ＝45，求△AFG 的面积．解：(1)PA 与⊙O 相切． 理由：连接CD.∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∴∠D ＋∠CAD ＝90°. ∵∠B ＝∠D ，∠PAC ＝∠B ，∴∠PAC ＝∠D.∴∠PAC ＋∠CAD ＝90°，即DA ⊥PA. ∵点A 在圆上，∴PA 与⊙O 相切． (2)证明：连接BG .∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ， ∴AC ︵＝AG ︵.∴∠AGF ＝∠ABG . ∵∠GAF ＝∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG . ∴AG ∶AB ＝AF ∶AG .∴AG 2＝AF·AB. (3)连接BD.∵AD 是直径，∴∠ABD ＝90°.∵AG 2＝AF·AB ，AG ＝AC ＝25，AB ＝45， ∴AF ＝AG 2AB＝ 5.∵CG ⊥AD ，∴∠AEF ＝∠ABD ＝90°. ∵∠EAF ＝∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴AE AB ＝AF AD ，即AE 45＝510，解得AE ＝2. ∴EF ＝AF 2－AE 2＝1. ∵EG ＝AG 2－AE 2＝4， ∴FG ＝EG －EF ＝4－1＝3. ∴S △AFG ＝12FG·AE ＝12×3×2＝3.类型3 与锐角三角函数有关7．(2014·梧州)如图，已知⊙O 是以BC 为直径的△ABC 的外接圆，OP ∥AC ，且与BC 的垂线交于点P ，OP 交AB 于点D ，BC ，PA 的延长线交于点E. (1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)若sin ∠E ＝35，PA ＝6，求AC 的长．解：(1)证明：连接OA.∵AC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OAC ，∠BOP ＝∠OCA. ∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC.∴∠AOP ＝∠BOP. 又∵OA ＝OB ，OP ＝OP ，∴△AOP ≌△BOP.∴∠OAP ＝∠OBP.∵BP ⊥CB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.∴OA ⊥PA. ∴PA 是⊙O 的切线．(2)∵PB ⊥CB ，∴PB 是⊙O 的切线． 又∵PA 是⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ＝6.又∵sin E ＝PB EP ＝AO EO ＝35，∴AO ＝3.在Rt △OPB 中，OP ＝62＋32＝3 5. ∵BC 为⊙O 直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠CAB ＝∠OBP ＝90°，∠OCA ＝∠BOP. ∴△ACB ∽△BOP.∴AC BO ＝CBOP .∴AC ＝CB·BO OP ＝1835＝655.8．(2015·来宾)已知⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，连接AD ，BD ，BD 交AC 于点F.(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2)延长AC 到点P ，使PF ＝PB ，求证：PB 是⊙O 的切线； (3)如果AB ＝10，cos ∠ABC ＝35，求AD.解：(1)证明：∵OD ∥BC ， ∴∠ODB ＝∠CBD. ∵OB ＝OD ， ∴∠OBD ＝∠ODB. ∴∠CBD ＝∠OBD. ∴BD 平分∠ABC.(2)证明：∵⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆， ∴∠ACB ＝90°.∴∠CFB ＋∠CBF ＝90°. ∵PF ＝PB ，∴∠PBF ＝∠CFB. 由(1)知∠OBD ＝∠CBF ，∴∠PBF ＋∠OBD ＝90°.∴∠OBP ＝90°. ∴PB 是⊙O 的切线．(3)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10， ∴cos ∠ABC ＝BC AB ＝BC 10＝35.∴BC ＝6，AC ＝AB 2－BC 2＝8.∵OD ∥BC ，∴△AOE ∽△ABC ，∠AED ＝∠OEC ＝180°－∠ACB ＝90°. ∴AE AC ＝OE BC ＝AO AB ，AE 8＝OE 6＝510. ∴AE ＝4，OE ＝3. ∴DE ＝OD －OE ＝5－3＝2.∴AD ＝AE 2＋DE 2＝42＋22＝2 5.9．(2016·柳州模拟)如图，已知：AC 是⊙O 的直径，PA ⊥AC ，连接OP ，弦CB ∥OP ，直线PB 交直线AC 于点D ，BD ＝2PA.(1)证明：直线PB 是⊙O 的切线；(2)探究线段PO 与线段BC 之间的数量关系，并加以证明； (3)求sin ∠OPA 的值．解：(1)证明：连接OB. ∵BC ∥OP ，OB ＝OC ， ∴∠BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠POB ，∠BCO ＝∠CBO.∴∠POA ＝∠POB.又∵PO ＝PO ，OB ＝OA ， ∴△POB ≌△POA.∴∠PBO ＝∠PAO ＝90°. ∴PB 是⊙O 的切线．(2)2PO ＝3BC.(写PO ＝32BC 亦可)证明：∵△POB ≌△POA ，∴PB ＝PA. ∵BD ＝2PA ，∴BD ＝2PB.∵BC ∥PO ，∴△DBC ∽△DPO. ∴BC PO ＝BD PD ＝23.∴2PO ＝3BC. (3)∵CB ∥OP ，∴△DBC ∽△DPO.∴DC DO ＝BD PD ＝23，即DC ＝23OD. ∴OC ＝13OD.∴DC ＝2OC.设OA ＝x ，PA ＝y.则OD ＝3x ，OB ＝x ，BD ＝2y.在Rt △OBD 中，由勾股定理得(3x)2＝x 2＋(2y)2，即2x 2＝y 2. ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＝2x ，OP ＝x 2＋y 2＝3x. ∴sin ∠OPA ＝OA OP ＝x 3x ＝13＝33.类型4 与特殊四边形有关10．(2016·玉林)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在圆上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，分别交OA 延长线与OC 延长线于点E ，F ，连接BF.(1)求证：BF 是⊙O 的切线；(2)已知圆的半径为1，求EF 的长． 解：(1)证明：连接OD. ∵EF 为⊙O 的切线，∴∠ODF ＝90°.∵四边形AOCD 为平行四边形， ∴AO ＝DC ，AO ∥DC. 又∵DO ＝OC ＝OA ， ∴DO ＝OC ＝DC.∴△DOC 为等边三角形． ∴∠DOC ＝∠ODC ＝60°. ∵DC ∥AO ，∴∠AOD ＝∠ODC ＝60°.∴∠BOF ＝180°－∠COD －∠AOD ＝60°. 在△DOF 和△BCF 中，⎩⎨⎧DO ＝BO ，∠DOF ＝∠BOF ，OF ＝OF ，∴△DOF ≌△BOF.∴∠ODF ＝∠OBF ＝90°. ∴BF 是⊙O 的切线．(2)∵∠DOF ＝60°，∠ODF ＝90°， ∴∠OFD ＝30°.∵∠BOF ＝60°，∠BOF ＝∠CFD ＋∠E ，∴∠E＝∠OFD＝30°.∴OF＝OE.又∵OD⊥EF，∴DE＝DF.在Rt△ODF中，∠OFD＝30°.∴OF＝2OD.∴DF＝OF2－OD2＝22－12＝ 3.∴EF＝2DF＝2 3.11．(2016·宁波)如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长．解：(1)证明：连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO.∴∠ODA＝∠DAE.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O切线．(2)过点O作OF⊥AC于点F.∴AF＝CF＝3.∴OF＝OA2－AF2＝52－32＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形．∴DE＝OF＝4.12．(2015·桂林)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的两条切线，C，D为切点．(1)如图1，求⊙O的半径；(2)如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；(3)如图2，若点M是BC边上任意一点(不含B，C)，以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN＝90°，交直线CP于点N，求证：AM＝MN.解：(1)连接OD ，OC.∵PC ，PD 是⊙O 的两条切线，C ，D 为切点， ∴∠ODP ＝∠OCP ＝90°.∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形， ∴∠DOC ＝90°，OD ＝OC. ∴四边形DOCP 是正方形．∵AB ＝4，∠ODC ＝∠OCD ＝45°， ∴DO ＝CO ＝DC·sin 45°＝4×22＝2 2. (2)连接EO ，OP.∵点E 是BC 的中点，∴OE ⊥BC ，∠OCE ＝45°， 则∠EOP ＝90°.∴EO ＝EC ＝2，OP ＝2CO ＝4.∴PE ＝OE 2＋OP 2＝2 5.(3)证明：在AB 上截取BF ＝BM.∵AB ＝BC ，BF ＝BM ，∴AF ＝MC ，∠BFM ＝∠BMF ＝45°.∵∠AMN ＝90°，∴∠AMF ＋∠NMC ＝45°，∠FAM ＋∠AMF ＝45°. ∴∠FAM ＝∠NMC.∵由(1)得PD ＝PC ，∠DPC ＝90°，∴∠DCP ＝45°.∴∠MCN ＝135°.∵∠AFM ＝180°－∠BFM ＝135°，在△AFM 和△MCN 中，⎩⎨⎧∠FAM ＝∠CMN ，AF ＝MC ，∠AFM ＝∠MCN ，精品文档∴△AFM≌△MCN(ASA)．∴AM＝MN.精品文档。
专题31 证明切线的方法问题(原卷版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练
专题31 证明切线的方法问题【规律总结】法一：运用判定定理是证明切线最常用的方法,即如果直线与圆有交点,则连接交点与圆心得半径,只要证明这条半径与该直线垂直即可.这种方法可简单概括为:连半径,证垂直.法二：当不明确直线与圆的交点个数或交点的位置时,可以经过圆心作直线的垂线,然后证明圆心到直线的距离等于圆的半径即可.这种方法可简单概括为:作垂线,证半径.【典例分析】例1．（2017·河南九年级其他模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE 、BD 的延长线交于点C ，若CE ＝2，则图中阴影部分的面积为___．【答案】43π 【分析】结合题意，利用三角形边长关系，得出△OAE 、△ODE 、△OBD 、△CDE 都是等边三角形，将阴影部分的面积转化为三角形的面积，然后利用扇形面积，建立等式，计算结果，即可.【详解】连接OE 、OD ，点D 、E 是半圆的三等分点，△△AOE ＝△EOD ＝△DOB ＝60°△OA ＝OE ＝OD ＝OB△△OAE 、△ODE 、△OBD 、△CDE 都是等边三角形，△AB △DE ，S △ODE ＝S △BDE ；△图中阴影部分的面积＝S 扇形OAE ﹣S △OAE +S 扇形ODE ＝2260222360π⨯-=43π故答案为43π-【点睛】考查圆综合问题，考查等边三角形的判定，关键将阴影部分面积转化为苛求的三角形面积，难度中等．例2．（2020·云梦县实验外国语学校九年级月考）如图，AB 是⊙O 的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦//AD OC ，弦DF AB ⊥于点G ．（1）求证：点E 是弧BD 的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）若6AD =，⊙O 的半径为5，求弦DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）9.6DF =．【分析】（1）连接OD ，由同圆半径相等和平行线性质证明DOC BOC ∠=∠可证E 是弧BD 的中点；（2）先证明△OCD△△OCB 得到△ODC=△OBC=90°，然后根据切线的判定方法得到结论；（3）连接BD ，先根据垂径定理得到DG=FG ，再利用圆周角定理得到△ADB=90°，则可根据勾股定理计算出BD ，然后利用面积法计算出DG ，从而得到DF 的长．【详解】（1）证明：连接OD ，如图△OA OD =，△OAD ODA ∠=∠，又△//AD OC ，△OAD BOC ∠=∠，DOC ODA ∠=∠，△DOC BOC ∠=∠，△DE =BE△点E 为弧BD 的中点（2）证明：△在BOC 与DOC ∆中，OD OB DOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()BOC DOC SAS △△≌， △90CDO CBO ∠=∠=︒，△CD 为△О的切线．（3）△AB DF ⊥，△2DG DF =．设AG x =，则5OG x =-，在Rt ADG 和Rt ODG 中，由勾股定理得：2222AD AG OD DG -=-222265(5)x x -=--， 解得：185x =．△ 4.8DG == △29.6==DF DG【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了圆周角定理和垂径定理．例3．（2021·辽宁葫芦岛市·九年级期末）如图：ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，点F 在AC 的延长线上，12CBF BAC ∠=∠．（1）求证：直线BF 是O 的切线；（2）若2FC =，6BF =，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）1.6【分析】（1）连接AD ，根据直角所对圆周角是直角可得△BAD 与ABD 的和是90°，再根据等腰三角形的性质可得△BAD 是△BAC 的一半，结合已知条件即可得到结论；（2）连接BE ，设AC=m ，在Rt△ABF 中由勾股定理即可得到AB 和AC 的长，再证ABE AFB ∆∆，得到AE 的长，即可得到CE 的长；【详解】（1）证明：连接AD ，△AB 是O 的直径，△90ADB ∠=︒，△90BAD ABD ∠+∠=︒，△AB AC =，△12BAD BAC ∠=∠， △12CBF BAC ∠=∠， △CBF BAD ∠=∠，△90CBF ABD ∠+∠=︒，△90ABF ∠=︒，即BF OB ⊥，△OB 是O 的半径， △BF 是O 的切线．（2）设AB AC m ==，则2AF AC CF m =+=+，在Rt ABF ∆中，△222BF AB AF +=，△()22262m m +=+，解得8m =，△8AB AC ==，8210AF =+=，连接BE ，△AB 是O 的直径，△90AEB =︒∠，△90AEB ABF ∠=∠=︒，又△BAE FAB ∠=∠，△ABE AFB ∆∆， △AB AE AF AB=，△228 6.410AB AE AF === △8 6.4 1.6CE AC AE =-=-=．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定，相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似，由勾股定理得出方程是解题的关键．【好题演练】一、填空题1．（2019·山东德州市·九年级二模）如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝13，AC ＝5，则tan⊙ADC ＝_____．2．（2015·山西九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线与以O 点为圆心，1为半径的圆的位置关系为__．二、解答题3．（2021·广东潮州市·九年级期末）如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE PO ⊥交PO 延长线于点E ，连接OC ，PB ，已知6PB =，DB=8，EDB EPB ∠=∠．（1）求证：PB 是O 的切线； （2）求O 的半径．（3）连接BE ，求BE 的长．4．（2020·河南漯河市·九年级期末）如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象的顶点坐标是()2,1，并且经过点()4,2，直线516y x =+与抛物线交于B ，D 两点，以BD 为直径作圆，圆心为点C ，圆C 与直线m 交于对称轴右侧的点(),1M t ，直线m 上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C 与x 轴相切；（3）过点B 作BE m ⊥，垂足为E ，再过点D 作DF m ⊥，垂足为F ，求MF 的值．（或者求BE MF的值）5．（2020·厦门大学附属科技中学九年级月考）如图1，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，AC 与BD 交于点E ，且AE AB =．（1）若DA DB =，求证：AB CB =；△，点A经过的路径为弧AF，若（2）如图2，ABC绕点C逆时针旋转30得到FGCAC ，求图中阴影部分四边形CBHG的面积；4（3）在（2）的条件下，连接FB，求证：FB为O的切线．。
2022年中考数学大题圆证明切线的两种常用方法及专项练习题汇总
2022中考数学圆综合大题证明切线的两种常用方法类型1直线与圆有交点方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．【例1】如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切．1．(朝阳中考)如图，AB是⊙O的弦，OA⊥OD，AB，OD交于点C，且CD＝BD.(1)判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)当OA＝3，OC＝1时，求线段BD的长．2．(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．3．(毕节中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．类型2不确定直线与圆是否有公共点方法归纳：直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等．【例2】如图，AB＝AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切．4．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC 相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切．5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)求线段AC的长．参考答案【例1】 证明：法一：连接OD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵OB ＝OD ，∴∠BDO ＝∠B.∴∠BDO ＝∠C.∴OD ∥AC.∵DM ⊥AC ，∴DM ⊥OD.∴DM 与⊙O 相切．法二：连接OD ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC.∵AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠CAD.∵DM ⊥AC ，∴∠CAD ＋∠ADM ＝90°.∵OA ＝OD ，∴∠BAD ＝∠ODA.∴∠ODA ＋∠ADM ＝90°.即OD ⊥DM ，∴DM 是⊙O 的切线．1.(1)连接OB ，∵OA ＝OB ，∴∠OAC ＝∠OBC.∵OA ⊥OD ，∴∠AOC ＝90°.∴∠OAC ＋∠OCA ＝90°.∵DC ＝DB ，∴∠DCB ＝∠DBC.∵∠DCB ＝∠ACO ，∴∠ACO ＝∠DBC.∴∠DBC ＋∠OBC ＝90°.∴∠OBD ＝90°.∵点B 是半径OB 的外端，∴BD 与⊙O 相切．(2)设BD ＝x ，则CD ＝x ，OD ＝x ＋1，OB ＝OA ＝3，由勾股定理得：32＋x 2＝(x ＋1)2.解得x ＝4.∴BD ＝4.2.(1)连接BD ，则∠DBE ＝90°.∵四边形BCOE 是平行四边形，∴BC ∥OE ，BC ＝OE ＝1.在Rt △ABD 中，C 为AD 的中点，∴BC ＝12AD ＝1.∴AD ＝2.(2)BC 是⊙O 的切线，理由如下：连接OB ，由(1)得BC ∥OD ，且BC ＝OD.∴四边形BCDO 是平行四边形．又∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD.∴四边形BCDO 是矩形．∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．3.(1)连接OA ，OD ，∵D 为BE 的下半圆弧的中点，∴∠FOD＝90°.∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠AFC.∵∠AFC＝∠OFD，∴∠CAF＝∠OFD.∵OA＝OD，∴∠ODF＝∠OAF.∵∠FOD＝90°.∴∠OFD＋∠ODF＝90°.∴∠OAF＋∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°.∴AC与⊙O相切．(2)∵半径R＝5，EF＝3，∴OF＝OE－EF＝5－3＝2.在Rt△ODF中，DF＝52＋22＝29.【例2】法一：连接DE，作DF⊥AC，垂足为F.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF＝DE.∴F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线．法二：连接DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足．∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠DAB＝∠DAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∴F在⊙D上，∴AC与⊙D相切．4.证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，∵⊙O与BC相切于M，∴OM⊥BC.∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，又∵ON⊥CD，OM⊥BC，∴OM＝ON.∴N在⊙O上．∴CD与⊙O相切．5.(1)证明：过点D作DF⊥AC于F.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD＝DF.∴点F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线．(2)在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)，∴EB＝FC.∵AB＝AF，∴AB＋EB＝AF＋FC，即AB＋EB＝AC，∴AC＝5＋3＝8.2022年中考数学复习专题---圆中阴影面积计算班级：___________姓名：___________学号：___________1．如图，直线y kx b=+经过点M(1，√3)和点N(1−，3√3)，A、B是此直线与坐标轴的交点．以AB为直径作⊙C，求此圆与y轴围成的阴影部分面积．2．如图，AAAA是⊙OO的直径，CC,DD是圆上两点，且有BD�=CCDD�，连结AADD,AACC，作DDDD⊥AACC的延长线于点DD．(1)求证：DDDD是⊙OO的切线；(2)若AADD=2√3,∠AADDDD=60∘，求阴影部分的面积．（结果保留ππ）3．如图，AAAA是圆OO的直径，AACC⊥AAAA，DD为圆OO上的一点，AACC=DDCC，延长CCDD交AAAA的延长线于点DD.(1)求证：CCDD为圆OO的切线.(2)若OOFF⊥AADD，OOFF=1，30∠=o，求圆中阴影部分的面积.(结果保留ππ)OAF4．如图，⊙OO是等边ΔAAAACC的外接圆，连接AAOO并延长至点PP，且AAAA=AAPP．（1）求证：PPAA是⊙OO的切线；（2）若AAAA=2√3，求图中阴影部分的面积．（结果保留ππ和根号）5．如图，OO为等边△AAAACC的外接圆，DD为直径CCDD延长线上的一点，连接AADD，AADD=AACC．（1）求证：AADD是⊙O的切线；（2）若CCDD=6，求阴影部分的面积．6．如图，AC为圆O的直径，弦AD的延长线与过点C的切线交于点B，E为BC中点，AC= 4√3，BC=4.（1）求证：DE为圆O的切线；（2）求阴影部分面积.7．已知AB是⊙O的直径，点C是圆O上一点，点P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．（1）求证：P A为⊙O的切线；（2）如果OP＝AB＝6，求图中阴影部分面积．8．如图，AAAA为⊙OO的直径，弦CCDD⊥AAAA，垂足为DD，CCDD=4√5，连接OOCC,OODD=2DDAA,FF为圆上一点，过点FF作圆的切线交AAAA的延长线于点GG，连接AAFF,AAFF=AAGG．（1）求⊙OO的半径；（2）求证：AAFF=FFGG；（3）求阴影部分的面积．9．如图，△ABC中，∠C=90º，∠ABC=2∠A，点O在AC上，OA=OB,以O为圆心，OC为半径作圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BC=3，求图中阴影部分的面积．10．如图，在△ABC中，∠CC=60∘，⊙OO是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．(1)求证：PA是⊙OO的切线；(2)若AB=2√3，求图中阴影部分的面积.(结果保留ππ和根号)11．如图，AB为圆O的直径，射线AD交圆O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC(1)求证：CE是圆O的切线(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积12．如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,AB⊥CD于G,OG:OC=3:5,AB=8.(1)求⊙O的半径；(2)点E为圆上一点,∠ECD=15º,将弧CE沿弦CE翻折,交CD于点F,求图中阴影部分的面积.13．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝4，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P．（1）求劣弧PC的长（结果保留π）；（2）过点P作PF⊥AC于点F，求阴影部分的面积（结果保留π）.14．如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC是圆O的直径，DB平分∠ADC，AC长10cm．（1）求点O到AB的距离；（2）求阴影部分的面积．15．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA 的延长线交于点E，连接CE，求阴影部分的面积．16．如图，∠APB的平分线过点O，以O点为圆心的圆与PA相切于点C，DE为⊙O的直径．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠CPO＝50°，∠E＝25°，求∠POD；（3）若⊙O的半径为2，CE＝2√3，求阴影部分的面积．17．如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A 关于直线PO对称，已知OA=4，∠POA=60°求：（1）弦AB的长；（2）阴影部分的面积（结果保留π）．18．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AD＝1，求BC的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．。
专题01 切线长定理(解析版)
连接OC．可以证明△OAB∽△CDO
∴
即：OA•OD＝AB•CD
∴AD2＝4AB•DC
故④正确．
故正确的是：①②④．
故选：C．
二．填空题
11．一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，则该菱形的内切圆的半径是cm．
解：如图所示：菱形ABCD，对角线AC，BD，可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点，
A．5， （90°+∠P）B．7，90°+
C．10，90°﹣ ∠PD．10，90°+ ∠P
解：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC；
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA，即△PCD的周长＝2PA＝10，；
如图，连接OA、OE、OB．
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，
A．5B．7C．8D．10
解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PB＝PA＝4，
∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，
∴CA＝CE，DE＝DB，
∴△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝8，
故选：C．
3．如图PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA＝7，则△PCD的周长为（ ）
A．7B．14C．10.5D．10
解：∵PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，
∴PB＝PA＝7，CA＝CE，DE＝DB，
∴△PCD的周长＝PC+CD+PB
＝PC+CE+DE+PD
人教版数学中考专题复习：圆的切线证明题专项训练
人教版数学中考专题复习：圆的切线证明题专项训练1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的∠O经过点D．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若∠C＝30°，且CD＝2．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A．D的∠O分别交AB，AC于点E，F．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若BE=8，sin B≈513，求∠O的半径；(3)求证：AD2=AB•AF．3．如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，点E 为BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若2DE =，30BDE ∠=︒，求OC 的长．4．如图，∠O 的弦AB 、CD 交于点E ，点A 是CD 的中点，连接AC 、BC ，延长DC 到点P ，连接PB ．(1)若PB ＝PE ，判断PB 与∠O 的位置关系，并说明理由．(2)若AC 2＝2AE 2，求证：点E 是AB 的中点．5．如图，在Rt ABC 中，∠BAC =90°，以AD 为直径的∠O 与边BC 有公共点E ，且AB =BE ．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若BE=3，BC=7，求∠O的半径．⊥于点C，交O于点E，CD与BA的延长线交于点6．如图，AB为O直径，D为O上一点，BC CDF，BD平分ABC∠．(1)求证：CD是O的切线；BC=，求BD的长．(2)若3AB=，27．如图，四边形ABCD内接于∠O，AB是∠O的直径，点P为CA的延长线上一点，∠CAD＝45°．(1)若AB＝8，求图中阴影部分的面积；(2)若BC＝AD，AD＝AP，求证：PD是∠O的切线．8．如图，在∠ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE∠AC，垂足为E，∠O经过A，B，D三点．(1)证明：AB是∠O的直径(2)试判断DE与∠O的位置关系，并说明理由；(3)若DE的长为3，∠BAC＝60°，求∠O的半径．9．如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的∠O与AB边交于点D，连接DE．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)若CD＝3cm，5cm2DE ，求∠O直径的长．10．如图，点D在∠O的直径AB的延长线上，点C在∠O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．(1)求证：CD是∠O的切线；(2)若∠O的半径为2，求图中阴影部分的面积．11．如图，在∠ABC中，AB=AC，以AB为直径的∠O与BC相交于点D，DE∠AC于E．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)若∠O的半径为5，BC=16，求DE的长．12．如图，AB是∠O的直径，C、D是∠O上的点，BD平分∠ABC，DE∠BE，DE交BC的延长线于点E．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)如果CE＝1，AC＝∠O的半径r．13．如图，AB是O的直径，点C、G为圆上的两点，当点C是弧BG的中点时，CD垂直直线AG，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 于点F ，连接BE ．(1)求证：DC 与O 相切；(2)求证：PC PF =；(3)若1tan 3E =，BE =PF 的长．14．如图，∠O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 是∠O 的直径，BE ∠DC ，交DC 的延长线于点E ，CB 平分∠ACE ．(1)求证：BE 是∠O 的切线．(2)若AC ＝4，CE ＝1，求tan∠BAD ．15．如图，AB 为∠O 的直径，射线AD 交∠O 于点F ，C 为BF 的中点，过点C 作CE ∠AD ，连接AC ．(1)求证：CE是∠O的切线；(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．16．如图，∠O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与∠O交于点E，连接AE．(1)求证△ABC∠∠ADE；(2)求证：AD是∠O的切线．．以AB为直径的O交BC于点D，过点D作DE∠AC于点17．已知：如图，在∠ABC中，AB ACE．(1)求证：DE与O相切；AB ，sin B，求线段AF的长．(2)延长DE交BA的延长线于点F，若618．如图，Rt∠ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE．(1)求证：DE是半圆∠O的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．19．如图，AB是∠O的直径，点E是劣弧AD上一点，∠PBD＝∠BED，且DEBE平分∠ABD，BE与AD交于点F．(1)求证：BP是∠O的切线；(2)若tan∠DBE EF的长；(3)延长DE，BA交于点C，若CA＝AO，求∠O的半径．20．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作∠O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH，BH．设旋转角为α（0°＜α＜360°）．(1)当α＝90°时，求证：BH是∠O的切线；(2)当BH与∠O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；(3)当△AHB面积最小时，请直接写出此时点H到AB的距离．参考答案：1．(1)连接OD，∠AD是∠BAC的平分线，∠∠DAB＝∠DAO，∠OD＝OA，∠∠DAO＝∠ODA，则∠DAB＝∠ODA，∠DO∠AB，而∠B＝90°，∠∠ODB＝90°，∠BC是∠O的切线；(2)连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，∠∠C＝30°，CD＝∠OD＝CD•tan30°＝3，∠∠DAB＝∠DAE＝30°，∠DE＝DF，∠∠DOE＝60°，∠∠DOF＝60°，∠∠FOA＝60°，∠∠OFD、△OF A是等边三角形，∠DF∠AC，∠S阴影＝S扇形DFO＝2603360π⨯⨯＝32π．2．(1)证明： 如图，连接OD ，∠OA =OD ，∠∠ODA =∠OAD ，∠AD 平分∠BAC ，∠∠OAD =∠CAD ，∠∠ODA =∠CAD∠OD AC ∥，∠∠C =90°，∠ ∠ODB =∠C =90°，又∠OD 是∠O 的半径，∠BC 是∠O 的切线；(2)解：90BDO ∠=︒，∴在Rt∠BDO 中，5sin 813OD OD OD B BO BE OD OD ====++， 解得5OD =，故∠O 的半径为5；(3)证明：如图：连接EF ，∠AE 是直径，∠90AFE ACB ∠=︒=∠，∠EF BC ∥，∠AEF B ∠=∠，又∠AEF ADF ∠=∠，∠B ADF ∠=∠，又∠OAD CAD ∠=∠，∠∠DAB ∠∠F AD ， ∠AD AF AB AD=， ∠2AD AB AF =⋅．3．(1)解：连接OD ，∠OD OB =，∠B ODB ∠=∠，又∠B CDA ∠=∠，∠ODB CDA ∠=∠，∠AB 是圆O 的直径，∠∠ADB =90°，∠90ODB ODA ∠+∠=︒，∠90CDA ODA ∠+∠=︒即90ODC ∠=︒， ∠CD 是O 的切线；(2)解：连接BE 、OE∠E 是BD 的中点，∠2BE DE ==，OE BD ⊥，260BOE BDE ∠=∠=︒， ∠OBE △是等边三角形，∠2OB BE ==，60BOE ∠=︒∠OB OD =，OE BD ⊥，∠60BOE DOE ∠=∠=︒，∠60DOC ∠=︒在Rt ODC ，60DOC ∠=︒，∠∠C =30°，∠24OC OD ==．4．(1)PB 与∠O 相切，理由是：连接OA 、OB ，OA 交CD 于F ，∠点A 是CD 的中点，∠OA ∠CD ，∠∠AFE ＝90°，∠∠OAE ＋∠AED ＝90°，∠OA＝OB，PB＝PE，∠∠OAE＝∠OBA，∠PEB＝∠PBE，∠∠AED＝∠PEB，∠∠OBA＋∠PBE＝90°，即∠OBP＝90°，∠OB∠PB，∠PB与∠O相切；(2)∠AC＝AD，∠∠ACE＝∠ABC，∠∠CAE＝∠BAC，∠∠ACE∠∠ABC，∠ACAE＝ABAC，∠AC2＝AE•AB，∠AC2＝2AE2，∠AE•AB＝2AE2，∠AB＝2AE，∠E为AB的中点．5．(1)证明：连接OB，OE，如图所示，在ABO和EBO△中，AB BE OA OE OB OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠()SSS ABO EBO △△≌， ∠90BEO BAO ∠=∠=︒，即OE BC ⊥,∠BC 是O 的切线；(2)解：∠3BE =，7BC =，∠3AB BE ==，4CE =，∠AC == ∠OE BC ⊥，∠222OE EC OC +=，即()2224OE OE +=，解得：OE = ∠O6．(1)连接OD ，如图，∠BD 平分ABC ∠，∠ABD DBC ∠=∠，∠OB OD =，∠OBD ODB ∠=∠∠DBC ODB ∠=∠，∠∥OD BC ，∠ODF C ∠=∠∠BC CD ⊥，∠90C ∠=︒，∠90ODF C ∠=∠=︒，即OD DC ⊥，∠CD 是O 的切线(2)连接AD ，如图，∠AB 为O 直径，∠90ADB ∠=︒∠90C ∠=︒，∠90ADB C ∠=∠=︒∠ABD DBC ∠=∠，∠ABD DBC △△∽ ∠BC BD BD AB =，即23BD BD =， ∠BD =∠BD ．7．(1)解：如图，连接OC ，OD ，∠∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，∠∠COD＝90°，∠AB＝8，∠OC＝12AB＝4，∠S扇形COD＝2904360π⨯⨯＝4π，S△OCD＝12×OC×OD＝12×4×4＝8，∠S阴影= S扇形COD- S△OCD =4π﹣8．(2)证明：∠BC＝AD，∠BC AD=，∠∠BOC＝∠AOD，∠∠COD＝90°，∠∠AOD＝45°，∠OA＝OD，∠∠ODA＝∠OAD，∠∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，∠∠ODA＝67.5°，∠AD＝AP，∠∠ADP＝∠APD，∠∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，∠∠ADP＝12∠CAD＝22.5°，∠∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，∠PD是∠O的切线．8．(1)解：如图所示，连接AD∠AB＝AC，BD＝DC，∠AD∠BC即∠ADB＝90°，∠AB是∠O的直径．(2)解：DE与∠O相切，理由如下：如图所示，连接OD，∠OB＝OA，BD＝DC，∠OD是∠ABC的中位线，∥．∠OD AC∠DE∠AC，∠DE∠OD即∠ODE＝90°，∠DE与∠O相切．(3)解：∠AB＝AC，AD∠BC，∠BAC＝60°，∠∠BAD＝∠DAE＝30°．∠DE∠AC，AD∠BD，∠AD＝2DE＝6，AB＝2BD．在∠ABD 中，222BD AD AB +=， ∠()22262BD BD +=，解得BD =∠2AB BD ==，∠∠O 的半径为9．(1)连接OD∠AC 为圆O 的直径 ∠∠ADC ＝90°∠OD ＝OC∠∠ODC ＝∠OCD在Rt ∠BCD 中，∠E 为BC 中点 ∠12DE BC CE == ∠∠EDC ＝∠ECD∠∠ODC ＋∠EDC ＝∠OCD ＋ECD ＝90° 即∠ODE ＝90°∠OD ∠DE∠DE 是圆O 的切线(2)在Rt∠BCD中，∠E为BC中点∠BC＝2DE＝5∠CD＝3∠BD=4∠AC为直径，∠∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90°，又∠∠B＝∠B∠∠ABC∠∠CBD，∠AC BC CD BD=∠5 34 AC=∠154=AC cm10．(1)证明：如图，连接OC，∠CD＝AC，∠∠CAD＝∠D，又∠∠ACD＝120°，∠∠CAD＝∠D＝12（180°﹣∠ACD）＝30°，∠OC＝OA，∠∠A＝∠2＝30°，∠∠COD＝60°，又∠∠D＝30°，∠∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，∠OC∠CD∠OC是∠ O的半径∠CD是∠ O的切线；(2)解：∠∠A ＝30°，∠∠1＝2∠A ＝60°． ∠260223603OBC S ππ⨯==扇形 ，在Rt ∠OCD 中，tan 60CD OC ==•︒=∠11222Rt OCD S OC CD =⨯=⨯⨯=△．∠图中阴影部分的面积为23π．11．(1)证明：如图：连接OD ．∠AB =AC ，∠∠B =∠C ，又∠OD =OB ，∠∠ODB =∠OBD ．∠∠ODB =∠ACB ．∠OD AC ∥，∠DE ∠AC ．∠OD ∠DE ．∠OD 是圆的半径，∠DE 是∠O 的切线；(2)解：如图：连接AD ，∠AB为∠O的直径，∠∠ADB=90°，即AD∠BC，又∠AB=AC，BC=16，∠BD=CD=8，∠∠O的半径为5，∠AC=AB=10，∠6 AD=，∠S△ADC11••22AC DE CD AD ＝＝，∠10DE=8×6，∠DE=4.8．12．(1)解：连接OD，如下图所示：∠OB=OD，∠∠OBD=∠ODB，∠BD平分∠ABC，∠∠OBD=∠DBE，∠∠ODB=∠DBE，∠OD∥BE，∠DE∠BE于点E，∠∠E=90°，∠∠ODE=180°-∠E=180°-90°=90°，∠OD∠DE；∠DE是∠O的切线．(2)解：设OD交AC于点M，如下图：∠AB为∠O的直径，∠∠ACB=∠ACE=90°，由(1)知，∠ODE=90°，∠∠ACE=∠E=∠ODE=90°，∠四边形DECM为矩形，∠EC=DM=1，∠MO∥CB，O为AC的中点，∠MO为∠ABC的中位线，且∠AMO=∠ACB=90°，AC∠AM=MC=12设圆的半径为r，则MO=DO-DM=r-1，在Rt∠AMO中，由勾股定理可知：AO²=AM²+MO²，代入数据：222=+-，r r(1)解出：4r=，故圆∠O的半径为4．13．(1)解：（1）CD AD ⊥，90D ∴∠=︒，∠∠DAC +∠DCA =90°，点c 是弧BG 的中点，∠CG BC =DAC BAC ∴∠=∠，OA OC =，OCA BAC ∴∠=∠，OCA DAC ∠=∠∴，//∴AD OC ，∠∠D =∠OCP =90°， OC 是圆O 的半径，DC ∴与O 相切，(2) AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90PCB ACD ∴∠+∠=︒，由（1）得：90DAC DCA ∠+∠=︒，PCB DAC ∴∠=∠，DAC BAC ∠=∠，PCB BAC ∴∠=∠， CE 平分ACB ∠，ACF BCF ∴∠=∠，∠∠PFC =∠BAC +∠ACF ，∠PCF =∠PCB +∠BCF ，PFC PCF ∴∠=∠，PC PF ∴=；(3)连接AE ，CE 平分ACB ∠，∴AE BE =，AE BE ∴=， AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒，AEB ∴∆为等腰直角三角形，∠AB ，∠OB =OC ∠1tan 3E = ∠1tan 3BC CAB AC ==∠， ∠∠PCB =∠BAC ，∠P =∠P ，∠△PCB ∠△P AC ， ∠13BC PB AC PC ==， ∴设PB x =，3=PC x ，在Rt OCP ∆中，222OC PC OP +=，∠222(3))x x +=，∠x =x =0(舍去)，∠PC∠PF 14．(1)证明：如图，连接OB，∠CB平分∠ACE．∠∠ACB＝∠ECB，∠OB＝OC，∠∠BCO＝∠CBO，∠∠BCE＝∠CBO，∠OB∠ED．∠BE∠ED，∠EB∠BO．∠BE是∠O的切线；(2)解：∠AC是∠O的直径，∠∠ABC＝90°，∠BE∠ED，∠∠E＝90°，∠∠E＝∠ABC，∠∠BCE＝∠ACB，∠∠BCE∠∠ACB，∠BC CE AC BC=，∠AC＝4，CE＝1，∠2BC==，∠BE，∠∠BCD+∠BAD＝∠BCD+∠BCE＝180°，∠∠BCE＝∠BAD，∠tan tan BE BAD BCE CE∠=∠== 15．(1) 解：（1）连接BF ，OC ，∠AB 是∠O 的直径，∠∠AFB ＝90°，即BF ∠AD ，∠CE ∠AD ，∠BF ∠CE ，∠点C 为劣弧BF 的中点，∠OC ∠BF ，又BF ∠CE ，∠OC ∠CE ，∠OC 是∠O 的半径，∠CE 是∠O 的切线；(2)解：连接OF ，CF ，∠OA ＝OC ，∴∠OCA =∠BAC ＝30°，∠∠BOC ＝60°，∠点C 为劣弧BF 的中点，∠FC BC =，∠∠FOC ＝∠BOC ＝60°，∠OF ＝OC ，∴△FOC为等边三角形，∠∠OCF＝∠COB=60°，∠CF∠AB，∠S△ACF＝S△OCF，∠阴影部分的面积等于S扇形COF，∠AB＝4，∠FO＝OC＝OB＝2，∠S扇形FOC＝260223603ππ⋅⨯=，即阴影部分的面积为23π．16．(1)解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠∠B＝∠D．∠四边形ABCE为∠O的内接四边形，∠∠B+∠AEC＝180°．∠∠AED+∠AEC＝180°．∠∠B＝∠AED．∠AB＝AC，∠AB＝∠ACB∠∠ACB＝∠AED．∠∠ABC∠∠ADE．(2)解：如图，连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．∠AB＝AC，OB＝OC，∠AM垂直平分BC．∠∠AMC＝90°．∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD∠BC．∠∠DAO＝90°．∠点A在∠O上，∠AD是∠O的切线．17．(1)证明：连接OD，∠AB=AC，∠=∠，∠B C=，又∠OB OD∠1∠=∠，B∠C1∠=∠，∥，∠OD AC∠DE∠AC于E，∠DE∠OD，∠OD是O的半径，∠DE与O相切；(2)解：如图：连接AD，∠AB为O的直径，∠∠ADB=90°，∠AB =6，sin B∠sin AD AB B =⋅ ∠123290∠+∠=∠+∠=︒， ∠13∠=∠，∠3B ∠=∠，在∠AED 中，∠AED =90°，∠sin 3AE AD ∠==∠65AE AD ===. 又∠OD AE ∥， ∠∠FAE ∠∠FOD ， ∠FA AE FO OD=， ∠6AB =，∠3OD AO ==， ∠235FA FA =+， ∠2AF =．18．(1)连接OD ，BD ，如图，AB 是直径，90ADB ∴∠=︒， 90BDC ∴∠=︒，E 是BC 的中点，12DE BE EC BC ∴=== EBD EDB ∠∠∴=，OB OD =OBD ODB ∠∠∴=OBD EBD ODB EDB ∠∠∠∠∴+=+即90ODE ABC ∠=∠=︒OD DE ∴⊥ OD 是半径，∴DE 是半圆∠O 的切线．(2)2DE =24BC ED ∴==30BAC ∠=︒28AC BC ∴==AB ∴==12BD AB ∴==6AD ∴=．19．(1) 证明：∠AB 是∠O 的直径，∠∠ADB ＝90︒，∠∠DAB +∠ABD ＝90︒，∠∠BED ＝∠DAB ，∠PBD ＝∠BED ，∠∠DAB ＝∠PBD ，∠∠PBD +∠ABD ＝90︒，∠∠ABP ＝90︒，∠AB ∠PB ，∠BP 是∠O 的切线；(2)解：连接AE ，∠AB 是直径∠∠AEB ＝90︒，∠BE 平分∠ABD ，∠∠ABE ＝∠DBE ，∠AE DE =，∠AE ＝DE∠∠ABE ＝∠DBE ＝∠DAE ，∠tan tan tan EF DBE ABE DAE EA ∠∠∠==＝＝，∠EF (3)解：连接OE ，∠OE =OB ，∠∠ABE =∠OEB ，∠∠ABE =∠DBE ，∠∠DBE =∠OEB ，∠//OE BD ∠CE OC DE OB=， ∠CA =AO ，设CA =AO =BO =R ， ∠22CE R DE R==，2=， ∠CE∠DC = CE +DE∠∠ADC =∠ABE ，∠C =∠C ，∠CAD CEB △∽△， ∠CD AC CB CE=，= ∠R，∠∠O20．(1)证明：∠α＝90°，∠AOB ＝90°，∠∠AOP ＝∠BOH ，在∠AOP 和∠BOH 中，OA OB AOP BOH OP OH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AOP ∠∠BOH （SAS ），∠∠OP A＝∠OHB，∠AP是∠O的切线，∠∠OP A＝90°，∠OHB＝90°，即OH∠BH于点H，∠BH是∠O的切线；(2)如图，过点B作∠O的切线BC，BD，切点分别为C，D，连接OC，OD，则有OC∠BC，OD∠BD，∠OC＝2，OB＝4，∠cos2142OCBOCOB===∠∠∠BOC＝60°，同理∠BOD＝60°，当点H与点C重合时，由（1）知：α＝90°，∠∠OHB＝90°．∠圆弧PH的长为902180ππ⨯=；当点H与点D重合时，α＝∠POC+∠BOC+∠BOD＝90°+2×60°＝210°，∠圆弧PH的长为21027 1803ππ⨯=，∠当BH与∠O相切时，旋转角α＝90°或210°，点H运动路径的长为π或73π；(3)设h表示点H到直线AB的距离，作ON∠AB于点N，H在圆O上，在Rt∠ONB中，∠OBN＝45°，OB＝4，∠ON＝4cos45°＝∠h的最小值为＝ON﹣r＝2∠当∠AHB面积最小时，点H到AB的距离为2。
(完整版)中考数学-圆的切线证明综合试题
专题-------圆的切线证明我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切.证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF ， ∴△BOF≌△EOF（SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900.∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切.证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC.⌒⌒∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA 与⊙O 相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM⊥AC 于M求证：DM 与⊙O 相切.证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.⌒⌒∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM 与⊙O 相切证明二：连结OD ，AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM 是⊙O 的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线证明：连结OC 、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB，∴△OBC 是等边三角形.∴OB=BC.∵OB=BD， ∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，且OA 2=OD·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.证明：连结OC∵OA 2=OD·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD·OP ，.OCOPOD OC 又∵∠1=∠1， ∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE⊥OC 即可得解.证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC⊥CD，△CFG 是Rt△∵O 是FG 的中点， ∴O 是Rt△CFG 的外心. ∵OC=OG， ∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵D F⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∴DE=DF.∴F 在⊙D 上.∴AC 与⊙D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE⊥CD，E 为垂足.∵AC，BD 与⊙O 相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.∴Rt△AOC∽Rt△BDO.∴.ODOCOB AC = ∵OA=OB， ∴.ODOCOA AC = 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线.证明二：连结OA ，OB ，作OE⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F.∵AC，BD 与⊙O 相切，O∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS ）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明三：连结AO 并延长，作OE⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF.∵AC 与⊙O 相切，∴AC⊥AO.∵A C∥BD，∴AO⊥BD.∵BD 与⊙O 相切于B ，∴AO 的延长线必经过点B.∴AB 是⊙O 的直径.∵AC∥BD，OA=OB ，CF=DF ，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ，∴.CF CD OF ==21∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.以下是武汉市2007----2010中考题汇编：（2007中考）22．(本题8分)如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。
圆的切线证明(中考)
D C A B A BCD OC A P ODCE OA DB 第二十四章 圆 练习1. 如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，则弦CD=__________。
2. 如图所示，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。
3. 如图所示，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=__________。
4、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为________________。
5. 如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。
6. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ） A. 3≤OM ≤5 B. 4≤OM ≤5 C. 3＜OM ＜5 D. 4＜OM ＜57. 如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°8、如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在上，若PA 长为3，则△PEF 的周长是__________9. 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，则BC=_________，∠ADO=_______.10. 如图所示，Rt △ABC 的两直角边BC=3cm ，AC=4cm ，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以r 1=2cm ，r 2=2.4cm ，r 3=3cm ，为半径作圆，试判断点D 与这三个圆的位置关系。
中考复习专题——圆切线证明
中考复习专题——圆切线证明中考复习专题--------圆的切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC 于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线例 5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC ∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.[习题练习]例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD 与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF，BF和AD交于E，求证：AE=BE．例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．AB CDE F G O例6如图，已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．（1）求∠ACM 的度数．（2）在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．例7如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3．（1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？（2）若点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？19.如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；（3）若3(2OG DE ⋅=-，求⊙O 的面积。