复旦大学精品课程《线性代数》,矩阵初等变换复习资料
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复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性空间课件复习资料
4.1.2 线性子空间
许 多 问 题 中, 一 个“大”的 线 性 空 间 的 一 部 分, 关 于 该 线 性 空 间 的 加 法 和 数 乘 还 可形成线性空间, 例如: 几何空间中, 任意一个过原点的平面关于几何向量的加法和 数乘运算也构成线性空间(满足线性空间公理). 显然, 该平面是几何空间的一部分, 且关于几何空间的运算构成线性空间. 为此, 引入子空间的概念. 定 义 4.2. 给定数域F 上的线性空间V , 设 S 是V 的一个非空子集, 同时S 关于 V 上 的运算也构成线性空间, 则称S 为V 的一个线性子空间. 为 了 说 明 线 性 空 间V 的 一 个 子 集S 是 否 为 线 性 空 间, 不 一 定 要 按 线 性 空 间 的 十 条公理一一验证, 仅需检查下列三条是否成立: 定 理 4.1.1. S 是 数 域F 上 线 性 空 间V 的 非 空 子 集, 则 当 且 仅 当S 满 足 封 闭 性 公 理(1)、(2)时, 它是V 的子空间. 证: 必要性显然, 下面证充分性: S 是V 的子集, 因此公理(1)∼(4) 和(7)∼(10) 在S 上自然成立. 由S 非空,则 ∃x ∈ S ,根据封闭性公理 ∀λ ∈ F , λx ∈ S , 取 λ = 0, 则 λx = 0 ∈ S , 因此, 公理(5)满足. ∀x ∈ S , 取 λ = −1, 由封闭性知 (−1)x ∈ S , 且 x + (−1) x = 0 根据性质(5)可知 (−1)x是x的负元, 因此公理(6)满足. 显而易见, 仅包含V 的零向量的集合和V 本身都是线性空间V 的子空间, 称它们为平 凡子空间.
易证代数系统 F2 , ⊕2 , ⊗2 是域, 通常被称作二进制域. 当构成域的集合是有限集时, 也称为有限域.
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O x·n n
x
L x
图5.2: 镜像变换
∴ y1 + y2 = σ (x1 ) + σ (x2 ) = σ (x1 + x2 ) ∈ Im (σ ) (3). 数乘封闭性, 对∀c ∈ F ∀x ∈ Ker (σ ) , ∀y ∈ Im (σ ) , σ (cx) = cσ (x) = c0 = 0 ⇒ cx ∈ Ker (σ ) ∃x ∈ V 使得y = σ (x) , 则cy = cσ (x) = σ (cx) ∈ Im (σ )
由此左分配律成立,即 σ · (τ + π ) = σ · τ + σ · π . 同理可证明右分配律成立. 对∀c ∈ F, σ, τ ∈ L(V ), 有 [(cσ ) · τ ] (•) = (cσ ) (τ (•)) = cσ (τ (•)) = c (σ · τ ) (•) 从而, (cσ ) · τ = c (σ · τ )成立. 同理可证 σ · (cτ ) = c (σ ·). 综上所述, L(V )是F 上的代数. 例 7. 设σ, τ 为R2 空间上的线性变换, 分别定义如下: ∀ 求α= −3 2
第五章
线性变换
上 一 章 中 介 绍 了 线 性 空 间 的 概 念, 本 章 将 讨 论 线 性 空 间 之 间 的 联 系. 它 们 之 间 的 联 系 主 要 反 映 为 线 性 空 间 之间的映射, 所以研究定义域和值域都是线性(子)空间的映射是数学分析的基本目标之一, 其中最简单和最基 本的一类映射是线性变换(Linear Transformation). 它也是线性代数中一个主要研究对象.
证: 验证L(V )上关于线性变换的乘法满足定义5.4中的三个条件: (1) 对 ∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 (σ · τ ) · π = (σ · τ ) (π (•)) = σ (τ (π (•))) = σ ((τ · π ) (•)) = σ · (τ · π ) (2) L(V )中元素V 上的恒等变换“1V ”即为e, 且对∀σ ∈ V , 满足 1V · σ = σ · 1V = σ , 因此恒等变换 是L(V )的恒等元. (3) 对∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 [σ · (τ + π )] (•) = σ ((τ + π ) (•)) = σ (τ (•) + π (•)) = σ (τ (•)) + σ (π (•)) = (σ · τ ) (•) + (σ · π ) (•)
x
L x
图5.2: 镜像变换
∴ y1 + y2 = σ (x1 ) + σ (x2 ) = σ (x1 + x2 ) ∈ Im (σ ) (3). 数乘封闭性, 对∀c ∈ F ∀x ∈ Ker (σ ) , ∀y ∈ Im (σ ) , σ (cx) = cσ (x) = c0 = 0 ⇒ cx ∈ Ker (σ ) ∃x ∈ V 使得y = σ (x) , 则cy = cσ (x) = σ (cx) ∈ Im (σ )
由此左分配律成立,即 σ · (τ + π ) = σ · τ + σ · π . 同理可证明右分配律成立. 对∀c ∈ F, σ, τ ∈ L(V ), 有 [(cσ ) · τ ] (•) = (cσ ) (τ (•)) = cσ (τ (•)) = c (σ · τ ) (•) 从而, (cσ ) · τ = c (σ · τ )成立. 同理可证 σ · (cτ ) = c (σ ·). 综上所述, L(V )是F 上的代数. 例 7. 设σ, τ 为R2 空间上的线性变换, 分别定义如下: ∀ 求α= −3 2
第五章
线性变换
上 一 章 中 介 绍 了 线 性 空 间 的 概 念, 本 章 将 讨 论 线 性 空 间 之 间 的 联 系. 它 们 之 间 的 联 系 主 要 反 映 为 线 性 空 间 之间的映射, 所以研究定义域和值域都是线性(子)空间的映射是数学分析的基本目标之一, 其中最简单和最基 本的一类映射是线性变换(Linear Transformation). 它也是线性代数中一个主要研究对象.
证: 验证L(V )上关于线性变换的乘法满足定义5.4中的三个条件: (1) 对 ∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 (σ · τ ) · π = (σ · τ ) (π (•)) = σ (τ (π (•))) = σ ((τ · π ) (•)) = σ · (τ · π ) (2) L(V )中元素V 上的恒等变换“1V ”即为e, 且对∀σ ∈ V , 满足 1V · σ = σ · 1V = σ , 因此恒等变换 是L(V )的恒等元. (3) 对∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 [σ · (τ + π )] (•) = σ ((τ + π ) (•)) = σ (τ (•) + π (•)) = σ (τ (•)) + σ (π (•)) = (σ · τ ) (•) + (σ · π ) (•)
复旦大学精品课程《线性代数》课件,齐次线性方程组课件复习精品资料
若 Cm n = Am l Bl n ，即
×
××
c c L c a a L a b b L b
11
c 21
M
12
c 22 M
L
1n 11
c 2n M
=
a 21 M
12
a 22 M
L
1l 11
a 2l
b 21
12
b 22
L
1n
b 2n
M M M
M
c m1
c m2
L
c mn
a m1
向量组及其线性组合
定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向
量（vector），这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称 为第 i个分量．
分量全为实数的向量称为实向量．
分量全为复数的向量称为复向量．
备注：
本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） ．
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B
矩阵方程 AX = B 有解
R(A) = R(A, B) R(B) ≤ R(A)
因为 R(B) ≤ R(A, B)
推论：向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)．
对于 b1 ，存在一组实数 k11, k21, …, km1 ，使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + … + km1 am ；
对于 b2 ，存在一组实数 k12, k22, …, km2 ，使得 b2 = k12a1 + k22 a2 + … + km2 am ；
线性代数(复旦大学出版社)第二章 矩阵
第二章矩阵第一节矩阵的概念1、分类：行矩阵：只有一行的矩阵列矩阵：只有一列的矩阵零矩阵O：元素全为零的矩阵单位阵E：主对角线上元素为1，其他元素为0的方阵数量阵（纯量阵）：λE对角阵：不在主对角线上的元素都为0的方阵上（下）三角阵：主对角线上以下（上）的元素全为0的方阵2、两矩阵同型：两个矩阵行数且列数都相等两矩阵相等：两矩阵同型，且对应元素相等。
记做A=B。
3、不同型的零矩阵是不相等的第二节矩阵的运算设A,B,C为m×n矩阵，λ, μ为数一、加法：只有同型矩阵才能进行加法运算（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=A二、减法：A-B=A+(-B) -B称为B的负矩阵三、乘法：1、只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（行矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。
简记为：(m×s)(s×n)=(m×n)例: A为2×3矩阵，B为3×2矩阵，则AB=C为2×2矩阵2、数与矩阵：（1）(λμ)A=λ(μA)=μ(λA)（2）(λ+μ)A=λA+μA（3）λ(A+B)=λA+λ B（4）1*A=A, (-1)*A=-A矩阵与矩阵：（1）结合律：(AB)C=A(BC)（2）分配律：A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA（3）λ(AB)=(λA)B=A(λB)（4）EA=AE=A（5）A k A l=A k+l（6）(A k)l=A kl3、矩阵乘法不满足交换律，即(AB)C≠(AC)B另外：（1）一般有AB≠BA （A与B可交换时，等式成立）（2）AB=O，不能推出A=O或B=O（3）AB=AC,A≠O,不能推出B=C（4）(AB)k≠A k B k（A与B可交换时，等式成立）4、可交换的：对于两个n阶方阵A,B,有AB=BA，则称A与B是可交换的。
纯量阵与任意同行方阵都是可交换的。
线性代数第四讲矩阵的初等变换PPT资料(正式版)
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
1 1 2 1 4
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完
全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩
阵的三种初等变换
下页
v2.矩阵的初等变换 定义 矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列) ——换法变换 (ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 ——倍法变换 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去 ——消法变换
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
B2
2231
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
9224
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
下页
v1.引例 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
23xxx111
x2 3x2 6x2
线性代数--矩阵初等变换
有限次
2. 等价矩阵：若 Am×n → Bm×n , 称 Am×n 与 Bm×n 等价,
记作 Am×n ≅ Bm×n ．
(1) 自反性： A ≅ A
(2) 对称性： Am×n ≅ Bm×n ⇒ Bm×n ≅ Am×n (3) 传递性： Am×n ≅ Bm×n , Bm×n ≅ C m×n ⇒ Am×n ≅ C m×n 定理 1 Am×n ≅ Bm×n ⇒ rankA = rankB ．
(1) r = n 时, 方程组(3.4)成为
x1 = d1 , x2 = d 2 , …, xn = d n
得到方程组的唯一解．
(2) r < n 时, 方程组(3.4)成为
第三章 矩阵的初等变换
7
⎧ x1 = d1 − b1,r+1 xr+1 − L − b1n xn ⎪⎪⎪⎨Lx2L=Ld 2 − b2,r+1 xr+1 − L − b2n xn ⎪⎩ xr = d r − br,r+1 xr+1 − L − brn xn
第三章 矩阵的初等变换
3
1次
证 只需证明 Am×n → Bm×n ⇒ rankA = rankB ．
仅证行变换之(3)的情形：设 rankA = r , 证明
⎡L⎤ ⎡ L ⎤
⎢⎢α i
⎥ ⎥
ri
+
krBiblioteka j⎢⎢αi
+
kα
⎥ j⎥
A = ⎢L⎥ → ⎢ L ⎥ = B ⇒ rankB ≤ rankA
⎢⎢α
−2
−2
− 2⎥⎥
⎢⎣− 1 − 2 − 1 − 2 − 3⎥⎦ ⎢⎣0 0 2 2 2⎥⎦
⎡1 2 3 4 5⎤ ⎡1 2 0 1 2⎤
2. 等价矩阵：若 Am×n → Bm×n , 称 Am×n 与 Bm×n 等价,
记作 Am×n ≅ Bm×n ．
(1) 自反性： A ≅ A
(2) 对称性： Am×n ≅ Bm×n ⇒ Bm×n ≅ Am×n (3) 传递性： Am×n ≅ Bm×n , Bm×n ≅ C m×n ⇒ Am×n ≅ C m×n 定理 1 Am×n ≅ Bm×n ⇒ rankA = rankB ．
(1) r = n 时, 方程组(3.4)成为
x1 = d1 , x2 = d 2 , …, xn = d n
得到方程组的唯一解．
(2) r < n 时, 方程组(3.4)成为
第三章 矩阵的初等变换
7
⎧ x1 = d1 − b1,r+1 xr+1 − L − b1n xn ⎪⎪⎪⎨Lx2L=Ld 2 − b2,r+1 xr+1 − L − b2n xn ⎪⎩ xr = d r − br,r+1 xr+1 − L − brn xn
第三章 矩阵的初等变换
3
1次
证 只需证明 Am×n → Bm×n ⇒ rankA = rankB ．
仅证行变换之(3)的情形：设 rankA = r , 证明
⎡L⎤ ⎡ L ⎤
⎢⎢α i
⎥ ⎥
ri
+
krBiblioteka j⎢⎢αi
+
kα
⎥ j⎥
A = ⎢L⎥ → ⎢ L ⎥ = B ⇒ rankB ≤ rankA
⎢⎢α
−2
−2
− 2⎥⎥
⎢⎣− 1 − 2 − 1 − 2 − 3⎥⎦ ⎢⎣0 0 2 2 2⎥⎦
⎡1 2 3 4 5⎤ ⎡1 2 0 1 2⎤
线性代数(李建平)讲义__复旦大学出版社__第二章
那么，对线性方程组的研究就可转化为对这张表的
研究.
例2 某企业生产4种产品, 各种产品的季度产值如下表
产品 产值 季度
1
2
3
4
1
2 3 4
80
98 90 88
58
70 75 70
75
85 90 82
78
84 90 80
这个排成4行4列的产值阵列
80 58 75 78 98 70 85 84 90 75 90 90 88 70 82 80 具体描述了这家企业各种产品各季度的产值及
3
2a13 2a23 2a33
a22 a32
3
a23 a33
a31
3
(2) | A | ( 2) ( 2) 16
二、矩阵的乘法 定义6 给定矩阵 A (aij )ml ，及
l
记
cij ai1b1 j ai 2b2 j ail blj aik bkj (2.6)
2如果a可逆则aijjiijji一分块矩阵的概念一分块矩阵的概念对于行数和列数比较多的矩阵a有时为了简化运算或者从理论上表达问题的简洁经常采用矩阵分块法使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰具体做法是将大矩阵a用若干条横线和纵线分成多个小矩阵每个小矩阵称为a的子块以子块为元素的矩阵称为分块矩阵
0
4.由于
a1 k
a2
ka1 an
b2
ka2
kan
a2 b2 an bn
a1
a2
b1 an
线性代数(复旦大学) 第一章矩阵
注: 反对称矩阵的对角元素都为零.
马和平 (理学院 数学系) 线性代数 B
2013–2014学年秋季学期
9月29日
8 / 71
1.1.3 矩阵的线性运算 定义 1.3 (矩阵相等) 若 ������ = (������������������ )������×������ 和 ������ = (������������������ )������×������ , 且 ������������������ = ������������������ (������ = 1, 2, · · · , ������;
线性代数 B
2013–2014学年秋季学期
9月29日
3 / 71
例 线性代数方程组 ⎧
⎪ ⎪ ������11 ������1 + ������12 ������2 + · · · + ������1������ ������������ = ������1 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ������21 ������1 + ������22 ������2 + · · · + ������2������ ������������ = ������2 , ⎪ ⎪ ······························ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ������������1 ������1 + ������������2 ������2 + · · · + ������������������ ������������ = ������������
解： 因为 所以
2 − ������ = ������, 2 = ������, 5������ = ������ − 8, ������ = 1, ������ = 2, ������ = −2.
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矩阵形式:
0 5 −2 x1 2 4 −3 2 x2 = 6 1 −2 1 x3 1
增广矩阵:
0 5 −2 4 −3 2 1 −2 1
倪卫明
2 6 1
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
消元法: (1) 交换等式(1)与(3).
(6) 矩阵第三行数乘常数0.1. (7) 第三行数乘−4加到第一行. (8) 第三行数乘2加到第二行.
x1 − 3 x2 x2 x3
= −6 = 2 = 2
(10) (11) (9)
1 −3 0 0 1 0 0 0 1
−6 2 2
(9) 式(11)两端同乘3加到(10)得(12).
(9) 第二行数乘3加到第一行.
增广阵
2 −6 8 4 A = −1 −1 6 2 −6
倪卫明
4 6 −8
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
消元法 (1) 式(1)两端同乘常数0.5得式(4). (2) 将式(4)加到等式(2)得式(5). (3) 等式(4)乘−6加到(3), 得式(6). 对矩阵的变换: (1) 矩阵第一行数乘常数0.5. (2) 第一行加到第二行. (3) 第一行数乘−6加到第三行.
(2) 第一行数乘−4加到第二行.
1 −2 1 0 5 −2 0 5 −2
1 2 2
倪卫明
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
(3) 等式(6)减去等式(5). (4) 等式(5)两端乘2/5加到式(4). (5) 等式(5)两端乘1/5.
x1 x2 9 1 + x3 = 5 5 2 2 − x3 = 5 5 0 = 0 (7) (8) (9) 9 1 − t 5 5 2 2 x2 = + t 5 5 x3 = t x1 =
倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换
(3) 第三行减去第二行. (4) 第二行数乘2/5加到第一行. (5) 第二行数乘1/5.
1 0 1/5 0 1 −2/5 0 0 0
9/5 2/5 0
x3 可以取任意实数t , 得:
利用矩阵变换求解线性方程组
例 3: 求解方程组:
3x1 3x1 3x2 − 7x2 − 9x2 − 6 x3 + 8 x3 + 12x3 + 6 x4 − 5 x4 − 9 x4 + 3 x5 + 8 x5 + 6 x5 = −5 = 9 = 15
x1 − 2 x 2 4 x1 − 3 x 2 5 x2 +x3 +2x3 −2x3 = 1 = 6 = 2
矩阵变换: (1) 交换第一与第三行.
(1) (2) (3) 1 −2 1 4 −3 2 0 5 −2
1 6 2
(2) −4乘等式(1)加到(2).
x1 − 2 x2 5 x2 5 x2 +x3 −2x3 −2x3 = 1 = 2 = 2 (4) (5) (6)
倪卫明
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
例 1: 考虑下列线性方程组的解:
2x1 −x1 6x1 − 6x2 − x2 + 2x2 + 8x3 + 4x3 − 6x3 = 4 = 6 = −8 (1) (2) (3)
矩阵形式:
2 −6 8 x1 4 −1 −1 4 x2 = 6 x3 6 2 −6 −8
x1 − 3x2 + 4x3 x2 − 2x3 10x3
= 2 = −2 = 20
倪卫明
(4) (7) (8)
1 −3 4 0 1 −2 0 0 10
第二讲 矩阵的初等变换
2 −2 20
利用矩阵变换求解线性方程组
(6) 式(8)两端同乘0.1得(9). (7) 式(9)两端同乘−4 加到(4)得式(10). (8) 式(8)两端同乘2 加到(7)得式(11).
x1 x2 x3
= 0 = 2 = 2
(12) (11) (9)
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 2 2
倪卫明
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
例 2: 求解方程组:
4 x1 x1 5 x2 − 3 x2 − 2 x2 − 2 x3 + 2 x3 + x3 = 2 = 6 = 1 (1) (2) (3)
→→Biblioteka 0 3 3 3 0 0 1 0 0
3 −7 −9 −9 2 3 −3 1 0
−6 8 12 12 −4 −6 4 −2 0
6 −5 −9 −9 4 6 −3 2 0
3 8 6 6 2 3 2 1 0
−5
−9 −7 3 −3 1 3 0 1 0
12 8 −6 4 −2 −6 −2 −2 0 3 2 0
x1 − 3 x2 + 4 x3 −4x2 + 8x3 20x2 − 30x3
= 2 = 8 = −20
(4) (5) (6)
1 −3 4 0 −4 8 0 20 −30
2 8 −20
(4) 式(5)两端同乘−0.25得(7). (5) 式(7)两端同乘−20 加到(6)得式(8).
(4) 矩阵第二行数乘常数−0.25. (5) 第二行数乘−20加到第三行.
增广矩阵:
0 3 −6 6 3 3 −7 8 −5 8 3 −9 12 −9 6
−5 9 15
倪卫明
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
3 3 → 9 15 0 15 1 0 → −6 −5 0 5 1 0 → −3 4 0
矩阵的初等变换
倪卫明
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
对线性方程组的矩阵形式: Ax = b 定义增广矩阵
A= A b
求解方法由消元法转变到对增广矩阵的操作, 下面列出消元法步 骤与相应的矩阵变换: 消元法: (1) 交换两个等式位置. (2) 某等式两端同乘非零常数. (3) 两个等式相加. (4) 将某个等式乘以非零常数, 加到另一个等式. 矩阵变换: (1) 交换矩阵的某两行. (2) 对矩阵某行数乘非零常数. (3) 将矩阵的某行加到另一行. (4) 将矩阵的某行数乘一个非 零常数, 加到另一行.