第二章 弗雷格：现代逻辑之父 - 复旦大学精品课程

弗雷格的逻辑和数学思想的哲学基础

张庆熊复旦大学现代哲学研究所

【提要】弗雷格在《算术基础》中阐述了三条基本原理，这三条原理一方面说明他为什么要构造他的人工语言系统，另一方面说明算术何以能够建立在逻辑的基础之上，这是从哲学的高度出发论证他的逻辑和数学思想的基础。

弗雷格（Gottlob Friedrich Ludwig Frege，1848－1925）于1897年发表《概念文字：一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》（Begriffsschrift，eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens）。这本薄薄的书可谓现代逻辑的开山之作。它奠定了数理逻辑中的命题逻辑和一阶谓词逻辑的基础。然而，对于这本逻辑史上划时代的专著，在当时却少有人问津。弗雷格反思其原因，认为除人们对那陌生的符号系统望而生畏外，还不理解他为什么要构造这一系统的理由。他在1884年发表了专著《算术基础》（Grundlagen der Arithmetik）。在这本书中，他没有使用数理逻辑的符号，而是哲学理论上论证他所构造的人工语言系统的基本原理，指出严格区分心理的东西和逻辑的东西、主观的东西和客观的东西的必要性；强调决不要忘记概念和客体之间的区别；对当时所流行的逻辑学和数学中的心理主义展开批判。他认为逻辑是数学的基础，数的概念可以被定义为逻辑的类的概念，而类则被看成概念的外延。可以说，《算术基础》一书是弗雷格在哲学的方面为他的数学基础研究中的逻辑主义的方案奠定基础。

弗雷格在《算术基础》中所提出的原理一共只有三条，下面我们就结合考察这三条原理来评述弗雷格的逻辑和数学思想的哲学基础。

一、逻辑规律的客观性

在弗雷格所处的时代，逻辑研究中的心理主义占支配地位。按照这种心理主义的观点，逻辑推理是一种思维的活动，思维的活动是一种心理的活动，所以逻辑的规律可以还原为心理的规律，逻辑的真理是一种主观的真理。弗雷格认为，这种心理的观点就如压在逻辑和数学成长之树上的巨石一样，为使逻辑和数学研究得以顺利展开，必须搬开这块巨石。为此，他在《算术哲学》导言中所列出的第一条原理就是：

“严格区分心理的东西和逻辑的东西、主观的东西和客观的东西。”1

弗雷格认为，这种心理主义的观点混淆了逻辑本身和从事逻辑推理的心理活动。一个人在从事逻辑推理的时候，确实发生心理的活动。这种心理的活动是主

1G. Frege，Die Grundlage der Arithmetik. Eine Logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der

观的活动，是因人而异的。一个人的心理推论活动可能正确，也可能错误，但是逻辑规律本身则是不变的，逻辑的定理是永真的。有人可能把2＋2计算为5，但是2＋2＝4的真理性不以人的计算的心理活动为转移。

我们如何得出某一个结论涉及一个心理活动的过程，但是我们凭什么论证这一结论的正确性却不能靠主观的经验和心理的规律。某一理论体系的创立是研究者的创造性的思维活动的结果，这里涉及研究者的想象力等心理特性，但是对于这一理论体系的论证要依靠逻辑，逻辑并不是依研究者的心理特征为转移的。所以弗雷格强调：

“因此，摆在我们面前的一个普遍问题是分清我们如何获得一个判断的内容和我们凭什么论证我们的断言”。1

弗雷格终其一生都在与心理主义作斗争。在其晚年的“思想”一文中，再次强调要抵制心理主义的诱惑，要分清把某物看作真的心理过程和对把某物看作真这一过程的证明。他写道：“根据心理学定律，把假看作真和把真看作真这两种情况都会出现。从这些情况进行的推导和对把某物看作真所经历的心理过程的说明，绝不能代替对把某物看作真所相关的证明”。2

弗雷格在《算术基础》中，主要考虑的数的客观性的问题。他认为，数像外部世界中的对象一样是客观的东西，数的存在不依赖于人的主观意识是否想到它们，正如外部世界中的对象的存在不依赖于人是否感知到它们一样。数不是像人的情感一样的心理的东西，数不是当人思考数的心理活动发生的时候就发生，停止的时候就停止的心理活动的伴随现象，而是客观存在的对象。他认为：“数不是心理学的对象或心理过程的结果，正如北海不是这样的对象或结果一样。”3

当人们说“北海的面积约一万平方浬”时，所断言的是一个客观的事实。北海的大小不依赖于人们的主观印象，不会因为某些人感觉到它大些而大些，或感觉到它小些而小些。同样，这个判断的真值取决于它是否符合北海面积的客观事实。如果它不符合，那么它就是假的；反之，则真的。如果把数仅仅当作主观的表象的话，那么当人的意识中浮现出数的表象的时候，数就存在；不浮现出数的表象的时候，数就不存在。然而，北海面积约一万平方浬这个事实则不依赖于人有关它的思想活动的产生而产生，停止而停止。即使从来没有想到过北海，北海面积的数量关系依然是客观的存在。这种数量关系不是人的主观想象的产物，正如北海本身不是人的主观想象的产物一样。人不是发明数量关系，而是发现数量关系。

弗雷格还认为，把数理解为人的主观的表象会导致荒谬的结论。因为人的表象是各不相同的。即使两个人看同一样东西，鉴于他们的视力的不同，所处的位置的不同，心理状况的不同，会产生不同的视觉表象。如果说数是人的表象的话，那些对于甲来说某物的面积就可以不同于对于乙来说某物的面积。对于甲来说2＋2＝4，对于乙来说就可以2＋2＝5。这当然是荒唐的。再之，不同人之间的表象不可相互直接比较。我不知道你的表象，你不知道我的表象。你的表象不可以移植到我的头脑中来。在我的头脑中的关于你的表象，实际上不是你的表象，而是我表象。然而，数量关系是可以相互比较的。数学的真理具有普遍的有效性。

1同上，第27页。

2G. Frede，Der Gedanke，Philosophie des deutschen Idealismus；I. Band（1918/ 19），第58－59页；引自G. Frege，Kleine Schriften，Damstadt 1967，第342页。