等腰三角形经典例题整理
(完整版)等腰三角形典型例题
等腰三角形1．如图，已知点C为线段AB上一点，和都是等边三角形，AN、BM相交于点O，AN、CM交于点P，BM、CN交于点Q．（1）求证：．（2）求的度数．（3）求证：．【分析】（1）欲证，只需证明它所在的两个三角形全等．（2）的度数可用的外角来求，但要注意全等所得到这一条件的使用．（3）要，则，应该为一个等边三角形，可证明≌，从而得到．（1）证明：和都是等边三角形，，，，，即．在和中，≌，．（2）由（1）知，≌，．，即．（3）在和中，≌，，．又，，即，．【点拨】（1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等．（2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等．2．如图，在中,，，的平分线AM的长15，求BC的长．【分析】由AM平分，，可得，，则，所以．在中，，可得，由，可求出BC的长．解：在中，，，．AM平分，，，．在中，，．【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法．3．如图，，，，．求证：．【分析】根据已知“，”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明转化为证明．证明：延长CE、BA交于点F．，．在和中，≌，，即．，．在和中，≌，，．【点拨】（1）利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系．（2）联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线．4．如图，△ABC中，AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE，连结DE交BC于G．求证：DG=GE．【分析】由于△ABC是等腰三角形，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，故可考虑过D或E作腰AC或AB的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论．证法1：过D作DF∥AC，交BC于F（如图）．∴∠DFB=∠ACB．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∴∠B=∠DFB．∴DB=DF．∵CE=BD(已知)，∴DF=CE．又∠DGF=∠CGE，∠GDF=∠E，∴△DFG≌△ECG（AAS）．∴DG=GE．证法2：过E作EM∥AB交BC延长线于M．∴∠B=∠M．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．又∠ACB=∠ECM，∴∠M=∠ECM．∴EC=EM．∵CE=BD(已知)，∴EM=BD．在△BDG与△MEG中，∴△BDG≌△MEG（AAS）．∴DG=GE．【点拨】（1）本题的证明方法很多，其思路是通过利用等腰三角形ABC的底角相等并借助BD=CE条件，构造新的等腰三角形来寻求结论．（2）本题在推证含DG、GE为对应边的两个三角形全等时，寻找等边是一个难点，也是本题最易出错的地方，主要表现为把BD=CE这一条件直接作为三角形全等时的对应边．5．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图（1），请你再设计两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（如图（1））．（2）图(2)（3）供画图用，作图工具不限，不要求写画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）．【分析】由于所给三角形是一个含36°的等腰三角形，因而将它分成三个等腰三角形时仍只需考虑以36°，72°，108°等为内角的等腰三角形即可．解：本题显然应有多种结果，现提供3种，以供同学们参考，如图中（2）、（3）、（4）；【点拨】像本例这种图形的分割问题的求解，一方面应把握原图形的特征，借助经验予以解决，另一方面还应大胆尝试，在操作中获得结果．6．如图，在一个宽度为的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点．将梯子的顶端放于一堵墙上Q点时，Q点离地面的高度为c，此时梯子与地面的夹角为．将梯子顶端放于对面一堵墙上R点，离开地面的高度为d，此时梯子与地面的夹角为．可知，为什么？【分析】由，，可知，又，可知为等边三角形，则，可推得．证明：连接RQ、RB．，，．又，为等边三角形，．在中，，，，，在线段PQ的垂直平分线上，．在中，，．在中，，，，即。
等腰三角形 典型题【重点】
等腰三角形典型题一、求度数类题目（主要以等边对等角、等角对等边为设未知数依据，将所有角用按x的未知数表示后，再找等量关系）1. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB，求∠A的度数。
2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD，求∠A的度数3. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数4. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA，求∠A的度数CDC5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°, 在AC 上取点E ，使AE=AD ，求∠EDC 的度数6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AECBADEP DD9. 如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的大小关系10. 如图，△ABC中，∠B=60°，角平分线AD、CE交于点O求证：AE+CD=AC11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD平分∠ABC,求证：BC=BD+AD12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60°求证：CD=AB-BDADF EBOABCDEFACFABCEF13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线求证：CD=21CE14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G 求证：EG=FG16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD 求证：AF=FCAB DFECE CA BDE 1 2FF17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BD18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30° 求证：AD=DC19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FHBDABBCDFADCF HG 12 M二、等腰三角形的性质及判定一、选择题1．等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2、如图，AB AC BD BC ==，，若40A ∠=，则ABD ∠的度数是（ ）A ．20B ．30C ．35D ．403.如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ．E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE ＝AF ．如果∠AED ＝62º，那么∠DBF ＝（ ）A ．62ºB ．38ºC ．28ºD ．26º4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，则∠A 等于（ ）A 、30oB 、40oC 、45oD 、36o5、如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠DAO+∠DCO 的大小是（ ） A ．70° B ．110 C ．140° D ．150°6．如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为（ ）A ．32B ．23C ．12D ．347、某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm二、填空题8. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，与∠BAC 相邻的外角为80°，则∠B ＝____________.AD CPB60°BCOA9.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，M 为BE 的中点，连结DM . 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 .（写出一个即可）10.如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于一点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：①AD=BE ； ②PQ ∥AE ； ③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．11、一个等腰三角形的一个外角等于110︒，则这个三角形的三个角应该为 。
专题03 等腰(直角)三角形中动点问题(老师版)
专题3等腰(直角)三角形中动点问题【典型例题】1．（2021·黑龙江集贤·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线分别交AC、AB边于点E、F．若点D为DC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为___．【答案】13.5【解析】【分析】连接MA、AD，易得MA=MC，则△CMD的周长为：MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD，当M点在线段AD上时，△CMD的周长最小，再由面积可求得AD的长，从而可求得周长的最小值．【详解】如图，连接MA、AD∵EF垂直平分线段AC∴MA=MC∴△CMD的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD∵点D为DC边的中点，BC=3∴1 1.52CD BC==∵AB=AC ∴AD⊥BC∴118 2BC AD⨯=即1318 2AD⨯=∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△MCD的周长的最小值为13.5故答案为：13.5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，三角形的面积，两点之间线段最短等知识，关键是利用线段的垂直平分线的性质定理作辅助线MA，把MC+MD的最小值问题转化为两点间线段最短来解决．【专题训练】一、填空题1．（2022·江苏昆山·八年级期末）如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．【答案】【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形有性质得到BD=3，再根据30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D，∵△ABP是以AB为底的等腰三角形，即BP=PA，∴BD=DA=12AB=3，∵∠ABC=30°，∴BP=2PD，即12BP=PD，∵BP2-PD2=BD2，∴BP2-14BP2=32，解得：BP=∵点P的运动速度是每秒1个单位长度，∴t的值为故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是_______秒时，△ABC是直角三角形．【答案】3或12【解析】【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC=13 2AB=，∴运动时间t=3311AC==秒，当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC=212AB=，∴运动时间t=121211AC==秒，当运动时间t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．故答案为：3或12【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学八年级期末）如图，在边长为6，面积为ABC中，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_______【答案】【解析】【分析】由等边三角形的对称性得到MC=BM，再利用垂线段最段解题．【详解】解：过点C 作CN AB ⊥于点N ，BD Q 平分∠BAC ，△ABC 为等边三角形，BM MC∴=∴BM +MN MC MN =+，当CN AB ⊥时，=MC MN CN +最小等边△ABC 面积为6，CN ∴故答案为：【点睛】本题考查轴对称—最短路径问题、等边三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·福建省罗源第二中学八年级期中）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝30cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，当P 点移动____________秒时，PA 与△ABC 的腰垂直．【答案】5或10【解析】【分析】根据等腰三角形性质求出∠B =∠C =30°，分PA ⊥AC 和PA ⊥AB 两种情况分类讨论，得到BP =10cm 或BP =20cm ，即可求出点P 移动的时间．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B =∠C =30°．如图①，当PA ⊥AC 时，∵∠C =30°．∴PC =2AP ，∠APC =60°，∴∠B =∠BAP =30°，∴AP =BP ，∴PC =2BP ，∴BP =13BC =13×30=10cm ，∴P 点移动了10÷2=5（秒）；如图②当PA⊥AB时，∵∠B=30°．∴PB=2BP，∠APB=60°，∴∠C=∠CAP=30°，∴AP=CP，∴BP=2CP，∴BP=23BC=23×30=20cm，∴P点移动了20÷2=10（秒）．故答案为：5或10【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形性质等知识，熟知相关定理，根据条件分类讨论是解题关键5．（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．【答案】423【解析】【分析】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．【详解】过点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB于Q，交AC于R，设AP交MN于点D，则PQ MQ =，PR RN =，∴PQR 周长为PQ QR PR MQ QR EN MN ++=++≥，当,,,M Q R N 四点共线时，即当点P 是BC 的中点时，PQR 的周长最小，如图∵30BAC ∠=︒，∴75B C ∠=∠=︒，150MPN ∠=︒，∴15M N ∠=∠=︒，∴75MQB PQB B ∠=∠=∠=︒，∴MN BC ∥，2PQ PB ==，同理2PR PC ==，∵⊥AP BC ，∴AP MN ⊥．DP MN∴⊥PQ PR =DQ DR∴=∵180757530PQR ∠=︒-︒-︒=︒，∴Rt PDQ 中，112QD PQ ==∴==2QR DQ =⨯=，∴PQR 周长的最小值是22PQ QR PR ++=+=4+．故答案为：4+【点睛】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2022·辽宁铁西·八年级期末）同学们，我们在今后的学习中会学到这个定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若∠ABC ＝30°，则12AC AB =．问题：在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC D 是边BC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，连接DE ，把△BDE 沿直线DE 折叠，点B 的对应点为点F ．当直线DF ⊥AB 时，AE 的长为_____．【答案】2或2【解析】【分析】如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，先求出AB ==3BC ，由D 是BC 的中点，可以得到1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，即可得到1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，BG ==，由此即可求出AE 的长；如图2所示，同理可得1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，则32BE BG GE BG =+==，AE AB BE =-=【详解】解：如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，∵∠ABC =30°，∠ACB =90°，∴2AB AC ==∴BC =，∵D 是BC 的中点，∴1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，∵DF ⊥AB ，∴∠DGB =∠FGB =90°，∴1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，∴4BG ==，∴2332BE BG ==，∴AE AB BE =-=如图2所示，延长FD 与AB 交于点G ，同理可求出1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，∴22BE BG GE BG =+==，∴2AE AB BE =-=，故答案为：2【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．7．（2021·全国·八年级专题练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．【答案】52或54或10【解析】【分析】根据POQ ∆是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P 在AO 上，或点P 在BO 上；根据POQ ∆是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQ AB ⊥，或PQ OC ⊥，据此进行计算即可．【详解】解：如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，103PO AO AP t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，103t t -=，解得52t =；如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，310t t -=，解得5t =；如图，当PQ AB ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2(310)t t =⨯-，解得4t =；如图，当PQ OC ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2310t t =-，解得：t =10．故答案为：52或5；4或10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．二、解答题8．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在ABC 中，90B ∠=︒，10AC =，6BC =，若动点P 从点B 开始，按B A C B →→→的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t 秒．(1)出发2秒后，求CP 的长．(2)出发几秒钟后，CP 恰好平分ABC 的周长．(3)当t 为何值时，BCP 为等腰三角形？【答案】(1)PC 52(2)出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)t ＝3或5.4或6或6.5时，△BCP 为等腰三角形【解析】【分析】（1）勾股定理求得AB 的长，进而根据速度求得出发2秒后BP 的长，Rt BCP △中勾股定理求解即可；（2）由于CP 恰好平分ABC 的周长，则P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，④当P 在AB 上时，若PC ＝PB 时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可(1)由∠B ＝90°，AC ＝10，BC ＝6，∴AB ＝8，∵P 从点B 开始，按B →A →C →B ，且速度为2，∴出发2秒后，则BP ＝4，AP ＝6，∵∠B ＝90°，∴在Rt BCP △中，由勾股定理得PC 22226452BP BC +=+=；(2)P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意可得，6＋2t ＝10＋8－2t ；解得t ＝3∴出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，得到2t ＝6；则t ＝3，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，过点B 作BD AC ⊥，则68 4.810AB BC BD AB ⨯⨯===在Rt BDP △中，22226 4.8 3.6PD PD BD =-=-=在Rt ADB 中，22228 4.8 6.4AD AB BD =-=-=8 6.4 3.610.8BA AP BA AD PD ∴+=+-=+-=即210.8t =解得 5.4t =③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，810612BA PA BA AC PC +=+-=+-=即212t =解得6t =④当P 在AC 上时，若PC ＝PB 时，15PA AB ==8513BA AP ∴+=+=得到2t＝6；则t＝6.5．综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．9．（2022·吉林·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，以CP为直角边向右作等腰直角三角形CDP，使∠DCP=90°，连接PD，BD．设点P的运动时间为t秒．(1)△ABC的AB边上高为；(2)求BP的长（用含t的式子表示）；(3)就图中情形求证：△ACP≌△BCD；(4)当BP：BD=1：2时，直接写出t的值．【答案】(1)3(2)当0＜t≤3时，PB=6-2t；当t＞3时，PB=2t-6；(3)见解析(4)t的值为2或6．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据两种情况，利用线段之间关系得出代数式即可；（3）根据SAS证明△ACP与△CBD全等即可；（4）利用全等三角形的性质解得即可．(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6，∴△ABC的AB边上高=12AB=3，故答案为：3；(2)解：∵AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动，∴点P在线段AB上运动的时间为62=3（秒），当0＜t≤3时，PB=6-2t，当t＞3时，PB=2t-6；(3)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∵∠PCD=90°，CP=CD，∴∠ACP+∠PCB=90°，∠PCB+∠BCD=90°，∴∠ACP=∠BCD，在△ACP与△CBD中，AC BC ACP BCD CP CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△CBD （SAS ）；(4)解：∵△ACP ≌△CBD ，∴AP =BD ，当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当0＜t ≤3时，2t =2(6-2t )，解得：t =2；当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当t ＞3时，2t =2(2t -6)，解得：t =6，综上所述，t 的值为2或6．【点睛】本题是三角形的综合题，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．10．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在锐角△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AD ⊥BC 于点D．(1)如图1，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，求证：AC =BF ；(2)动点P 从点D 出发，沿射线DB 运动，连接AP ，过点A 作AQ ⊥AP ，且满足AP AQ =．①如图2，当点P 在线线段BD 上时，连接PQ 分别交AD 、AC 于点M 、N ．请问是否存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，若有，求此刻∠APD 的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ ，交直线AD 与点F ，当点P 在线段BD 上时，试猜想BP 和DF 的数量关系并证明；当点P 在DB 的延长线上时，若27AD FD =，请直接写出PB BD 的值．【答案】(1)证明过程见解析．(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，∠APD =30°，理由见解析．②BP =2DF ，47PB BD =【解析】【分析】（1）根据已知条件，证明△BDF 和△ADC 全等，即可得出AC =BF ．（2）①因为∠C =60°在Rt △ABC 中∠CAD =30°，∠PAQ =90°，由对称的性质可知∠PAD =∠QAC =30°，所以可以得出∠APD =60°；②过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,可证△APD ≌△QAE ，得出AE =PD ，再证△APD ≌△QAE ，得出EF =DF ，再通过等量代换即可．(1)证明：∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC =90°又∵∠B =45°∴△ABD 是等腰直角三角形∴AD =BD∵BG ⊥AC∴∠BGC =90°又∵∠C =60°∴∠DAC =90°-∠C =90°-60°=30°∠FBD =90°-∠C =90°-60°=30°∴∠DAC =∠FBD在△BDF 和△ADC 中，FBD CDA BDF ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC ∴AC =BF(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称∵AQ ⊥AP∴∠QAP =90°由(1)的证明知∠DAC =30°，根据对称的性质，得∠PAD =∠QAC =2QAP CAD ∠-∠=90︒︒－30２=30°∵∠ADP =90°∴∠APD =90°-∠PAD =90°-30°=60°②BP =2DF理由如下:如图4所示,过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,那么∠AEQ =∠FEQ =90°∴∠AQE +∠QAE =90°又∵∠PAD +∠QAE =90°∴∠AQE =∠PAD在△APD 和△QAE 中，AQE PAD AEQ PDA AQ AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△QAE ∴AE =PD ；AD =QE∴DE =BP又∵AD =BD∴BD =QE在△QEF 和△BDF 中，QEF BDF EFQ DFB EQ DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QEF ≌△BDF∴EF =DF∴BP =2DF当点P 在DB 的延长线上时，如下图所示，由上述证明过程可知PB =2DF ，BD =AD又已知27AD FD∴DF =27AD∴PB =2×27BD =47BD ∴PB BD =47【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过适当的作辅助线找等量关系从而得出三角形全等，再由全等的性质找出线段的关系，本题是一道压轴题，比较难．11．（2022·北京顺义·八年级期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB BC的值为△ABC 的正度．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，若D 是△ABC 边上的动点（D 与A ，B ，C 不重合）．（1）若∠A ＝90°，则△ABC 的正度为；（2）在图1，当点D 在腰AB 上（D 与A 、B 不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD ，保留作图痕迹；若△ACD的正度是2，求∠A 的度数．（3）若∠A 是钝角，如图2，△ABC 的正度为35，△ABC 的周长为22，是否存在点D ，使△ACD 具有正度？若存在，求出△ACD 的正度；若不存在，说明理由．【答案】（1）22（2）图见解析，∠A =45°（335．【解析】【分析】（1）当∠A＝90°，△ABC是等腰直角三角形，故可求解；（2）根据△ACD的正度是22，可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形，故可作图；（3）由△ABC的正度为35，周长为22，求出△ABC的三条边的长，然后分两种情况作图讨论即可求解．【详解】（1）∵∠A＝90°，则△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC∵AB2+AC2=BC2∴BC∴△ABC2故答案为：2 2；（2）∵△ACD1）可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形故作CD⊥AB于D点，如图，△ACD即为所求；∵△ACD是以AC为底的等腰直角三角形∴∠A=45°；（3）存在∵△ABC的正度为3 5，∴ABBC＝35，设：AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x，∵△ABC的周长为22，∴AB＋BC＋AC＝22，即：3x+5x+3x＝22，∴x＝2，∴AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，AC＝3x＝6，分两种情况：①当AC＝CD＝6时，如图过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝5，∵CD ＝6，∴DE ＝CD −CE ＝1，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AE =在Rt △AED 中，由勾股定理得：AD =∴△ACD 的正度＝AC AD =②当AD ＝CD 时，如图由①可知：BE ＝5，AE ，∵AD ＝CD ，∴DE ＝CE −CD ＝5−AD ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2−DE 2＝AE 2，即：AD 2−（5−AD ）2＝11，解得：AD ＝185，∴△ACD 的正度＝185365AD AC ==．综上所述存在两个点D ，使△ABD 具有正度．△ABD 35．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是理解正度的含义、熟知勾股定理与等腰三角形的性质．12．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD 为ABC 的中线，点E 是射线AD 上一动点，连接CE ，作60CEM ∠=︒，射线EM 与射线BA 交于点F ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，求证：2AB AF =；（2）如图2，当点E 在线段AD 上，且与点A ，D 不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．（3）当点E 在线段AD 的延长线上，且ED AD ≠时，直接写出用等式表示的线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）AB AF AE =+，证明见解析；（3）当AD ED >时，AB AF AE =+,当AD ED <时，AB AE AF=-【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，从而可得在Rt ADB 中，30B ∠=︒，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，再证明()BGE FAE ASA ≅，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当AD ED >时，当AD ED <时，分别画出图形，证明()BHE FAE ASA ≅或()NEF AEC ASA ≅，进而即可得到结论．【详解】（1）∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∵120BAC ∠=︒，∴30B C ∠=∠=︒,18012060FAC ∠=︒-︒=︒，∵AD 为ABC 的中线，∴60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，∴6060120DAF CAD FAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵60CEM ∠=︒，∴906030ADF ∠=︒-︒=︒，∴180(12030)30AFD ∠=︒-︒+︒=︒，∴AD AF =，在Rt ADB 中，30B ∠=︒，∴22AB AD AF ==；（2）AB AF AE =+，证明如下：如图2，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，∵60BAC ∠=︒，∴AEG △是等边三角形，∴60AEG ∠=︒，120BGE FAE ∠=∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴EB EC =，BED CED ∠=∠，∴AEB AEC ∠=∠，即AEG GEB CEF AEF ∠+∠=∠+∠，∵60CEF AEG ∠=∠=︒，∴GEB AEF ∠=∠，在BGE △与FAE 中，GEB AEF EG EA BGE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BGE FAE ASA ≅，∴GB AF =，∴AB GB AG AF AE =+=+；（3）当AD ED >时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB 上取点H ，使EH EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEH △是等边三角形，∴120BHE FAE ∠=∠=︒，60AEH ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴BED CED ∠=∠，∵60CEF AEH ∠=∠=︒，∴HEB AEF ∠=∠，∴()BHE FAE ASA ≅，∴HB AF =，∴AB HB AH AF AE =+=+，当AD ED <时，如图4所示：在线段AB 的延长线上取点N ，使EN EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEN △是等边三角形，∴60AEN FNE ∠=∠=︒，∵60CEF AEN ∠=∠=︒∴NEF AEC ∠=∠，在NEF 与AEC △中，60FNE CAE EN EA NEF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()NEF AEC ASA ≅，∴NF AC AB ==，=，∴BN AF=-=-，∴AB AN BN AE AF∴AB AE AF=-．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．。
等腰三角形 典型例题
典型例题例题1 如图，P、Q是边BC上的两点，且，求的度数．分析由已知为等边三角形，故可求得它的外角的度数，又由等腰三角形的性质求得底角的度数．解（已知）∴（等边三角形三个角都为60°）∴（等边对等角）又（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和）∴同理∴说明几何计算的目的通常是找量与量的关系，等腰三角形的两底角相等，等边三角形三内角均为60°，等腰三角形三线合一的性质等都是建立量与量的关系的依据．例题2 如图，在中，在CA的延长线上，是高．试说明EF与BC的位置关系．并说明理由．分析画出准确的图形，能看出，三角尺也能显示出有这样的关系，但这并不能作为理由．真正的理由应该用我们所学的知识去推理．结论是，从图中看EF、BC没有联系，但AD与BC是垂直的，只要说明，问题就解决了．解∴又为的一个外角∴∴∴∴∴说明（1）在同一三角形中，有边相等，要联想到角相等．（2）在这里AD起到“桥梁”的作用，有的题题目中没有现成的“桥梁”，还可以自己“制造”“桥梁”．拿本题来说，过点A画BC的平行线与EF相交，或者，过点E作BC的平行线与BA的延长线相交，也都可以作为“桥梁”．有兴趣的同学可以试一试．例题3 如图是我们最为熟悉的图形之一，这个图形可以看做是按照一定规则连结正五边形的顶点得到的，被称为正五角形．这个图形有几条对称轴？在这个图形中有哪些个等腰三角形？分析由这个图形与正五边形的关系知过点和B的直线，以及有类似特点的直线都是这个图形的对称轴．由于直线是图形的对称轴，所以图形沿直线进行翻折后，点与点重合，这使得线段与重合，线段与重合，可见与都是等腰三角形，利用同样的思路可以发现图中的其他等腰三角形．解这个图形有五条对称轴．在这个图形中共有十个等腰三角形，可以视为两组：；，以及说明如果你只发现了图中的五个三角形，请不要以“粗心”原谅自己，而应该感到自己从多角度观察、思考问题的意识不强，基本功还差．例题4 一个等腰三角形的周长为18cm，一边长为4cm，求其他两边的长．分析题目中给出“一边长为4”，究竟是腰长为4，还是底边长为4呢？都无法确定，也许这两种情况都有可能，所以应该分两种情况进行讨论．解若以4cm长的边为底边，设腰长为x cm，则 cm．若以4cm长的边为腰，设底边长为x，则 cm．，出现二边之和小于第三边的情况，所以以4cm长为腰不能组成三角形．故其他两边的长为7cm、7cm．说明（1）涉及等腰三角形的边的问题，在未指明腰和底的情况下，要分情况予以讨论．（2）凡涉及三角形三边的长时，一定要检查三边能否构成一个三角形。
等腰三角形经典习题(必看)
等腰三角形经典习题(必看)等腰三角形经典题（必看）以下是一些经典的等腰三角形题，希望能对你的研究有所帮助。
1. 判断等腰三角形给定一个三角形ABC，其中AB=AC。
你需要判断这个三角形是否为等腰三角形。
解答：如果角B等于角C，则该三角形为等腰三角形。
2. 求等腰三角形的周长已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，且BC=8cm。
你需要求解这个等腰三角形的周长。
解答：由于AB=AC且BC=8cm，那么周长等于AB+AC+BC=2AB+BC=2(BC/2)+BC=BC+BC=2BC=2*8cm=16cm。
3. 求等腰三角形的面积已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC=10cm，且角BAC等于60度。
你需要求解这个等腰三角形的面积。
解答：由于AB=AC=10cm且角BAC等于60度，我们可以利用正弦定理来计算三角形的高。
设三角形的高为h，那么有sin60度=h/10cm，解得h=10cm*sin60度=10cm*sqrt(3)/2=5sqrt(3)cm。
等腰三角形的面积可以通过底边乘以高再除以2来计算，即面积=10cm*5sqrt(3)cm/2=25sqrt(3)cm²。
4. 求等腰三角形的顶角已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC=5cm，且BC=6cm。
你需要求解这个等腰三角形的顶角。
解答：由于AB=AC=5cm且BC=6cm，我们可以使用余弦定理来计算角BAC的大小。
设角BAC为x度，则有cosx=(5²+5²-6²)/(2*5*5)=19/25。
解得x=arccos(19/25)≈31.8度。
因此，等腰三角形的顶角大约为31.8度。
以上是一些关于等腰三角形的经典习题，希望对你的学习有所帮助。
如果你还有其他问题，请随时向我提问。
等腰三角形与直角三角形练习题
等腰三角形与直角三角形练习题一、等腰三角形练习题（一）基础巩固1、已知等腰三角形的一个内角为 80°，则它的另外两个内角分别是多少度？解：当 80°的角为顶角时，底角的度数为：（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°，所以另外两个内角分别是 50°，50°。
当 80°的角为底角时，顶角的度数为：180° 80°× 2 ＝ 20°，所以另外两个内角分别是 80°，20°。
2、等腰三角形的两边长分别为 6 和 8，则其周长是多少？解：当腰长为 6 时，三边长分别为 6，6，8，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 6 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 20。
当腰长为 8 时，三边长分别为 8，8，6，因为 8 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 8 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 22。
综上，其周长为 20 或 22。
3、一个等腰三角形的周长为 20，其中一边长为 8，求另外两边的长。
解：当 8 为腰长时，底边长为 20 8× 2 ＝ 4，因为 8 ＋ 4＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 8，4。
当 8 为底边时，腰长为(20 8)÷ 2 ＝ 6，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 6，6。
（二）能力提升1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为多少？解：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为 60°。
当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的外角为 60°，所以顶角为 120°。
综上，顶角的度数为 60°或 120°。
2、如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，∠B ＝30°，求∠1 和∠ADC 的度数。
等腰三角形试题参考模板范本
等腰三角形 姓名一、填空题（16×2′=32′）1、已知等腰三角形一腰长为2cm ，底边的长为1cm ，则它的周长为 cm 。
2、已知等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为3、已知等腰三角形的两边长分别为4和54、已知等腰三角形的底角为5005、已知等腰三角形的一个角为3806、已知等腰三角形的一个角为12007、已知如图，AB=AC ，∠A=360，∠1=∠ 图中等腰三角形 个8、已知：如图，D 是ΔABC 中AB 边上一点，E 是CA 延长线上一点，EAB=AC ，AE=AD ，∠B=400，则∠E= 度；∠1= 度 A9、画水平放置的正三角形ABC 的直观图， D 1画法：1、画AB 边上的高CD B E C2、画线段A ′B ′，使A ′B ′=3、取 画∠ED ′B ′= C E4、在射线DE 上截取D ′C ′=1/2DC C ′5、连A ′C ′，B ′C ′∴Δ 就是水平放置的正三角形ABC 的 A D B A′ D ′ B ′ 10、下列命题中，①两直线平行，同位角相等；②全等三角形对应角相等；③在一个三角形中，等边对等角；④等腰三角形是等边三角形。
它们的逆命题是真命题的个数有 个二、选择题（4′×7=28′） A11、如图，在等腰三角形的底边BC 上的高AD 上取一点E ， E连BE ，CE ，则图中有全等三角形的对数（ ）A 、0对B 、1对C 、2对D 、3对 B D C12、如果等腰三角形的一个外角为1350，那么底角为（ ）A 、450B 、720C 、67.50D 、450或67.5013、以下命题属于假命题的是（ ）A 、两底角相等的三角形是等腰三角形B 、在一个三角形中，等边对等角C 、ΔABC 中，∠A=∠B ，则ΔABC 是等腰三角形D 、有一个角是600的等腰三角形是正三角形14、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组⎩⎨⎧=+=+7342y x y x 的解，这个三角形的周长为（ ）A 、3B 、4C 、4或5D 、515、等腰三角形一腰上的中线分此三角形为两个三角形，若这两个三角形的周长相差2，且等腰三角形底边长是8，则它的腰长是（ ）A 、3或5B 、5或6C 、5或10D 、6或1016、已知等腰三角形顶角等于一个底角的两倍，那么这个底角为（ ）A 、300B 、450C 、600D 、90017、若a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则ΔABC 是（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、非特殊三角形三、解答题（共40′）18、（10′）在ΔABC中，AB=AC，∠CDA=600，AD⊥AC于点A，求∠BAD的度数AB D C19、（10′）画一个水平放置的底边长为2.5cm，高为3cm的正三棱柱直观图20、（10′）如图OB，OC分别是ΔABC的∠ABC和∠ACB的平分线，交于点O，过O作OE∥AB交BC于E，OF∥AC交BC于F，BC=1998，求ΔOEF的周长AOB E F C21、（10′）如图，ΔBCE，ΔADC都是正三角形，求证：AE=BDDEA C B。
等腰等边三角形典型题
等腰等边三角形典型题一、等腰三角形典型题1. 题目：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 50°，求∠B和∠C的度数。
- 解析：因为AB = AC，所以△ABC是等腰三角形，等腰三角形两底角相等。
三角形内角和为180°，已知∠A=50°，设∠B = ∠C = x，则可列方程x + x+50° = 180°，2x=180° - 50°，2x = 130°，解得x = 65°，所以∠B = ∠C = 65°。
2. 题目：等腰三角形的一个角是70°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
- 解析：分两种情况讨论。
- 当这个70°的角是底角时，因为等腰三角形两底角相等，所以另一个底角也是70°，根据三角形内角和为180°，则顶角为180°-70°×2 = 180° - 140°=40°。
- 当这个70°的角是顶角时，顶角就是70°。
3. 题目：已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，求这个等腰三角形的面积。
- 解析：先作等腰三角形底边上的高。
因为等腰三角形三线合一（底边上的高、中线、顶角平分线三线合一），所以底边上的高将底边平分。
底边长为6cm，则底边的一半是3cm。
根据勾股定理，高h=√(5^2)-3^{2}=√(25 - 9)=√(16) = 4cm。
三角形面积S=(1)/(2)×底×高=(1)/(2)×6×4 = 12cm^2。
二、等边三角形典型题1. 题目：等边三角形ABC的边长为6，求它的高和面积。
- 解析：- 求高：因为等边三角形三线合一，设等边三角形的高为h，边长为a = 6，根据勾股定理h=√(a^2)-<=ft((a)/(2))^{2}=√(6^2)-3^{2}=√(36 - 9)=√(27)=3√(3)。
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D
A
CF D
图6
B
C
9. 已知，如图，△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AB 的垂直平分线交 AB 于 E，交 AC 于 D， AD ＝ 8，∠ A ＝ 30°，求 CD 的长。
C D
A
E
B
10、如图 11，在△ ABC 中，∠ A＝ 90°， AB ＝AC ， D 为 BC 边中点， E 、 F 分别在 AB 、
B
C
D 4 已知，如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ，D 是 AB 上一点， E 是 AC 延长线上一点， DE 交 BC
于 F，又 BD＝ CE，求证： DF＝ EF
A
D
B
C
F
E
5. 如图， P 是等边三角形 ABC内的一点，连结 PA、 PB、PC， ?以 BP 为边作∠ PBQ=60°，且 BQ=BP，连结 CQ．观察并猜想 AP与 CQ之间的大小关系，并证明你的结论．ຫໍສະໝຸດ A DBEC
例例 4 、如图 9 ，已知 AD 为△ ABC 的高， E 为 AC 上一点， BE 交 AD 于 F ，且有 BF ＝ AC ，
FD ＝CD ，你认为 BE 与 AC 之间有怎样的位置关系 ? 你能证明它吗？
证明：线段 BE ⊥ AC ，理由如下：
∵AD ⊥ BC ，∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝ 90°，
B
D
C
图5
证明：过 E 作 EF ⊥ CD 于点 F， ∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ B＝ 60°，∴∠ BEF ＝ 30°， ∴BE ＝ 2BF ，即 BA ＋ AE ＝ BC ＋ BD ＝2BC ＋ CD ＝ 2（ BC ＋CF ）， ∴CD ＝ 2CF ， ∴ CF ＝ DF ，
在△ CEF 和△ DEF 中， CF ＝DF ，∠ CFE ＝∠ DFE ＝ 90°， EF ＝ EF ，
AC 上，且 DE ⊥DF ，求证： AE ＋ AF 是一个定值 .
A
F
E
C
B
D
图 11
已知，如图，△ ABC 是等边三角形， E 是 AB 上一点， D 是 AC 上一点，且 AE ＝CD，又 BD 与 CE 交于点 F，试求∠ BFE 的度数。
A
E
D
F
B
C
6. 已知，如图，△ ABC 中，∠ B ＝ 90°， AC 的垂直平分线交 AC 于 D，交 BC 于 E，又∠ C＝ 15°， EC＝ 10，求 AB 的长。
6，已知，如图， AB ＝AC ＝ CD ，求证：∠ B＝ 2∠ D A
B
C
D
E
7、如图 6 ，在等边△ ABC 中， D、E 分别在边 BC 、BA 的延长线
上，且 AE ＝ BD ，求证： CE ＝ DE .
A
B
8·已知，如图，△ ABC 是等边三角形， AD//BC ，AD ⊥ BD ，BC ＝6，求 AD 的长。
即 BE ⊥ AC .
图9
D
C
例 1、如图 5 ，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 O 在△ ABC 内， OB
A
＝OC ，求证： AO ⊥ BC .
证明：延长 AO 交 BC 于点 D，
O
∵AB ＝ AC ， OB ＝OC ， OA ＝OA ，∴△ ABO ≌△ ACO ， ∴∠ BAO ＝∠ CAO ，即∠ BAD ＝∠ CAD ， ∴AD ⊥ BC ，即 AO ⊥ BC .
5、如图， AB=AC ，∠ ABD= ∠ ACD ，请你说明 AD 是 BC 的中垂线。 A
B
C
D
1．等腰三角形 ABC中，AB=AC，一腰上的中线 BD?将这个等腰三角形周长分成 15 和 6 两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
2、如图，在△ ABC 中，∠ B 和∠ C 的平分线相交于点 O，且 OB=OC ，请说明 AB=AC 的
理由。
A
O
B
C
3· .已知， AB ＝ AC ，∠ ABD ＝∠ ACD ，求证： DB ＝ DC A
A
∴∠ FBD ＋∠ BFD ＝90°，
在 Rt △BDF 和 Rt△ ADC 中， BF ＝ AC ，FD ＝CD ， ∴Rt △ BDF ≌ Rt △ ADC ， ∴∠ BFD ＝∠ C ，∴∠ FBD ＋∠ C＝ 90°，
E F
∴∠ BEC ＝ 180°－（∠ FBD ＋∠ C）＝ 180°－ 90°＝ 90°， B