江苏省百校联考2020届高三第四次试卷数学试题带附加题(带答案)
2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷
数学试题
第I 卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{2，5}，B ＝{3，5}，则A U B ＝ ． 2．已知复数z 满足
12i
i z
+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 3．A ，B ，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为 ．
4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值 为 ．
5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛 一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看 电影，则该同学在家学习的概率为 ．
6．已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则
6a 的值为 ． 第4题
7．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜
2
π
)的部分图象如图所示，则(0)f 的值为 ．
第11题 第12题 第7题
8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，若过右焦点且与x 轴垂直的直
线与两条渐近线围成的三角形面积为c 2，则双曲线的离心率为 ． 9．已知m ，n 为正实数，且m ＋n ＝mn ，则m ＋2n 的最小值为 ． 10．已知函数()4f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为 ．
11．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一 个半径为1的不锈钢制的实
心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为 ．
12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝4，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，若AE DE 1⋅=-u u u r u u u r
，
则AF CD ⋅u u u r u u u r
的值为 ．
13．函数()f x 满足()(4)f x f x =-，当x ∈[﹣2，2)时，3223 2()1, 2
x x a x a
f x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩,，若函数()
f x 在[0，2020)上有1515个零点，则实数a 的范围为
．
14．已知圆O ：2
2
4x y +=，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A(2，2)，若AP 2＋AQ 2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
如图，已知在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F ，G 分别为AC ，PA ，PB 的中点，且AC ＝2BE ． （1）求证：PB ⊥BC ；
（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点．
16．（本小题满分14分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m u r ＝(a ，b ﹣c )，n r
＝(sinA ﹣sinB ，sinB ＋sinC)，
p u r ＝(1，2)，且m u r ⊥n r ．
（1）求角C 的值；
（2）求n p ⋅r u r
的最大值．
17．（本小题满分14分）
已知椭圆C ：22
221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12
，P 是椭圆上的
一个动点（不与左，右顶点重合），且△PF 1F 2的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线AP ，QF 2交于
点M ．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线PF 2与椭圆交于另一点N ，且22AF M AF N 4S S =△△，求点P 的坐标．
18．（本小题满分16分）
管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为L crn 的清洁棒在弯头内恰好处于AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，θ∈(0
，
2
π)）． （1）请用角θ表示清洁棒的长L ；
（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度．
19．（本小题满分16分）
已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，且1122b a ==，
2354b S =，2211a T +=．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++L ； （3）是否存在正整数m ，使得
1
m m m m
S T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的
m 的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分16分）
已知函数4
()(1)e x
f x x
=-，()1a
g x x
=
-(a ∈R)（e 是自然对数的底数，e ≈2.718…）． （1）求函数()f x 的图像在x ＝1处的切线方程；
（2）若函数()
()
f x y
g x =
在区间[4，5]上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x g x =+在区间(0，+∞)上有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且1()h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．
第II 卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵M ＝ 1 4a b -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
(a ，b ∈R)不存在逆矩阵，且非零特征值对应的一个特征向量αu r ＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的
值．
B ．选修4—4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，
建立极坐标系，已知曲线C 1：sin()24π
ρθ+
=-，曲线C 2：cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），求曲线C 1，C 2交
点的直角坐标．
C ．选修4—5：不等式选讲
已知凸n 边形A 1A 2A 3…A n 的面积为1，边长A i A i ＋1＝i a (i ＝1，2，…，n ﹣1)，A n A 1＝n a ，其内部一点P 到边A i A i
＋
1
＝i a (i ＝1，2，…，n ﹣1)的距离分别为d 1，d 2，d 3，…，d n ．求证：
212
1212222()n n n n
a a a n a a a d d d +++≥L L ．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且AD// BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ．
（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小；
（2）若CQ CP λ=u u u r u u u r (0≤λ≤1)，且直线BQ 与平面PDC 所成角为3
π
，求λ的值．
23．（本小题满分10分）
如图，正方形AGIC是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，A~I处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行．小明上学需沿街道从I处骑行到A处（不考虑A，I处的红绿灯），出发时的两条路线(I→F，I→H)等可能选择，且总是走最近路线．
（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？
（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E处，且全程不等红绿灯的概率；
（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？
备用图
参考答案。
江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷含附加题(解析版)2020.3
（1）求证：AC1∥平面 PBD；
（2）求证：BD⊥A1P．
16．（14
分）在△ABC
中，内角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c，cosB=
4．
5
（1）若 c＝2a，求������������������������的值；
������������������������
（2）若 C﹣B= ������，求 sinA 的值．
e=
12，A，B
是椭圆的左、右顶点，P
是椭圆上不同于
A，B
的
一点，直线 PA，PB 倾斜角分别为 α，β，则������������������������������������((������������−+������������)) =
．
10．在△ABC
所在的平面上有一点
→
P，满足������������
4
17．（14
分）在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C：������������22
+
������2 ������2
=1（a＞b＞0）的右焦点为
F（1，0），且过
点(1，
3)．过点
F
且不与
x
轴重合的直线
l
与椭圆
C
交于
A，B
两点，点
P
→
在椭圆上，且满足������������
+
→
������������
������．已知
3
CD＝4m，CE＝2m．
（1）当 M，D 重合时，求路灯在路面的照明宽度 MN；
（2）求此路灯在路面上的照明宽度 MN 的最小值．
2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题含答案
2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题第I 卷(必做题，共160分)一、填空题 (本大题共14小题，每小题5 分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．) 1．已知集合A ＝{2 ，5} ，B＝{3 ，5} ，则A U B＝．1 2i2．已知复数z满足i(i 为虚数单位) ，则复数z的实部为．z3．A，B，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值为．5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为．6．已知数列a n 满足a1 1，且3a n 1a n a n 1 a n 0 恒成立，则a6 的值为7．已知函数f (x) Asin( x ) (A> 0， > 0，的值为．22xy 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 2 21(a> 0，b>0)的焦距为2c，若过右焦点且ab与x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为c2，则双曲线的离心率为9．已知m，n 为正实数，且m＋n＝mn，则m＋2n 的最小值为．10．已知函数f (x) x x 4 ，则不等式f (a 2) f (3) 的解集为< 2) 的部分图象如图所示，则f (0)第 4 题第7题第11 题第12 题2 的圆锥形容器中，装有深度为 h 的水，再放入一 个半径为 1 半球的大圆面、 水面均与容器口相平， 则 h 的值为 ．ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝4，E ，F 分别是 BC ，CD 的中uuur uuur uuur uuur点，若 AE DE 1 ，则 AF CD 的值为13．函数 f(x)满足 f (x) f(x 4)，当 x [﹣2，2)时，f(x)若函数 f （x ）在［0，2020）上有 1515个零点，则实数 a 的范围为14．已知圆 O ：x 2 y 2 4，直线 l 与圆O 交于 P ，Q 两点， A （2 ，2），若AP 2＋AQ 2＝ 40， 则弦 PQ的长度的最大值为 ．二、解答题 （本大题共 6 小题，共计 90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． ）15．（本小题满分 14 分） 如图，已知在三棱锥 P —ABC 中，PA ⊥平面 ABC ，E ，F ，G 分别为 AC ，PA ，PB 的中 点，且 AC ＝2BE ．（ 1）求证： PB ⊥BC ；（ 2）设平面 EFG 与 BC 交于点 H ，求证： H 为 BC 的中点．16．（本小题满分 14 分） ur r 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 m ＝（a ，b ﹣c ），n ＝（sinA ﹣ ur ur rsinB ， sinB ＋ sinC ）， p ＝ （1，2），且 m ⊥ n ．（1）求角 C 的值；r ur（2）求 n p 的最大值．11．如图，在一个倒置的高为的不锈钢制的实心半球后，12．如图，在梯形 322 x 3x a ,2 x a1 x, a x 217．（本小题满分 14 分）18．（本小题满分 16 分） 管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具， 现欲用清洁棒清洁一个 如图 1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图 2所示，一根长度为 L crn 的清洁棒在弯头内恰好处于 AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小， （0， ））．2（ 1）请用角 表示清洁棒的长 L ；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长 度．22 已知椭圆 C ：x 2 y 2 a 2 b 21（a >b >0）的左顶点为 A ，左右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为 12 ，P 是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合） 称点为 Q ，直线 AP ，QF 2 交于点 M ．（ 1）求椭圆方程；，且△ PF 1F 2的周长为 6，点 P 关于原点的对2）若直线 PF 2 与椭圆交于另一点N ，且 S △AF 2M 4S △AF 2N ，求点P 的坐标．是否存在正整数 m ，使得 S m T m 1 恰好是数列 a n 或 b n 中的项？若存在，求Sm Tm出所有满足条件的 m 的值；若不存在，说明理由．20．(本小题满分 16 分)4 x a已知函数 f (x) (1 )e x，g(x)1( a R)( e 是自然对数的底数， e ≈2.718⋯)．xx(1)求函数 f (x) 的图像在 x ＝1处的切线方程；f ( x)(2)若函数 y在区间 [4，5]上单调递增，求实数 a 的取值范围；g(x)( 3)若函数 h(x) f(x) g(x)在区间(0， )上有两个极值点 x 1，x 2(x 1< x 2)，且 h(x 1) m 恒成立，求满足条件的 m 的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)19．(本小题满分16 分)已知等差数列a n和等比数列 b n 的各项均为整数，它们的前 n 项和分别为 S n ，T n ，且 b 1 2a 1 2 ，b 2S 354， a 2 T 2 11． 1) 求数列 a nb n 的通项公式；2) 求M na 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 La nb n ；3)第 II 卷（附加题，共 40 分）21．【选做题】本题包括 A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计 20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修 4—2：矩阵与变换1 a ur 已知矩阵 M ＝ （a ，b R ）不存在逆矩阵， 且非零特征值对应的一个特征向量b 41 ，求 a ， b 的值．1B ．选修 4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 且在两种坐标系中取相同的长度单位， 建立极坐标系， 已知曲线 C 1： sin （ ） 4 （ 为参数），求曲线 C 1，C 2 交点的直角坐标．C ．选修 4—5：不等式选讲已知凸 n 边形 A1A 2A 3⋯A n 的面积为 1，边长 A i A i ＋1＝ a i （i ＝1，2，⋯，n ﹣1），A n A 1＝an ，其内部一点P 到边 A i A i ＋1＝ a i （i ＝1，2，⋯，n ﹣1）的距离分别为 d 1，d 2，d 3，⋯，d n ．求证：2a 1 2a 2 d 1d 2L 2d a nn (n na 1a 2 L a n )2．2，曲线 C 2： x cos2y sin【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且AD// BC，AB ⊥BC，AB ＝BC ＝2AD ＝2，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB⊥平面ABCD．（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小；uuurCP （0≤≤1），且直线BQ 与平面PDC 所成角为，求的值．323．（本小题满分10 分）如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，A~I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30 秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1 分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行．小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A ，I 处的红绿灯），出发时的两条路线（I →F，I→H）等可能选择，且总是走最近路线．（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？uuur2）若CQ备用图参考答案⑵设2=島+島朋(0 •升 则/.'(0)■一g¾∙8曲U 汐・ (6)分sm∙0Co¥0sm'tfcos∙0令 ∕/(¢)-0. Wl tan l d≡^.即 tan 0=y. ....................................................................................................... 8 分 设 Ae<O∙-≡∙).H.tan Λl =y∙M当 氏 W∙e )时∙"n tf<4 .L ∖θ)<O.所以LW)单問递减；17.M≡<1)因为椭IMl 的离心华为y∙ΔPF F 的周长为6•设椭関的悠片为2-2ci + 2<∙- 6∙ w⅛4・ ..................................................................................................................................... 2分Ir +/ —a : •斜得 α 2∙C = 1 ∙Λ~y3 •所以捕Bl 方《1为；+β⅛F∙ ................................................................................................................... 4分負 上⑵设 PS •”》•则¥ + '；• = 1∙ H. Q< —“『•一”>• 所U AP 的方秤为、='鳥( r+2)(D∙/W I L若≡= -I.MIJ QF 的方Ig 为r-10.Il 1对祢性不妨令点P 在丁轴I:方•J — 1 • ()9 即 M(l∙*)∙则 P(-l∙寻)∙QU∙-弓〉.联走(D∙PF Z 的方程为~(χ-D.R 人馳圈方程側N 谭•一却•Sa z 寺皿 IE VUSr ∣ΛF: IyVl I ^l2—=7H4∙不符合条 I —« IH若 ∕Λ≠-1.则 QF 的ZfTV 为 y=二•即 V=A T=I '“一“③•{r 3//1 ♦ 1 ■.、 所以 M(3W +4∙3Q∙ ....................................................................................... 8 分y ■ 3w •M 为 S “屮= 4Sg 八•所以* ×ΛF z X NI =4 X * X ΛF i X |八 | •即 IMI =4 IyS .乂 1月为M∙N 位于∙r 轴*駕•所以V 、N —普. 冈为P ・F ：・N 三点共线.即丙IjF 茂廉线. 所以 W<X ∖ -D = -γ<m-1).即 Xv = -一严所以÷<】•所以(十一"A —加=等・駢彳？加=*•所以刃=士呼•所以点P 的唯标为(*・晋 > 或 ........................................................10分12分Il 分所以^O=A 时丄(刃取衍极小值. ......................................................... 11分 所以 L(^mh-UΛ).因为 Ian G =号"•所以 Sin 9 ="∣-co∙ 9 • 乂 Sin ^>÷cos 2β — U 所以 ∞s'β)≡s 占♦又β>6(0∙:).所以CoSa)=-^ •所以 Zn 仇 =-^= • .................................................. M ........................................................................................................................................................................ 分/13 /13所以 L(Λ∙)-~■ + —⅛-13 /T3(cm).SIn a. CoS 仇所以能通过JltWft 的铁Iwt 大长度为13/13 CnL ................................................................................. 16分19•解s (l>ftft 列｛<⅛｝的公差为水数刘仏> 的公比为g∙固为 6∣≡2α∣≡2.¼S l ≡54.<⅛ ÷7⅛≡11.所以(∣.≡2∕!-b¼-2∙3∙-1. ............................................................................................................................ 4 ........................................................................................................................................................................ 分(2)ιVf M =αΛ+αt ¼+αa ¼+-+α>ll = l×2÷3×2×3+5×2×3t +∙∙∙+(2w -l)×2×3j ,・ 3Λt -l×2×3+3×2×3f + ∙∙∙+ (2Λ-3)×2×3∙ ,+(2w-l)×2×3β. 所以一2M∙ = 2+4(3+3' 3- l ) (2Λ-1)×2×3∙= 4-< lw-4) ∙ 3*∙所以 M t = 2(w-∣) ∙r+2. .......................................................................................................................... 8 ........................................................................................................................................................................ 分(3 川 I(I)Uf {⅛S --√.K≡3M - 1.因为装⅜1是数列几;或人中的•项•所以山定“ •所以(L-Ixm-1) = (3-L)3-∙M 为肿一 l≥O∙L>O∙所以 1V1≤3∙又 L ∈N∙ ∙WL=2⅛L=3. (12)....................................................................................................................................................................... 分IML=2时•冇S-I) =犷•即U⅛J = 1∙令 /S )=型F∙UΛZZ 1 «> c 、(m÷l)x -1 ι∙r 2 — 1 JU∕(Λ+1) /(m)- ----------- 尹T ---- 3." Zm t —2nι—3 1I 加=1 时∙∕( 1)<∕(2)I l ∣ m≥2 Rj√(m÷ 1 )-∕(m)<0t即 /(i)<∕(2)>∕(3)>∕(4)>∙∙∙・Ih/(i)=o.∕(2)≡-J-.⅛ι0z,^1-≡ι 无整½⅜r. ....................................................................................................... H 分当L=3时•右F —】=0・即存在m=l 便得霜二If =3∙是数列UU 中的第2项•故存存正療l⅛"L ∣∙使得笔丢1是数列d>中的琨•……20. IW ：(I)N 为 /(J ∙> = <1--)c r .所以 ∕<x)≡(l 一* +Λ><^,∙当 J=I ∏∙t√(l) = -3c∙∕<l>=c. 所以切线方f⅛为y ( Se)-e(τ 1).即y=er 仏/S (X —4)e , ∙ -Lr t -α+4λr+3α+4]<√</( 1 +d)=9∙ c∕÷2g=8∙所以5=L +7^∣ X÷τΓ∕√-l÷3"t ZW-I+3m 10分“V4 戒 α>5∙所以 S 4,-ω+4)×4+3d+4≤O∙52-(<r÷<l)×5+3α+4≤O. αV4 flftα>5∙ 心4∙ > 9 &右•16分所以¾(3+3<∕) -51. l+<∕+2+2g -ll. 宀T ・d=5冈为隕数y在区何M∙5]上单俱递增•所以“ G[4∙5]∙[Lβ√20恒戚立•所以¢1J(U 的取值范IM½(5∙+∞). .......................................................................................................... 7分 (3W*)∙∕Cr)+g(Q.g 二 42±S 二刃二“ f 子_ 3因为瞋数Mn=/O)+/; Cr)在区间(0∙+oo)上冇曲个极值点.所以方K∕∕<x)-O 在(0・+8〉上右网不等实根・即(F-4∙r+4h√ -“■()•令 m(x) = (√ —4,r+4)e r —“•则 ∕w (x) = <τ* —2x)e r ∙由 ZW (X)X).f⅛ Z>2∙所以刑Cr)在(0.2)±ΦMiiJ⅛.ft(2.+oo>上单调述增. ......................................... 9分又山 m(3)≡c ,-α>23-a=8-a>0.所以 j⅛∈(2.3).且当 x ∈(O.χ1 ) ftl(j ∙2 . +∞)H ∣ .√(x)>O.Λ(x) φ-iβ∣il 增. x ∈<x i ∙Λ⅛)Bt.^(x><O∙Λ(x>单调递Itsm 是极值点• .................................. M 分 此(I M5〉= 5二4>eV~<ιH=5一40+5一5 + 4)「一^=5-3^. -1.才1 J r i令 H(X)-(X- 3)e t - I(Xe(O∙2>)•则 √(x)-(x 2)σf <0.所以nCr)在<0∙2)上单调递碱•所以Λ(x l )<Λ<0) = -4.因为ACrl)VHdI 立•所以m≥-4. ........................................................................................................ 13分 若一 12VnrV —彳■収Kl= — ∙ -LIM ∣n=-Axι —4.所以 Λ(x ∣)-ιw≡(x ∣ ,3)e f < +4x ∣ +3.〉川 八=Cr-3)u 丨 l√ • 3( r>O)∙W // √ •(./ 一2)ι∙' + l∙∕f )=Cr-I - 当 x ∈(O∙l)时∙Ar(X)<0；当 χ∈(h +∞)H∙f ∙H^(X)>0. 所以 H'Cr)∙∙ = H'(l) = -ι+4>0∙所以 //(J)-(J 3)e β+4x+3 ft(O.÷∞)±Φ-Wi⅛m.W 以 H(x)>H(O)-O∙WXi--J-I 使科》3E•不合βM∙満足条件的刑的■小值为一4∙ ............................................................................................................. 16分21. A. Ih 因为M 不存住連矩阵∙<kι(M)令 ∕<λ>-0.Wλ≡3utλ≡0.BL 解：因为^in<∂+γ)二-√2 •所以 ∕>sin Q+pcos O= —2・ 所以曲线Cl 的直角坐标方程为x+y+2-O. ............................................................................................ 2分 (x≡cos 20.心(x≡ 1 —2!<in r <?.由 ・A 側 I y= ^ln σ∙ I i y=Sln 0∙所以曲线G 的修通方聊为χ=l-2y∙j ∈[-l.lJ. ............................................................................................ 5分 (无范HGIl 1分)∣x÷y÷2=O• 由 :、得2"—，一3・0・ ........................................................................................... 7分 ∣Ll-2y •所以>1 ≡ - 1 m y < ).所以丿|・ L所以曲线G∙G 的交点蚩标为(-1∙-1). ..................................................................................................... 10分 CHrW 为凸〃边形的啲枳为1•所以"M+M+∙∙∙+"∕∙ 2. ......................................................................... 3分 所以 ⅜1÷⅜÷∙∙∙÷⅜2 = 2(⅞L + 5l ÷∙∙∙÷5ija ∣ at <43 a ∖ 血 G= (a l <∕ι +<!：</： + •••+“/■)「： +： ÷∙∙∙ + τi )所以 ///<)) I —<^>0∙ m(2)= PV0∙∙W ∣O<4iV4∙且 jr ∣∈(0∙2)∙(xf ÷4)e F i =u.・0•所以uΛ-i - J. 距FiM 的待征多项式为/Wλ÷l —a —b A —4-=λ2-3λ-4-<ι6≡λ2~3λ. 所以'b λa∙即 1 ・ u=3∙ 6÷4=3∙ 10分 所以<∕∣<∕j U 1≥（ √α∣c∕∣^^+i∙∙+ >2（IhMl ,⅛不尊式得）-（Cll ÷α∙十•••十α∙ ）* ≥（w 7α∣αj∙∙∙α∏）2. <由均值不等式得） ............................................... 10分 22. 解：（1）分別取ΛIi.CD 的中点为Q∙E∙连结PO∙FUN 为AD 〃反•・所以（疋〃 Be∣∙ 因为AB 丄HC∙所以ABIC*：. Zk因为侧面I i An 为幫边三介形.∕p∖ 所以 ABIoR / β \乂 W 为平而 PAB 丄 Trti AIM'D. R j ∖ \平面 PABn 平而 AB （VJ=ABJ ）PCYiftj PAH. 护痴 所以QP 丄平而Λ!K D. j 产〜Y所 WOP.OE.OB ∣⅛∣⅛⅜Λ. .................................................................... 2 分 X以O 为空阀坐标系的跟点•分别以OE.OU.OP 所在直线为∙r∙y∙=袪建立如图所示的空刚克角至标系•因 为 AB=W =2AD=2,WJ(KO∙0∙O)∙A(0∙-kO).∕K0.kO)∙C(2.1∙O) JXk 1∙0)∙P(0.0<√3).Z5Γ=(E 2.0)∙T i Γ = (2.1. √3).Jro=I∙W ,∣ r≡-2.r=-√3.所以 n=(-2.1.-√3). ............................................................................................... I 分 乂ID=(1.0.0)为半面PAB 的法向址•设平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为0•則CoS 9= lra <∙∙λβ>l =⅛⅛=√(-2>,+J +f .75,,=<∙所以半血PAB 与半血PDC 所成的悦二血如的大小为' ..................................... 6分(2)∣h<l>得•半Iftl PDC 的法向域为π = <-2∙h -√3)∙73t ,= (2∙l∙-√3)∙所以处 7^'^λ(75 ■(一2λ+2∙-A∙"Q(O≤λMl)・乂伍线IiQ 与平Ei PDr 所成角为号•所以 ICo*<n.∕⅞> I = 5∣n 专.即］；；=弩・ ............................................ K 分 即 _________________ 142—4_2—3入 ________________ =T3√(-2)2 + l 2+(-√3>2 ×√(-2λ+2)2 + (-λ)2 + (√3λ>2 2 *化简得βλ2-6λ+l-0∙所以AN 违旦.符合题恵・ ............................................ 10分I .Usd ）路途中可以看成必.走过2条横KHI 2 山•即从1条術中选择2条HHJ 即叭忖『以踣线」C ι≡6^. ..................................................................................................................................................... 2 分 （2〉小期途中恰好经过E 处•共右4条箱线：① 当⅛ 1→H→E ∙D→A 时•全程不年红绿灯的M Ψ Z∙∣-⅛×T×⅛×>-⅜>② 幷疋/-//-E-Zi-A 时•全鼻不务红绿灯的tt Ψ ^=y×y×y×y = ⅛*（Vui I >F -E " •八时•全樫不等红绿灯的ttΨ A -JX-I-XyXl 二扣④当走∕→F -E→β→A 时•全程不等红绿灯的Λ∙-y×y×γ×y -⅛所以途中恰好经过E 处・R 全程不务信号灯的槪率3 1 3 1 I 1 3 11 亡八Pf 4 化∙S+N=范小页 ⅛ TZ«=64• ......................................................................................................... 6 分«3）设以F 第，条的豁线尊信号灯的次数为变ttX.∙M①第一条 i l→H→E→l>→A ∙X ∣ 〜〃（1 •斗）•则 E （Xj =斗； 4 4(Z)第二条 JYFfCfB ・A.X,-β(3.y)∙WE<X 2) =3×-^ = y ∣设YlftPDC 的法向鈕为"Λx.y.z ）.则n ∙ 7J Γ*=()∙ 5 J j∙+2y=0∙ 2∙r + y √3τ-0.③另外四条路线Jf!∣mW ^H→K→H→Λ；∕→∕∙→E→∕>→Λ;∕→∕∙→E M.X,~B(2∙-γXr = 3∙4∙5∙6)∙则E(X I)=2×γ=4<t=3.4.5∙6).综上•小明上学的量佳路线为1→H→E→D→A I IΛ尽fit進开l→F→C→B→A• ......................... 10分。
江苏省苏州市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷含解析
江苏省苏州市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,5)3B ．2(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7D ．18(,4)(4,6)7⋃ 【答案】D 【解析】 【分析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果. 【详解】()22f x ax x '=+，令()0f x '=，得10x =，22x a=-．其单调性及极值情况如下：x2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 2a - 2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0 ()0,∞+()f x ' +_0 +()f xZ极大值]极小值Z若存在0111,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则()21221112a a f f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩（如图1）或3122a a -<-<-（如图2）．（图1）（图2） 于是可得()18,44,67a ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目. 2．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】 函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)2sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++)2sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.3．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324 B ．522C ．535D ．578【答案】D 【解析】 【分析】因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号. 【详解】从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:436,535,577,348,522,535,578,324,577,L ，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324,L ，故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.4．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ） A 2 B ．22C ．24D ．2【答案】B 【解析】 【分析】设正四面体的棱长为2，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面BCE 的法向量，设P 的坐标，求出向量DP u u u r，求出线面所成角的正弦值，再由角θ的范围0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，结合θ为定值，得出sin θ为定值，且P 的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值． 【详解】由题意设四面体ABCD 的棱长为2，设O 为BC 的中点，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，过O 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则可得1OB OC ==，323OA ==OA 的三等分点G 、F 如图， 则133OG OA ==2233AG OF OA ===2226DG AD AG =-=，162EF DG ==，所以()0,1,0B 、()0,1,0C -、()3,0,0A、32633D ⎛ ⎝⎭、236,0,33E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 由题意设(),,0P x y ，326,33DP x y ⎛=-- ⎝⎭u u u r ， QV ABD 和ACD V 都是等边三角形，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥，CE AD ⊥，BE CE E =Q I ，AD ∴⊥平面BCE ，2326AD ⎛∴= ⎝⎭u u u r 为平面BCE 的一个法向量， 因为DP 与平面BCE 所成角为定值θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，由题意可得222223326333sin cos ,326233x AD DP AD DP AD DPx y θ⎛⎫⎛⎫-⨯-- ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭=<>==⋅⎛⎫⎛⎫⨯-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r ()()222222223323333239332393138x x x x x y x x y x x y ++++===+-++-+-++ 因为P 的轨迹为一段抛物线且tan θ为定值，则sin θ也为定值，22223339323x x x y x ==-，可得233y x =，此时3sin 3θ=，则6cos 3θ=，sin 2tan cos 2θθθ==. 故选：B. 【点睛】考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题． 5．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i + B ．43i -C ．43i -+D ．43i --【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法、除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】由34zi i =+，则3434431i i z i i +-===--， 所以z =43i +. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.6．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A ．2728倍 B ．4735倍 C ．4835倍 D ．75倍 【答案】B 【解析】 【分析】设贫困户总数为a ，利用表中数据可得脱贫率000000002409521090P =⨯⨯+⨯⨯，进而可求解. 【详解】设贫困户总数为a ，脱贫率0000000000240952109094a aP a⨯⨯+⨯⨯==，所以000094477035=.故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的4735倍. 故选：B 【点睛】本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题. 7．已知向量a r ，b r ，b r =(1)，且a r 在b r方向上的投影为12，则a b ⋅r r 等于（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．0【答案】B 【解析】 【分析】先求出b r ，再利用投影公式a bb⋅r rr 求解即可.【详解】解：由已知得2b ==r，由a r 在b r 方向上的投影为12，得12a b b ⋅=r r r ，则112a b b ⋅==r r r.故答案为：B. 【点睛】本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题.8．设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]5,3-B ．[]2,3C ．[)2,+∞D ．(],3-∞【答案】C 【解析】 【分析】首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z 的取值范围. 【详解】由题知x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，可行域如下图所示，可知目标函数在点()2,0A 处取得最小值， 故目标函数的最小值为2z x y =+=， 故z x y =+的取值范围是[)2,+∞. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题. 9．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R⌝∀∈都有210x ->，是错误的； （2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确； （4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B． C．⎤⎦D ．[]1,4【答案】D 【解析】 【分析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PF PF +=，利用二次函数的性质可求1214PF PF ≤≤，从而可得1211PF PF +的取值范围. 【详解】由题设有1,b c ==2a =，故椭圆22:14x C y +=，因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=.又()12121212111144=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-，因为122PF ≤≤，故()11144PF PF ≤-≤，所以121114PF PF ≤+≤. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.11．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ） A ．{}|02x x ≤≤ B ．{}2|x x ≤ C ．{}2|0x x -≤≤ D ．∅【答案】C 【解析】试题分析：化简集合故选C ．考点：集合的运算．12．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ） A 5B ．5C 25D ．35【答案】A 【解析】 【分析】设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，可证1//AB BD ，得到1C BD ∠（或补角）为所求的角，分别求出111,,BC AB C D ，解1C BD V 即可. 【详解】设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111//,AB A B AB A B =，11//,AB B D AB B D ∴=，四边形1ABDB 为平行四边形，1//AB BD ∴，1C BD ∴∠（或补角）为直线1BC 与1AB 所成的角，在1Rt BCC △中，22115BC CC BC =+=， 在111Rt A B C △中，2211111111125,cos 5A B AC B C B AC =+=∠=， 在11AC D V 中，22211111111112cos 420168C D A C A D A C A D B A C =+-⋅∠=+-=，在11Rt AA B △中，22111113,3AB AA A B BD AB =+=∴==，在1BC D V 中，22211115985cos 2565BC BD C D C BD BC BD +-+-∠===⋅. 故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题含答案
2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{2，5}，B ＝{3，5}，则A U B ＝ ． 2．已知复数z 满足12ii z+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 3．A ，B ，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为 ． 4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值 为 ．5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛 一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看 电影，则该同学在家学习的概率为 ．6．已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则6a 的值为 ． 第4题7．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜2π)的部分图象如图所示，则(0)f 的值为 ．第11题 第12题 第7题8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，若过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为c 2，则双曲线的离心率为 ． 9．已知m ，n 为正实数，且m ＋n ＝mn ，则m ＋2n 的最小值为 ． 10．已知函数()4f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为 ．11．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一 个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为 ． 12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝4，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，若AE DE 1⋅=-u u u r u u u r ，则AF CD ⋅u u u r u u u r的值为 ．13．函数()f x 满足()(4)f x f x =-，当x ∈[﹣2，2)时，3223 2()1, 2x x a x af x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩,，若函数()f x 在[0，2020)上有1515个零点，则实数a 的范围为 ．14．已知圆O ：224x y +=，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A(2，2)，若AP 2＋AQ 2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，已知在三棱锥P—ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F ，G 分别为AC ，PA ，PB 的中点，且AC ＝2BE ．（1）求证：PB ⊥BC ；（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m u r ＝(a ，b ﹣c )，n r＝(sinA ﹣sinB ，sinB ＋sinC)，p u r ＝(1，2)，且m u r ⊥n r．（1）求角C 的值；（2）求n p ⋅r u r的最大值．17．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合），且△PF 1F 2的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线AP ，QF 2交于点M ．（1）求椭圆方程；（2）若直线PF 2与椭圆交于另一点N ，且22AF M AF N 4S S =△△，求点P 的坐标．18．（本小题满分16分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为L crn 的清洁棒在弯头内恰好处于AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，θ∈(0，2π)）． （1）请用角θ表示清洁棒的长L ；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度．19．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，且1122b a ==，2354b S =，2211a T +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++L ； （3）是否存在正整数m ，使得1m m m mS T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数4()(1)e xf x x=-，()1ag x x=-(a ∈R)（e 是自然对数的底数，e ≈2.718…）． （1）求函数()f x 的图像在x ＝1处的切线方程； （2）若函数()()f x yg x =在区间[4，5]上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x g x =+在区间(0，+∞)上有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且1()h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝ 1 4a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(a ，b ∈R)不存在逆矩阵，且非零特征值对应的一个特征向量αu r ＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线C 1：sin()4πρθ+=曲线C 2：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），求曲线C 1，C 2交点的直角坐标．C ．选修4—5：不等式选讲已知凸n 边形A 1A 2A 3…A n 的面积为1，边长A i A i ＋1＝i a (i ＝1，2，…，n ﹣1)，A n A 1＝n a ，其内部一点P 到边A i A i ＋1＝i a (i ＝1，2，…，n ﹣1)的距离分别为d 1，d 2，d 3，…，d n ．求证：21212222(n na a a d d d +++≥L ．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且AD// BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小；（2）若CQ CP λ=u u u r u u u r (0≤λ≤1)，且直线BQ 与平面PDC 所成角为3π，求λ的值．23．（本小题满分10分）如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，A~I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行．小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A ，I 处的红绿灯），出发时的两条路线(I →F ，I →H)等可能选择，且总是走最近路线．（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？备用图参考答案。
江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题含附加题 含答案
江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{﹣3，﹣1，1，3}，B ＝{}2230x x x −−=，则AB ＝ ．2．已知复数z 满足(z ﹣2)i ＝4，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[48，58]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[50，56]的女生数为 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为﹣7，则输入的x 的值为 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2216416x y −=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为 ．6．已知区域A ＝{}()2, 2x y x y ≤≤，和B ＝{}()0, 0, 2x y x y x y >>+≤，．若在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率为 ． 7．若实数x ，y 满足x ＋3y ＝4，则28xy+的最小值为 ． 8．已知数列{}n a 满足112n n n n a a a a +++=−，且119a =，则6a 的值为 ．9．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数， 且(2)2(8)1f f −=+，则(2020)f的值为 ．10．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数(V)、棱数(E)、面数(F)之间存在如下关系：V ＋F ﹣E ＝2．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为S 1，S 2，则12S S 的值为 ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l：0x +=与圆C ：224x y += 的两个交点，当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ．12．如图，四边形ABCD 是以AB 为直径的圆的内接四边形．若AB ＝2，AD ＝1，则DC ⋅ AB 的取值范围 是 ．13．已知函数230()20x x f x x x x <⎧=⎨−≥⎩，，，则函数(()24)y f f x x =−+的不同零点的个数为．14．已知点G 是△ABC 的重心，且GA ⊥GC ，若111tan A tan C+=，则tanB 的值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P—ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝10，BC ＝6，AC ＝PC ＝8，E ，F 分别是PA ，PC 的中点，求证：（1）AC ∥平面BEF ； （2）PA ⊥平面BCE ．已知函数2()2cos ()cos(2)46f x x x ππ=+++，x ∈R ．（1）求()f x 的最小值；（2）在△ABC 中，0＜A ＜3π，且1(A)2f =−，若AC ＝2，BC B 的大小．17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB ＝100m ，AD ＝75m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．（1）若假山区域面积为400m 2，求喷泉区域面积的最小值； （2）若MN ＝100m ，求假山区域面积的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22195x y +=与C 2：222136x y b +=(0＜b ＜6)的离心率相等．椭圆C 1的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 1交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆C 2交于点C ，椭圆C 2的右顶点为D ．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）若△ABO AB 的方程； （3）若AF ＝2BF ，求证：四边形AOCD 是平行四边形．已知函数()(1ln )f x x x m =++(m ∈R)． （1）求曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）设()()f x g x x x=+，求函数()y g x =的单调区间； （3）若()f x mx ≥对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求满足题意的所有整数m 的取值集合． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n n nS b a =(n N *∈)，若{}n b 是公差不为0的等差数列，且2711b b b =．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是等差数列； （3）记2nn n a S c =，若存在1k ，2N k *∈（12k k ≠），使得12k k c c =成立，求实数1a 的取值范围．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 4a ⎡⎤⎢⎥−⎣⎦的一个特征值为2． （1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．若直线l 被椭圆C所截得的弦长为5，求实数m的值．C ．选修4—5：不等式选讲若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝7，求证：2224936a b c ++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知直四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD ＝60︒，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点．（1）求异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值； （2）若二面角M—AC—N 的大小为4π，试确定点N 的位置．23．（本小题满分10分）设230123(12)kk k x a a x a x a x a x +=+++++（2k ≥，N k *∈）． （1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3：8，求k 的值；（2）设222n n k +−=（N n *∈），且各项系数0a ，1a ，2a ，…，k a 互不相同．现把这k ＋1个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n 列n 个数．设i t 是第i 列中的最小数，其中1i n ≤≤，且i ，n N *∈．记123n t t t t >>>>的概率为n P ．求证：12(1)n P n >−！．江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题参考答案1．{﹣1，3} 2．2 3．75 4．1 5．17 6．187．8 8．279．13 10．32 11．223(()122x y ++−= 12．(0，3) 13．5 14．1215．16．17．解：18．19．20．21．ABC22．23．。
江苏省盐城市2020届高三下学期第四次模拟考试数学试题 Word版含解析
【解析】
【分析】
把 用 表示，代入已知条件求得 ，再计算 即得．
【详解】由角平分线定理可知 ，所以
因为 ，所以 ， ，
所以
故答案为： .
【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是以 为基底，其他向量都用基底表示后再进行运算．
14. 若实数x，y满足4x2＋4xy＋7y2＝1，则7x2﹣4xy＋4y2的最小值是_______.
（2）首先利用解析式求出 ， ，再利用同角三角函数的基本关系求出 、 ，然后结合三角形的内角和性质以及两角和的余弦公式即可求解.
【详解】解：（1）因为 的最小值是﹣2，所以M＝2.
因为 的最小正周期是2，即 ，所以＝1，
又由 的图象经过点( ，1)，可得 ， ，
所以 或 ，k Z，
又0＜ ＜ ，所以 ，故 ，即 .
6. 若双曲线 的渐近线为 ，则其离心率的值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用渐近线斜率为 和双曲线 的关系可构造关于 的齐次方程，进而求得结果.
【详解】由渐近线方程可知： ，即 ， ，
， （负值舍掉）.
故答案为： .
【点睛】本题考查根据双曲线渐近线方程求解离心率的问题，关键是利用渐进线的斜率构造关于 的齐次方程.
【答案】4
【解析】
【分析】
模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 ， 的值，当 时满足条件 ，退出循环，输出 的值为4．
【详解】解：由题意，执行程序框图，可得
， ，
， ，不满足条件 ，
， ，不满足条件 ，
， ，满足条件 ，退出循环，输出 的值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．
H06-江苏省盐城市2020届高三第四次模拟调研数学试题(PDF含解析)2020.06.10
30
，……6
分
由1
PC
10
得1 10
cos
1 ，设
cos0 =
1 10
，0
0，
2
，
则
(0，0
]
，
sin
0
=
3 10
11 ，
f ( )
2 3sin cos2
，令
f ( ) 0 得 sin =
2 3
，
…………10 分
设
sin
1
=
2 3
， 1
(0，0
]
，
, f ( ), f ( ) 的情况如下表：
)
的最小值为
4 225
．
………………………………16 分
19．解析：(1)由数列{an}
是
P(1)
数列得
a6
a2a3
1, a12
a2a6
3
，可得
a3
1 3
．………2
分
(2)由{bn} 是 P(2) 数列知 bmn 2bmbn 恒成立，取 m 1得 bn 2b1bn 恒成立，
设
P( x1 ,
y1), Q(x2 ,
y2 ) ，则
x1
x2
4k 2 1 2k 2
,
x1x2
2k 2 2 1 2k 2
，
………………………………6 分
所以 k1
k2
y1 x1 3
y2 x2 3
k[( x1
1)(x2 3) (x2 1)(x1 (x1 3)(x2 3)
3)]
，
化简可得
5
13
5
13
又因为△ ABC 中， A, B (0, ) ，
江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题含附加题(解析版)
江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．若集合A ＝{}x x m ≤，B ＝{}1x x ≥-，且AB ＝{m }，则实数m 的值为 ．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3＋i)＝10，则z 的值为 ．3．从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为 ．4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250] ．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为 天．5．执行如图所示的流程图，输出k 的值为 ．第4题第5题6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线为2y x =±，则其离心率的值为 ．7．若三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥P —BCC 1B 1的体积为 ． 8．“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）． 9．在△ABC 中，C ＝B ＋4π，AB ＝324AC ，则tanB 的值为 ．10．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，12(1)(21)n n n a n -=+--，则1001002a S -的值为 ．11．若集合P ＝{}22(, )40x y x y x +-=，Q＝2(, )x x y y⎧+⎪≥⎨⎪⎩，则PQ 表示的曲线的长度为 ．12．若函数2e , 0()e 1, 0xm x f x x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是 ．13．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝15，∠A 的平分线与边BC 的交点为D ，点E 为边BC 的中点，若AB AD ⋅＝90，则AB AE ⋅的值是 ．14．若实数x ，y 满足4x 2＋4xy ＋7y 2＝l ，则7x 2﹣4xy ＋4y 2的最小值是 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若函数()Msin()f x x ωϕ=+(M ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)的最小值是﹣2，最小正周期是2π，且图象经过点N(3π，1)． （1）求()f x 的解析式； （2）在△ABC 中，若8(A)5f =，10(B)13f =，求cosC 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PC ⊥BC ，点E 是PC 的中点，且平面 PBC ⊥平面ABCD ．求证：（1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O 的道路l 1，l 2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C 到l 1，l 2的距离相等，点C 到点O 的距离约为 10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC 上取一点P ，新建一条道路OP ，并过点P 新建两条与圆C 相切的道路PM ，PN （M ，N 为切点），同时过点P 新建一条与OP 垂直的道路AB （A ，B 分别在l 1，l 2上）．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．（所有道路宽度忽略不计）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为1k ，2k ，3k ，4k ．①若12215k k +=，求直线PQ 的斜率；②求1234()()k k k k ++的最小值．如果存在常数k 使得无穷数列{}n a 满足mn m n a ka a =恒成立，则称为P(k )数列． （1）若数列{}n a 是P(1)数列，61a =，123a =，求3a ； （2）若等差数列{}n b 是P(2)数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在P(k )数列{}n c ，使得2020c ，2021c ，2022c ，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{}n c ；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分）设函数32()3ln 2f x x x ax ax =-++-． （1）若a ＝0时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在x ＝1时取极大值，求实数a 的取值范围； （3）设函数()f x 的零点个数为m ，试求m 的最大值．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 1a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l ：cos 2sin m ρθρθ+=（m 为实数），曲线C ：2cos ρθ=+4sin θ，当直线l 被曲线C 截得的弦长取得最大值时，求实数m 的值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，抛物线C ：22y px =(p ＞0)的焦点为F ，过点P(2，0)作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB的长为（1）求抛物线的方程；（2）若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线l 的方程．23．（本小题满分10分）若有穷数列{}n a 共有k 项(k ≥2)，且11a =，12()1r r a r k a r +-=+，当1≤r ≤k ﹣1时恒成立．设12k k T a a a =+++．（1）求2T ，3T ； （2）求k T ．江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．若集合A ＝{}x x m ≤，B ＝{}1x x ≥-，且A B ＝{m }，则实数m 的值为 ．答案：﹣1考点：集合交集运算解析：∵集合A ＝{}x x m ≤，B ＝{}1x x ≥-，且A B ＝{m }，∴实数m 的值为﹣1．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3＋i)＝10，则z 的值为 ．考点：复数解析：1010(3)33(3)(3)i z i z i i i -===-⇒=++- 3．从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为 ． 答案：34考点：随机事件的概率 解析：34P =． 4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250] ．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为 天．答案：12考点：频率分布直方图解析：(0.0030.005)503012+⨯⨯=．5．执行如图所示的流程图，输出k 的值为 ．答案：4考点：程序框图解析：第一次：S ＝3，k ＝2； 第二次：S ＝9，k ＝3；第三次：S ＝18，k ＝4；∵18＞16，故输出的k 的值为4．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线为2y x =±，则其离心率的值为 ．考点：双曲线的简单性质 解析：根据渐近线可判断2ba=，从而224b a =，由22225c b a a =+=，即25e =，e =7．若三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥P —BCC 1B 1的体积为 ． 答案：8考点：棱柱棱锥的体积解析：11111111111111113P BCC B A BCC B ABC A B C A A B C ABC A B C ABC A B C V V V V V V ------==-=-1112212833ABC A B C V -==⨯=． 8．“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．答案：充分不必要 考点：充要性解析：当ω＝2，526126x πππωπ+=⨯+=，故此时()f x 的图象关于点(512π，0)对称， 而当()f x 的图象关于点(512π，0)对称，则5126k ππωπ⨯+=，1225k ω-=，k ∈Z ， 故“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的充分不必要条件． 9．在△ABC 中，C ＝B ＋4π，AB ＝32AC ，则tanB 的值为 ．答案：2考点：正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数关系式 解析：由AB ＝32AC ，得3232sin sin sin()sin 4C B B B π=⇒+=，2232cos sin sin 224B B B +=，化简得2cos sin B B =， 所以tanB 的值为2．10．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，12(1)(21)n n n a n -=+--，则1001002a S -的值为 ．答案：299考点：数列的求和方法解析：9910022(2199)a =⨯+，10011001242[(13)(57)(197199)]S -=+++++-++-+++-+10021100=-+∴10010010010022398(21100)299a S -=+--+=．11．若集合P ＝{}22(, )40x y x y x +-=，Q ＝2(, )15x x y y ⎧⎫+⎪⎪≥⎨⎬⎪⎪⎩，则P Q 表示的曲线的长度为 ． 答案：23π考点：直线与圆解析：222240(2)4x y x x y +-=⇒-+=，222xxyyx≥-+≥≤=⎪<-⎪⎩，作出两曲线图像如下：此时P Q表示的曲线长度为图中半圆去掉劣弧AB部分，20x--=与圆心的距离1d==，且r＝2，∴∠ACB＝120°，∴曲线长度为：1202243603πππ︒-⨯=︒．12．若函数2e,0()e1,0xm xf xx x⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m的最大值是．答案：2e1+考点：函数与方程解析：题目可转化为函数2e1y x=+与e xy m=+图像在第一象限内有两个交点，22e1e e1ex xx m m x+=+⇒=+-，令2222 ()e1e()e e()(2)e1e1x xg x x g x g x g m'=+-⇒=-⇒≤=+⇒≤+∴实数m的最大值是2e1+．13．在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若AB AD⋅＝90，则AB AE⋅的值是．答案：1752考点：平面向量的数量积解析：由角平分线定理可知323255AC CDAD AC ABAB BD==⇒=+2233290()755555AB AD AB AC AB AB AC AB AC AB⋅=⇒⋅+=+⋅⇒⋅=2111175()2222AB AE AB AB AC AB AB AC⋅=⋅+=+⋅=．14．若实数x，y满足4x2＋4xy＋7y2＝l，则7x2﹣4xy＋4y2的最小值是．答案：38考点：不等式解析：222222744744447x xy y x xy y x xy y -+-+=++，当x ＝0，原式的值为47， 当x ≠0，令222744(74)(44)470447y t t t m m t m t m x t t-+=⇒=⇒-+++-=++ 2438(44)4(74)(47)0783m m m m m ≠⇒∆=+---≥⇒≤≤． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若函数()Msin()f x x ωϕ=+(M ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)的最小值是﹣2，最小正周期是2π，且图象经过点N(3π，1)． （1）求()f x 的解析式； （2）在△ABC 中，若8(A)5f =，10(B)13f =，求cosC 的值． 解：（1）因为()f x 的最小值是﹣2，所以M ＝2．因为()f x 的最小正周期是2π，所以ω＝1，又由()f x 的图象经过点(3π，1)，可得()13f π=，1sin()32πϕ+=，所以236k ππϕπ+=+或526k ππ+，k ∈Z ，又0＜ϕ＜π，所以2πϕ=，故()2sin()2f x x π=+，即()2cos f x x =．（2）由（1）知()2cos f x x =，又8(A)5f =，10(B)13f =，故82cos 5A =，102cos 13B =，即4cos 5A =，5cos 13B =，又因为△ABC 中，A ，B ∈(0，π)，所以3sin 5A ===，12sin 13B ===，所以cosC ＝cos[π﹣(A ＋B)]＝﹣cos(A ＋B)＝﹣(cosAcosB ﹣sin AsinB)＝4531216 () 51351365 -⨯-⨯=．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．求证：（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：平面PAC⊥平面BDE．证明：（1）设AC BD＝O，连结OE，因为底面ABCD是菱形，故O为BD中点，又因为点E是PC的中点，所以AP//OE，又因为OE⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，所以AP//平面BDE．（2）因为平面PBC⊥平面ABCD，PC⊥BC，平面PBC平面ABCD＝BC，PC⊂平面PBC，所以PC⊥平面ABCD又BD⊂平面ABCD，所以PC⊥BD，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，AC PC＝C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC又BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE．17．（本小题满分14分）如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN（M，N为切点），同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB（A，B分别在l1，l2上）．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．（所有道路宽度忽略不计）解：连接CM ，设∠PCM ＝θ，则PC ＝1cos θ，PM ＝PN ＝tan θ， OP ＝OC ﹣PC ＝10﹣1cos θ，AB ＝2OP ＝20﹣2cos θ，设新建的道路长度之和为()f θ，则3()2tan 30cos f PM PN AB OP θθθ=+++=-+ 由1＜PC ≤10得110≤θ＜1，设01cos 10θ=，0θ∈(0，2π)，则θ∈(0，0θ]，0sin 10θ=，0223cos ()cos f θθθ-'=，令0()0f θ'=得2sin 3θ= 设12sin θ=，1θ∈(0，0θ]，θ，0()f θ'，()f θ的情况如下表：由表可知1θθ=时()f θ有最大值，此时2sin 3θ=，cos 3θ=，tan θ=，()30f θ=答：新建道路长度之和的最大值为30- 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为1k ，2k ，3k ，4k ．①若12215k k +=，求直线PQ 的斜率；②求1234()()k k k k ++的最小值．解：（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，所以b ＝1，当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形， 由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故132PF a =，212PF a =， 由2221212PF PF F F =+得2222291144(1)444a a c a a =+=+-，化简得a 2＝2， 故椭圆的方程为2212x y +=． （2）①设直线PQ ：(1)y k x =-，代入到椭圆方程得：2222(12)4(22)0k x k x k +-+-=，设P(1x ，1y )，Q(2x ，2y )，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，所以121221121212[(1)(3)(1)(3)]33(3)(3)y y k x x x x k k x x x x --+--+=+=----， 化简可得122228715k k k k +==+， 解得：1k =或78k =，即为直线PQ 的斜率．②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，1234()()0k k k k ++=， 当两条直线与坐标轴都不垂直时， 由①知122287k k k k +=+，同理可得342287kk k k-+=+ 故21234422244()()1565611356()113k k k k k k k k k --++==++++4225≥=-，当且仅当221k k =即k ＝±1时取等号． 综上，1234()()k k k k ++的最小值为4225-． 19．（本小题满分16分）如果存在常数k 使得无穷数列{}n a 满足mn m n a ka a =恒成立，则称为P(k )数列． （1）若数列{}n a 是P(1)数列，61a =，123a =，求3a ； （2）若等差数列{}n b 是P(2)数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在P(k )数列{}n c ，使得2020c ，2021c ，2022c ，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{}n c ；若不存在，请说明理由．解：（1）由数列{}n a 是P(1)数列得6231a a a ==，12263a a a ==，可得313a =； （2）由{}n b 是P(2)数列知2mn m n b b b =恒成立，取m ＝1得12n n b b b =恒成立，当10b =，0n b =时满足题意，此时0n b =，当10b ≠时，由2112b b =可得112b =，取m ＝n ＝2得2422b b =， 设公差为d ，则21132()22d d +=+解得0d =或者12d =，综上，0n b =或12n b =或2n nb =，经检验均合题意．（3）假设存在满足条件的P(k )数列{}n c ，不妨设该等比数列2020c ，2021c ，2022c ，…的公比为q ，则有2020202020202020202020202020202020202020c kc c c qkc c ⋅-⋅=⇒⋅=⋅， 可得2020202020202020qkc ⋅-=①2020202120202020202120202021202020202020c kc c c q kc c q ⋅-⋅=⇒⋅=⋅⋅，可得2020202120212020qkc ⋅-=②综上①②可得q ＝1，故202020202020c c ⋅=，代入2020202020202020c kc c ⋅=得20201c k=， 则当n ≥2020时1n c k=，又20201202011c kc c c k=⋅⇒=， 当1＜n ＜2020时，不妨设2020in ≥，i N *∈且i 为奇数， 由，而1i n c k =，所以11()i i n k c k -=，1()()ii n c k =，1n c k=， 综上，满足条件的P(k )数列{}n c 有无穷多个，其通项公式为1n c k=． 20．（本小题满分16分）设函数32()3ln 2f x x x ax ax =-++-． （1）若a ＝0时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在x ＝1时取极大值，求实数a 的取值范围； （3）设函数()f x 的零点个数为m ，试求m 的最大值．解：（1）当a ＝0时，3()3ln f x x x =-+，所以31()3()x f x x-'= 由()0f x '=得x ＝1，当x ∈(0，1)时，()f x '＜0；当x ∈(1，+∞)时，()f x '＞0， 所以函数()f x 的单调增区间为(1，+∞)． （2）由题意得23(1)2()[(1)1]3x af x x x x -'=+++， 令22()(1)13a g x x x =+++(x ＞0)，则3(1)()()x f x g x x-'=，当213a +≥0即32a ≥-时，()g x ＞0恒成立，得()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点； 当22(1)403a ∆=+-<即9322a -<<时，此时()g x ＞0恒成立，()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞) 上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点； 当22(1)403a ∆=+-=即92a =-或32a =时，易得()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞) 上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点； 当22(1)403a ∆=+->时，解得92a <-或32a >（舍），当92a <-时，设()g x 的两个零点为1x ，2x ，所以1x 2x ＝1，不妨设0＜1x ＜2x ， 又2(1)303a g =+<，所以0＜1x ＜1＜2x ，故123()()(1)()f x x x x x x x'=---，当x ∈(0，1x )时，()f x '＜0；当x ∈(1x ，1)时，()f x '＞0；当x ∈(1，2x )时，()f x '＜0；当x ∈(2x ，+∞)时，()f x '＞0；∴()f x 在(0，1x )上递减，在(1x ，1)上递增，在(1，2x )上递减，在(2x ，+∞)上递增；所以x ＝1是函数()f x 极大值点，综上所述92a <-． （3）①由（2）知当92a ≥-时，函数()f x 在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故函数()f x 至多有两个零点，欲使()f x 有两个零点，需(1)10f a =-<，得1a >， 此时32()3ln 23ln 2f x x x ax ax x ax =-++->--，1()3ln 2f a a>-， 当a ＞e 时，1()0f a>，此时函数()f x 在(0，1)上恰有1个零点； 又当x ＞2时，33()3ln (2)3ln f x x x ax x x x =-++->-+， 由（1）知3()3ln x x x ϕ=-+在(1，+∞)上单调递增，所以3()30f e e >-+>，故此时函数()f x 在(1，+∞)恰有1个零点； 由此可知当a ＞e 时，函数()f x 有两个零点． ②当92a <-时，由（2）知()f x 在(0，1x )上递减，在(1x ，1)上递增，在(1，2x )上递减，在(2x ，+∞)上递增；而0＜1x ＜1，所以311111()3ln (2)0f x x x ax x =-++->，此时函数()f x 也至多有两个零点综上①②所述，函数()f x 的零点个数m 的最大值为2．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 1a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量． 解：由题意知 2113 111a A b α⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2313a b +=⎧⎨+=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩， 所以矩阵A 的特征多项式21 2()(1)42 1f λλλλ--==----，由()0f λ=，解得3λ=或1λ=-， 当1λ=-时，220220x y x y --=⎧⎨--=⎩，令x ＝1，则y ＝﹣1，所以矩阵A 的另一个特征值为﹣1，对应的一个特征向量为 11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l ：cos 2sin m ρθρθ+=（m 为实数），曲线C ：2cos ρθ=+4sin θ，当直线l 被曲线C 截得的弦长取得最大值时，求实数m 的值．解：由题意知直线l 的直角坐标方程为x ＋2y - m = 0 ，又曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ＋4sin θ，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为22240x y x y +--=，所以曲线C 是圆心为(1，2)的圆，当直线l 被曲线C 截得的弦长最大时，得1＋2⋅ 2-m ＝0，解得m ＝5． C ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值． 解：由柯西不等式有2222222(112)()(2)1x y z x y z ++++≥++=，所以22216x y z ++≥(当且仅当112x y z ==即16x y ==，13z =时取等号)， 所以222x y z ++的最小值是16．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，抛物线C ：22y px =(p ＞0)的焦点为F ，过点P(2，0)作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB的长为（1）求抛物线的方程；（2）若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线l 的方程．解：（1）当直线l 与x 轴垂直时AB的长为P(2，0)，取A(2，)，所以222p =⋅，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =．（2）由题意知1122APF A A S FP y y ==△，12BPO B B S OP y y ==△， 因APF BPO S S =△△，所以2A B y y =当0AB k =时，直线AB 与抛物线不存在两个交点，所以0AB k ≠， 故设直线AB 的方程为2x my =+，代入抛物线方程得2480y my --=， 所以4A B y y m +=，8A B y y =-， 当0A y >，0B y <时，2A B y y =-，228By -=-，所以2B y =-，214B B y x ==， 所以2PB k =，直线AB 的方程为240x y --=，当0A y <，0B y >时，同理可得直线AB 的方程为240x y --=， 综上所述，直线AB 的方程为240x y --=．23．（本小题满分10分）若有穷数列{}n a 共有k 项(k ≥2)，且11a =，12()1r r a r k a r +-=+，当1≤r ≤k ﹣1时恒成立．设12k k T a a a =+++．（1）求2T ，3T ；（2）求k T ．解：（1）当2k =时，1r =，由212(12)111a a -==-+，得21a =-，20S =， 当3k =时，1r =或2，由212(13)211a a -==-+，得22a =-， 由322(23)2213a a -==-+，得343a =，313S =． （2）因12()1r r a r k a r +-=+，由累乘法得321122(1)2(2)2()231r r a a a k k r k a a a r +---⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+， 所以1(1)(2)()!(2)(2)231(1)!(1)!rr r k k k r k a r k r k r +---=-⋅⋅⋅=-++--， 所以1111(2)2r r r k a C k+++=--， 当0r =时，11a =也适合1111(2)2r r r k a C k+++=--， 所以11221[(2)(2)(2)]2k k k k k k S C C C k =-+-++--， 即0011221[(2)(2)(2)(2)1]2k k k k k k k S C C C C k =-+-+-++---，所以11[(12)1][1(1)]22k k k S k k=--=---．。
2020届 全国大联考 高三第四次联考数学(文)试题(解析版)
2020届全国大联考高三第四次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|340A x x x =--<，{}|23xB y y ==+，则A B =U （ ） A ．[3,4) B ．(1,)-+∞C ．(3,4)D ．(3,)+∞【答案】B【解析】分别求解集合,A B 再求并集即可. 【详解】因为{}2|340{|14}A x x x x x =--<=-<<,{}|23xB y y ==+{|3}y y =>,所以(1,)A B =-+∞U . 故选：B 【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题. 2．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为则m =（ ）A ．1B ．2C D ．3【答案】A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =. 故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） 3344【答案】C【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.4．已知三棱柱的高为4，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱柱的体积为（ ）A ．B ．C ．4D ．6【答案】B【解析】根据柱体的体积公式求解即可. 【详解】三棱柱底面的面积为224S =⨯=故体积为V Sh ==故选：B 【点睛】本题考查棱柱的体积公式.属于基础题. 5．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5coscos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.6．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.7．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4kC ．4D ．2【答案】D【解析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 8．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增 B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【解析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF I 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变【答案】C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可. 【详解】因为11A P AQ m ==,所以11//PQB D ,因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以//EF BD ,所以//PQ EF ,因为面MEF I 面MPQ l =,所以PQ EF l ////.选项A 、D 显然成立； 因为BD EF l ////,BD ⊥平面ACC A ,所以l ⊥平面ACC A ,因为MC ⊂平面11ACC A ,所以l MC ⊥,所以B 项成立；易知1AC ⊥平面MEF ,1A C ⊥平面MPQ ,而直线1AC 与1A C 不垂直,所以C 项不成立. 故选：C 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.10．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D 【答案】A【解析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211||2OMN S OF y y =⋅-=V 故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ） A ．5 B ．C ．4D ．16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V , ∴bc=6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.12．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎦B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022by b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】二、填空题13．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线斜率分别为1k ，2k ，若123k k =-，则该双曲线的离心率为________. 【答案】2【解析】由题得21223b k k a=-=-,再根据2221b e a =-求解即可.【详解】双曲线22221x y a b-=的两条渐近线为b y x a =±,可令1k b a =-,2k b a =,则21223b k k a =-=-,所以22213b e a=-=,解得2e =.故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，E 、F 分别为CD 、AB 的中点，则异面直线1B F 与1D E 所成的角为________.【答案】60︒【解析】连接1A F 、EF ,可得11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.再根据三角形中的关系分析即可. 【详解】连接1A F 、EF ,则易证四边形11A D EF 为平行四边形,所以11D E A F ∥,所以11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.因为2AB =,13AA =所以可求得112A F B F AB ===,所以11A FB V 为等边三角形,则1160A FB ︒∠=.故答案为：60︒ 【点睛】本题考查异面直线所成的角.需要根据题意构造三角形进行求解.属于基础题. 15．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________.【答案】39【解析】设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可.【详解】设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨++++=⎩,解得113a d =-⎧⎨=⎩,所以6116653392S =-⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：39 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点和椭圆22143x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足||||8PF MF +=，3MFP π∠=，则直线AB 的方程为________.【答案】3(1)y x =-【解析】根据||||8PF MF +=,3MFP π∠=可得MFP V 为正三角形且边长为4,进而求得直线AB 的倾斜角,再求解方程.由椭圆22143x y +=,可知1c =,12p =,2p =,∴24y x =,在MFP V 中,3MFP π∠=,PF PM =,故MFP V 为正三角形.又||||8PF MF +=,故||||4PF MF ==13||||sin ||||43234MFP S PF MF PF MF π=⋅=⋅=V ∵||4MF =,12F F =,∴16FMF π∠=,13MFF π∠=,∴直线AB 的倾斜角为3π,将直线方程3(1)y x =-. 故答案为：3(1)y x =- 【点睛】本题考查抛物线与椭圆综合运用,同时也考查直线方程的倾斜角与斜率点斜式等.属于中档题.三、解答题17．在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n =-，2nn b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯【解析】(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3328b ==再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得1(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.【详解】（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =, 故111222n n nn b b q --==⨯=,又由122n a n +=,得1n a n =-.（2）依题意1(1)2n n c n -=-⨯.01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①则12312021222(2)2(1)2n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2nn S n =+-⨯.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题. 18．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5cos ASD ∠=，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.求证：（1）直线SA P 平面EFG ； （2）直线AC ⊥平面SDB . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1) 连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,再证明SA GH ∥即可. (2)证明AC BD ⊥与SD AC ⊥即可. 【详解】（1）连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,所以O 为AC 的中点,H 为OC中SA GH ∥,SA ⊄平面EFG ,GH ⊂平面EFG ,所以直线SA P 平面EFG .（2）在ASD V 中,1SD =,2AD =,5cos 5ASD ∠=,由余弦定理得,222AD SA SD =+-2cos SA SD ASD ⋅∠,即222521215SA SA =+-⨯⨯,解得5SA =由勾股定理逆定理可知SD DA ⊥,因为侧面SAD ⊥底面ABCD ,由面面垂直的性质定理可知SD ⊥平面ABCD ,所以SD AC ⊥,因为底面ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,因为SD BD D =I ,所以AC ⊥平面SDB .【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.19．设抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2)(0)m m m >.（1）求抛物线C 的方程；（2）F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2BF FA =u u u r u u u r ，求||AB 的值.【答案】（1）24y x =（2）92【解析】(1)代入(,2)m m 计算即可.(2) 设直线AB 的方程为(1)y k x =-,再联立直线与抛物线的方程,消去x 可得y 的一元二次方程,再根据韦达定理与2BF FA =u u u r u u u r求解k ,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解：（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2m m ,所以42m pm =,所以2p =,抛物线的方程为24y x =（2）由题意知直线AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为(1)y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y .因为2BF FA =u u u r u u u r ,所以212y y =-,联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩,化简得2440y y k --=,所以124y y k+=,124y y =-,所以14y k =-,212y =,解得22k =±,所以()212122199||141882AB y y y y k =++-=⨯=. 【点睛】 本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.20．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，AD BC ∥，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .（1）求证：⊥AF PB ；（2）求点D 到平面AEC 的距离.【答案】（1）见解析（2）26 【解析】(1) 连接AE ,证明PB AD ⊥与AE PB ⊥,进而证得PB ⊥面ADE 即可证明⊥AF PB .(2)利用等体积法D AEC E ACD V V --=求解即可.【详解】解：（1）连接AE ,在四边形ABCD 中,DA AB ⊥,PA ⊥平面ABCD ,AB Ì面ABCD ,∴AD PA ⊥,PA AB A =I ,∴AD ⊥面PAB ,又∵PB ⊂面PAB ,∴PB AD ⊥,又∵在直角三角形PAB 中,PA AB =,E 为PB 的中点,∴AE PB ⊥,AD AE A ⋂=, ∴PB ⊥面ADE ,AF ⊂面ADE ,∴⊥AF PB .（2）由22PA AB AD BC ====,∴12AE PB ==AC =EC =,∴222AE EC AC +=,∴12AEC S ==V 设点D 到平面AEC 的距离为d ,∵D AEC E ACD V V --=,∴111122332d =⨯⨯⨯⨯,∴d =【点睛】本题主要考查了证明线面垂直与线线垂直的方法,同时也考查了等体积法求点到面的距离问题,属于中档题.21．已知椭圆22:22:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，离心率12e =过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为3.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，且与x 轴不重合，交椭圆E 于M ，N 两点，求||MN 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[3,4) 【解析】(1)代入x c =-求解椭圆E 上的点的坐标,再根据线段长为3以及12e =求解即可.(2)分析直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,联立直线与椭圆的方程,再根据弦长公式与斜率的范围求解即可.【详解】（1）由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=,即2b y a =±,由题意知223b a=,即223a b =,又12c e a ==,所以2a =,b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）当直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,()11,M x y ,()22,N x y . 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=,则2122843k x x k +=+, 212241243k x x k -=+,所以()212221213||34343k MN x k k +=-==+++, 所以||(3,4)MN ∈.当直线l 与x 轴垂直时,||3MN =.综上所述,||MN 的取值范围为[3,4).【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解以及弦长公式的运用等,属于中档题.22．已知函数21()4ln 2f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）讨论()1()2f x g x b x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭零点的个数. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可. (2) 4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,再换元将原方程转化为2ln t b t =,再求导分析2ln ()t h t t =的图像数形结合求解即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞,244()x f x x x x-'=-+=,当02x <<时,()0f x '<,所以()y f x =在(0,2)单调递减；当2x >时,()0f x '>,所以()y f x =在(2,)+∞单调递增,所以()y f x =的减区间为(0,2),增区间为(2,)+∞.（2）4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,令2(0)x t t =>则原方程转化为2ln t b t =,令2ln ()t h t t =,22(1ln )()t h t t -'=.令()0h t '=,t e =,∴(0,)t e ∈,()0h t '>,(,)t e ∈+∞,()0h t '<,max 2()()h t h e e ==,当1t e=时,()20h t e =-<,当t e >时,()0h t >. 如图可知①当0b ≤时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点；②当20b e <<时,()h t 有两个零点,即g(x)有两个零点； ③当2e b =时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点； ④2b e>时,()h t 此时无零点,即g(x)此时无零点. 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.。
2020年江苏高三四模数学试卷(百校联考)答案
此时
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2020/4/27
2020年江苏高三四模数学试卷（百校联考）
设 为 的中点，
，
即
，
即
，
，
，
设
，则
，
取
得
，
“获
所以
，
器
∴
．
神
课
二、解答题
“授
15. （ 1 ）证明见解析．
时， 的最大值为
有最大值 ， ．
更多 17. （ 1 ）
．
（2）
或
．
【解析】（ 1 ）∵离心率为 ， 设焦距为 ，
的周长为 ，
则
，解得
，
∴椭圆方程为
．
（ 2 ）设 为
，则
，且
，
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2020/4/27
当
时，有
综上，
，无解20，20年江苏高三四模数学试卷（百校联考）
的解集为
．
11. 【解析】 设容器底面半径为 ，原水面所在半径为 ，母线长为 ，