高中数学概率期望与方差 ppt课件
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高中数学离散型随机变量的期望及方差课件
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
(2)∵该同学的得分 η， η＝10ξ＋(5－ξ)×(－1)＝11ξ－5， ∴得分 η 的期望为 Eη＝E(11ξ－5)＝11Eξ－5 ＝11×130－5＝935， 方[思差维D拓η＝展D] (11(1ξ－)当5求)＝随11机2×变D量ξ＝ξ的12期1×望1与90＝方1差291时0.，可首先分析 ξ是否服从二项分布，如果服从，则用公式求解，可大大减少运算 量．(2)注意利用E(aξ＋b)＝aEξ＋b及D(aξ＋b)＝a2Dξ求期望与方 差．
B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32
D．n＝7，p＝0.45
解析：由已知nnpp＝1－1.6p，＝1.28， 解得np＝ ＝80， .2. 答案：A
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人教A版 ·数学（理）
2．如果ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，那么( ) A．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Dξ B．Eη＝3Eξ，Dη＝3Dξ＋2 C．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Eξ＋4 D．Eη＝3Eξ＋4，Dη＝3Dξ＋2 答案：A
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离散型随机）
1．离散型随机变量的均值与方差
(1)均值 若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn …
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则ξ的数学期望(或平均数、均值，简称期望)为 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11，
即a＝±2.
又Eη＝aEξ＋b，
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人教A版 ·数学（理）
∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ∴ab＝ ＝2－2 或ab＝ ＝－ 4 2 即为所求．
《数学期望与方差》课件
相关系数的计算公式
相关系数在统计学、金融等领域有广泛应用，如股票价格与市场指数的相关性分析、回归分析等。
相关系数的应用
数学期望的性质
数学期望具有线性性质、可加性质、可乘性质等，这些性质在概率论和统计学中有重要应用。
05
数学期望与方差的实例分析
总结词
数学期望和方差在投资组合的风险与回报分析中具有重要应用。
总结词
利用数学期望和方差可以对赌博游戏的概率进行分析。
详细描述
在赌博游戏中，玩家需要根据游戏规则和概率计算每种可能结果的数学期望和方差，以评估游戏的风险和潜在收益。通过比较不同赌博游戏的数学期望和方差，玩家可以做出更明智的决策。
数学期望
对于赌博游戏而言，数学期望计算的是长期玩家的平均收益。如果数学期望为正数，则表示长期玩家将获得正收益；如果数学期望为负数，则表示长期玩家将面临亏损。
方差
在赌博游戏中，方差反映了玩家实际收益与预期收益之间的波动范围。较小的方差表示实际收益相对稳定，而较大的方差则表示实际收益可能存在较大的波动。
01
02
03
04
总结词：数学期望和方差可用于预测市场的表现。
THANK YOU
数学期望和方差在某些情况下可以相互转化，如当随机变量服从正态分布时。
变量同时变动的情况，即一个变量增加或减少时，另一个变量也相应地增加或减少的概率。
协方差的概念
协方差 = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]，其中E[X]和E[Y]分别是X和Y的数学期望，X和Y是随机变量。
协方差的计算公式
协方差可以用于分析投资组合的风险，如果两个资产的收益率呈正相关，则它们的协方差为正；如果呈负相关，则协方差为负。
协方差的应用
1
相关系数在统计学、金融等领域有广泛应用，如股票价格与市场指数的相关性分析、回归分析等。
相关系数的应用
数学期望的性质
数学期望具有线性性质、可加性质、可乘性质等，这些性质在概率论和统计学中有重要应用。
05
数学期望与方差的实例分析
总结词
数学期望和方差在投资组合的风险与回报分析中具有重要应用。
总结词
利用数学期望和方差可以对赌博游戏的概率进行分析。
详细描述
在赌博游戏中，玩家需要根据游戏规则和概率计算每种可能结果的数学期望和方差，以评估游戏的风险和潜在收益。通过比较不同赌博游戏的数学期望和方差，玩家可以做出更明智的决策。
数学期望
对于赌博游戏而言，数学期望计算的是长期玩家的平均收益。如果数学期望为正数，则表示长期玩家将获得正收益；如果数学期望为负数，则表示长期玩家将面临亏损。
方差
在赌博游戏中，方差反映了玩家实际收益与预期收益之间的波动范围。较小的方差表示实际收益相对稳定，而较大的方差则表示实际收益可能存在较大的波动。
01
02
03
04
总结词：数学期望和方差可用于预测市场的表现。
THANK YOU
数学期望和方差在某些情况下可以相互转化，如当随机变量服从正态分布时。
变量同时变动的情况，即一个变量增加或减少时，另一个变量也相应地增加或减少的概率。
协方差的概念
协方差 = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]，其中E[X]和E[Y]分别是X和Y的数学期望，X和Y是随机变量。
协方差的计算公式
协方差可以用于分析投资组合的风险，如果两个资产的收益率呈正相关，则它们的协方差为正；如果呈负相关，则协方差为负。
协方差的应用
1
10-9 期望与方差(共60张PPT)
2个 白 球 和
4个 黑 球 ， 每 次
1 ( ) 采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜 色 不 同 的 概 率 ； 2 ( ) 采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的 个 数 的 均 值 和 方 差 ．
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 · 高三数学（理）
【解析】 1 ( ) “有放回摸取”可看作独立重复试验，每次 摸 出 一 球 是 白 球 的 概 率 为 记“有 放 回 摸 两 次 ， 颜 色 不 同 4 ＝ . 9 2 ( ) 设 摸 得 白 球 的 个 数 为 X， 则 X的 取 值 为 4 3 2 P(X＝0)＝ × ＝ ， 6 5 5 4 2 2 4 8 P(X＝1)＝ × ＋ × ＝ ， 6 5 6 5 15 2 1 1 P(X＝2)＝ × ＝ . 6 5 15
2
1 1 －3) × ＝ (4＋1＋0＋1＋4)＝2. 5 5
2
∴D(2ξ－1)＝4D(ξ)＝8， σ(ξ－1)＝ Dξ－1＝ Dξ＝ 2.
【答案】 11 8 2
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探究 1 若 ξ 是 随 机 变 量 ， 则
η＝f(ξ)一 般 仍 是 随 机 变 量 ， 在
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3．常 见 离 散 型 随 机 变 量 1 ( ) 两 点 分 布 ： 若 随 机 变 量
ξ的 期 望 与 方 差 ξ 满足 P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－
p，则 E(ξ)＝p，D(ξ)＝ p(1－p) ． 2 ( ) 二 项 分 布 ： 若 随 机 变 量 ＝np(1－p) ． 3 ( ) 几 何 分 布 ： 若 随 机 变 量
高考数学二轮复习 7.3 概率与离散型随机变量的分布列、期望与方差课件 理
为 为
为
“ 从中取出两个红球 ” 的不同取法数为 C 42 , 2 C3 “ 从中取出两个黄球 ” 的不同取法数为 2 C3 , 2 2 2 C3 C3 C4 2 2 ，其概率 2 “ 从中取出两个白球 ” 的不同取法数为 C10 C10 C10 15 , 所以取出两个同色球的概率为
36 ． 36 2 C10 45 (2)“任取三个小球至少有两个球颜色相同 ” 的对立事件 36 1 为“取出三个球，颜色全不相同 ”，而取出三个球，颜色全 45 5 不相
பைடு நூலகம் 考点二
相互独立事件的概率与离散型随机变量的 分布列
命题规律 高考对相互独立事件同时发生的概率的考查
通常在选择、填空题中独立出现或在解答题中予以体现． ●例 2 我国准备选派 A 、 B 、 C 三地分别独立地参加世 界自然遗产申报．根据综合分析，A地能通过测试的概率 3 2 是 ，A、B、C三地都能通过测试的概率是 ，A、B、C 20 5 3 三地都不能通过测试的概率是 ，且B地通过测试的概率比C 40 地要大． (1)求B、C两地各自通过测试的概率； (2)求测试结束后，申报通过的数目X的数学期望EX． 【分析】可以根据A、B、C三地申报世界自然遗产的独 立性，求出B、C两地各自通过测试的概率．
第 3讲
概率与离散型随机变量的分布列、
期望与方差
重点知识回顾 古典概型的概率计算公式：
A包含的基本事件的个数 P(A)＝ ． 基本事件的总数
2．互斥事件有一个发生的概率： ①如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1＋A2
＋…＋An 发生( 即A1 ，A2 ，…，An中有一个发生 ) 的概率等于
6．数学期望的性质：
(1)E(aξ＋b)＝aEξ＋b； (2)若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np； (3)若随机变量ξ服从几何分布，且P(ξ＝k)＝g(k，p)，
【精品】概率论与数理统计PPT课件第四章 数学期望和方差
8
9
10
P
0.1 0.3 0.6
Y
8
9
10
P
0.2 0.5 0.3
试问哪一个人的射击水平较高？ 9
例1（续）
甲、乙的平均环数可写为
EX 80.1 90.3 100.6 9.5 EY 80.2 90.5 100.3 9.1
10
例2.对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产 品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n件仍未发现 废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽 查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式
两边同时对x求导数得到。
8
例1：
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数；
X
p)nm
29
注意到二项分布B(n , p)的数学期望,就有 于是
注: 最后一步用了泊松分布数学期望的结果.
30
例8: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E(Y)。
解: X 的概率密度为 所以
31
例9 设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X) 解:
36
37
最终， 显然，y = 3500 时，E (Y )最大，
E(Y)max =8250万元.
38
例11.假设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~
N ( ,1). 已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件
人教版高中数学选修二离散型随机变量的期望、方差优秀PPT下载
2.若随机变量X满足P（X=c)=1,其中c为 常数，求EX,DX.
思考：
n
DX (xi EX)2 pi i1 E(XEX)2
EX2 (EX)2
3. D(的D值) 为_______;
新疆 王新敞
奎屯
4.已知随机变量 的数学期望为 E方 ,差为 D , 随机变量 则E , 的值D为______.
。
类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.
（2）若 X ~ B(n，, 则p) 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
分2期或3期付款，其利润为250元；
DXnp(1p)
某商场经销某种商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为
计算探究中两名同学射击成绩的方差：
很接近时，比较DX1和DX2，可以确定哪个随机变量
x1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p 2 ··· p i ··· pn
则称 D ( x 1 E ) 2 p 1 ( x i E ) 2 p i ( x n E ) 2 p n
n
(xi E)2 pi 为随机变量x的方差.
i1
称 D 为随机变量x的标准差.
1
P
0.5 1 2q
q2
2.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛 规则规定：每题回答正确的100分，回答不正确的100分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8， 且各题回答正确与否相互之间没有影响。
（1）求这名同学回答这三个问题的总得分 的数学
期望； （2）求这名同学总得分不为负分的概率。
④根据方差、标准差的定义求出 D X 、 X
小结：
点数的均3值.、能方差熟和标准练差. 地直接运用两个特殊分布的方差公式
思考：
n
DX (xi EX)2 pi i1 E(XEX)2
EX2 (EX)2
3. D(的D值) 为_______;
新疆 王新敞
奎屯
4.已知随机变量 的数学期望为 E方 ,差为 D , 随机变量 则E , 的值D为______.
。
类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.
（2）若 X ~ B(n，, 则p) 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
分2期或3期付款，其利润为250元；
DXnp(1p)
某商场经销某种商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为
计算探究中两名同学射击成绩的方差：
很接近时，比较DX1和DX2，可以确定哪个随机变量
x1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p 2 ··· p i ··· pn
则称 D ( x 1 E ) 2 p 1 ( x i E ) 2 p i ( x n E ) 2 p n
n
(xi E)2 pi 为随机变量x的方差.
i1
称 D 为随机变量x的标准差.
1
P
0.5 1 2q
q2
2.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛 规则规定：每题回答正确的100分，回答不正确的100分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8， 且各题回答正确与否相互之间没有影响。
（1）求这名同学回答这三个问题的总得分 的数学
期望； （2）求这名同学总得分不为负分的概率。
④根据方差、标准差的定义求出 D X 、 X
小结：
点数的均3值.、能方差熟和标准练差. 地直接运用两个特殊分布的方差公式
高二数学离散型随机变量的期望与方差PPT精品文档15页
x1 x2 … xn …
P
p1
p2 … pn
…
则称E = x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为 数学期望，简称期望，也称为平均值、
均值。
例1、商场促销问题 解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效
益为 万元，则 的分布列为
10 －4
P 0.6 0.4
E = 10×0.6＋(－4) ×0.4 = 4.4万元 ＞2万元,
910元
变式：若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元， 为使保险公司收益的期望值不低于a的百 分之七，则保险公司应将最大赔偿金额 定为多少元？
1000 1000－a
P 0.97 0.03
E = 1000－0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。
2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止， 否则继续射击，他射中目标的概率是0.7, 若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。 (保留三个有效数字)
1
2
3
4
5
p
0.7
0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7
0.34
E =1.43
课堂小结：
本节课我们讲了一个定义，一个公式
1）E = x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…
2）若 ab ，则 EaE b
（a、b是常数）
； lsbtly/ 墓地 ath63cwb
2)若投中得5分 ,求他得分的期望;
3)若组委会规定,每位运动员以10分为基础,
求他得分的期望。
例4、有一批数量很大的产品，其次品率是15%， 对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果 抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直 到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次。
数学期望与方差ppt课件
频率 nk n
2 13 15 10 20 30 90 90 90 90 90 90
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
2
解
平均射中环数
射中靶的总环数 射击次数
0 2 113 2 15 3 10 4 20 5 30 90
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 90 90 90 90 90
P{ X xk } pk , k 1,2, .
若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pk
k 1
k 1
为随机变量 X 的数学期望, 记为 E( X ). 即
E( X ) xk pk .
k 1
5
2.连续型随机变量数学期望的定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x),
若积分
第一节 数学期望
一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、随机变量函数的数学期望 四、小结
1
一、数学期望的概念
ห้องสมุดไป่ตู้
引例 射击问题
设某射击手在同样的条
件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下
命中环数 k 0 1 2 3 4 5
命中次数 nk 2 13 15 10 20 30
k
k
4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有
E( XY ) E( X )E(Y ).
说明 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随 机变量数学期望的性质类似.
14
数学期望在医学上的一个应用
An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每 10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果 结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对 10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病 率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化 验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？
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离散型随机变量的数学期望和方差
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
x1
x 2 ··· x i
···
P p1
p2 ··· p i
···
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
二、互动探索
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，
1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是
多少？
X 1 1 1 1 2 2 2 3 3 42 10
把环数看成随机变量的概率分布列：权数
加
4
3
2
1
权
10
10
10
10
平
X142332412 均
10 10 10 10
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？
二、性质E(aX b)aEX b D(aXb)a2DX
三、如果随机变量X服从两点分布，
EX p DXp(1p)
四、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p）
EX np DXnp(1p)
作业
1.一次英语单元测验由20个选择题构成，每 个选择题有4个选项，其中有且只有一个选 项是正确答案，每题选择正确答案得5分， 不作出选择或选错不得分，满分100分，学 生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙在测 验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。 求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩 的期望和方差。
0.33 C310.70.32 C320.720.3 0.73
(2) E 0 0 X . 3 3 1 C 3 1 0 . 7 0 . 3 2 2 C 3 2 0 . 7 2 0 . 3 3 0 . 7 3
EX2.130.7 DX0.63
一般地，如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则 EXnpDXnp(1p)
数学期望与方差的性质
E (aXb)aE Xb D(aXb)a2DX
基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
(1)则Eξ= 2.4
. Dξ = 2.44
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 5.8 2、随机变量ξ的分布列是
. Dη = 9.76
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值和方差是多 少？
E1X 9,E2X 9 D1 X 0 .4 ,D2 X 0 .8
问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？
问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右， 应派哪一名选手参赛？
问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右， 应派哪一名选手参赛？
练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能 获得如下信息：
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
3
2
1
6
6
6
X1 8 12 4 13 6 12(元 3/k)g 236
一、离散型随机变量的均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x 1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p2 ··· p i ··· pn
则称 E X x 1 p 1 x 2 p 2 L x i p i L x n p n
解：E1X 14,E 02 0 X 1400 D X 1 4 0 0 0 0 ,D X 2 1 6 0 0 0 0
在两个单位工资的数学期望相等的情况下， 如果认为自己能力很强，应选择工资方差大 的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强， 就应选择工资方差小的单位，即甲单 且 1,则 3 D 117 8
.
课堂小结
一、离散型随机变量的期望和方差
X x 1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p2 ··· p i ··· pn
E x 1 p 1 X x 2 p 2 x i p i x n p n
D ( x 1 E X ) 2 p 1 X ( x i E ) 2 p i X ( x n E ) 2 p n
何分布,则 E X nM
N
四、应用
例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解：E1X 9,E2X 9 D1 X 0 .4 ,D2 X 0 .8
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多 数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8 －10环。
小结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，
则 E X 1 p 0 ( 1 p ) p
DXp(1p)
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望和方差。 解：(1) X～B（3，0.7）
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离
散型随机变量取值的平均水平。
D X ( x 1 E X ) 2 p 1 L ( x i E X ) 2 p i L ( x n E X ) 2 p n
为随机变量X的方差。
称
D X 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散与集中，稳定与波动的水平。
2、已 X ～ B 知 (n,p)， E X 8D , X 1.6
则 n10,p0.8
3、有一批数量很大的商品，其中次品占 1％，现从中任意地连续取出200件商品， 设其次品数为X，求EX和DX。 2，1.98
4. 一个袋子里装有大小相同的3 个红球
和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红
球次数的数学期望是 3
例3.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，
从中摸出3个球. （1）求得到黄球个数ξ的分布列；
（2）求ξ的期望和方差。 解： (1) ξ 服从超几何分布
C
0 2
C
3 3
C
3 5
C
1 2
C
2 3
C
3 5
C
2 2
C
1 3
C
3 5
(2)E 0116231.2 D
小结：
10 10 10
一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
x1
x 2 ··· x i
···
P p1
p2 ··· p i
···
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
二、互动探索
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，
1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是
多少？
X 1 1 1 1 2 2 2 3 3 42 10
把环数看成随机变量的概率分布列：权数
加
4
3
2
1
权
10
10
10
10
平
X142332412 均
10 10 10 10
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？
二、性质E(aX b)aEX b D(aXb)a2DX
三、如果随机变量X服从两点分布，
EX p DXp(1p)
四、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p）
EX np DXnp(1p)
作业
1.一次英语单元测验由20个选择题构成，每 个选择题有4个选项，其中有且只有一个选 项是正确答案，每题选择正确答案得5分， 不作出选择或选错不得分，满分100分，学 生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙在测 验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。 求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩 的期望和方差。
0.33 C310.70.32 C320.720.3 0.73
(2) E 0 0 X . 3 3 1 C 3 1 0 . 7 0 . 3 2 2 C 3 2 0 . 7 2 0 . 3 3 0 . 7 3
EX2.130.7 DX0.63
一般地，如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则 EXnpDXnp(1p)
数学期望与方差的性质
E (aXb)aE Xb D(aXb)a2DX
基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
(1)则Eξ= 2.4
. Dξ = 2.44
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 5.8 2、随机变量ξ的分布列是
. Dη = 9.76
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值和方差是多 少？
E1X 9,E2X 9 D1 X 0 .4 ,D2 X 0 .8
问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？
问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右， 应派哪一名选手参赛？
问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右， 应派哪一名选手参赛？
练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能 获得如下信息：
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
3
2
1
6
6
6
X1 8 12 4 13 6 12(元 3/k)g 236
一、离散型随机变量的均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x 1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p2 ··· p i ··· pn
则称 E X x 1 p 1 x 2 p 2 L x i p i L x n p n
解：E1X 14,E 02 0 X 1400 D X 1 4 0 0 0 0 ,D X 2 1 6 0 0 0 0
在两个单位工资的数学期望相等的情况下， 如果认为自己能力很强，应选择工资方差大 的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强， 就应选择工资方差小的单位，即甲单 且 1,则 3 D 117 8
.
课堂小结
一、离散型随机变量的期望和方差
X x 1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p2 ··· p i ··· pn
E x 1 p 1 X x 2 p 2 x i p i x n p n
D ( x 1 E X ) 2 p 1 X ( x i E ) 2 p i X ( x n E ) 2 p n
何分布,则 E X nM
N
四、应用
例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解：E1X 9,E2X 9 D1 X 0 .4 ,D2 X 0 .8
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多 数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8 －10环。
小结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，
则 E X 1 p 0 ( 1 p ) p
DXp(1p)
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望和方差。 解：(1) X～B（3，0.7）
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离
散型随机变量取值的平均水平。
D X ( x 1 E X ) 2 p 1 L ( x i E X ) 2 p i L ( x n E X ) 2 p n
为随机变量X的方差。
称
D X 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散与集中，稳定与波动的水平。
2、已 X ～ B 知 (n,p)， E X 8D , X 1.6
则 n10,p0.8
3、有一批数量很大的商品，其中次品占 1％，现从中任意地连续取出200件商品， 设其次品数为X，求EX和DX。 2，1.98
4. 一个袋子里装有大小相同的3 个红球
和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红
球次数的数学期望是 3
例3.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，
从中摸出3个球. （1）求得到黄球个数ξ的分布列；
（2）求ξ的期望和方差。 解： (1) ξ 服从超几何分布
C
0 2
C
3 3
C
3 5
C
1 2
C
2 3
C
3 5
C
2 2
C
1 3
C
3 5
(2)E 0116231.2 D
小结：
10 10 10
一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几