20172018学年高二物理电学专题提升专题27带电粒子在有界磁场中运动轨迹特点及临界问题

专题27 带电粒子在有界磁场中运动轨迹特点及临界问题

一：专题概述

1.带电粒子在有界匀强磁场中运动时的常见情形

直线边界(粒子进出磁场具有对称性)

平行边界(粒子运动存在临界条件)

圆形边界(粒子沿径向射入，再沿径向射出)

2.带电粒子在有界磁场中的常用几何关系

(1)四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点． (2)三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍． 二：典例精讲

1．直线边界磁场的临界、极值问题

典例1：平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)。粒子沿纸面以大小为

v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有

一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( )

【答案】D

【解析】带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r ＝mv qB

。轨迹与ON 相切，画出粒子的运动轨迹如图所

示，由于AD －

＝2r sin 30°＝r ，故△AO ′D 为等边三角形，∠O ′DA ＝60°，而∠MON ＝30°，则∠OCD ＝90°，

故CO ′D 为一直线，OD －

＝CD

－

sin 30°＝2CD －

＝4r ＝4mv

qB

，故D 正确。

2． 圆形磁场的临界、极值问题

典例2：如图所示,竖直放置的平行金属板A 、B 间电压为U 0,在B 板右侧CDMN 矩形区域存在竖直向下的匀强电场,DM 边长为L ,CD 边长为L ,紧靠电场右边界存在垂直纸面水平向里的有界匀强磁场,磁场左右边界为同心圆,圆心O 在CDMN 矩形区域的几何中心,磁场左边界刚好过M 、N 两点.质量为m 、电荷量为+q 的带电粒子,从A 板由静止开始经A 、B 极板间电场加速后,从边界CD 中点水平向右进入矩形区域的匀强电场,飞出电场后进入匀强磁场.当矩形区域中的场强取某一值时,粒子从M 点进入磁场,经磁场偏转后从N 点返回电场区域,且粒子在磁场中运动轨迹恰与磁场右边界相切,粒子的重力忽略不计,取sin37°=,cos37°=.

(1) 求粒子离开B 板时的速率v 1. (2) 求磁场右边界圆周的半径R.

(3) 将磁感应强度大小和矩形区域的场强大小改变为适当值时,粒子从MN 间飞入磁场,经磁场偏转返回电场前,在磁场中运动的时间有最大值,求此最长时间t m .

【答案】(1) (2) L (3) ·

【解析】(1) 粒子从A 到B 的加速过程中,由动能定理有

qU 0=m -0

解得v 1=

(2) 如图所示,粒子刚好沿着磁场右边界到达N 点

图中tan θ==θ=37°

带电粒子在磁场中做圆周运动的半径

r=tan θ= L

则R=+r=L

(3) 粒子从同一点离开电场时,在磁场中运动轨迹与右边界相切时弧长最长,运动时间也最长;粒子从不同点离开电场,在磁场中运动轨迹与右边界相切时弧长最长,且当矩形区域场强为零时,粒子进入磁场时速度最小,粒子在磁场中运动的时间最长,则

t m=·

解得t m=·

3．三角形磁场的临界、极值问题

典例3：如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y 轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h，0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求：

(1)电场强度E 的大小；

(2)粒子到达a 点时速度的大小和方向； (3)abc 区域内磁场的磁感应强度B 的最小值。

【答案】(1)mv 20

2qh (2)2v 0 方向指向第Ⅳ象限与x 轴正方向成45°角 (3)2mv 0qL

(2)粒子到达a 点时沿y 轴负方向的分速度v y ＝at ＝v 0 所以v ＝v 2

0＋v 2

y ＝2v 0

方向指向第Ⅳ象限与x 轴正方向成45°角。 (3)粒子在磁场中运动时，有

qvB ＝m v 2

r

当粒子从b 点射出时，磁场的磁感应强度为最小值，此时有r ＝22L ，所以B ＝2mv 0qL

三 总结提升

由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．

(1)两种思路

一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；

二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值． (2)两种方法 一是物理方法： ①利用临界条件求极值； ②利用问题的边界条件求极值； ③利用矢量图求极值． 二是数学方法： ①利用三角函数求极值； ②利用二次方程的判别式求极值； ③利用不等式的性质求极值； ④利用图象法等．

(3)从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件． 四 提升专练

1.(多选) 在xOy 平面上以O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面．一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从原点O 以初速度v 沿y 轴正方向开始运动，经时间t 后经过x 轴上的P 点，此时速度与x 轴正方向成θ角，如图所示．不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )．

A ．若r <2mv

qB

，则0°<θ<90°

B ．若 r ≥2mv qB ，则t ≥πm

qB