二次函数与圆综合题
二次函数与圆的综合题(中考数学必考压轴题)
二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是；（2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”）（3）若DQ恰好为⊙C的切线，①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想；②求二次函数的表达式．例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；练习6.在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；（2）求点D的坐标：（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．练习7.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．（1）求证：∠OCA＝∠OBC；（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C 的坐标和抛物线的解析式；（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和P A+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．练习8.已知二次函数y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD＝，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使P A是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．练习9.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．练习10.已知：直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx （a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连接AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习11.已知A是x轴正半轴上一个动点，以线段OA为直径作⊙B，圆心为点B，直径OA＝m，线段EF是⊙B的一条弦，EF∥x轴，点C为劣弧EF的中点，过点E作DE垂直于EF，交抛物线C1：y＝ax2+bx（a＞0）于点G，抛物线经过点O和点A．（1）求证：DG＝m；（2）拖动点A，如果抛物线C1与⊙B除点O和点A外有且只有一个交点，求b的值；（3）拖动点A，抛物线C1交⊙B于点O、E、F、A，①求证：DE＝m﹣；②直接写出FC2的值（用a，m的代数式表示）练习13.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B 为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．练习14.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E 四点，B为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．练习15.如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．例5.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．练习16.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O 三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．练习17.如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．练习18.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．课后练习1.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是△ABP 的外接圆圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．2.如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）求证：∠BDE＝90°；（2）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（3）如图2，AC与BE交于点F．①请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；②若，求点E坐标及a的值．。
二次函数和圆综合(压轴题+例题+巩固+答案解析)
【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．⑵ 点()8Q m ，在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。
（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。
（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。
【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ；⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式．（2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值．（3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P ′的坐标，连接P ′Q ，那么P ′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P ′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标．【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与 二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x轴交于M N，，三点的圆的，两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F M N面积最小？最小面积是多少？【例3】如图1,⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为()，，顶点D在⊙O上运动．50⑴当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；⑵当直线CD与⊙O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；⑶设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．【巩固】如图，已知点A 从()10，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O A ，为顶点作菱形OABC ，使点B C ，在第一象限，且60AOC ∠=︒；以()03P ，为圆心，PC 为半径作圆．设点A 运动了t 秒，求： ⑴ 点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；⑵ 当点A 在运动过程中，所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．【例4】已知：如图，抛物线213y x m =+与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，90ACB ∠=︒⑴ 求m 的值及抛物线顶点坐标；⑵ 过A B C ，，的三点的M ⊙交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交M ⊙于点E ，过E 点的M ⊙的切线分别交x 轴、y 轴于点F G ，，求直线FG 的解析式；⑶ 在条件⑵下，设P 为CBD 上的动点(P 不与C D ，重合)，连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH AP k ⋅=，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．【巩固】如图，已知点A的坐标是()，，以AB为直径作O'，90-，，点B的坐标是()10交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．⑴求抛物线的解析式；⑵点E是AC延长线上一点，BCE∠的平分线CD交O'于点D，连结BD，求直线BD的解析式；⑶在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDB CBD∠=∠？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．DCEA yxBO O'课后作业：1.如图，直角坐标系中，已知两点()A，，点B在第一象限且OAB2000O，，()∆为正三角形，OAB∆的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．⑴求B C，两点的坐标；⑵求直线CD的函数解析式；⑶设E F，分别是线段AB AD，上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：AEF∆的最大面积？参考答案例1【巩固】例2分析：（1）先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求得P1，Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l的解析式．（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC（M为PG与圆的切点），因此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP，OQ的长即PM，QM的长（切线长定理）．由此可求出a的值．（3）本题的关键是确定N的位置，先找出与P点关于直线l对称的点P′的坐标，连接P′Q，那么P′Q与直线l的交点即为所求的N点，可先求出直线P′Q的解析式，进而可求出N点的坐标．【巩固】例3【巩固】例4【巩固】作业。
最新中考数学复习中考专题：圆与二次函数结合题
2017年中考数学复习中考专题： 圆与函数综合题1、如图，平面直角坐标系中，以点C （22为半径的圆与轴交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式．1、解：（1）过点C 作CM ⊥轴于点M ，则点M 为AB 的中点．∵CA =2，CM =， ∴AM ==1．于是，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（3，0）（2）将（1，0），（3，0）代入得，解得 所以，此二次函数的解析式为．2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线2y x bx c =++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0116）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2），(1)求a,b,c 的值；(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()212x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。
4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。
初三数学 圆与二次函数综合训练题
圆为背景的二次函数综合训练卷1．如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连接BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．第三问改成，在（2）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△PCD的面积是△BCD面积的三分之一，求此时点P的坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时，则称点P为图形W的“梦之点”.（1）已知⊙O的半径为1.①在点E（1,1），,M(－2，－2)中，⊙O的“梦之点”为；②若点P位于⊙O内部，且为双曲线（k≠0）的“梦之点”，求k的取值范围.（2）已知点C的坐标为（1，t），⊙C的半径为，若在⊙C上存在“梦之点”P，直接写出t的取值范围.（3）若二次函数的图象上存在两个“梦之点”，求二次函数图象的顶点坐标.3．如图，在平面直角坐标系中，圆D与轴相切于点C(0,4)，与轴相交于A、B两点，且AB=6（1）D点的坐标是，圆的半径为；（2）求经过C、A、B三点的抛物线所对应的函数关系式；（3）设抛物线的顶点为F,试证明直线AF与圆D相切；（4）在轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大，最大面积是多少？并求出点坐标.4．（2018年山东省济宁市中考数学模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y=﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；（4）当E是直线y=﹣x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．5．已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．（1）求点C、D及点M的坐标；（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．7．如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，O是平面直角坐标系的原点．在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（1，1），B（3，1），动点P 从O点出发，沿x轴正方向以2个单位/秒的速度运动．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；（2）过P作PD⊥OA于D，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，⊙P在点P的右侧与x轴交于点Q．①则P点的坐标为_____，Q点的坐标为_____；（用含t的代数式表示）②试求t为何值时，⊙P与四边形OABC的两边同时相切；③设△OPD与四边形OABC重叠的面积为S，请直接写出S与t的函数解析式．9．已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，连接AB，BC，tan∠ABO=，以线段BC为直径作⊙M交直线AB于点D，过点B作直线l∥AC，过A，B，C三点的抛物线为y=ax2+bx+c，直线l与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．（1）求B点坐标；（2）用含m的式子表示抛物线的对称轴；（3）线段EF的长是否为定值？如果是，求出EF的长；如果不是，说明理由．（4）是否存在点C（m，0），使得BD=AB？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由．10．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A、B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），是否存在实数k使得直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．[来源:]11．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.直线经过抛物线与坐标轴的两个交点B和C。
专题：二次函数与圆
专题：二次函数与圆1、如图，抛物线m ：21y (x h)k 4=-++与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，顶点为(3,)M 254,将抛物线m 绕点B 旋转!180，得到新的抛物线n,它的顶点为D.（1）求抛物线n 的解析式；（2）设抛物线n 与x 轴的另一个交点为E ，点P 是线段ED 上一个动点（P 不与E 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为F ，连接EF.如果P 点的坐标为(x,y) ，△PEF 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；（3）设抛物线m 的对称轴与x 轴的交点为G ，以G 为圆心，A 、B 两点间的距离为直径作⊙G ，试判断直线CM 与⊙G 的位置关系，并说明理由.2、抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于，为抛物线的顶点，直线轴，垂足为，. （1）求这个抛物线的解析式；（2）为直线上的一动点，以为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在轴上.若在轴上的直角顶点只有一个时，求点的坐标；3、如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A.C,与y轴相交于点B,A(−94,0),且△AOB∽△BOC.(1)求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式；(2)在线段AC上是否存在点M(m,0).使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P 点(与点B不同) ，且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
4、如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是以AB为直径的M的内接四边形,点A,B在x轴上,△MBC是边长为2的等边三角形,过点M作直线l与x轴垂直,交M于点E,垂足为点M,且点D平分AC.(1)求过A，B，E三点的抛物线的解析式；(2)求证：四边形AMCD是菱形；(3)请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5?若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
(最新整理)一元二次方程二次函数圆综合测试题
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一元二次方程 二次函数 圆综合测试题(海淀西城期末）1．二次函数()257y x =-+的最小值是 A ．7- B ．7 C ．5- D ．5 2．抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标是 A ．(21)--，B ．(21)-，C ．(21)-，D ．(21)，3．如图,△ABC 内接于⊙O ，若o100AOB ∠=,则∠ACB 的度数是 A ．40° B ．50° C ．60° D4．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为A．12 B ．．．5．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+ B ．2(3)5y x =-+ C ．2(3)4y x =-- D ．2(3)9y x =+-6．若一个扇形的半径是18cm,且它的弧长是12π cm ，则此扇形的圆心角等于 A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1-，2),AB ⊥x 轴于点B ．以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的2倍，得到△OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1 的坐标为 A ．（2-，4）B ．(12-，1)C ．（2，4-)D ．（2，4）8．如图，A ,B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC ∠ABC =70°，∠ACB =30°,D 是 的中点, 连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为A ．30°B ．45°C ．50°D ．70°9．某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件．市场调查反映,如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后,每星期售出BAC商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为A ．60(30020)y x =+B ．(60)(30020)y x x =-+C ．300(6020)y x =-D ．(60)(30020)y x x =--10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时,它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为 A ．8B ．10-C ．42-D ．24-12．抛物线22y x =向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为A ．()2213y x =++ B ．()2213y x =+- C ．()2213y x =-- D ．()2213y x =-+ 二、填空题（本题共18分,每小题3分）13．点A (3-，1y )，B (2，2y )在抛物线25y x x =-上,则1y 2y ．(填“>”，“<"或“=”） 14．已知关于x 的方程260x x m -+=范围是 ．15．如图,线段AB 和射线AC 交于点A ，∠A =30°，AB 点D 在射线AC 上，且∠ADB 是钝角，写出一个满足条件的AD 的长度值：AD = ．16．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x 尺,则可列方程为 ． 17．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐,五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高,已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们,每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠,能算出这秋千的绳索长是多少吗？"如图,假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板,CD是地面，点B 是推动两步后踏板的位置,弧AB 是踏板移动的轨迹．已知AC =1尺,CD =EB =10尺，人的身高BD =5尺．设绳索长OA =OB =x 尺,则可列方程为 ．18．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下如图，（1）连接OP ,作线段OP 的垂直平分线MN交OP 于点C ;（2）以点C 为圆心，CO 的长为半径作圆,交⊙O 于A ，B 两点;（3)作直线PA ,PB ．所以直线PA ，PB 就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA ，OB 后，可证∠OAP =∠OBP =90°，其依据是 由此可证明直线PA ，PB 都是⊙O 的切线，其依据是 ． 19．解方程：2250x x +-=。
圆、相似三角形、二次函数经典综合题
中考数学《圆》综合复习【1】已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，EF ∥BC 且交AC 延长线于F ，连结CE.求证：(1)∠BAE=∠CEF ；(2)CE 2=BD ·EF.【2】如图，△ABC 内接于圆，D 为BA 延长线上一点，AE 平分∠BAC 的外角，交BC 延长线于E ，交圆于F.若AB=8，AC=5，EF=14.求AE 、AF 的长.【3】如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上的任意一点（不与点A 、B 重合），连接 CO 并延长CO 交于⊙O 于点D ，连接AD ． (1)弦长AB 等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数；(3)当AC 的长度为多少时，以A 、C 、D 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．【4】如图，在ABC △中90ACB ∠=，D 是AB 的中点，以DC 为直径的O 交ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．GECD ，的交点为M ，且ME = :2:5MD CO =．（1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O 的直径CD 的长．B CF E A D O .A B D C EF 第9题图【5】如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。
(1)求证：CD 为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. 【6】【7】如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，⊙O 1交O 1O 2于点B ，连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C. （1）求证：O 2C ⊥O 1O 2； （2）证明：AB ·BC=2O 2B ·BO 1；（3）如果AB ·BC=12，O 2C=4，求AO 1的长.O 1O 2A B【8】如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为 直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上一动点，连 结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB=AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF （1）当∠AOB =30°时，求弧AB 的长度； （2）当DE =8时，求线段EF 的长；（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此 时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【9】 如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根． （1）求m 、n 的值；（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN+第24题图图（3）l '【10】如图l0．在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10．以AB为直径的⊙O’与y轴正半轴交于点C．连接BC，AC。
专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题(解析版)
由已知，点 D 坐标为（﹣1，0），点 B 坐标为（0，﹣1），
设点 P 的坐标为（a，﹣ a﹣1），
①当△AOB∽△ADP 时，
AD AO
=
DP，即2
OB
=
a+
，
解得：a=﹣1；
点 P 坐标为（﹣1，− 2）；
②当△AOB∽△APD 时， 过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E， 则△APE∽△PED， ∴PE2=AE•ED，
【答案】（1）点 B 的坐标为 (2, 1 ) ；（2）对称轴为直线 x 1 ;（3）当 a 1 时，抛物线与线段 PQ 恰有
a
2
一个公共点.
【解析】
解：（1）∵抛物线与 y 轴交于点 A，∴令 x 0 ，得 y 1 ， a
∴点 A 的坐标为 (0, 1 ) ，∵点 A 向右平移两个单位长度，得到点 B， a
∴（﹣ a﹣1）2=（a+3）（﹣a﹣1），
解得 a1=﹣3（舍去），a2=﹣65，
∴点 P 坐标为（﹣6，﹣ ）；
5
5
（3）存在，CQ 最小值为
7− 5；
2
如图，取点 F（﹣1，﹣1），过点 ADF 作圆，则点 E（﹣2，﹣2）为圆心，
2
∵tan∠AFD=2，
∴弧 AFD（A、D 除外）上的点都是满足条件的 Q 点，
则∠ODC=2∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD， ∴sin∠ODC=sin∠OMN= = ， 又 MO=MD， ∴当 MD 取最小值时，sin∠ODC 最大， 此时⊙M 与直线 x=1 相切，MD=2， MN= 2 − 2= ， ∴点 M（﹣1，﹣ ）， 根据对称性，另一点（﹣1， ）也符合题意； 综上所述，点 M 的坐标为（﹣1， ）或（﹣1，﹣ ）．
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过点A 和 B，则
解得
4 b , 3 c 2.
y
（2，0）(6，0）
则抛物线的解析式为：
故 C（0，2）．
C
l P
（2）如图①，抛物线对称轴l是x＝4． ∵ Q（8，m）抛物线上，∴ m＝2． O 过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK＝2，AK＝6，
Q
A
E
D
M
x B K
初中数学九年级上册
二次函数与圆综合题
展示讨论
1.如图，点M(4,0)，以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点 1 y x bx c 过点A和B，与y轴交于点C． A,B．已知抛物线 6 ⑴ 求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．
2
⑵ 点Q(8,m)在抛物线 动点，求PQ+PB 最小值．
C D A E 图② M x B
O
展示讨论
Байду номын сангаас
展示讨论
2.如图，在平面直角坐标系中，以点C(0,4)为圆心，半径为4 的圆交y轴正半轴于点A， AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度 的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的 速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为 t(秒)． ⑴当t=1时，得到P1、Q1两点，求经过A、 P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l； ⑵当t为何值时，直线PQ与⊙C相切？并 写出此时点P和点Q的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l上存在 一点N，使NP+NQ最小，求出点N 的坐标 并说明理由．
1 y x2 bx c 上，点P为此抛物线对称轴上一个 6
⑶ CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
解：（1）由已知，得 A（2，0），B（6，0），
∵ 抛物线
1 2 6 2 2b c 0, 1 62 6b c 0, 6
展示讨论
y
O
x l
展示讨论
C y D O B 5 x A 图1
1
展示讨论
展示讨论
y P C O 1 A B x
展示讨论
y D M A C G O E B F x
展示讨论
y
O A C
O'
B x
D E
图①
展示讨论
y
（3）如图②，连结EM和CM． 由已知，得 EM＝OC＝2． CE是⊙M的切线，∴ ∠DEM＝90º ，则 ∠DEM＝∠DOC． 又∵ ∠ODC＝∠EDM． 故 △DEM≌△DOC． ∴ OD＝DE，CD＝MD． 又在△ODE和△MDC中，∠ODE＝∠MDC， ∠DOE＝∠DEO＝∠DCM＝∠DMC． 则 OE∥CM．