抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质(位置)
7
(2) PM + PF 的最小值为____2____，此时P点
坐标标为 ___（__2，_2）___ .
整理ppt
8
练习：斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点, 与抛物线交于A, B两点,求线段AB的长.
y
解法1: 直线AB的方程为y x 1,
A
代入抛物线方程得 : x2 6x 1 0
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ),
则x1 x2 6, x1 x2 1,
F
x
KO
| AB | 112 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 8
B
解法2
:|
AB
|
( x1
p 2
)
(
x2
p) 2
x1 x2 p 6 2 8
抛物线的几何性质
整理ppt
1
一、温故知新
一、抛物线的定义
l
平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. N
定点F叫做抛物线的焦点.
M· ·F
定直线l 叫做抛物线的准线.
即: 若︳︳MMNF ︳︳ 1,则点M的轨迹是抛物线。
注意整：理pp定t 点不在定直线上2 。
一.抛物线的简单性质
解 :由问题2的解法知:y1 y2 p2 ,
x1
y12 2p
,
x2
y22 2p
,
x1x2
( y1 y2 )2 4P2
P2 4
整理ppt
13
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛
抛物线的简单几何性质课件
生活中的抛物线结构
总结词
在建筑、工程和设计等领域中利用抛物线形状的结构。
详细描述
在现实生活中，抛物线结构被广泛应用于建筑、工程和 设计等领域。例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶 可以有效地排水并保持适当的角度，以适应当地的气候 条件。在工程领域，抛物线结构可以用于桥梁设计，以 实现最佳的承重能力和稳定性。此外，在艺术和装饰领 域，抛物线结构也被广泛使用，如抛物线形状的雕塑和 装饰品等。
抛物线的简单几何பைடு நூலகம்质课件
目录
• 抛物线的定义 • 抛物线的性质 • 抛物线的应用 • 抛物线的几何性质 • 抛物线的画法
01
抛物线的定义
什么是抛物线
定义1
抛物线是一种二次曲线，它的一 般形式是 y2 = 2px，其中p>0。
定义2
抛物线是指满足y^2=2px(p>0) 形式的曲线。当p>0时，抛物线 开口向右，当p<0时，抛物线开 口向左。
抛物线的标准方程
01
抛物线的标准方程是 y^2 = 2px ，其中 p 是焦准距，x 是自变量 ，y 是因变量。
02
焦准距 p 决定了抛物线的形状和 位置。p 越大，抛物线的开口越 窄，p 越小，抛物线的开口越宽 。
抛物线的焦点与准线
焦点：对于开口向右的抛物线，焦点坐标为 (p, 0)，对于开口向左的抛物 线，焦点坐标为 (-p, 0)。
使用数学软件绘制抛物线
MATLAB
MATLAB 是一种流行的数学软 件，可以轻松地绘制各种图形， 包括抛物线。只需使用 MATLAB 的图形功能，输入抛物线的方程
即可。
GeoGebra
GeoGebra 是一款流行的几何 软件，提供了丰富的几何工具，
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号 二：抛物线的几何性质 1．范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．1.直线与抛物线的位置关系： （1）位置关系的判定： 联立直线:l y k xm =+和抛物线22(0)y p x p =>消y 整理得：2222()0k x k m p x m +-+= 当0a ≠时0∆>⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点 0∆=⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点 0∆<⇔直线与抛物线相离，没有公共交点 当0a =时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切（2）若直线与抛物线相交于1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长AB =AB =，特别注意解题是结合韦达定理来处理问题1. BM 1⊥AM 1（以抛物线的焦点弦为直径的圆，切于准线）2. B 1F ⊥A 1F(以A1B1为直径的圆，切于焦点弦)3.令过F直线斜率为k，F（p／2,0）A(X1，Y1) B(X2，Y2) 令∠BFX=θ则直线AB:y=k(x-p／2) ①y2=2px ②联立①②：k2x2-(pk2+2p)+k2p2／4=0由上式：⑴x1x2=p2／4 y1y2=-p2⑵1／AF+1／BF=2／P⑶AB=AF+BF=2P／(sinθ)2⑷S△AOB=p2／（2sinθ）。
抛物线的简单几何性质
F
x 2 py ( p 0)
2
y
O F
l
x l
y0 y0
x
2、抛物线的焦半径公式：
| PF | d
点P ( x0 , y0 )在对应抛物线上 , p y 2 px ( p 0) :| PF | x0 ; 2
2
3、若A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )是y 2 px( p 0)的
y A
E
O D
M
F
B
x
对这个结论的再发现: 2 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 y2 p .
2
|y1|· |y2|=p2
几何解释,就是
M
2
MK NK KF
K
N
3、若点A、B在此抛物线的准线上的射影分别为 A1、B1 , 则A1 FB1
y A
E
O D
M F
B x
课堂小结
1.抛物线有许多几何性质，探究抛物 线的几何性质，可作为一个研究性学 习课题，其中焦点弦性质中的有些结 论会对解题有一定的帮助. 2.焦点弦性质y1y2＝－p2是对焦点在x 轴上的抛物线而言的，对焦点在y轴 上的抛物线，类似地有x1x2＝－p2.
小结： 抛物线的焦点 弦有及其丰富的内涵， 有如下的一些结论： 2p (1) AB x1 x2 p sin 2 (为直线AB的倾斜角 ). 2 p 2 (2) y1 y2 p ; x1 x2 . 4
2
p y 2 px ( p 0) :| PF | x0 ; 2 p 2 x 2 py( p 0) :| PF | y0 ; 2 p 2 x 2 py( p 0) :| PF | y0 . 2
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质抛物线是数学中一个经典的曲线，由于其独特的形状和广泛的应用，它被广泛研究和使用。
本文将介绍抛物线的一些简单的几何性质。
1. 抛物线的定义抛物线是指平面上的一类曲线，其定义为平面上离定点（焦点）距离与定直线（准线）距离相等的点的集合。
这个定义可以用数学表达式来描述，即：y = ax^2 + bx + c其中 a、b 和 c 是常数，a 不等于 0。
这个方程描述了平面上所有满足以上条件的点的集合，即抛物线。
2. 抛物线的对称性抛物线具有轴对称性，即它关于某一直线对称。
这条直线称为抛物线的对称轴。
对称轴与抛物线的顶点有关，顶点是抛物线的最高点或最低点。
对于抛物线的标准方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的公式为x = -b/(2a)。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，位于抛物线的对称轴上。
对于标准方程y = ax^2 + bx + c，顶点的 x 坐标可以通过-b/(2a)计算得出。
将其代入方程中得到对应的 y坐标。
4. 抛物线的焦点和准线在抛物线的定义中提到了焦点和准线。
焦点是一个点，位于抛物线的对称轴上，与抛物线上的所有点到准线的距离相等。
准线是一个直线，与抛物线不相交，且与焦点的距离相等。
焦点的计算可以使用以下公式：F(x, y) = (x, y)，其中 x = -b/(2a)，y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)准线的方程为y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)。
5. 抛物线的焦距和方向焦距是指焦点到准线的距离，也可以视为焦点到对称轴的垂直距离。
焦距的计算公式为f = 1/(4a)。
由此可见，焦点到对称轴的距离与 a 的值有关。
当 a 的值越小，焦距越大，抛物线会变得扁平；当 a 的值越大，焦距越小，抛物线会变得尖锐。
根据 a 的正负，抛物线的方向也会有所不同。
当 a 大于 0 时，抛物线开口朝上；当 a 小于 0 时，抛物线开口朝下。
抛物线的简单几何性质
x
直线与抛物线的关系
例3.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的
直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的
取值范围：
1. l与抛物线有且仅有一个公共点；
2. l与抛物线恰有两个公共点；
3. l与抛物线没有公共点.
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P ( 2 , 1 ) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 2 y 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
l
y
（4） 离心率：
O
F
x
e =1
方程 图
y2 = 2px
（p＞0）
y
l O F x
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
（p＞0）
y
x
l l F x
（p＞0）
y
F
O l
（p＞0）
y
x
O F
形 范围
对称 性
O
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于x轴对称 （0,0） e=1
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形：一种是直线 平行于抛物线的 对称轴； 另一种是直线与 抛物线相切．
归纳方法：
1.联立方程组，并化为关于x或y的一元方程；
2.考察二次项的系数是否为0，
①若为0，则直线与抛物线的对称轴平行， 直线与抛物线有且仅有一个交点； ②若不为0，则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离. ⊿=0 直线与抛物线相切； ⊿>0 直线与抛物线相交；
抛物线的简单几何性质
顶点
焦半径
焦
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
当 α＝90°时，∣AB∣叫做抛物线的通径，
是所有焦点弦中最短的，长度为 2p。 (5)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1·x2＝p42，y1·y2＝－p2.
知识点三 直线与抛物线的位置关系 思考 直线与抛物线的位置关系有哪些？ 答案 相交 ﹑相切﹑相离
思考 直线与抛物线有且只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 答案 不一定，当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线相交.
示，由抛物线的定义可知，e=1
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
2.3.2 抛物线的简单几何性质
知识点一
类比探索
抛物线的几何性质
y
F
.
o
x
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质:
(1)范围 x≥0,y∈R
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 只有一个顶点
抛物线的简单几何性质
课堂达标训练
【方法总结】待定系数法求抛物线标准方程的步骤 (1)定位置:根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的 位置或开口方向. (2)设方程:根据确定的焦点位置设出相应的方程,若未 能确定则要分情况讨论.
课堂达标训练
(3)列方程:利用准线、焦点等条件列出关于p的方程, 确定p的值. (4)写出方程:根据求出的p值,代入设出的方程,确定抛 物线方程.
课堂达标训练
【跟踪训练】
(2019·葫芦岛高二检测)已知点A(0,2),抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,
与其准线相交于点N,若 FM 5 ,则p的值等于( )
MN 5
8
4
课堂达标训练
【解析】选C.设F
p 2
,
0
,|MK|是点M到准线的距离,
p 2
,0
,直线AB的
方程为y=2
x
p 2
,联立
y
2
x
p 2
y2 2px
,
得4x2-6px+p2=0,所以x1+x2= 3p ,x1·x2= p2 ,
2
4
课堂达标训练
则|x1-x2|=
x1 x2 2 4x1 x2 =
5 2
p,
所以|y1-y2|= 5 p,
所以S梯形ABCD=
1 (AD+BC)·CD=
2, 3
x
可得A点坐标为
2
(-2,4 3 ),因为PA⊥l,A为垂足,所以P点纵坐标为4 3 ,
代入抛物线方程,得P点坐标为(6,4 3 ),所以
|PF|=|PA|=6-(-2)=8.
课堂达标训练
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抛物线的简单几何性质
尊敬的各位评委、老师大家好！今天我说课的内容是人教A版数学第二册·上第八章第6节《抛物线的简单几何性质》.新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系.本节课的教学中，我将尝试这种理念.下面我将从教材分析、教法学法分析、教学过程及教学评价四个方面进行说明
一教材分析
1.1 教材地位与作用
本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，第一次系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
本课时的主要内容是：探究抛物线的简单几何性质及应用。
1.2 教学目标
1、知识与技能
■探究抛物线的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
■掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题。
2、过程与方法
■通过抛物线的方程研究抛物线的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理，理性思维的能力。
■通过掌握抛物线的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观
通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。
1.3教学重难点
得出抛物线几何性质的思维过程，掌握运用抛物线的几何性质去解决问题的方法．
二教法学法分析
2.1 学情分析
由于学生智力水平参差不齐，基础和发展不平衡，呈现两头尖中间大的趋势。
学生已熟悉和掌握抛物线定义及其标准方程，有亲历体验发现和探究的兴趣，有动手操作，归纳猜想，逻辑推理的能力，有分组讨论、合作交流的良好习惯，从而愿意在教师的指导下主动与同学探究、发现、归纳数学知识。
2.2 教法分析
本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。
先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提
高。
2.3 学法分析
根据本节课特点，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心。
三教学过程
一、复习引入
1.抛物线的定义；
2.抛物线的标准方程及主要参数
二类比
通过前面学习的椭圆、双曲线的几何性质，揭发学生积极探究抛物线的几何性质
第一环节：提出问题（引出问题、发现问题，激疑导入）
我们已经学习了椭圆及双曲线的几何性质，请同学们回忆一下，是从哪几个方面研究的？这一环节我通过复习椭圆及双曲线的几何性质，从而引出课题抛物线的几何性质
（爱因斯坦说：“提出一个问题比解决一个问题更重要。
”老师经常问学生“你还能提出哪些数学问题”，有助于培养学生从数学角度提出问题的意识与习惯，从而促使学生在下面的环节中进行研讨、探究、思考，也为以下解决问题的环节做好铺垫。
）
三探索
提示学生观察抛物线的曲线，类比椭圆及双曲线的几何性质，依次给出抛物线的几何性质，进入新课的学习，引入抛物线的范围、对称性、顶点、离心率的定义
抛物线的标准方程y 2=2px 的顶点都在坐标原点，一次项的变量如为x(或y)，则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项的系数的符号决定抛物线的开口方向，正号决定开口方向和对称轴所在坐标轴的方向相同，负号决定开口方向和对称轴所在坐标轴方向相反．
然后引导学生观察其它标准方程y 2=-2px ，x 2=2py ，x 2=-2py ，是学生得出其他标准方程也有类似的结论。
继续引导学生思考在抛物线方程中，参数p 对图象的影响，给
学生提供不同抛物线的曲线，诱导学生积极观察思考。
学生可直观看到p 值越大，抛物线开口也越大．理由，对于同一个x 值，它们对应的y 值不同，p 值大，|y|也大．
这样的设计，以提高学生解决问题的能力为落脚点，让学生从事主动的观察，猜测，推理，实验，交流等活动，鼓励学生提出多种解决问题的方法，使学生在解决问题的活动中不知不觉的受到数学思想方法的熏陶和感染，从而进一步体验到解决问题策略的多样性，培养实践能力和创新精神，并在分析比较中，感悟和寻找解决
问题的最佳策略。
第四环节：实践应用，巩固深化
结合书中练习，分四个层次进行巩固所学知识
例1 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x 的焦点,且与抛物线相交于A 、B 两点,求AB 的长.
解法一：根据已知条件写出直线方程，与抛物线方程联立方程组，求出A 、B 坐标，利用两点间的距离公式求出|AB|.
解法二：(数形结合)：由右图集抛物线的定义可知：|AF|=|AA ’|，|BF|=|BB ’|，所以|AB|=|AA ’|+|BB ’|
=x 1+1+x 2+1 =x 1+x 2+2
即只要求出x 1+x 2即可求出|AB|
解：∵p=2，∴焦点F(1,0)，准线l ：x=-1，则直线l 的方程为：y=x-1，代入y 2=4x 化简得：x 2-6x+1=0∴x 1+x 2=6所以
|AB|=|AA’|+|BB’|=x 1+x 2+2=8
∴ 线段|AB|的长为8。
设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)则有
|AB|=x 1+x 2+p ．
特别地：当AB ⊥x 轴，抛物线的通径|AB|=2p
例2直线l 经过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线相交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点,求证：
1) x 1+x 2 =
4
2p 2) y 1y 2=-p 2.
解：∵焦点F(2p ，0)，∴l AB ：y=k(x- 2
p
)
代入y 2=2px 化简得：
（变式训练）例3 过抛物线焦点的直线与抛物线相交于A 、B 两点,过点A 和抛物线的顶点的直线交抛物线的准线于D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.
分析：根据已知条件写出AB 所在的直线方程，与抛物线方程联立方程组，求出A 、B 坐标，进而写出AO 的直线方程，求出它与准线的交点D ，观察B 、D 坐标，判断结果。
（能力提升）
例4已知抛物线关于x 轴为对称轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,-22) ,求它的标准方程. 例5 过定点P(0,1)且与抛物线y 2=2x 只有一个公共点的直线方程. 例6 过抛物线y 2=2x 的顶点做互相垂直的二弦OA 、OB.
（1）求AB 中点的轨迹方程； （2）证明：AB 与x 轴的交点为定点。
四 总结评价
小结：求抛物线的问题要紧扣定义，注意过焦点的直线问题 布置作业
五 板书设计
§8.8.6 抛物线的简单几何性质
简单几何性质
例1 例4 例2 例5
例3 例6
4
P k x )2p p k (x k 222
2=+--4
p x x 2
2
1=⋅∴。