2019-2020年高二上学期期中考试数学(理科)含答案
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4．在 ABC 中 , a 80,b 100, A 45 , 则此三角形解的情况是 （
）
A. 一解
B.
两解
C.
一解或两解 D. 无解
5. 在△ ABC 中，已知 sinC=2sinAcosB ，那么△ ABC 是（ ）
A. 等腰直角三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形
6 ．在 ABC中， A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，若 a cos ,Ccobs , cosBc A 成等差数列，
则B
A.
6
B.
4
7. 若数列 an 的通项公式为 an 5( 2 ) 2n 2 5
项，最小项为第 y 项，则 x y 等于（
C.
3
2
D.
3
A． 2 10 ．不等式 (a 2)x2
A． ( 2,2) 11. 若 lg x lg x 2
B．3
C． 4
D．9
2(a 2)x 4 0 对于 x R 恒成立，那么 a 的取值范围是 ( )
B ． ( 2,2]
C ． ( ,2]
D ． ( , 2)
lg x9 lg x10 110 ，则 lg x lg 2 x
lg 9 x lg10 x 的
值是
A． 1022
B ． 1024
C ．2046
D ． 2048
12. 已知 a＞ 0 且 a ≠ 1 ， f(x) ＝ x 2 － a x，当 x ∈（－ 1 ， 1）时均有 f(x) ＜ 1 ，则实数 a 2
的取值范围是（
）
A（. 0，1 ） 2， 2
1
1
1
B. [ ，1） (1,4] C. [ ,1) (1,2] D. (0, ) [ 4, )
（Ⅱ）若 b+c ＝ 6 ， a ＝ 2 6 ，求△ ABC 的面积。
x
18. 已知命题 p ：
5 ＜0 ，命题 q ： y
x
log2 ( x2
x 12) 有意义。
（Ⅰ）若 p q 为真命题求实数 x 的取值范围；
（Ⅱ）若 p q 为假命题，求实数 x 的取值范围。
19. 解关于 x 的不等式 ax2 2(a 1) x 4 0
20. 已知等差数列 {an }的首项 a 1 ＝ 1 ，公差 d>0 ，且第二项，第五项，第十四项分别是
等比数列 {b n}的第二项，第三项，第四项．
（Ⅰ）求数列 {an }与 {b n}的通项公式；
c1 c2 c3 （Ⅱ）设数列 {cn }对任意正整数 n ，均有 b1 b2 b3
cn bn
an 1 ，
a3 a4
a4 a5
的值是 ____________
15. 在 R 上定义运算 ： x y (1 x) y ，若不等式 ( x a) ( x a) 1对任意实数 x
都成立，则 a 的取值范围是 ____________ 。 16 ． 已知等差数列 { an} 中， a3 7，a6 16 ,将此等差数列的各项排成如下三角形数
求数列 {cn }的通项公式并计算 c 1＋ c 2＋ c 3＋…＋ c 2012 的值．
21 ．某市近郊有一块大约 500m × 500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建
一个综合性休闲广场， 首先要建设如图所示的一个矩形场地， 其中总面积为 3000
平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为
2 ．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上
.
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1 ．设 a 0, 1 b 0 ，则 a, ab,ab2 三者的大小关系是 ( ) A ． a ab ab2 B ． a ab ab 2 C ． a ab2 ab D ． ab a ab2
4
2
4
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
13. 在△ ABC 中， a 、b 、c 分别是角 A 、B 、 C 的对边，若 a ＝1 ， c＝ 则 b 等于
3 ，B ＝ 5 ， 6
14 ．各项为正数的等比数列
an 的公比 q
1 1 ，且 a2 , 2 a3, a1 成等差数列，则
2 米，中间的三个矩形区域将铺设塑
胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同） ，塑胶运动场地占地面积为 S
平方米。
(1 ）分别用 x 表示 y 和 S 的函数关系式，并给出定义域； (2 ）怎样设计能使 S 取得最大值，并求出最大值。
密
高二数学 (理)答题卷
封 （二）填空题
13.
14.
线 15.
16.
2. 命题“若 x ＝5 ，则 x 2－ 8x+15 ＝ 0 ”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个
命题中，真命题有（
）
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个
3. 在△ ABC 中， b 、c 分别是角 B 、C 所对的边， 则“ sinB ＝ sinC ”是“ b=c ”的（ ）
A. 充分不必要条件
2019-2020 年高二上学期期中考试 数
学（理科部分 .I 卷 1 至 2 页 .第 II 卷 3
至 4 页 .共 150 分 .考试时间 120 分钟 . 第 I 卷（选择题 共 60 分）
注意事项： 1 ．答第 I 卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 .
（三）解答题
号内
场
17.
考
不 解：
得
号答
考
题
22. （本小题满分 12 分）
已知数列 { a n} ， { cn } 满足条件： a1 1, an 1 2an 1 ， c n
1
名
4( 2 )n 1( n N ) ， an 的最大项为第 x 5
）
A.3
B.4
C.5
D.6
8．设 a
0, b
0. 若 3是 3a 与3b的等比中项，则
1
1
的最小值
ab
A． 2
1
B．
4
C． 4
9. 设变量 x ， y 满足约束条件 y x ，则目标函数 z 2 x
x y2
D．8
y 的最小值为
y 3x 6
阵:
则此数阵中第 20 行从左到右的第 10 个数是 _________
三、解答题（共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在△ ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c，且满足 (2b c)cos A a cosC .
（Ⅰ）求角 A 的大小；
2019-2020学年江苏省苏州市姑苏区高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省苏州市姑苏区高二上学期期中数学试题一、单选题1．命题“0x ∀>，2230x x -+≥”的否定是( ) A ．0x ∀≤，2230x x -+< B ．0x ∀>，2230x x -+< C ．0x ∃>，2230x x -+< D ．0x ∃≤，2230x x -+<【答案】C【解析】根据全称命题的否定的性质进行求解即可. 【详解】“0x ∀>，2230x x -+≥”的否定是0x ∃>，2230x x -+<. 故选：C 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.2．在等比数列{}n a 中，22a =，68a =，则2a 与6a 的等比中项为( ) A ．6 B ．4C ．4-D ．4±【答案】D【解析】根据等比中项的性质进行求解即可. 【详解】因为22a =，68a =，所以2a 与6a 的等比中项为4=±. 故选：D 【点睛】本题考查了等比中项的性质，考查了数学运算能力.3．“直线1:30l mx y ++=与2:(32)60l m x my -++=平行"是“1m =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据两直线平行求出m 的值，然后根据充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为直线1:30l mx y ++=与2:(32)60l m x my -++=平行，所以有1(32)m m m ⋅=⋅-且163m ⨯≠，解得1m =，所以直线1:30l mx y ++=与2:(32)60l m x my -++=平行"是“1m =”的充要条件.故选：C 【点睛】本题考查了充要条件的判断，考查了两直线平行求参数问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.4．在等差数列{}n a 中，123a a +=，235a a +=，则910a a +=( ) A ．19 B ．19-C ．15D ．15-【答案】A【解析】根据等差数列的通项公式，结合已知，可得方程组，解方程组求出首项和公差，最后再利用等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d ，由123a a +=，235a a +=可得：1119101111318919251a a d a a a a d a d a d a d d ++==⎧⎧⇒∴+=+++=⎨⎨+++==⎩⎩. 故选：A 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力. 5．若0a b <<，则下列结论不正确的是( ) A ．a b ->- BC ．22a b >D ．11a b> 【答案】B【解析】根据不等式的基本性质和作差比较法进行求解即可. 【详解】 A ：由10a ba b <⎧⇒->-⎨-<⎩，故本选项正确；B：由00a b a b <<⇒->->⇒>⇒>项是错误的；C ： 因为0a b <<，所以0,0a b a b +<-<，因此2222()()0a b a b a b a b -=+->⇒>，故本选项是正确的；D ：因为0a b <<，所以0,0ab b a >->，因此11110b a a b ab a b--=>⇒>，故本选项是正确的. 故选：B 【点睛】本题考查了不等式的基本性质和作差比较法的应用，属于基础题.6．给出下列四个命题：①有的质数是偶数；②存在正整数x ，使得x 为29的约数；③有的三角形三个内角成等差数列；④与给定的圆只有一个公共点的直线是圆的切线.其中既是存在性命题又是真命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据存在性命题的定义进行判断即可. 【详解】①：因为2既是质数又是偶数，其他偶数都不是质数，所以本命题既是存在性命题又是真命题；②：因为1和29都是29的约数，其他正整数都不是29的约数，所以本命题既是存在性命题又是真命题；③：因为当三角形一个内角为60︒，则三个内角成等差数列，所以本命题既是存在性命题又是真命题；④：因为任何与给定的圆只有一个公共点的直线就是圆的切线，所以本命题是全称命题不是特称命题，也就是不是存在性命题,因此共有3个命题既是存在性命题又是真命题. 故选：C 【点睛】本题考查了存在性合理的定义，考查了命题的真假判断，属于基础题.7．若不等式20ax bx c ++>的解集是{|1x x <或3}x >，则a ，b ，c 的值可能为( ) A ．1，4，3 B ．1-，4，3-C ．1-，4-，3-D ．1，4-，3【答案】D【解析】根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为不等式20ax bx c ++>的解集是{|1x x <或3}x >，所以有0134313a a b b a a c ac a ⎧⎪>>⎧⎪⎪⎪+=-⇒=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪⨯=⎪⎩，A ：当1a =时，符合0a >，此时4,3b c =-=，故本选项不符合题意；B ：当1a =-时，不符合0a >，故本选项不符合题意；C ：当1a =-时，不符合0a >，故本选项不符合题意；D ：当1a =时，符合0a >，此时4,3b c =-=，故本选项符合题意. 故选：D 【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了数学运算能力.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若80S <，90S >，则当n S 最小时，n 的值为( ) A ．4 B ．5C ．8D ．15【答案】A【解析】根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的下标性质进行求解即可. 【详解】因为90S >，所以有191955()9002002a a a a a a +⋅>⇒+>⇒>⇒>，又因为80S <，所以有18184554()8000002a a a a a a a a +⋅<⇒+<⇒+<>∴<Q ，说明等差数列的公差是正数，因此当4n =时，n S 最小. 故选：A 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式，考查了等差数列下标的性质，属于中档题. 9．已知数列{}n a是等比数列，有下列四个命题：①是等比数列；②1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；③{}1n n a a ++是等比数列；④{}1n n a a +⋅是等比数列，其中正确命题的序号是( ) A ．②④ B ．③④C ．②③④D ．①②③④【答案】A【解析】根据等比数列的性质和通项公式，结合举特例法进行判断即可. 【详解】①：当等比数列{}n a 的公比是负数时，显然数列{}n a 中，存在某些项是负数，没有意义，故本命题是假命题；②：因为数列{}n a 是等比数列，所以有11n n a a q -=，其中q 是等比数列的公比，因此有111111111()n n n a a q a q --=⋅=⋅，因为11211111()1(2,)111()n n n n a a q n n N q a a q---⋅==≥∈⋅，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，故本命题是真命题；③：显然数列(1)n n a =-是以1-为首项，公比为1-的等比数列，但是10n n a a -+=，因此数列{}1n n a a ++不能成为等比数列，故本命题是假命题；④：因为数列{}n a 是等比数列，所以有11n n a a q -=，其中q 是等比数列的公比，因此有21111(2,)n n n n n n n na a a q a qq n n N a a a a +---⋅⋅⋅⋅==≥∈⋅⋅，因此数列{}1n n a a +⋅是等比数列，故本命题是真命题. 故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列通项公式的应用，属于中档题.10．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺.莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”翻译为现代汉语：今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺.以后蒲草每天增长的长度是前一天增长的一半；而莞草每天增长的长度是前一天增长的两倍，问多少天蒲草、莞草高度相等？蒲草、莞草高度相等的时刻约在( ) A ．第1天 B ．第2天C ．第3天D ．第4天【答案】C【解析】根据题意，结合等比数列的前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设第n 天，蒲草、莞草高度相等，由题意可知：213[1()]1(12)2(2)72602611212n nn n n ⋅-⋅-=⇒-⋅+=⇒=--或21n =，解得2log 6n =或0n =(不符合题意，舍去)，因为2222log 4log 6log 83=<<=，所以23n <<，由题意可知：蒲草、莞草高度相等的时刻约在第3天. 故选：C 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了等比数列的前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.二、多选题11．已知b 克糖水中有a 克糖()0b a >>，若再添加m 克糖()0m >，则糖水变得更甜.对于0b a >>，0m >，下列不等式正确的有：( ) A ．a a mb b m+<+ B ．a a mb b m ->- C ．a a bmb b am+<+ D ．a a bmb b am-<- 【答案】AC【解析】根据题意，可以得到一个不等式，根据这个不等式所反应的事实对四个选项逐一判断即可. 【详解】由题意可知，可以得到不等式，若0b a >>，0m >，则有a a m b b m+<+，因此选项A 是正确的；由该不等式反应的性质可得：a a am a bmb b am b am++<<++，因此选项C 是正确的；对于选项B ：假设a a mb b m->-成立，例如：当3,1,4b a m ===时，显然1143334->=-不成立，故选项B 不是正确的； 对于选项D ：假设a a bmb b am-<-成立，例如：当3,1,1b a m ===时，显然113113311-⨯<=--⨯不成立，故选项D 不是正确的. 故选：AC 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了数学建模能力，考查了数学知识迁移能力，属于中档题.12．已知实数x ，y 满足21x y +=，则11x y+可能的值为( ) A ．0 B ．3C ．6D ．9【答案】CD 【解析】根据11x y+的特征和已知21x y +=，运用基本不等式求出当x ，y 为正实数时，11x y+的取值范围，然后对四个选项逐一判断即可.【详解】 对于式子11x y +而言， ,x y 都不能为零，所以11x y+不能为零，选项A 不符合题意；当x ，y 为正实数时，11222333x y x y y x y y x y x x +=+=++≥+=+++（当且仅当2y xx y=时取等号，即x =时，取等号），显然633>+>+，故选项C 、D 符合题意；因为,x y 都不能为零，所以1122230x y x y y xy y x yx x ++=++++==不成立，故选项B 不符合题意. 故选：CD 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力，属于中档题.13．对于数列{}n a ，若存在正整数k ()2k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若98n a n n=+-，则数列{}n a 的“谷值点”为( ) A ．2 B ．3C ．5D ．7【答案】AD【解析】由数列的通项公式求出前七项各项的值，然后根据题意进行求解即可,【详解】 因为98n a n n=+-，所以123456783761292,,2,,,,,245278a a a a a a a a ========，当7,n n N ≥∈，9998088n n a n n n n n+->∴=+-=+-，此时数列单调递增， 21a a <，23a a <，76a a <，78a a <，所以数列{}n a 的“谷值点”为2，7. 故选：AD 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了数学运算能力，考查了数列的单调性，属于中档题.三、填空题14．已知不等式231x x m->+的解集为M ，若1M ∈，则实数m 的取值范围为______________. 【答案】3<1m -<-【解析】根据集合与元素的关系，结合分式不等式的解法进行求解即可. 【详解】因为1M ∈，所以有21323110031111m m m m m--+>⇒->⇒<⇒-<<-+++.故答案为：3<1m -<- 【点睛】本题考查了集合与元素的关系，考查了分式不等式的解法，考查了数学运算能力. 15．在等比数列{}n a 中，若13541,4(1),a a a a ==-则7a =______ 【答案】4【解析】因为()35441,a a a =-所以233444744(1)2222 4.a a a q a a q =-∴=∴=∴==⨯=16．已知命题“若2430x x -+<，则240x mx -+<”为真命题，则实数m 的取值范围为___________.【答案】5m ≥【解析】先求出不等式2430x x -+<的解集，然后对240x mx -+<进行常变量分离，构造函数，求出函数的值域，然后根据题意进行求解即可. 【详解】243013x x x -+<⇒<<,22440413x mx mx x x m x x-+<⇒>+<<∴>+Q ， 设4()(13)f x x x x=+<<，函数在12x <<时单调递减，在23x <<时单调递增，所以有13(1)5,(2)4,(3)3f f f ===，因此函数4()(13)f x x x x=+<<的值域为[4,5)， 因为“若2430x x -+<，则240x mx -+<”为真命题，所以有5m ≥. 故答案为：5m ≥ 【点睛】本题考查了已知命题是真命题求参数的取值范围，考查了构造法，考查了数学运算能力.17．已知x ，y 为正实数，定义22x y x y xy-⊗=.对于正实数x ，y ，若1x y ⊗=，则x y =______________；当(2)x y y x ⊗+⊗取最小值时，xy=_______________.【解析】根据定义，由1x y ⊗=，通过换元法，解一元二次方程求出xy的值； 【详解】因为1x y ⊗=，所以有2211x y x yx y xy y x-⊗==⇒-=，因为x ，y 为正实数，所以令(0)x t t y =>，因此有21111100,22t t t t t t t +-=⇒--=⇒=>∴=；222222(2)2(2)222x y y x x y x y y x xy yx xy xy--+⊗+⊗=+=≥=x =时，取等号，此时xy=.【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了解一元二次方程，考查了重要不等式的应用，考查了数学运算能力.四、解答题18．在等差数列{}n a 中，已知：13a =-，58115a a =. （1）求数列{}n a 的公差.（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值，并指出此时正整数n 的值. 【答案】（1）2；（2）n S 最小值为4-，此时正整数n 的值为2.【解析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等式58115a a =进行求解即可； （2）由（1），结合等差数列的前n 项和公式，求出n S 的表达式，然后应用配方法进行求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d ，由5811111511(4)5(7)3,2a a a d a d a d =⇒+=+=-∴=Q ，所以等差数列的公差为2；（2）因为13,2a d =-=，所以2211(1)4(2)42n na n n d n n n S =+-=-=--，当2n =时，n S 有最小值4-，此时正整数n 的值为2.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的应用，考查了等差数列前n 项和最小值问题，考查了数学运算能力.19．已知2()(6)6f x x a a x =+--，a R ∈. （1）解关于a 的不等式()10f >；（2）若不等式()7f x x b >-的解集为(,1)(3,)-∞-+∞U ，求实数a ，b 的值.【答案】（1）15a <<；（2）13a b =⎧⎨=⎩或53a b =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）根据函数的解析式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可； （2）根据一元二次不等式的解集性质，结合根与系数进行求解即可. 【详解】（1）()221(6)1606510015a a a a a f +-⋅->⇒-+<⇒<⇒<>；（2）222()7(6)67(67)60f x x b x a a x x b a x a x b >-+--+⇒+->⇒-->-，由题意可知：不等式()7f x x b >-的解集为(,1)(3,)-∞-+∞U ，因此有：2113(67)3136a a ab b =⎧-+=---⎧⇒⎨⎨=-⨯=-⎩⎩或53a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了已知一元二次不等式的解集求参数的值，考查了数学运算能力.20．已知等比数列{}n a 的前n 项和31nn S λ=⋅-，其中λ为实数.（1）求实数λ的值，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项的积12n n T a a a =⋅L .【答案】（1）1λ=,123n n a -=⋅；（2）(1)223n n n -⋅.【解析】（1）根据31nn S λ=⋅-，求出123,,a a a ，利用等比数列的性质，以及结合,n n S a 之间的关系进行求解即可；（2）根据等比数列的通项公式，结合等差数列前n 项的和公式进行求解即可. 【详解】（1）因为31nn S λ=⋅-，所以可得1122133231,6,18a S a S S a S S λλλ==-=-==-=,由等比数列的性质可知: 22213(6)(31)(18)1a a a λλλλ=⇒=-⋅⇒=或0λ=(不符合题意舍去),所以1λ=,因此31nn S =-,当2()n n N ≥∈时,11131(31)23n n n n n n a S S ---==---=⋅-,显然当1n =时,112a S ==也适合,因此123n n a -=⋅；（2）(1)121123(1)2122(23)(23)(23)2323n n n n n nn nT a a a --++++-=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅L K L .【点睛】本题考查了已知等比数列前n 项的和求通项公式，考查了等差数列前n 项的和公式，考查了数学运算能力.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)2n n S n a =+--，*N n ∈.（1）令12n n n b a a ++=-，证明：数列{}n b 为常数数列，并求出{}n a 的通项公式； （2）若12111n n n nc a a a +=+++L ，求数列{}n c 的最大项的值. 【答案】（1）证明见详解，21n a n =-；（2）43. 【解析】（1）根据递推公式2(1)2n n S n a =+--，求出123,,a a a 的值，再对递推公式再递推一步，两个等式相减，再结合12n n n b a a ++=-，可以证明出数列{}n b 为常数数列，也就能求出{}n a 的通项公式；（2）判断数列的单调性，根据数列的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为2(1)2n n S n a =+--，所以可求出1231,3,5a a a ===， 由2(1)2(1)n n S n a =+--，可得211(2)2(2)n n S n a ++=+--，(2)(1)-得：1223(3)n n a a n +-=+，可得：当2()n n N ≥∈时，1221(4)n n a a n --=+，因为12n n n b a a ++=-，所以(3)(4)-得：12n n b b -=，而120,0b b ==，所以数列0n b =，因此有12n n a a +-=，即说明数列{}n a 是公差为2等差数列，因此21n a n =-； （2）因为12111n n n nc a a a +=+++L ，所以有1112212211111n n n n n n c a a a a a +++++=+++++L ，因此12122111111167414321(41)(43)(21)n n n n n n c c a a a n n n n n n +++--=+-=+-++-++--=， 因为n *∈N ，所以110n n n n c c c c ++-<⇒<，因此数列{}n c 是单调递减数列，所以当1n =，数列{}n c 有最大项，其值为1121114133c a a =+==+.【点睛】本题考查了由递推关系求数列的通项公式，考查了数列的单调性，考查了等差数列的定义，考查了数学运算能力.22．如图，一幅壁画的最高点A 处离地面4米，最低点B 处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1:2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角α的正切值），若从离斜坡地面1.5米的C 处观赏它.（1）若C 对墙的投影（即过C 作AB 的垂线垂足为投影）恰在线段AB （包括端点）上，求点C 离墙的水平距离的范围；（2）在（1）的条件下，当点C 离墙的水平距离为多少时，视角θ（ACB ∠）最大？ 【答案】（1）点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大.【解析】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，利用平行线成比例定理，结合锐角三角函数正切的定义进行求解即可；（2）利用两角和的正切公式、结合正切的定义，求出tan θ的表达式，利用换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，显然有1tan tan 2FGD α∠==，因此有2(2)tan DFFG x FGD==+∠，由//GE DF ,可得：1.52(2)22(2)CE CG x yDF GF x x +-=⇒=++，化简得：21y x =+，因为02x ≤≤，所以15y ≤≤，即点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）222tan tan 2tan tan()21tan tan 21x x BCF ACF y y yBCF ACF x x BCF ACF y x x y yθ-+∠+∠=∠+∠===--∠⋅∠-+-⋅,因为21y x =+，所以有12y x -=，代入上式化简得： 2222228tan 11522()5622y y y y y x x y y yθ===---+-⋅++-，因为15y ≤≤，所以有55562564y y y y+-≥⋅=（当且仅当55y y =时取等号，即1y =时，取等号），因此有0tan 2θ<≤，因此当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大.【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了平行线成比例定理，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.23．若正整数数列{}n a ，{}n b 满足：对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113n n n n a b a b a b a b -++++=+L 恒成立，则称数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”.（1）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，12n nb -=，求证：数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”；（2）已知数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”，且111a b ==，求证：“数列{}n a 是等差数列” 是“数列{}n b 是等比数列”的充分不必要条件.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】（1）根据错位相减法，结合等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可； （2）根据充分不必要条件的定义，结合友好数列的定义进行证明即可. 【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，12n nb -=，所以有01211122123252(21)2n n n a b a b a b n -+++=⋅+⋅+⋅++-⋅L L ， 令0121123252(21)2(1)n n S n -=⋅+⋅+⋅++-⋅L所以有1232123252(21)2(2)nn S n =⋅+⋅+⋅++-⋅L ，(2)(1)-得：1211(2)2(2)2(2)2(21)2n n n S n -=-+-⋅+-⋅++-⋅+-⋅L所以12(12)1(2)(21)2(23)2312n n n n S n n --=-+-⋅+-⋅=-⋅+-，而113(23)23nn n a b n -++=-⋅+，因此有对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113n n n n a b a b a b a b -++++=+L 恒成立，所以数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”；（2）因为数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”，所以对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113(1)n n n n a b a b a b a b -++++=+L 恒成立，因此有11221123(2)n n n n n n a b a b a b a b a b ++++++=++L ，(2)(1)-得：112111112()n n n n n n n n n n n a b a b a b b a a a b +++-+++-+==-⇒+，若数列{}n a 是等差数列，则有11()2n n n a a a +-+=，已知数列{}n a 是正整数数列，因此有212n n b b ++=，因此数列{}n b 是等比数列； 若数列{}n b 是等比数列，设公比为q ，则有11n n n q a a a +-+=，显然只有当2q =时，数列{}n a 是等差数列，因此由数列{}n a 是等差数列能推出数列{}n b 是等比数列，但由数列{}n b 是等比数列不一定能推出数列{}n a 是等差数列，因此“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的充分不必要条件. 【点睛】本题考查了数列新定义问题，考查了充分不必要的证明，考查了等差数列和等比数列的定义的应用，考查了错位相减法，考查了数学运算能力.。
甘肃省镇原县镇原中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题 数学【含答案】
甘肃省镇原县镇原中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题数学一、选择题(本题共12小题，每小题5分，满分60分)1.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3C π=，4B π=，2b =则边长c 等于( ) A.3 B.23C.2D.62.设数列{a n }是等差数列，Sn 为其前n 项和，a 5=8，S 3=6，则( )A.a 1=-2 d=3B.a 1=2 d=-3C. a 1=0 d=2D.a 1=3 d=-23.已知a 、b ∈R ，下列命题正确的是( )A. 若a>b ，则|a|>|b|B. 若a>b ，则b 1a 1<C. 若|a|>b ，则a 2>b 2D. 若a>|b|，则a 2>b 24.不等式2x 2-x-3>0的解集是( )A.），（123-B.），（），（∞+-∞-231C.），（231-D. ），（），（∞+-∞-1235.在正项等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和S 2=24，S 4=30则公比q=( )A.31B.21C.2D.36. 在△AB C 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若b 2+c 2=a 2+bc,cosB+cosC=2cosA ，则△ABC 是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.等腰不等边三角形D.直角三角形7.已知数列{a n }的前n 项和为S n =2-3n则此数列奇数项的前m 项和为( )A.4949m -B. 4945m -C. 49491m --D. 49431m ---8.若不等式x 2-kx+k-1>0对x ∈(1,2)恒成立，则实数k 的取值范围是( )A. ），（2∞-B.(]2，∞-C.），（∞+2D.[)∞+，29.若不等式组 ⎝⎛≤+≥≤+≥-a y x 0y 2y x 20y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,34 B.(]1,0 C.]34,1[ D.(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,341,0 10. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若△ABC 的面积为4c b a 222-+则c=( ) A.2π B. 3π C. 4π D. 6π 11.已知a 1、a 2、a 3、a 4依次成等比数列，且公比q 不为1，将此数列删去一个除后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q 的值是( )A.251+ B. 251+± C. 231+± D. 231+- 12.当<21m 0<<时，若k 2k m211m 12-≥-+恒成立，则实数k 的取值范围为( ) A.[)(]4,00,2 - B. [)(]2,00,4 -C. [-4,2]D.[-2,4]二、填空题(本题共4小题，每小题5分，满分20分)13. 在△ABC 中，552C os c =,BC=1,AC=5，则AB=________. 14.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11=121,则a 6=_______.15.若x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤--0y 01y x 02y 2x 则z=3x+2y 的最大值为________.16.已知函数f(x)=ln(x 2-4x-a)，若对任意的m ∈R 均存在x 0，使得f(x 0)=m ，则实数a 的取值范围是________.三、解答题(本题共6小题，其中17题10分，其余各小题12分，满分70分)17. 在△ABC 中三个内角A 、B 、C 、所对的边分别是a 、b 、c ，且2bcosC=2a-c(1)求角B(2)若△ABC 的面积433S =，a+c=4，求b 的值.18.设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和a 1-a 3=4，且S 1，S 2,S 4成等比数列.(1)求数列{a n } 的首项和公差(2)设n an 2b ，求数列{b n }的差n 项和Tn.19.解关于x 的不等式：ax 2-(a+1)x+1<0 (a ∈R)20.等比数列{a n }是递减数列，满足a 2+a 3+a 4=28,且a 3+2是a 2、a 4的等差中项.(1)求数列{a n } 的公比q(2)若b n =log 4a n 求数列{b n }的前n 项和S n 及其最大值.21. 已知x>0，y>0且2x+8y-xy=0，求(1)xy 的最小值(2)x+y 的最小值.22.若二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)满足f(x+2)-f(x)=16x ，且f(0)=2(1)求函数f(x)的解析式(2)若存在x ∈[1，2],使不等式f(x)>2x+m 成立，求实数m 的取值范围.高二数学参考答案。
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高二(上)期中数学试卷试题及答案(Word解析版)
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知两条直线1:(1)210l a x y -++=，2:30l x ay ++=平行，则(a = ) A ．1-B ．2C ．0或2-D ．1-或22．如图所示，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ⊥，则1C 在面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线CA 上D ．ABC ∆内部3．设b 、c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是( ) A ．若b α⊂，//c α，则//b c B ．若b α⊂，//b c ，则//c αC ．若//c α，αβ⊥，则c β⊥D ．若//c α，c β⊥，则αβ⊥4．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题 ①若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若m α⊥，//n β，且//m n ，则αβ⊥ 其中正确的命题是( ) A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③5．直线l 经过点(1,2)A ，在x 轴上的截距的取值范围是(3,3)-，则其斜率的取值范围是( ) A ．1(1,)5-B ．(-∞，11)(,)2-+∞ C ．(-∞，11)(,)5-+∞ D ．1(,)(12-∞⋃，)+∞6．给出下面四个命题：其中正确的命题是( )①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 A ．②③B ．②④C ．①②③D ．①②④7．已知l αβ--是大小确定的一个二面角，若a ，b 是空间两条直线，则能使a ，b 所成的角为定值的一个条件是( ) A ．//a α且//b βB ．//a α且b β⊥C ．a α⊥且//b βD ．a α⊥且b β⊥8．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是( )A ．1BC D 9．若二面角l αβ--的大小为56π，直线m α⊥，直线n β⊂，则直线m 与n 所成的角取值范围是( ) A ．(0,)2πB ．[,]32ππC ．[,]62ππD ．[,]63ππ10．正方体1111ABCD A B C D -的棱上到异面直线AB ，1CC 的距离相等的点的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．511．（理)如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是( )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒12．某几何体的三视图如图所示，当a b +取最大值时，这个几何体的体积为( )A ．16B ．13C ．23D ．12二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠、B ∠、C ∠所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ++=与sin sin 0bx y B C -+=的位置关系是 ．14．（理)点(1,1)A 到直线cos sin 20x y θθ+-=的距离的最大值是 ．15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E 为1AA 的中点，在对角面11BB D D 上取一点M ，使AM ME +最小，其最小值为 ．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线，其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）三．解答题（本大题共有6小题，总分70分） 17．设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．18．有一个倒置圆锥，它的轴截面是一个正三角形，容器内放一个半径为R 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器内水的深度．19．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （1）求证：PC AB ⊥．（2）求二面角B AP C --的正弦值．20．如图，已知，在空间四边形ABCD 中，BC AC =，AD BD =，E 是AB 的中点． （1）求证：平面CDE ⊥平面ABC ；（2）若3AB DC ==，5BC =，4BD =，求几何体ABCD 的体积；（3）若G 为ADC ∆的重心，试在线段AB 上找一点F ，使得//GF 平面CDE ．21．如图，四棱锥P ABCD-的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，6BAD∠=︒．AP=，60AB=，5（1）求证：平面PAC⊥平面POE；（2）求直线PB与平面POE所成角的正弦值；（3）若F是边DC的中点，求异面直线BF与PA所成角的余弦值．22．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE∆是等腰直角三角形，AB AE=，FA FE=，45∠=︒．AEF（1）求证：EF⊥平面BCE；（2）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PMP平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（3）求二面角F BD A--的正切值．2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知两条直线1:(1)210l a x y -++=，2:30l x ay ++=平行，则(a = ) A ．1-B ．2C ．0或2-D ．1-或2【解答】解：因为直线1:(1)210l a x y -++=的斜率存在， 又12//l l ， ∴112a a-=--， 1a ∴=-或2a =，两条直线在y 轴是的截距不相等，所以1a =-或2a =满足两条直线平行． 故选：D ．2．如图所示，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ⊥，则1C 在面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线CA 上D ．ABC ∆内部【解答】解：1CA AB CA CA BC ⊥⎧⎫⇒⊥⎨⎬⊥⎩⎭面1ABC⇒面ABC ⊥面1ABC ，∴过1C 在面ABC 内作垂直于平面ABC ，垂线在面1ABC 内，也在面ABC 内， ∴点H 在两面的交线上，即H AB ∈．故选：A ．3．设b 、c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是( )A ．若b α⊂，//c α，则//b cB ．若b α⊂，//b c ，则//c αC ．若//c α，αβ⊥，则c β⊥D ．若//c α，c β⊥，则αβ⊥【解答】解：A 选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面； B 选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行； C 选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；D 选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．故选：D ．4．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题 ①若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若m α⊥，//n β，且//m n ，则αβ⊥ 其中正确的命题是( ) A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③【解答】解：①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，因此正确；②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ或相交，因此不正确； ③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则//αβ也可能相交，因此不正确；④若m α⊥，//n β，且//m n ，利用面面垂直的判定定理可得αβ⊥，因此正确． 综上可知：只有①④正确． 故选：C ．5．直线l 经过点(1,2)A ，在x 轴上的截距的取值范围是(3,3)-，则其斜率的取值范围是( ) A ．1(1,)5-B ．(-∞，11)(,)2-+∞ C ．(-∞，11)(,)5-+∞ D ．1(,)(12-∞⋃，)+∞【解答】解：因为直线l 过点(1,2)A ，在x 轴上的截距取值范围是(3,3)-， 所以直线端点的斜率分别为：20113-=--，201132-=+， 如图：所以12k >或1k <-． 故选：B ．6．给出下面四个命题：其中正确的命题是( )①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行 ③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 A ．②③B ．②④C ．①②③D ．①②④【解答】解：对于①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条，当90θ=︒时有且只有一条．故错误．②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行，正确；③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行，有时过一条线上的点就不存在这样的平面，故错误．④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等，正确． 故选：B ．7．已知l αβ--是大小确定的一个二面角，若a ，b 是空间两条直线，则能使a ，b 所成的角为定值的一个条件是( ) A ．//a α且//b βB ．//a α且b β⊥C ．a α⊥且//b βD ．a α⊥且b β⊥【解答】解：如图，若a α⊥且b β⊥，过A 分别作直线a 、b 的平行线，交两平面α、β分别为C 、B 设平面ABC 与棱l 交点为O ，连接BO 、CO易知四边形ABOC 四点共面 BOC ∴∠与BAC ∠互补l αβ--是大小确定的一个二面角，而BOC ∠就是它的平面角，BOC ∴∠是定值，BAC ∴∠也是定值即a ，b 所成的角为定值 故选：D ．8．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是( )A ．1BC D 【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A ，B ，D 1<，故C 不可能． 故选：C ．9．若二面角l αβ--的大小为56π，直线m α⊥，直线n β⊂，则直线m 与n 所成的角取值范围是( ) A ．(0,)2πB ．[,]32ππC ．[,]62ππD ．[,]63ππ【解答】解：由二面角l αβ--的大小为56π，直线m α⊥，得m 与β所成的角的大小为3π， 于是β所在平面内的直线与m 所成的角的最小值为3π，而最大值为2π．故选：B ．10．正方体1111ABCD A B C D -的棱上到异面直线AB ，1CC 的距离相等的点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：如图：正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别是BC 和11A D 的中点，连接AF 和1FC ，根据正方体的性质知，1BB AB ⊥，111C C B C ⊥，故1B 到异面直线AB ，1CC 的距离相等， 同理可得，D 到异面直线AB ，1CC 的距离相等，又有AB BC ⊥，1C C BC ⊥，故E 到异面直线AB ，1CC 的距离相等，F 为11A D 的中点，易计算1FA FC =，故F 到异面直线AB ，1CC 的距离相等，共有4个点． 故选：C ．11．（理)如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是( )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【解答】解：设三棱柱111ABC A B C -的棱长等于2，延长1MC 到N 使1MN BB =，连接AN ，则1//MN BB ，1MN BB =，∴四边形1BB NM 是平行四边形，可得1//B N BM因此，1AB N ∠（或其补角）就是异面直线1AB 和BM 所成角Rt △11B C N 中，112B C =，11C N =，1B N ∴=Rt ACN ∆中，2AC =，3CN =，AN ∴=又正方形11AA B B 中，1AB =∴△1AB N 中，1cos 0AB N ∠==，可得190AB N ∠=︒即异面直线1AB 和BM 所成角为90︒ 故选：A ．12．某几何体的三视图如图所示，当a b +取最大值时，这个几何体的体积为( )A ．16B ．13C ．23D ．12【解答】解：如图所示，可知AC =1BD =，BC b =，AB a =．设CD x =，AD y =，则226x y +=，221x b +=，221y a +=，消去2x，2y得222()82a ba b++=…，所以()4a b+…，当且仅当2a b==时等号成立，此时x=y=所以1111322V=⨯⨯=．故选：D．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设a，b，c分别是ABC∆中A∠、B∠、C∠所对边的边长，则直线sin0x A ay c++=与sin sin0bx y B C-+=的位置关系是垂直．【解答】解：两直线的斜率分别为sin Aa-和sinbB，ABC∆中，由正弦定理得2sin sina bRA B==，R为三角形的外接圆半径，∴斜率之积等于sin121sin2A bRa B R-⨯=⨯=--，故两直线垂直，故答案为：垂直．14．（理)点(1,1)A到直线cos sin20x yθθ+-=的距离的最大值是2+【解答】解：由点到直线的距离公式可得，)2|24dπθ==+-…故答案为：2+15．如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为a，点E为1AA的中点，在对角面11BB D D上取一点M，使AM ME+最小，其最小值为2．【解答】解：取1CC的中点F，则ME MF=，32AM ME AM MF AF a∴+=+==…故答案为：32a16．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线，其中真命题的编号是 ①③④ ．（写出所有真命题的编号）【解答】解：①1//BC 平面1ACD ，1//BC ∴上任意一点到平面1AD C 的距离相等，所以体积不变，正确．②P 在直线1BC 上运动时，直线AB 与平面1ACD 所成角和直线1AC 与平面1ACD 所成角不相等，所以不正确．③当P 在直线1BC 上运动时，AP 的轨迹是平面1PAD ，即二面角1P AD C --的大小不受影响，所以正确．④空间中到点D 和1C 距离相等的点的轨迹是线段1DC 的中垂面，又点M 在面1111A B C D 内，则点M 的轨迹是面1111A B C D 与 线段1DC 的中垂面的交线，即1AD ，所以正确． 故答案为：①③④三．解答题（本大题共有6小题，总分70分） 17．设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）若20a -=，解得2a =，化为30x y +=． 若10a +=，解得1a =-，化为30y +=，舍去． 若1a ≠-，2，化为：1221x y a a a +=--+，令221a a a -=-+，化为11a +=，解得0a =， 可得直线l 的方程为：20x y ++=．综上所述直线l 的方程为：20x y ++=或30x y +=； （2）(1)2y a x a =-++-， l 不经过第二象限，∴(1)020a a -+⎧⎨-⎩……， 解得：1a -…．∴实数a 的取值范围是(-∞，1]-．18．有一个倒置圆锥，它的轴截面是一个正三角形，容器内放一个半径为R 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器内水的深度．【解答】解：如图．在容器内注入水，并放入一个半径为R 的铁球，这时水面记为AB ， 将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF ． 三角形PAB 为轴截面，是正三角形，三角形PEF 也是正三角形，圆O 是正三角形PAB 的内切圆． 由题意可知，DO CO R ==，2AO R OP ==，AC =， V ∴球343R π=，未取出小于时，圆锥的体积，即231)333V V R R ππ+=⋅=水球，又设HP h =，则EH =231)39V h h ππ∴=⋅=水，则3334393h R R πππ+=，h ∴=19．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （1）求证：PC AB ⊥．（2）求二面角B AP C --的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接PD ，CD ．AP BP =，PD AB ∴⊥．CA CB =，CD AB ∴⊥． PDCD D =，AB ∴⊥平面PCD ．PC ⊂平面PCD ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =，PA PAB =，APC BPC ∴∆≅∆，又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，且AC PC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ，连接BE ，CE ．BA BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影，CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE ∆中，90BCE ∠=︒，2BC =，BE AB ==，sin BC BEC BE ∴∠==．∴二面角B AP C --20．如图，已知，在空间四边形ABCD 中，BC AC =，AD BD =，E 是AB 的中点． （1）求证：平面CDE ⊥平面ABC ；（2）若3AB DC ==，5BC =，4BD =，求几何体ABCD 的体积；（3）若G 为ADC ∆的重心，试在线段AB 上找一点F ，使得//GF 平面CDE ．【解答】解：（1）证明：BC AC =，E 为AB 的中点， AB CE ∴⊥．又AD BD =，E 为AB 的中点AB DE ∴⊥． DECE E =AB ∴⊥平面DCE AB ⊂平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC ．（2）在BDC ∆中，3DC =，5BC =，4BD =， CD BD ∴⊥，在ADC ∆中，3DC =，4AD BD ==，5AC BC ==， CD AD ∴⊥，AD BD D CD =∴⊥平面ABD ．所以线段CD 的长是三棱锥C ABD -的高又在ADB ∆中，DE ==11553553332C ABD V -∴==（3）在AB 上取一点F ，使2AF FE =，则可得//GF 平面CDE 取DC 的中点H ，连AH 、EH G 为ADC ∆的重心，G ∴在AH 上，且2AG GH =，连FG ，则//FG EH又FG ⊂/平面CDE ，EH ⊂平面CDE ， //GF ∴平面CDE21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O 、E 分别是AD 、AB 的中点，6AB =，5AP =，60BAD ∠=︒． （1）求证：平面PAC ⊥平面POE ；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）若F 是边DC 的中点，求异面直线BF 与PA 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：四棱锥P ABCD -的底面是菱形， AC BD ∴⊥，又O ，E 分别是AD 、AB 的中点， //OE BD ∴， OE AC ∴⊥， PO ⊥底面ABCD ， AC ⊂面ABCD ，PO AC ∴⊥，又OE OP O =，AC ∴⊥平面POE ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面POE ．（2）解：过点B 作BM OE ⊥ 于M ，易证PO BM ⊥，OE ，OE OP O =，BM ∴⊥平面POE ，PM ∴ 是PB 在平面POE 上的射影，BPM ∠ 即为所求．四边形ABCD 是菱形， E 是AB 中点， 116322BE AE AB ∴====， 又底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒， AOE ∴∆是等边三角形， 60AEO BEM ∴∠=∠=︒，BM ∴=又5AP =，3OA =，∴在直角三角形POA 中得4OP ==，在直角三角形POB 中，OB =，4OP =，PB ∴==，∴在Rt PMB ∆中，BM =PB =，所以sin BM BPM PB ∠==； （3）解：取PB 的中点T ，AB 的中点H ，连BF ，DH ，TH ．易证//DH BF ，//TH PA DHT ∴∠ 即为异面直线BF 与PA 所成角或其补角，在三角形PDB 中，5PD =，6DB =，PB = 222cos2PD PB DB BPD PD PB +-∠===在三角形PDT 中，2224379 2cos25543441043DT PD PT PD PT BPD=+-∠=+-=，所以DT=在DHT∆中，DH=，52HT=，DT=222cos2522332HT DH DTDHTHT DH+-∠===，tan DHT∠=．22．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE∆是等腰直角三角形，AB AE=，FA FE=，45AEF∠=︒．（1）求证：EF⊥平面BCE；（2）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PMP平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（3）求二面角F BD A--的正切值．【解答】（1）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，平面ABEF⋂平面- 21 - ABCD AB =，所以BC ⊥平面ABEF ，所以BC EF ⊥．因为ABE ∆为等腰直角三角形，AB AE =，所以45AEB ∠=︒ 又因为45AEF ∠=︒，所以90FEB ∠=︒，即EF BE ⊥，因为BC BE B =，所以EF ⊥平面BCE ．（2）解：存在点M ，当M 为线段AE 的中点时，//PM 平面BCE ． 取BE 的中点N ，连接CN ，MN ，PM ，则MN 平行且等于12AB 平行且等于PC ， 所以PMNC 为平行四边形，所以//PM CN ，因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，所以//PM 平面BCE ；（3）解：由EA AB ⊥，平面ABEF ⊥平面ABCD ，易知，EA ⊥平面ABCD ， 作FG AB ⊥，交BA 的延长线于G ，则//FG EA ，从而，FG ⊥平面ABCD ， 作GH BD ⊥于G ，连结FH ，则由三垂线定理知，BD FH ⊥，因此，AEF ∠为二面角F BD A --的平面角． 因为FA FE =，45AEF ∠=︒，所以90AFE ∠=︒，45FAG ∠=︒． 设1AB =，则1AE =，AF =，1sin 2FG AF FAG =∠= 在Rt FGH ∆中，45GBH ∠=︒，13122BG AB AG =+=+=，3232sin 2GH BG GBH =∠== 在Rt FGH ∆中，tan FG FHGGH ==，故二面角F BD A --．。
吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1.命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是（ ） A. 00,sin 10x R x ∃∈+< B. ,sin 10x R x ∀∈+< C. 00,sin 10x R x ∃∈+≥ D. ,sin 10x R x ∀∈+≤【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论.【详解】因为,sin 10x R x ∀∈+≥的否定为00,sin 10x R x ∃∈+<， 所以选A.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.2.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =则1x ≠”B. p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C. 命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为真命题D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题之间的关系逐个判断即可.【详解】对A, 命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x ≠则1x ≠”,故A 错误 对B, p q ∧为假命题,则,p q 至少有一个假命题,故B 错误.对C,命题“若,,a b c 成等比数列,则2b ac =”的逆命题为“若2b ac =,则,,a b c 成等比数列”,若,,a b c 均为0则,,a b c 不成等比数列,故C 错误.对D, 命题“若x y =,则sin sin x y =”为真命题,所以它的逆否命题也为真,故D 正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查四个命题之间的关系与真假命题的判断,属于基础题型. 3.等差数列{}n a 中，若12332a a a ++=，111213118a a a ++=，则410a a +等于（ ）A. 45B. 75C. 50D. 60【答案】C 【解析】 分析：详解：根据等差数列中等差中项的性质1232332a a a a ++==111213123118a a a a ++==因为21232118503a a ++== 所以4107212250a a a a a +==+= 所以选C点睛：本题考查了等差数列中等差中项性质的应用，是简单题。
2019-2020学年北京四中高二(上)期中数学试卷-含详细解析
2019-2020学年北京四中高二年级第一学期期中考试数学试卷 2019.11一、选择题（本大题共13小题，共62.0分）1.不等式x−3x+2<0的解集为()A. {x|−2<x<3}B. {x|x<−2}C. {x|x<−2或x>3}D. {x|x>3}2.已知数列{a n}满足a n+1=a n+n，且a1=2，那么a3=()A. 4B. 5C. 6D. 73.下列命题中的假命题是()A. ∀x∈R，x3>0B. ∃x∈R，使tanx=2C. ∀x∈R，2x>0D. ∃x∈R，使lgx=04.已知等差数列{a n}中，a1=−1，公差d=2，则{a n}的前5项和等于()A. −15B. −17C. 15D. 175.若a<b<0，则下列不等式中成立的是()A. a2<b2B. ab <1 C. 1a<1bD. 1a>1b6.“x2=4”是“x=2”成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A. a2+b2>2abB. a+b≥2√abC. 1a +1b>√abD. ba+ab≥28.等差数列{a n}前n项和为S n，a4+a6=−6，a1=−11.则当S n取最小值时，n=()A. 6B. 7C. 8D. 99.函数y=tanx+9tanx (π2<x<π)的最大值为()A. 6B. 9C. −6D. −910.已知常数k∈(0,1)，数列{a n}满足a n=n⋅k n(n∈N∗).下面说法正确的是()①当k=12时，数列{a n}为递减数列；②当0<k<12时，数列{a n}为递减数列；③当12<k<1时，数列{a n}不一定有最大项；④当k1−k为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④11.若m<0，n>0且m+n<0，则()A. m<−n<n<−mB. −n<m<−m<nC. m<−n<−m<nD. −n<m<n<−m12.设{a n}是等差数列，{b n}为等比数列，其公比q≠1，且b n>0(n=1,2，3，…).若a1=b1，a11=b11，则a6与b6的大小关系为()A. a6>b6B. a6=b6C. a6<b6D. a6≥b613.已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n+3，且a1=2，则a1+a2020=()A. 4043B. 4046C. 4047D. 4049二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）14.命题“∀x∈R，x2−1>0”的否定是______．15.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2−a5=0，则公比q=______，S4S2=______．16.若正数a，b满足1a +4b=1，则a+b的最小值等于______．17.已知函数f(x)的对应关系如表所示：数列{a n}满足a1=3，a n+1=f(a n)，则a4=______，a2019=______．18.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______．19.已知数列{a n}满足a n=4S n−3，n∈N∗，则a1+a3+a5+⋯+a2n+1=______．20.已知a>0，b>0，不等式−b<1x<a的解集是______．21.已知a>b>0，则a2−4b2−ab的最小值是______．22.有穷数列{a n}(n∈N∗,n≤12)满足|a n+1−a n|=1，且a1，a4，a12成等比数列．若a1=1，a12=4，则满足条件的不同数列{a n}的个数为______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）23.已知{a n}为等差数列，且a3=6，a6=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若等比数列{b n}满足b1=3，b2=a4+a5，求{b n}的前n项和公式．24.已知函数f(x)=x2+ax−4．(Ⅰ)当a=3时，解不等式f(x)<0；(Ⅱ)若不等式f(x)+5>0的解集为R，求实数a的取值范围．25.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b5=81，a1=b1，a14=b4．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．26.已知二次函数f(x)=ax2+bx，f(−1)=−4，恒有f(x)≤6x+2.数列{a n}满足(n∈N∗)．a n+1=f(a n)，且0<a n<12(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)证明：数列{a n}单调递增；(Ⅲ)记πn i=1ai =a1a2…a n，若a1=13，求πn i=1(1−2a i).27.给定数列a1，a2，…，a n.对i=1，2，3，…，n−1，该数列前i项的最大值记为A i，后n−i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i−B i．(Ⅰ)设数列{a n}为3，4，7，1.写出d1，d2，d3的值；(Ⅱ)设a1，a2，…，a n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明d1，d2，…，d n−1是等比数列；(Ⅲ)若d1=d2=⋯=d n−1=0，证明{a n}是常数列．2019-2020学年北京四中高二年级第一学期期中考试数学试题参考答案1.【答案】A<0，得到(x−3)(x+2)<0【解析】解：∵x−3x+2即x−3>0且x+2<0解得：x>3且x<−2所以无解；或x−3<0且x+2>0，解得−2<x<3，所以不等式的解集为−2<x<3故选A本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．2.【答案】B【解析】解：数列{a n}满足a n+1=a n+n，且a1=2，当n=1时，a2=a1+1=3，当n=2时，a3=a2+2=5，故选：B．直接利用数列的递推关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3.【答案】A【解析】解：对于A，当x=0时，x3=0，与x3>0矛盾；故A为假命题；对于B，由于正切函数值域为R，故∃x∈R，使tanx=2正确，故B为真命题；对于C，由于指数函数值域为(0,+∞)，故∀x∈R，2x>0正确，故C为真命题；对于D，当x=1时，使lg1=0，故∃x∈R，使lgx=0正确，故D为真命题．故选：A．对于全称命题，若为假命题，举反例即可，若为真命题，需证明；对于特称命题，若为真命题，举例即可，若为假命题，需要证明．根据含量词的命题判断方法逐一判断即可．本题考查了含量词的命题的真假的判断，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，a1=−1，公差d=2，∴{a n}的前5项和为：S5=5×(−1)+5×42×2=15．故选：C．等差数列{a n}中，由a1=−1，公差d=2，能求出{a n}的前5项和．本题考查等差数列的前5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：a<b<0，则−a>−b>0，故(−a)2>(−b)2，即a2>b2，故A错，若a=−2，b=−1，则ab=2>1，故B不成立，1 a −1b=b−aab>0，故C错，D对，故选：D．利用不等式的性质，作差法，举特例法，a<b<0，则−a>−b>0，故(−a)2>(−b)2，即a2>b2，故A错，若a=−2，b=−1，则ab =2>1，故B不成立，1a−1b=b−aab>0，故C错，D对，故选：D．考查了不等式的性质，用了作差法，举特例法等数学方法，基础题．6.【答案】B【解析】解：由x2=4得x=2或x=−2，则“x2=4”是“x=2”成立的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查基本不等式，属于基础题．利用基本不等式需注意：各数必须是正数，而不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A，a2+b2≥2ab，所以A错；对于B，C，ab>0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，a+b<2√ab，1a +1b<ab，所以B，C错;对于D，因为ab>0，所以ba >0,ab>0，ba+ab≥2，当且仅当ba=ab时等号成立，所以D正确，故选D．8.【答案】A【解析】a1=−11,【分析】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．根据等差数列的性质化简a4+a6=−6，得到a5的值，然后根据a1的值，利用等差数列的通项公式即可求出公差d的值，根据a1和d的值写出等差数列的通项公式，进而写出等差数列的前n项和公式S n，配方后即可得到Sn取最小值时n 的值．【解答】由a4+a6=2a5=−6，解得a5=−3，又a1=−11，∴a5=a1+4d=−11+4d=−3，解得d=2，则a n=−11+2(n−1)=2n−13，∴S n=n(a1+a n)2=n2−12n=(n−6)2−36，∴当n=6时，S n取最小值．故选：A．9.【答案】C【解析】解：函数y =tanx +9tanx (π2<x <π)，tanx <0， 由基本不等式，−tanx −9tanx ≥2√9=6， 当且仅当tanx =−3成立， 所以tanx +9tanx ≤−6， 故选：C ．函数y =tanx +9tanx (π2<x <π)，tanx <0，由基本不等式，−tanx −9tanx ≥2√9=6，得出结论．考查基本不等式的应用，基础题．10.【答案】C【解析】解：①当k =12时，a 1=12,a 2=2×(12)2=12，所以数列{a n }不是递减数列，①不正确； ②当0<k <12时，a n+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n<nn+1≤1，即a n+1<a n ，数列{a n }是递减数列，②正确；③当12<k <1时，an+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，则k <k(n+1)n<2k ，例如取k =78，则a 7=a 8且为最大项，③错误； ④a n+1a n =(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，当k1−k 为正整数时，1>k ≥12， 当k =12时，a 1=a 2>a 3>a 4>⋯…… 当12<k <1 时，令k1−k =m ，解得k =mm+1； 则a n+1a n =(n+1)k n+1nk n =k(n+1)n=(n+1)mn(m+1)，当n <m 时，a n+1a n>1，数列{a n }单调递增； 当n >m 时，a n+1a n<1，数列{a n }单调递减；当n =m 时，a n+1=a n ；所以数列{a n }必有两项相等的最大项；④正确； 故选：C ．直接用作商比较法计算a n+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，对k 的范围进行讨论，得到数列{a n }的单调性．本题考查数列的增减性，作商法比较大小，属于难题．11.【答案】A【解析】解：由m<0，得−m>0，−n>0，得−n<0，由m+n<0，−m>n>0，0>−n>m，所以m<−n<0<n<−m，故选：A．由m<0，得−m>0，−n>0，得−n<0，由m+n<0，−m>n>0，0>−n>m，所以由不等式的传递性得，m<−n<0<n<−m，得出结论．考查不等式的性质，不等式的传递性等，基础题．12.【答案】A【解析】解：由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6．∵公比q≠1，b i>0，∴b1+b11>2√b1b11=2b6，∴2a6>2b6，即a6>b6，故选：A．由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6，再由b1+b11>2√b1b11=2b6，从而得出结论．本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，属于基础题．13.【答案】A【解析】解：数列{a n}满足a n+1+a n=4n+3①，则a n+2+a n+1=4n+7②，②−①得a n+2−a n=4(常数)，所以数列{a n}的奇数项和偶数项公差都为4的等差数列．由于a1=2，所以a1+a2=7，解得a2=5，所以a n={2n(n为奇数) 2n+1(n为偶数)．所以a1+a2020=2+2×2020+1=4043．故选：A．直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.【答案】∃x∈R，x2−1≤0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∀x∈R，x2−1>0”的否定是：∃x∈R，x2−1≤0．故答案为：∃x∈R，x2−1≤0．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．15.【答案】2 5【解析】解：∵等比数列{a n}中8a2−a5=0，设首项为a1，∴a5a2=a1q4a1q=q3=8，∴q=2，∴由等比数列前n项和公式得：S4S2=a1(1−q4)1−qa1(1−q2)1−q=1−241−22=22+1=5，故答案为：2；5．利用递推式8a2−a5=0根据等比数列的定义得到公比q，设该数列首项为a1，利用前n 项和公式求解．本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，是基础的计算题．16.【答案】9【解析】解：若正数a，b满足1a +4b=1，则(a+b)(1a +4b)≥(1+2)2=9，当且仅当a=2b=9时，取等号，故答案为：9．若正数a，b满足1a +4b=1，则(a+b)(1a+4b)≥(1+2)2=9，得出结论．考查基本不等式的应用，本题用了柯西不等式，基础题．17.【答案】3 1【解析】解：由函数对应关系得a1=3，a2=f(a1)=f(3)=2，a3=f(a2)=f(2)=1，a4=f(a3)=f(1)=3，则a4=a1，则数列{a n}的周期是3，则a2019=a672×3+3=a3=1，故答案为：3，1根据函数与数列的对应关系，进行递推，得到数列{a n}是周期为3的周期数列，结合数列的周期性进行转化求解即可．本题主要考查函数与数列的综合，结合数列的递推关系，得到数列{a n}是周期为3的周期数列是解决本题的关键．考查学生的运算推理能力．18.【答案】−1，−2，−3【解析】【分析】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．直接举例即可，本题答案不唯一．【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题，可设a，b，c的值依次−1，−2，−3，(答案不唯一)，故答案为−1，−2，−3．19.【答案】98−18⋅9n【解析】解：数列{a n}满足a n=4S n−3，n∈N∗，可得n=1时，a1=4S1−3=4a1−3，即a1=1，当n≥2时，a n−1=4S n−1−3，又a n=4S n−3，两式相减可得a n−a n−1=4(S n−S n−1)=4a n，可得a n=−13a n−1，可得{a n}为首项为1，公比q为−13的等比数列，则a n=a1q n−1=(−13)n−1，可得a1，a3，a5，…，a2n+1为首项为1，公比为19的等比数列，则a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n+1=1−19n+11−19=98−18⋅9n ．故答案为：98−18⋅9n ．运用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的定义和通项公式，可得a n =(−13)n−1，可得a 1，a 3，a 5，…，a 2n+1为首项为1，公比为19的等比数列，由等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．20.【答案】(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)【解析】解：∵−b <1x <a ， ∴1x +b >0且1x −a <0， ∵b >0，由1+bx x>0，解得x >0或x <−1b ；① 1x−a <0，得1−ax x<0⇔ax−1x>0，∵a >0，∴x >1a 或x <0；② 由①②得：x >1a 或x <−1b ；∴不等式−b <1x <a 的解集是(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)． 故答案为：(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)．在a >0，b >0的条件下将−b <1x <a 转化为{1+bxx>01−axx<0即可求得答案． 本题考查分式不等式组的解法，将−b <1x <a 转化为{1+bxx>01−axx<0是关键，也是难点，考查化归思想与分析运算的能力，属于中档题．21.【答案】8【解析】解：令t =ab −b 2>0，则a =tb +b ≥2√t ，当且仅当t =b 2时成立， 所以a 2−4b 2−ab =(tb +b)2+4t ≥4t +4t ≥8，当且仅当t =1时成立， 故答案为：8令t =ab −b 2>0，则a =t b +b ≥2√t ，当且仅当t =b 2时成立，所以a 2−4b 2−ab =(tb +b)2+4t≥4t +4t≥8，当且仅当t =1时成立．考查了基本不等式的应用，还用了换元法，中档题．22.【答案】176【解析】解：根据题意，由|a n+1−a n |=1|分析可得必有在a n+1−a n =1和a n+1−a n =−1中，必须且只能有1个成立，∵a 1，a 4，a 12成等比数列．且a 1=1，a 12=4， 则a 4=±2， 分2种情况讨论： ①、若a 4=−2，在1≤n ≤3中，a n+1−a n =−1都成立，在4≤n ≤11中，有1个a n+1−a n =−1，7个a n+1−a n =1成立，则有C 81=8种情况，即有8个不同数列；②、若a 4=2，在1≤n ≤3中，有1个a n+1−a n =−1成立，2个a n+1−a n =1成立，有C 31=3种情况， 在4≤n ≤11中，有3个a n+1−a n =−1，5个a n+1−a n =1成立，有C 83=56种情况，则有3×56=168种情况，即有168个不同数列； 则一共有8+168=176个满足条件的不同数列． 故答案为：176．根据题意，由|a n+1−a n |=1|分析可得必有在a n+1−a n =1和a n+1−a n =−1中，必须且只能有1个成立，由等比数列的性质求得a 4=±2，进而分2种情况讨论，分析由乘法原理计算可得每种情况的数列数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，涉及函数的定义以及函数值的计算，关键是将函数值的问题转化为排列、组合问题．23.【答案】解：(Ⅰ)∵{a n }为等差数列，且a 3=6，a 6=0．∴{a 3=a 1+2d =6a 6=a 1+5d =0， 解得d =−2，a 1=10，∴a n =10+(n −1)×(−2)=−2n +12． (Ⅱ)∵等比数列{b n }满足b 1=3，b 2=a 4+a 5=(−8+12)+(−10+12)=6，∴q=6=2，3∴{b n}的前n项和公式为：S n=3(1−2n)=3×2n−3．1−2【解析】(Ⅰ)利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公差，由此能求出a n．(Ⅱ)求出等比数列{b n}的首项和公差，由此能求出{b n}的前n项和公式．本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24.【答案】解：(1)函数f(x)=x2+ax−4，当a=3时，f(x)=x2+3x−4=(x+4)(x−1)<0，故不等式的解集为(−4,1)．(2)不等式f(x)+5>0的解集为R，x2+ax+1>0在R上恒成立，△=a2−4<0，即a∈(−2,2)．【解析】(1)函数f(x)=x2+ax−4，当a=3时，f(x)=x2+3x−4=(x+4)(x−1)< 0，解出即可；(2)不等式f(x)+5>0的解集为R，△=a2−4<0，即a∈(−2,2)．考查一元二次不等式的解法，恒成立问题，基础题．25.【答案】解：(Ⅰ){a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，且b2=3，b5=81，=27，即q=3，则b n=b2q n−2=3n−1；可得q3=b5b2=2，a1=b1=1，a14=b4=27，则d=a14−a114−1则a n=1+2(n−1)=2n−1：(Ⅱ)c n=a n b n=(2n−1)⋅3n−1，可得前n项和T n=1⋅30+3⋅31+5⋅32+⋯+(2n−1)⋅3n−1，3T n=1⋅3+3⋅32+5⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n，两式相减可得−2T n=1+2(3+32+⋯+3n−1)−(2n−1)⋅3n−(2n−1)⋅3n，=1+2⋅3(1−3n−1)1−3化为T n =1+(n −1))⋅3n ．【解析】(Ⅰ){a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式；(Ⅱ)求得c n =a n b n =(2n −1)⋅3n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．26.【答案】解：(Ⅰ)f(−1)=a −b =−4，即b =a +4，因为f(x)=ax 2+bx ≤6x +2恒成立，即对任意x ，ax 2+(b −6)x −2≤0恒成立， 所以{a <0△=(b −6)2+8a ≤0b =a +4，整理得(a +2)2≤0，所以a =−2，b =2，则f(x)=−2x 2+2x ；(Ⅱ)证明：因为a n+1=f(a n )=−2a n 2+2a n ，所以a n+1−a n =−2a n 2+2a n −a n =−2a n 2+a n =−2(a n −14)2+18，因为0<a n <12(n ∈N ∗)，所以a n+1−a n ∈(0,18)，则a n+1>a n ，所以数列{a n }单调递增；(Ⅲ)因为a n+1=−2a n 2+2a n ，即a n+1−12=−2(a n −12)2，两边同时乘以−2，可得1−2a n+1=(1−2a n )2，两边取对数可得lg(1−2a n+1)=2lg(1−2a n )，则数列{lg(1−2a n )}是以2为公比，lg(1−2a 1)=lg 13为首项的等比数列，所以lg(1−2a n )=2n−1lg 13=lg(13)2n−1，则1−2a n =(13)2n−1，πni =1(1−2a i )=(1−2a 1)(1−2a 2)(1−2a 3)…(1−2a n )=(13)1+2+22+⋯+2n−1=(13)2n −1．【解析】(Ⅰ)根据f(−1)=−4可得a ，b 数量关系，再根据恒有f(x)≤6x +2.可求出a ，进而得f(x)解析式；(Ⅱ)利用二次函数验证a n+1−a n >0即可；(Ⅲ)先求出数列{lg(1−2a n )}是以2为公比，lg(1−2a 1)=lg 13为首相的等比数列，所以1−2a n =(13)2n−1，进而可求出πni =1(1−2a i )的值．本题考查数列与函数的综合运用，能判断出数列{lg(1−2a n )}是等比数列是关键，属于难题．27.【答案】解：(I)d 1=A 1−B 1=2，d 2=A 2−B 2=4−1=3，d 3=A 3−B 3=7−1=6；(II)证明：a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0，所以a n =a 1q n−1，且数列为递增数列，所以当k =1，2，3，…，n −1时，d k =A k −B k =a k −a k+1，所以d kdk−1=a k−a k+1a k−1−a k=a k−1q(1−q)a k−1(1−q)=q ，所以d 1，d 2，…，d n−1是等比数列； (iii)若d 1=d 2=⋯=d n−1=0，由d 1=A 1−B 1=0，即max{a 1}=min{a 2,…,a n }，故存在k ≥2时，a 1=a k ，且对于任意的j ∈{2,3，…，n}，都有a j ≥a k ，① 若k =2，则a 1=a 2，若k >2，因为d k−1=0，所以A k−1=B k−1，即max{a 1,…,a k−1}=min{a k ,…,a n }=a k ， 又a 1=a k ，所以对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，a j ≤a 1=a k ，② 由①②可知，对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，都有a j =a k ， 故a 1=a 2=⋯=a k ，因为d k =0，所以A k =B k ，所以a k =max{a 1,…,a k }=min{a k+1,…,a n }， 所以存在k′∈{k +1,k +2,…,n}，使得a k ′=a k ， 根据以上道理，可得故a k =⋯=a k ， 依此类推，故{a n }是常数列．【解析】(I)由d 1=A 1−B 1=2，d 2=A 2−B 2=4−1=3，d 3=A 3−B 3=7−1=6，得出结论；(II)根据题意得，d k =A k −B k =a k −a k+1，由d kd k−1=a k −a k+1a k−1−a k=a k−1q(1−q)a k−1(1−q)=q 为定值，得出结论；(III)先证明d 1=A 1−B 1=0，即max{a 1}=min{a 2,…,a n }，故存在k ≥2时，a 1=a k ，且对于任意的j ∈{2,3，…，n}，都有a j ≥a k ，①再证明对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，a j ≤a 1=a k ，②由①②可知，对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，都有a j =a k ，故a 1=a 2=⋯=a k ，同理得出结论．本题是一道创新型数列题，结合等比数列的性质，考查了数学的逻辑推理能力和数学运算能力，难度较大，综合性强．。
海南省临高县临高中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含答案
2019-2020学年上学期临高中学高二数学期中考卷考试时间：120分钟；满分：150分第I 卷（选择题)一、单选题（每题5分）1．已知集合U =R ，{}25,A x x x =<∈Z ，{|2B x x =<且}0x ≠，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.{}2B.{}12，C.{}02，D.{}012，， 2．已知()222,0{3,0x x f x x x -≥=-+<，则))0((f f =（ ） A.1B.2C.3D.4 3．设0.30.6a =，0.60.3b =，0.30.3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b a c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．b c a <<D ．c b a ＜＜ 4．《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何? ”其意思为“己知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?” (“钱”是古代一种重量单位),这个问题中,甲所得为( )钱A 、23B 、34C 、45D 、35 5．对于连续曲线)(x f ，若0)3()1(>-f f ，则下列判断正确的是（ ）A ．方程0)(=x f 在），（31-内有且有一个根B ．方程0)(=x f 在），（31-内有且只有两个根C ．方程0)(=x f 在），（31-内一定无根D ．方程0)(=x f 在），（31-内可能有无数个根6．已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线为1l ，2:210l x y +-=，3:10l x ny ++=．若12l l //，23l l ⊥，则m n +的值为（ ）A.10-B.2-C.0D.87．设点M(3，4)是线段PQ 的中点，点Q 的坐标是(－1，2)，则点P 的坐标是( ) .A.(1,3)B.(7,6)C.(－5,0)D.(3,1)8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果//m α，n ⊂α，那么//m n ；②如果m α⊥，n α⊥，那么//m n ； ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β；④如果αβ⊥，m α⊂，那么m β⊥． 其中正确的命题是（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④9．已知a 与b 的夹角为120，3a =，13a b +=，则b =（ ）A.4B.3C.2D.110．过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ ）A ．()()22314x y -++=B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-= D ．()()22114x y +++= 11．小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A 、B 、C 三个木桩，A 木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少次数为（ ）A ．126B ．127C ．128D ．12912．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积 为( )A.B. C. D.第二卷（非选择题)二、填空题（每题5分)13．已知直线20ax y +-=平分圆22(1)()4x y a -+-=的周长，则实数a =________．14. 若数列n a 等差数列，6241,1a a a ==，则5a =____________．15．已知函数()sin 22f x x x =，将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数()y g x =的图像，则34g π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为__________. 16．若直线2ax-by+2=0（a ＞0，b ＞0）被圆x 2+y 2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则1a +1b的最小值是______．三、解答题（第17题10分，18-22题目各12分） 17．已知直线l 过点()2,3P ,根据下列条件分别求出直线l 的方程：（1）直线l 的倾斜角为135︒；（2）l 与直线210x y -+=垂直.18．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.且cos cos 4A CB π==. （1）求cos A 的值；（2）若b =求ABC △的面积S19．已知动点M 到点()A 1,0-与点()B 2,0的距离之比为2，记动点M 的轨迹为曲线C.（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点()P 5,4-作曲线C 的切线，求该切线方程．20．已知等差数列}{n a 的前n 项和是{}n s 若11=a ，且1,,321+a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记3n n n b a =⋅的前n 项和是n T ，求n T .21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AB =M ，N 分别是AB ，1CC 的中点，且11A M B C ⊥.（1）求1AA 的长度；（2）求平面1AB N 与平面1B CM 所成锐二面角的余弦值.22．已知过点()0,2M 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()2211x y -+=交于A ，B 两点. （1）求斜率k 的取值范围；（2）O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 的斜率之和为定值.参考答案1-12．CBCBD ABBAC BD13．1 14．1或9515．3 16．417、 18、1920、（1）因为1,,321+a a a 成等比数列且11=a所以得()1211221++⋅=d a a d a ，解得3=d所以23-=n a n2122.。
2019-2020学年山东省潍坊市诸城市高二上学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省潍坊市诸城市高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．下列结论正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b > B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D <a b >【答案】C【解析】利用不等式的性质和特殊值法来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，若0c <，由ac bc >，可得a b <，A 选项错误；对于B 选项，取2a =-，1b =，则88a b >满足，但a b <，B 选项错误； 对于C 选项，若a b >，0c <，由不等式的性质可得ac bc <，C 选项正确；对于D <a b >，D 选项错误.故选：C.【点睛】本题考查利用不等式的性质来判断不等式的正误，同时也可以利用特殊值法等一些基本方法来进行判断，考查推理能力，属于基础题. 2．不等式203x x -<+的解集为（ ） A ．{x|-2<x<3} B ．{x|x<-3}C ．{x|-3<x<2}D ．{x|x>2}【答案】C【解析】直接解不等式得到答案. 【详解】203x x -<+，等价于()()230x x -+<，解得32x -<<. 故选：C . 【点睛】本题考查了解分式不等式，属于简单题. 3．已知0a <，10b -<<，则( ) A ．0-<<a ab B ．0->>a abC ．2a ab ab >>D ．2ab a ab >>【答案】B【解析】根据不等式的性质，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】因为0a <，10b -<<，所以0ab >，->a ab ，因此2a ab ab <<，0->>a ab ； 故选：B 【点睛】本题主要考查由已知条件判断所给不等式的真假，熟记不等式的性质即可，属于基础题型.4．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x=+B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()2f x =D ．()42xx f x e e=+- 【答案】D【解析】根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1f x x x=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误；C. ()2f x == ≥故()f x ≥，C 错误；D. ()4222xx f x e e =+-≥=，当4xxe e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 5．若点(),n n a 都在函数324y x =-图象上，则数列{}n a 的前n 项和最小时的n 等于（ ） A ．7或8 B ．7C ．8D ．8或9【答案】A【解析】由题得324n a n =-,进一步求得{}n a 的前n 项n S ,利用二次函数性质求最值即可求解 【详解】由题得324n a n =-,则{} n a 的前n 项n S =()()23152132422n n n n --+-=,对称轴为x=152,故{}n a 的前n 项和最小时的n 等于7或8 故选A 【点睛】本题考查等差数列通项公式，二次函数求最值，熟记公式，准确计算是关键，是基础题 6．给定两个命题p ，q ,若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】由q p ⇒⌝且p q ⌝⇒可得p q ⇒⌝且q p ⌝⇒，所以p 是q ⌝的充分不必要条件． 【考点定位】本题考查充分必要条件的判断，通过等价命题的转化化难为易，本题依据原命题的逆否命题进行判断较为简单，也渗透了转化思想的考查.7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为 A ．a n ＝2n －3 B ．a n ＝2n ＋3 C ．a n ＝ D ．a n ＝【答案】C【解析】试题分析：当时，当时，因此数列通项公式【考点】数列求通项公式8．在数列{}n a 中，12a =， 11nn n a a a +=+(n ∈N +)，则20a =（ ） A ．121B ．239 C ．223D ．123【答案】B【解析】取倒数，确定1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列，计算得到答案.【详解】11n n n a a a +=+，则11111n n n n a a a a ++==+，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列.111122n n n a =+-=-，221n a n =-，20239a =. 故选：B . 【点睛】本题考查了数列的通项公式，取倒数确定等差数列是解题的关键.9．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ） A ．可能是国画 B ．可能是书法C ．可能是排球D ．一定是篮球【答案】B【解析】依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案. 【详解】若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除； 若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足； 若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除； 若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足； 故小刚可能选择的是书法和篮球. 故选：B . 【点睛】本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.10．已知数列{}n a 满足12a =，1*12(2,)n n n a a n n N --=≥∈，则数列{}n a 的前8项和为（ ） A ．29B ．37C ．45D ．61【解析】根据递推公式依次计算前8项，再计算和得到答案. 【详解】1*12(2,)n n n a a n n N --=≥∈，12a =，故23456781,4,2,8,4,16,8a a a a a a a =======，故数列{}n a 的前8项和为45. 故选：C . 【点睛】本题考查了数列求和，意在考查学生的计算能力. 11．若正实数,a b 满足1a b +=，则（ ）A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14C ．+a b 有最大值2D ．22a b +有最小值22【答案】C【解析】试题分析：因为正实数，满足，所以112224a b a b b a a b a b a b +++=+=++≥+=，故11a b+有最小值4，故A 不正确；由基本不等式可得112,4a b ab ab +=≥∴≤，故有最大值14，故B 不正确；由于212,2a ba b ab ab a b =++=+≤≤a b 2，故C 正确；()22211212122a b a b ab ab +=+-=-≥-=Q ，故22a b +由最小值12，故D 不正确． 【考点】基本不等式二、多选题12．下列命题中是真命题的是（ ） A ．∃x ∈R ， 2log 0x = B ．∃x ∈R ，cos x=1 C ．∀x ∈R ，x 2>0 D ．∀x ∈R ，2x ≥0【答案】ABD【解析】根据全称命题和特称命题的性质，依次判断每个选项的真假得到答案.A. ∃x ∈R ， 2log 0x =，取1x =时，2log 0x =，A 正确；B. ∃x ∈R ，cos x=1，取0x =时，cos 1x =，B 正确；C. ∀x ∈R ，x 2>0，当0x =时，20x >不成立，C 错误；D. ∀x ∈R ，2x ≥0，200x >≥，D 正确； 故选：ABD . 【点睛】本题考查了命题的真假，意在考查学生的推断能力.13．已知n S 是等差数列{}n a (n *∈N )的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题，其中正确的有（ ） A ．数列{}n S 中的最大项为10S B ．数列{}n a 的公差0d < C ．100S > D ．110S <【答案】BCD【解析】根据题意得到60a <，50a >且560a a +>，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】564S S S >>，故60a <，50a >且560a a +>，故数列{}n S 中的最大项为5S ，A 错误； 数列{}n a 的公差0d <，B 正确；()()110105610502a a S a a +⨯==+>，C 正确；()111116111102a a S a+⨯==<，D 正确；故选：BCD . 【点睛】本题考查了等差数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、填空题14．命题“2,0x N x ∀∈>”的否定为___________.【答案】2,0x N x ∃∈≤【解析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案. 【详解】全称命题的否定是特称命题，故命题“2,0x N x ∀∈>”的否定为：2,0x N x ∃∈≤. 故答案为：2,0x N x ∃∈≤. 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题.15．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植5棵，以后每天植树的棵数比前一天多5棵，则需要的最少天数n (n ∈N )为___________. 【答案】6【解析】根据题意每天植树棵树n a 是首项为5，公差为5的等差数列，计算得到答案. 【详解】根据题意：每天植树棵树n a 是首项为5，公差为5的等差数列， 故()1551002n n n S n -=+⨯≥，*n N ∈，解得6n ≥. 故答案为：6. 【点睛】本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 16．下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为(,)i j a （i ，j ∈N )，则(20,20)a =_____. 【答案】1952【解析】先计算第一列形成的数列205b =，再计算第20行形成的数列201952c =，得到答案.设第一列形成的数列为n b ，则{}n b 是首项为14，公差为14的等差数列，故4n n b =，205b =.设第20行形成的数列为n c ，{}n c 是首项为5，公比为12的等比数列，故201952c =. 即(20,20)201952a c ==. 故答案为：1952. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.四、双空题17．已知{}n a 是等比数列，且357911243a a a a a =，则7a =______；若公比13q =，则4a =_____.【答案】3 81【解析】根据等比数列的性质和公式计算得到答案. 【详解】{}n a 是等比数列，故53579117243a a a a a a ==，故73a =，74381a a q ==. 故答案为：3；81. 【点睛】本题考查了等比数列的相关计算，意在考查学生的计算能力.五、解答题18．解关于x 的不等式（1）2243x x -+<- （2）2(1)0()x a x a a R -++<∈；【答案】（1）1x x ⎧⎪>+⎨⎪⎩或1x <⎪⎭（2）见解析【解析】（1）直接解不等式得到答案.（2）变换得到()(1)0x a x x --<，讨论1a >，1a =，1a <三种情况，计算得到答案.（1）原不等式化为2322x x ->，即23(1)12x -->，即25(1)2x ->，所以原不等式的解集为1x x ⎧⎪>⎨⎪⎩或1x <⎪⎭.（2）原不等式化为()(1)0()x a x a R --<∈，当1a >时，1x a <<； 当1a =时，x ∈∅； 当1a <时，1<<a x ； 故不等式的解集为：当1a >时，{}1x x a <<；当1a =时，x ∈∅；当1a <时，{}1x a x <<； 【点睛】本题考查了解不等式，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力. 19．已知非零数列{}n a 满足()*12n n a a n N +=∈，且23,a a 的等差中项为6.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log n n b a =，求12233411111...n n b b b b b b b b +++++的值. 【答案】（1）2nn a =（2）111n -+ 【解析】（1）确定数列{}n a 为以2为公比的等比数列，代入公式计算得到答案. （2）计算n b n =，得到11111==()(1)1n n b b n n n n +-++，利用裂项相消法计算得到答案. 【详解】（1）非零数列{}n a 满足*12()n n a a n N +=∈，数列{}n a 为以2为公比的等比数列；因为23,a a 的等差中项为6，所以23+=12a a ，即112412a a +=，所以12,2a q ==，所以2nn a =.（2）将2nn a =代入2log n n b a =，得到n b n =，所以11111==()(1)1n n b b n n n n +-++， 所以12233411111...=n n b b b b b b b b +++++11111111()()()223341n n -+-+-+⋅⋅⋅+-+111n =-+. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项相消法求和，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的灵活运用.20．已知正数,x y 满足21x y +=，求12x y+的最小值有如下解法：∵21x y +=且0,0x y >>，∴1212()(2)8x y x y x y +=++≥=， ∴min 11()8x y+=．判断以上解法是否正确，并说明理由．若不正确，请给出正确解法． 【答案】题中解法错误．见解析【解析】解法错误，两次均值不等式不能同时成立，变换()1212++2x y x y x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】题中解法错误．理由如下：∵12+x y ≥2x =y 时取到等号，2x y +≥2x y =时取到等号，以上两个不等式不能同时取到等号，因此118min x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭不成立． 正确解法：∵21x y +=且0,0x y >>，∴()121222++25549y xx y x y x y x y⎛⎫=+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当2221,x y x y y x +==，0,0x y >>，即11,33x y ==时，取到等号， 故min129x y ⎛⎫+=⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.21．已知命题p : 1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式22153a a x x --≥-对任意实数[1,1]m ∈-恒成立;命题q :不等式2210ax x +->有解.命题p 为真命题. （1）求实数a 的取值范围;（2）q ⌝是真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）a ≥6或a ≤-1.（2）{}1a a ≤-.【解析】（1）根据题意得到1212,2,x x m x x +=⎧⎨=-⎩，计算12x x -=故12max 3x x -=，代入解不等式得到答案.（2）讨论a >0，a =0，a <0三种情况，根据命题的真假得到1a ≤-，再计算交集得到答案. 【详解】（1）∴命题p 是真命题，∵x 1，x 2是方程x 2-mx-2=0的两个实根，∴1212,2,x x m x x +=⎧⎨=-⎩ ∴12x x -= ∴当[1,1]m ∈-时， 12max3x x -=，由不等式a 2-5a -3≥12x x -对任意实数m ∈[-1，1]恒成立，可得a 2-5a -3≥3， 解得a ≥6或a ≤-1， 则当命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤-1.（2）∵命题p 是真命题，命题q 是假命题， 命题q ：不等式ax 2+2x -1>0有解. ①当a >0时，显然有解； ②当a =0时，2x -1>0有解；③当a <0时，∵ax 2+2x -1>0，∴Δ=4+4a >0，∴-1<a <0. 从而命题q :不等式ax 2+2x -1>0有解时，a >-1. ∵命题q 是假命题，∴a ≤-1 611a a a ≥≤-⎧∴⎨≤-⎩或，所以a 的取值范围为{}1a a ≤-.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和推断能力. 22．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q .已知11252,2,,30a b b q d S ====.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）122,n n n b a n -==或者3,2n n a n b =+=；（2）()1212n n T n +=+-【解析】（1）直接根据等差数列，等比数列公式计算得到答案. （2）2nn c n =⋅，利用错位相减法计算得到答案. 【详解】（1）由题意知1112251030a b q da d ⎧==⎪⎨⎪+=⎩ ，解得122a d =⎧⎨=⎩或141a d =⎧⎨=⎩， 所以122,n n n b a n -==或者3,2n n a n b =+=；（2）当1d >时，122,n n n b a n -==，故2n n c n =⋅，23122232...2n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅， 23412122232...2n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅，①-②得23122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅，所以()1212n n T n +=+-⋅.【点睛】本题考查了等差数列等比数列公式，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.23．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出*()x x N ∈名员工从事第三产业，调整后平均每人每年创造利润为310()500xa -万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x ． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？【答案】（1）最多调整500名；（2）(0，5]【解析】（1）根据题意可列出10(1000)(10.2%)101000x x -+⨯…，进而解不等式求得x 的范围，确定问题的答案．（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a 的范围．【详解】（1）设调整出x 名员工，则由题意，得10(1000)(10.2%)101000x x -+⨯…，即25000x x -„，又0x >，所以0500<x „．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元， 则3110()10(1000)(1)500500x a x x x --+„，所以223110002500500x ax x x x -+--„， 所以221000500++x ax x „，即210001500++x a x „在(]0,500x ∈时恒成立．因为210004500x x +=…，当且仅当21000500x x=，即500x =时等号成立，所以5a „，又0a >，所以05a <„．所以a 的取值范围为(]0,5． 【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．。
四川省成都市郫都区2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题 含解析
四川省成都市郫都区2019-2020学年度上期期中考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.直线x+y-1=0的倾斜角为（）A. B. C. D.2.抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A. B. C. D.3.双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（）A. 1B.C.D. 24.下列说法正确的是（）A. 命题“3能被2整除”是真命题B. 命题“,”的否定是“,”C. 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题D. 命题“若a、b都是偶数,则是偶数”的逆否命题是假命题5.已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.直线l1：x+ay+6=0与l2：（a-2）x+3y+2a=0平行，则a的值等于（）A. 或3B. 1或3C.D.7.设m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γA. 和B. 和C. 和D. 和8.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），则k的值为（）A. B. C. D.9.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 1B. 3C. 6D. 210.已知圆，圆，则这两个圆的公切线条数为（）A. 1条B. 2 条C. 3 条D. 4 条11.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A. B. C. D.12.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点Q为椭圆上一点．△QF1F2的重心为G，内心为I，且，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知x、y满足不等式组，则z=3x+y的最大值为______．14.体积为4π的球的内接正方体的棱长为______．15.椭圆+=1与双曲线-=1有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2= ______ ．16.抛物线x2=2py（p＞0）上一点A（，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知p：方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程表示焦点在y轴上的双曲线．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．19.已知在等比数列{a n}中，a1=2，且a1，a2，a3-2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和S n．20.如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．21.已知动点M（x，y）满足：．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设过点N（-1，0）的直线l与曲线E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C（点C与点B不重合），证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标．22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2=相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程．答案和解析1.【答案】D【解析】解：设直线x+y-1=0的倾斜角为α．直线x+y-1=0化为．∴tanα=-．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故选：D．利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选：C．把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意，由双曲线的方程为，可得焦点坐标为（-2，0）（2，0），渐近线的方程为y=±x；结合双曲线的对称性，其任一个焦点到它的渐近线的距离相等，故只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，其距离为d==，故选：C．根据双曲线的方称可得其焦点坐标与渐近线的方程，由于双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，由点到直线的距离公式，计算可得答案．本题考查双曲线的性质，解题时注意结合双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可．4.【答案】C【解析】解：对于A，3不能被2整除，∴“3能被2整除”是假命题，A错误；对于B，“∃x0∈R，x02-x0-1＜0”的否定是“∀x∈R，x2-x-1≥0”，∴B错误；对于C，47不是7的倍数，49是7的倍数，∴“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题，C正确；对于D，“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，∴D错误．故选：C．A，3不能被2整除，判断A是假命题；B，写出命题的否定，即可判断B是假命题；C，由47不是7的倍数，49是7的倍数，利用复合命题的真假性判断即可；D，根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断即可．本题考查了命题真假的判断问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交．当α∥β时，a与b一定无公共点，∴q⇒p，但p⇒/q故选：B．利用量平面平行的定义推出a与b没有公共点；a与b没有公共点时推不出α∥β，举一个反例即可．利用充要条件定义得选项．本题考查两个平面平行的定义：两平面无公共点；充要条件的判断．6.【答案】D【解析】解：因为两条直线平行，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由，解得：a=-1，故选：D．直接利用两直线平行的充要条件，列出方程求解，解得a的值．本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．7.【答案】D【解析】解：由m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，知：∵m⊥α，n∥α，∴m⊥n，故①正确；∵α⊥γ，β⊥γ，∴α∥β或α与β相交，故②不正确；∵m∥α，n∥α，∴m与n相交、平行或异面，故③不正确；∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，∵m⊥α，∴m⊥γ，故④正确．故选：D．由m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，知：m⊥α，n∥α⇒m⊥n；α⊥γ，β⊥γ⇒α∥β或α与β相交；m∥α，n∥α⇒m与n相交、平行或异面，故③不正确；α∥β，β∥γ⇒α∥γ，由m⊥α，知m⊥γ．本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.【答案】A【解析】解：如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴k=±．故选：A．直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查由三视图求几何体的体积，在三个图形中，俯视图确定锥体的名称，即是几棱锥，正视图和侧视图确定锥体的高，注意高的大小，侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上的虚线部分，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2.故选D．10.【答案】D【解析】解：根据题意，圆C1：x2+y2+2x-4y+1=0，即（x+1）2+（y-2）2=4，其圆心为（-1，2），半径r1=2，圆C2：（x-3）2+（y+1）2=1，其圆心为（3，-1），半径r2=1，则有|C1C2|==5＞r1+r2，两圆外离，有4条公切线；故选：D．根据题意，分析两圆的圆心与半径，进而分析两圆的位置关系，据此分析可得答案．本题考查圆与圆的位置关系以及两圆的公切线，关键是分析两圆的位置关系，属于基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用.由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y-4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y-4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小.【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y-4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y-4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小.此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y-4=0的距离为：d==，此时r=，∴圆C的面积的最小值为：S min=π×（）2=.故选A.12.【答案】A【解析】解：椭圆的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0），∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为G（，），∵，则∥，∴I的纵坐标为，又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，∴=•|F1F2|•|y0|，又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径，内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||，即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，∴该椭圆的离心率，故选：A．由题意，设Q（x0，y0），由G为△F1QF2的重心，得G点坐标为（，），利用面积相等可得，×2c•|y0|=（2a+2c）||，从而求椭圆的离心率．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】9【解析】解：作出x、y满足不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，其中A（2，3），设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，∴z最大值=F（2，3）=9．故答案为：9．作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=3时，求出z=3x+y取得最大值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：设球的半径为R，正方体的棱长a，则=4，∴R3=，∴R=，则由正方体的性质可知，正方体的体对角线=2R=2，∴a=2，故答案为：2．先确定球的半径，利用球的内接正方体的对角线为球的直径，即可求得结论．本题考查球的内接正方体，解题的关键是利用球的内接正方体的对角线为球的直径，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意设焦点F2（2，0）、F1（-2，0），∴3+b2=4，求得b2=1，双曲线-=1，即双曲线-y2=1．不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，可得|PF1|=+，|PF2|=-，且|F1F2|=4．再由余弦定理可得cos∠F1PF2=即=，故答案为：．不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，求得|PF1|和|PF2|的值，根据|F1F2|=4，利用余弦定理可得cos∠F1PF2的值．本题主要考查椭圆、双曲线的定义和性质及其标准方程，余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或p=6．当p=6时，，故p=6舍去，所以抛物线方程为x2=y，∴，所以△OAB是正三角形，边长为，其内切圆方程为x2+（y-2）2=1，如图4，∴．设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），则，∴．故答案为：．利用点在抛物线上，求出m，点A到准线的距离为，求出p，即可解出抛物线方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：（1）由已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，得，得m＜-3，即q：m＜-3．（2）若方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根则，解得-2＜m＜-1，即p：-2＜m＜-1．因p或q为真，所以p、q至少有一个为真．又p且q为假，所以p，q至少有一个为假．因此，p，q两命题应一真一假，当p为真，q为假时，，解得-2＜m＜-1；当p为假，q为真时，，解得m＜-3．综上，-2＜m＜-1或m＜-3．【解析】（1）根据双曲线的标准方程进行求解即可．（2）根据复合命题真假关系得到p，q两命题应一真一假，进行求解即可．本题主要考查复合命题的真假应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.【答案】解：（Ⅰ）由2cos A cos C（tan A tan C-1）=1得：2cos A cos C（-1）=1，∴2（sin A sin C-cos A cos C）=1，即cos（A+C）=-，∴cos B=-cos（A+C）=，又0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=，b=，∴-2ac-3=ac，即ac=，∴S△ABC=ac sin B=××=．【解析】（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cos B的值，即可确定出B的大小；（Ⅱ）由cos B，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cos B的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19.【答案】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，a1=2，a1，a2，a3-2成等差数列，可得2a2=a1+a3-2，即为4q=2+2q2-2，解得q=2，则a n=a1q n-1=2n，n∈N*；（Ⅱ）=+2log22n-1=+2n-1，则数列{b n}的前n项和S n=（++…+）+（1+3+…+2n-1）=+n（1+2n-1）=1-+n2．【解析】（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得=+2log22n-1=+2n-1，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列分组求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A-BDEF=2×=2×=．【解析】（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2V A-BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.【答案】解：（1）由已知，动点M到点P（-1，0），Q（1，0）的距离之和为2，且|PQ|＜2，所以动点M的轨迹为椭圆，而a=，c=1，所以b=1，所以，动点M的轨迹E的方程：+y2=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，-y1），由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x+1），由，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，所以x1+x2=-，x1x2=，直线BC的方程为：y-y2=（x-x2），所以y=x-，令y=0，则x====-2，所以直BC与x轴交于定点D（-2，0）．【解析】（1）分别求出a，b，c的值，求出M的轨迹方程即可；（2）输出直线l的方程为：y=k（x+1），联立直线和椭圆的方程，根据根与系数的关系，求出定点D的坐标即可．本题考查了求椭圆的轨迹方程问题，考查直线和椭圆的关系以及韦达定理的应用，是一道中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得，e==，a2-b2=c2，点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，S△OAB=××=；②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，x1+x2=-，x1x2=，由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，即有4m2=3（1+k2），|AB|=•=•=•=•=•≤•=2，当且仅当9k2= 即k=±时等号成立，可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=，即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论①当k不存在时，②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l的方程．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最大值，注意运用分类讨论的思想方法，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，和基本不等式的运用，属于中档题．。
2019-2020学年云南省大理市下关第一中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)
|2
2 ，利用圆心到直线的距离求得
uuur uuur 得 PA PB 的最小值 .
uuru | PC | 的取值范围求
【详解】
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur PA PB (PC CA) (PC CB ) (PC CA) (PC CA)
由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．
解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是
4、 5 其中 1 个，末位数字为 0、2、
4 中其中 1 个； 分两种情况讨论：
① 首位数字为 5 时，末位数字有 3 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位置上，有 A43=24 种情况，此时有 3×24=72 个， ② 首位数字为 4 时，末位数字有 2 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位置上，有 A43=24 种情况，此时有 2×24=48 个，
球的表面积： S 4 R2 100 9
故选 B
2
5
3 R ，解得： R
3
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题， 关键是能够通过体积的最值确定顶点到底面
的距离， 根据外接球的性质可确定球心的大致位置， 通过勾股定理构造关于半径的方程
求得外接球半径 .
10．设 [x] 表示不超过 x 的最大整数， 如 [-3.14]=-4 ，[3.14]=3 ．已知数列 { an } 满足： a1 1 ，
∴ 0＜ am ＜
a
m，即 0＜（
1） m＜﹣ m，
2
2
∴ ﹣ 4＜ a＜﹣ 2，
∴ 则 a 的取值范围是（﹣ 4，﹣ 2），
阆中中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题(Word版含解析)
阆中中学校2019年秋高2018级期中教学质量检测数学试题（理科）一、单选题（每小题5分，共60分）1.过点(1,2)-，且斜率为2的直线方程是（ ）A. 240x y -+=B. 20x y +=C. 250x y -+=D. 230x y +-= 【答案】A 【详解】因直线过点(1,2)-，且斜率为2，所以该直线方程为22(1)y x -=+，即240x y -+=.故选A2.已知圆()221x a y -+=与圆()221x y b +-=外切，则（ ）． A. 224a b += B. 222a b += C. 221a b += D. 228a b += 【答案】A【详解】因为两圆相外切，故圆心距为半径之和， ()()220011a b -+-=+即224a b +=，故选A.3.已知圆22:240C x y x y +-+=，则通过原点且与圆C 相切的直线方程为（ ）． A. 2y x =- B. 12y x =- C. 12y x = D. 2y x =【答案】C【详解】因为22:240C x y x y +-+=，故()1,2C -，所以2OC k =-，所以切线的斜率为12，故切线方程为12y x =，选C.4.已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则+a b 的值为（ ） A. 7- B. 1-C. 1D. 7【答案】A详解：因为直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行， 所以43b a =，又直线10ax by ++=在y 轴上的截距为13， 所以1103b +=，解得3b =-，所以4a =-，所以7a b +=-，故选A.5.已知实数,x y 满足2050370x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-+的最大值是（ ）A. 53-B. 1-C. 3D. 5【答案】C【详解】由题意，作出线性约束条件表示的可行域，如图所示， 表示三角形ABC 阴影部分区域（含边界），设直线0:l y x =，平移直线0l 时，目标函数取得最大值，又由50370x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得()1,4A ，此时目标函数z x y =-+的最大值为max 143z =-+=. 故选C.6.点(,2,1)P x 到点(1,1,2),(2,1,1)Q R 的距离相等，则x 的值为( ) A.12B. 1C.32D. 2【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，结合空间中两点的距离公式可知，点(,2,1)P x 到点(1,1,2),(2,1,1)Q R 的距离相等，则有22(1)11(2)101PQ PR x x x =⇔-++=-++⇔=则可知x 的值为1，选B.7.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b 分别为2，8，则输出的a 等于（）A. 4B. 0C. 2D. 14 【答案】C【详解】由题a=2，b=8：a b ¹且a b <，则b=8-2=6；此时a=2，b=6： a b ¹且a b <，则b=6-2=4；此时a=2，b=4：a b ¹且a b <，则b=4-2=2；此时a=2，b=2：a=b ，输出a=2，故选C.8.在圆22x y 2x 6y 0+--=内，过点()E 0,1的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为()A. 52B. 102C. 152D. 202【答案】B详解：圆22260x y x y +--=变形为22(1)(3)10x y -+-=。