《相似三角形应用举例》习题
《相似三角形应用举例》习题一、选择题(每小题5分，共25分)1．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB ⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得B E＝20m，C E＝1 0m，CD＝20m，则河的宽度AB等于( )A．60m B．40m C．30m D．20m第1题图第2题图2．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，B P＝1.8米，P D＝12米，那么该古城墙的高度是( )A．6米B．8米C．18米D．24米3．身高1.6米的小芳站在一棵树下照了一张照片，小明量得照片上小芳的高度是1.2厘米，树的高度为6厘米，则树的实际高度大约是( )A．8米B．4.5米C．8厘米D．4.5厘米4．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为( )A．5.5m B．6.2m C．11m D．2.2m5．如图，身高1.6m的小华站在距路灯5m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度AB为( )A．5m B．4.9m C．4.8m D．4.7m第4题图第5题图二、填空题(每小题5分，共25分)6．在同一时刻太阳光下，身高1.5m的小强影长是0.9m，旗杆的影长是10.8m，则旗杆的高为m．7．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连接AC、BC分别取其三等分点M、N量得MN＝28m．则AB的长为m．8．如图，矩形台球桌ABCD的尺寸为2.7m 1.6m，位于AB中点处的台球E沿直线向BC边上的点F运动，经BC边反弹后恰好落入点D处的袋子中，则B F的长度为m．第7题图第8题图9．如图，已知零件的外径为30mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，O C＝O D)测量零件的内孔直径AB．若O C:O A＝1:2，且量得CD＝12mm，则零件的厚度x＝_______ mm．10．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图所示的测量方案．已知测量同学眼睛A标杆顶端F树的顶端E同一直线上，此同学眼睛距地面1.6m标杆长为3.3m且BC＝1m，CD＝4m，则E D＝m．第9题图第10题图三、解答题(共50分)11．(10分)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，求木竿PQ的长度．12．(10分)甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图(3)，测得校园景灯的灯罩部分影长HQ为90cm，灯杆被阳光照射到的部分PG长4 0cm，未被照射到的部分KP长24cm．(灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计且穿过灯罩中轴线)(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度是多少米；(2)请根据甲、丙两组得到的信息，求：①灯罩底面半径MK的长；②灯罩的高度KK′的长．13．(10分)如图所示，该小组发现8米高旗杆D E的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动.小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长)为2米，求小桥所在圆的半径．14．(10分)为了加强视力保护意识，小明想在长为4.3米，宽为3.2米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计的方案新颖，构思巧妙．(1)甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF和墙ADGF的夹角处，被测试人站立在对角线AC上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．(2)乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理课计算得到：测试线应画在距离墙AB EF的米处．(3)丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．图中的△ADF∽△ABC，如果大视力表中“E”的长是多少cm？15．(10分)为了测量路灯(OS )的高度，把一根长1.5米的竹竿(AB )竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子(BC )长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米(BB ′)，再把竹竿竖立在地面上， 测得竹竿的影长(B ′C ′)为1.8米，求路灯离地面的高度． h B'A'A B O CS参考答案1．B【解析】由两角对应相等可得△BAE ∽△CDE ，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离A B ．∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴△BAE ∽△CDE ，∴ ＝AB BE CDCE ， ∵BE ＝20m ，CE ＝10m ，CD ＝20m ， ∴20 2010＝AB， 解得：AB ＝40．故选B ． 2．B【解析】∵△ABP ∽△CDP ，∴=AB BP CD PD． ∴ 1.21281.8⨯==CD (米)． 故选B ．3．A【解析】设树的高度是x 米，根据题意得，61.6 1.2=x ， 解得x ＝8米．故选A ．4．A【解析】作DE ∥BC 交FC 于点E ，得到△ABC ∽△CED ，利用相似三角形的对应边的比相等得到比例式即可求得两层楼之间的距离：如图，作DE ∥BC 交FC 于点E ，∴△ABC ∽△CED ，∴=AB BC EC DE． 设AB ＝x 米，由题意得：DE ＝10－4＝6，EC ＝x －2.2， ∴102.26=-x x ，解得：x ＝5.5． 故选A ．5．C【解析】∵CE ∥AB ，∴△ADB ∽△EDC ，∴AB ：CE ＝BD ：CD ，即AB ：1.6＝7.5：2.5，解得：AB ＝4.8m ．即路灯的高度为4.8米．故答案为：4.8．故选C ．6．18【解析】根据题意得：小强的身高：小强的影长＝旗杆的高度：旗杆的影长，然后将数字代入进行求解．7．84【解析】因为M 、N 分别为AC ，BC 的三等分点，∴设MC ＝x ，则AC ＝3x ，又∵△CMN ∽△CAB ，∴MN ：AB ＝MC ：AC ．即28：AB ＝x ：3x ．解得：AB ＝84m ．故答案为：84．8．0.9．【解析】根据题意得出△EBF ∽△DCF ，进而利用相似三角形的性质得出比例式求出即可：由题意可得出：∠DFC ＝∠EFB ，∠EBF ＝∠FCD ，∴△EBF ∽△DCF ， ∴=BE BF DC FC． ∴0.81.6 2.7=-BF BF ，解得：BF ＝0.9． 9．3．【解析】要求零件的厚度，由题可知只需求出AB 即可．因为CD 和AB 平行，可得△AOB ∽△COD ，可以根据相似三角形对应边成比例即可解答：∵两条尺长AC 和BD 相等，OC ＝OD ，∴OA ＝OB ．∵OC ：OA ＝1：2，∴OD ：OB ＝OC ：OA ＝1：2．∵∠COD ＝∠AOB ，∴△AOB ∽△COD ．∴CD ：AB ＝OC ：OA ＝1：2．∵CD ＝12mm ，∴AB ＝24mm∴2x ＋24＝30.∴x ＝3mm ．10．10.1．【解析】首先做出辅助线，得出△AHF ∽△AGE ，进而求出GE 的长，进而求出ED 的长： 如图，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，交CF 于点H ．由题意可得 四边形AB C H 、ABDG 、CDGH 都是矩形，AB ∥CF ∥DE ．∴△AHF ∽△AGE ． ∴=AH HF AG GE． 由题意可得AH ＝BC ＝1，AG ＝BD ＝5，FH ＝FC －HC ＝FC －AB ＝3.3－1.6＝1.7． ∴1 1.78.55=⇒=GE GE ． ∴ED ＝GE ＋DG ＝GE ＋AB ＝8.5＋1.6＝10.1．11．木竿PQ 的长度为2.3米．【解析】解：过N 点作ND ⊥PQ 于D ，可得△ABC ∽△QDN ， ∴=AB QD AC DN， 又∵AB ＝2，BC ＝1.6，PM ＝1.2，NM ＝0.8， ∴Q D ＝2 1.2 1.5 1.6⨯==AB DN BC ∴PQ ＝QD ＋DP ＝QD ＋NM ＝1.5＋0.8＝2.3(米)．答：木竿PQ 的长度为2.3米．12．(1)DE ＝12m (2)①MK ＝18cm ②KK ′＝72cm ．【解析】(1)根据同一时刻时在阳光下的物高与影长成比例可求出DE 的长；(2)①根据条件可证Rt △PGH ∽Rt △PKM ∽Rt △ABC ，然后利用相似三角形的对应边成比例可求出MK 的长；②根据条件可证Rt △PKM ≌Rt △LK ′N ，Rt △ABC ∽Rt △LGQ ，然后利用相似三角形的性质可求出KK ’的长．解：(1)因为同一时刻时在阳光下的物高与影长成比例，所以,=AB DE AC DF 所以80,60900=DE 解得DE ＝1200cm ＝12m ；(2)①根据条件可得Rt △PGH ∽Rt △PKM ∽Rt △ABC ，所以,==AB PG PK AC GH MK 所以804024,60==GH MK解得GH ＝30cm ，MK ＝18cm ，②Rt △PKM ≌Rt△LK ′N ，由KP 长24cm ，得出LK ′＝24cm ，Rt △ABC ∽Rt △LGQ ，所以'80242440,603090LG KK GQ +++==+所以KK ′＝72cm ． 13．5米．【解析】根据已知得出旗杆高度，进而得出GM ＝MH ，再利用勾股定理求出半径即可． 解：∵海涛身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE 的影子为：12m ，∵测得EG 的长为3米，HF 的长为1米，∴GH ＝12－3－1＝8(m )，∴GM ＝MH ＝4m ．如图，设小桥的圆心为O ，连接OM 、OG ．设小桥所在圆的半径为r ，∵MN ＝2m ，∴OM ＝(r －2)m ．在Rt △OGM 中，由勾股定理得：∴OG 2＝OM 2＋42，∴r 2＝(r －2)2＋16，解得：r ＝5．答：小桥所在圆的半径为5m ．14．(1)甲生的方案可行 见解析(2)1.8(3)2.1cm【解析】(1)由勾股定理求得对角线的长与5米比较．(2)根据平面镜成像原理知，视力表与它的像关于镜子成对称图形，故EF 距AB 的距离＝5﹣3.2＝1.8米．(3)由相似三角形的性质可求解．解：(1)甲生的方案可行．理由如下：根据勾股定理得，AC 2＝AD 2＋CD 2＝3.22＋4.32∵3.22＋4.32＞52∴AC 2＞52即AC ＞5∴甲生的方案可行．(2)设：测试线应画在距离墙ABEF 的x 米处，根据平面镜成像，可得：x ＋3.2＝5，∴x ＝1.8，∴测试线应画在距离墙ABEF 的1.8米处．故答案为：1.8．(3)∵△ADF ∽△AB C ， ∴ 即∴FD ＝2.1(cm )．答：小视力表中相应“E ”的长是2.1cm ．15．路灯离地面的高度是9米【解析】先根据AB ⊥O C′，OS ⊥OC ′可知△ABC ∽△SOC ，同理可得△A ′B ′C ′∽△SO C′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h 的值．解：∵AB ⊥OC ′，OS ⊥OC ′，∴SO ∥AB ，∴△ABC ∽△SOC ， ∴+BC BC OB ＝AB OS ，即1 1.51=+OB h， 解得OB ＝23h ﹣1①， 同理，∵A ′B ′⊥OC ′，∴△A ′B ′C ′∽△SOC ′， ∴,''''='''++B C A B B C BB OB OS 1.8 1.51.84=++OB h②， 把①代入②得， 1.8 1.525.813=+-hh ， 解得h ＝9(米)．答：路灯离地面的高度是9米．。
九年级数学相似三角形典型例题
九年级数学相似三角形典型例题一、利用相似三角形的判定定理证明相似例1：已知：在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D = 60°，AB = 4，AC = 8，DE = 2，DF = 4。
求证：△ABC∽△DEF。
解析：1. 我们看相似三角形的判定定理。
对于两个三角形，如果它们的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
2. 在本题中：计算公式，公式。
并且已知∠A = ∠D = 60°。
因为公式且∠A = ∠D，所以根据相似三角形判定定理中的“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可以得出△ABC∽△DEF。
二、相似三角形性质的应用（求边长）例2：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为公式，若AB = 6，则A'B'的长为多少？解析：1. 因为相似三角形对应边成比例。
设A'B' = 公式。
已知相似比公式。
2. 又已知公式，AB = 6，所以公式。
通过交叉相乘可得：公式。
即公式，解得公式，所以A'B'的长为9。
三、利用相似三角形解决实际问题（测量高度）例3：在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，求这棵大树的高度。
解析：1. 因为在同一时刻，太阳光下不同物体的高度和影长成正比。
设大树的高度为公式米。
可以得到两个相似三角形，一个是由小强及其影子构成，另一个是由大树及其影子构成。
2. 根据相似三角形的性质，对应边成比例。
则公式。
交叉相乘可得：公式。
计算得公式，解得公式米。
所以这棵大树的高度是9.6米。
相似三角形的性质及应用练习题1
相似三角形的性质及应用练习卷一、填空题1.已知两个相似三角形的相似比为3, 则它们的周长比为；2.若△ABC∽△A′B′C′, 且, △ABC的周长为12cm, 则△A′B′C′的周长为；3、如图1, 在△ABC中, 中线BE、CD相交于点G, 则= ；S△GED: S△GBC= ；4.如图2, 在△ABC中, ∠B=∠AED, AB=5, AD=3, CE=6, 则AE= ；5.如图3, △ABC中, M是AB的中点, N在BC上, BC=2AB, ∠BMN=∠C, 则△∽△ ,相似比为 , = ；6、如图4, 在梯形ABCD中, AD∥BC, S△ADE: S△BCE=4: 9, 则S△ABD: S△ABC= ；7、如图5, 在△ABC中, BC=12cm, 点D、F是AB的三等分点, 点E、G是AC的三等分点, 则DE+FG+BC= ；8、两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm, 则它们的对应角的平分线的比为；9、两个三角形的面积之比为2: 3, 则它们对应角平分线的比为 , 对应边的高的比为；对应边的中线的比周长的比10、已知有两个三角形相似, 一个边长分别为2、3、4, 另一个三角形最长边长为12, 则x、y的值为；二、选择题11.下列多边形一定相似的为（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形12、在△ABC中, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, 另一个和它相似的三角形的最短边是5cm, 则最长边是（）A.18cmB.21cmC.24cmD.19.5cm13、如图, 在△ABC中, 高BD.CE交于点O, 下列结论错误的是（）A.CO·CE=CD·CA B、OE·OC=OD·OBC.AD·AC=AE·AB D、CO·DO=BO·EO14.已知, 在△ABC 中, ∠ACB=900, CD ⊥AB 于D, 若BC=5, CD=3, 则AD 的长为（ ）A.2.25B.2.5C.2.75D.315.如图, 正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上,其余两个顶点A.D 在PQ 、PR 上, 则PA ：PQ 等于（ ）A.1:B.1: 2C.1: 3D.2: 316.如图, D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, = =3,且∠AED=∠B, 则△AED 与△ABC 的面积比是（ ）A 、1: 2B 、1: 3C 、1: 4D 、4: 9三、解答题17、如图, 已知在△ABC 中, CD=CE, ∠A=∠ECB, 试说明CD2=AD ·BE 。
相似三角形的应用例析
相似三角形的应用例析相似三角形是平面几何中的重要的内容之一，其应用十分广泛．举例说明如下．1、测量底部不能到达的建筑物的高例1 如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1．7米，求路灯杆AB的高度(精确到0．1米)．2、测量池塘宽例2如图，有一池塘要测量两端AB的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长至D，使AC并延长至D，使15CD CA=，连接BC并延长至E，使15CE CB=，连接ED，如果量出25mDE=，那池塘宽多少A BCE D3、利用影长测量建筑物的高度例3高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，求该建筑物的高度．4、测量电线杆的高例4如图，一人拿着一支刻有厘米刻度的小尺，站在距电线杆约30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60cm，求电线杆的高．5、测量台阶例5 汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1. 75m．他量得客厅高 AB= 2. 8m，楼梯洞口宽AF=2m．阁楼阳台宽EF = 3m．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于 20c m，每个台阶宽要大于20c m，问汪老师应该将楼梯建儿个台阶为什么参考答案例1：【分析】根据题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD//AB，可证得：△ABE∽△CDE，∴BD DE DE AB CD += ①同理：BDGD HG HG AB FG ++= ② 又CD ＝FG ＝1．7m ，由①、②可得：BD GD HG HG BD DE DE ++=+ 即BDBD +=+10533，解之得：BD ＝7．5m ， 将BD ＝7．5代入①得：AB=5．95m≈6m．答：路灯杆AB 的高度约为6m ．【点评】 本题通过多次平行线，利用相似三角形解决．把实际问题转化为相似问题，建立数学模型，做到学以致用．例2：【分析】这个问题的实质是△ECD∽△BCA，利用两个三角形相似求池塘宽DE AB CD AC AB DE ===155，.解： CD CA CE CB ==1515，∴==CD CA CE CB 15 又∵∠ECD＝∠BCA ∴△ECD∽△BCA∴==DE AB CD AC 15∴==⨯=AB DE m 5525125()．【点评】 通过测量池塘宽，能够综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．例3：【分析】 画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB //＝C B BC //， 于是得，BC =B A AB//×B /C /=16（m ）． 即该建筑物的高度是16m ．例4：【分析】 本题所叙述的内容可以画出如图那样的几何图形，即DF=60cm=，GF=12cm=，CE=30m ，求BC ．由于△ADF∽△AEC，AC AF EC DF =，又△AGF∽△ABC，∴ BC GF AC AF =，∴ BC GF EC DF =，从而可以求出BC 的长．解： ∵AE⊥EC，DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC，∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC．∴AC AF EC DF =．又GF⊥EC，BC⊥EC，∴GF∥BC，∠AFG=∠ACB，∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴BC GF AC AF =，∴BC GF EC DF =．又∵ DF=60cm=，GF=12cm=，EC=30m ，∴ BC=6m．即电线杆的高为6m ．【点评】 “测量电线杆的高”问题本身就是利用数学问题去处理实际问题，还有许多实际问题都可以用数学问题来解决，运用相似三角形相似的相关知识解决在生活中的一些实际问题；必须要正确地理解知识的内涵，比如手臂向前伸直与地面平行，刻度平行于电线杆，由此构造“相似三角形对应成比例的线段”．在应用过程中，要时时围绕三角形相似这一宗旨．例5：【分析】 （1）根据题意有AF∥BC，∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90º， ∴△ABC∽△GFA．∴FGAB AF BC =得BC=(m)，CD=2+=(m)． (2)设楼梯应建n 个台阶，则＞，＜，解得14＜n ＜16，∴楼梯应建15个台阶．。
相似三角形应用举例
相似三角形应用举例1、利用影子测量物体的高度如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙两同学相距1米，甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是________米．2、借助标杆或直尺测量物体的高度小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同。
此时，测的小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）。
已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）3、利用卷尺测量河宽如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN=38m，则AB的长为．4、利用相似解决视线遮挡问题为了测量学校升旗杆AB的高度，班长小颖带领兴趣小组在距离旗杆20米得D处，立了一根长3米得标杆CD，然后退到5米到F处，刚好发现标杆完全遮住了升旗杆。
若小颖的眼离地面高为1.5米，试求升旗杆的高度。
ACEF D B5、解决影子被分成两部分的问题某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的应高为3米，求旗杆的高度ADB C6、阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学测量学校旗杆AB的高度（如图），发现旗杆AB的影子刚好落在水平面BC和斜坡的CD上，其中BC=48米，CD=4米，斜坡CD的坡角为30°．同一时刻，测得高为1米标杆的影长是2.5米．求出旗杆AB的高度？。
相似三角形典型例题30道
相似三角形典型例题30道1: 在△ABC中，DE是平行于BC的线段，且AD/DB = 2/3。
求DE/BC的比值。
2: 已知△PQR与△XYZ相似，PQ = 6，XY = 9，求QR 与YZ的比值。
3: 在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE平行于BC，已知AD = 3，DB = 6，求AE与EC的比值。
4: 已知两个相似三角形的面积比为4:9，求它们对应边的比。
5: 在△XYZ中，MN是平行于XY的线段，且XM = 4，MY = 6，求MN/XY的比值。
6: 在△ABC中，AD是BC的中线，且AE是AB的延长线，若AE与BC相交于点F，求AF与FB的比值。
7: 在△DEF中，GH平行于EF，已知DE = 8，DF = 10，求GH/EF的比值。
8: 在一个相似三角形中，若大三角形的周长是36，小三角形的周长是24，求它们的面积比。
9: 在△JKL中，MN平行于JK，若JM = 3，MK = 5，求MN/JK的比值。
10: 如果两个相似三角形的对应边长分别为5和15，求它们的面积比。
11: 在△ABC中，AD是BC的中线，且DE平行于BC，已知AD = 4，BC = 8，求DE的长度。
12: 已知相似三角形的对应边长比为1:4，求它们的周长比。
13: 在△PQR中，S是PQ的中点，若ST平行于QR，求PS与PQ的比值。
14: 在相似三角形中，若小三角形的每条边长为5，大三角形的对应边长为15，求它们的面积比。
15: 在一个三角形中，若一条边的延长线与另一边的平行线相交，则形成的两小三角形与原三角形相似，求相似比。
16: 在△XYZ中，若XY = 10，XZ = 15，YZ = 12，求△XYZ的周长。
17: 已知△ABC与△DEF相似，若AB = 4，DE = 8，求AC与DF的比值。
18: 在△GHI中，JK平行于GH，若GJ = 5，GH = 20，求JK的长度。
19: 在相似三角形中，若一个三角形的面积是36，另一个三角形的面积是144，求其对应边的比。
相似三角形应用举例1(含答案)
相似三角形应用举例1新颖题如右图，在等边△ABC 的边BC 上取点D ，使BD DC =12，作CH ⊥AD ，H 为垂足，连结BH ，求证：∠DBH=∠DAB ．证明：过A 作AM ⊥BC 于M ，在Rt △ADM 和Rt △CDH 中， ∠ADM=•∠CDH ，•∠AMD=•∠CHD=990°， 所以△CDH ∽△ADM ，所以AD DM CD DH =，CD=2BD ，DM=12BD ，所以AD DBBD DH=． 因为∠ADB=•∠BDH ，• 所以△ADB ∽△BDH ， 所以∠DBH=∠DAB ．一、基础练习1．在同一时刻，小R 量得小D 的身高是1.5m ，其影长是1m ，旗杆的影长是8m ，则旗杆高度是________m ． 2．如图1，测量小玻璃管口径的量具ABC 上，AB 长为5mm ，AC 被分为50等分，如果小管口DE 正好对着量具上29份处（DE ∥AB ），那么小管口径就是________mm ．（1） （2） 3．如图2，测得QS=40m ，ST=100m ，QR=60m ，则河宽PQ 约为_______m ． 4．如图3，测得BD=10m ，DC=40m ，EC=30m ，则河宽AB 约为______m ．（3） （4） （5） 5．如图4，测得BO=6m ，OD=3.4m ，CD=1.7m ，则旗杆AB 高约为______m ． 6．如图5，测得CD=1.7m ，DE=3.4m ，BD=6m ，则旗杆AB 高约为______m ．7．将两块完全相同的等腰直角三角形的三角板摆放如图6，•假设图形中的所有的点，线都在同一平面内，则图形中相似但又不全等的三角形是________．（6）（7）8．如图7，请你设计几种不同的方法，将一个Rt△ABC分割成四个小三角形，•使得每一个小三角形都与原直角三角形相似．设计好以后，请你想一想，将一个锐角△ABC（或钝角三角形）•分割成四个小三角形，使得每一个小三角形都与原直角三角形相似，你能够吗？二、整合练习1．图中的每一个小正方形的边长为1，将三个正方形并排组成一个矩形．（1）求证：△BCE∽△BED；（2）求证：∠BEC+∠BED=45°2．如图，ABCD是边长为3的正方形，E是BC边上一点，且EC=2BE，将正方形折叠，•使点A与点E重合，折痕为MN，若四边形BCMN的面积和四边形ADMN的面积分别为S1和S2，•求S1：S2．答案：一、基础练习1．12 2．2.9 3．60 4．7.55．3（∠AOB=∠COD） 6．4.77．△BDE∽△CDB∽△ABE8．图（1）、（2）分别取斜边和直角边的中点，结果分割成四个小三角形均全等，分别与原三角形相似．图（3）、（4）、（5）、（6）、（7）依次作直角三角形斜边上的高．•当△ABC由Rt△变成锐角三角形或钝角三角形时，只要顺次连结原三角形三边的中点所得的图形符合要求．如图（8）、（9）．（运用依次作直角三角形斜边上的高的方法，可将Rt△分成n个小三角形其每一个小三角形都与原直角三角形相似）二、整合练习1．（1）在△BCE和△BED中，BC=1，BD=2，因为∠CBE=∠EBD．BC BEBE BD=，所以△BCE•∽△BED．（2）因为△BCE∽△BED，所以∠BCE=∠BED，∠BEC+∠BED=∠BEC+∠BCE=∠ABE=45°2．设MN与AE相交于点F，BC=3，EC=2BE=2，BE=1，MN垂直平分AE，△AFM∽△ABE，AF AMAB AE=，AM=16AE2=53，BM=43，过N作NH⊥AB于H，△MNH≌△EAB．MH=BE=1，DN=53-1=23，NC=73，S1：S2=（73+43）：（53+23）•=11：7．又解：设AM=ME=x，BM=3-x，x2=（3-x）2+1，6x=10，x=5 3，设DN=y，N E2=9+y2=9-6y+y2+4，y=23，S2=32·73=72，S1=9-72=112，S1：S2=11：7．。
相似三角形的应用练习题(带答案
是矩形，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴ ∴四边形
， 为正方形．
（ 2 ）仿照勤奋小组同学的作法作图，如图 与图 所示，矩形
即为所作．
图
图
（ 3 ）如图 ，作
的高 ，交 于 ，
∵
的面积
，
∴
，
∵
，
设
，则
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
，
∴
，
∴
，
∴矩形
的面积
，
同理，在矩形
中，若
，可求出
，
∴
，
，
∴矩形
的面积
．
．
，
，
．若点 是 边上的一点，将
， 交 于，
，则
，
D
10
【答案】
;
【解析】 作
于，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
由折叠及
得：
，
∴易得
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【标注】【知识点】翻折问题与勾股定理；相似A字型
3. 如图，矩形
的顶点 在 轴的正半轴上，点 、点 分别是边 、 上的两个点．将
沿 折叠，使点 落在 边上的三等分点 上（点 靠近点 ），过点 作
，使 ， 位于边 上， ， 分别位于边 ， 上．（在备用图中完成，不写作法，保
留作图痕迹）
（ 3 ）解决问题： 在（ ）的条件下，已知
相似三角形在物理学上的应用
相似三角形在物理学上的应用相似三角形在实际中的应用非常广泛，尤其与物理学的联系非常紧密．下面举例说明相似三角形在物理学上的实际应用．【例1】如图所示，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上，则电线杆竖起过程中所用力的大小将．A．变大B．变小C．不变D．无法判断解析：由物理知识可知，电线杆竖起的过程，实质上相当于以O为支点，以F 为动力，以电线杆重力G为阻力的杠杆运动．在电线杆竖起的过程中，动力臂OA，阻力臂OB是逐渐变化的．∵AA′∥BB′，∴△OBB′∽△OAA′∴＝而是定值，即也是定值．由杠杆平衡条件F·OA＝G·OB，得F＝G·因此，动力F 大小不变．故选C答案：C【例2】小华做小孔成像实验．如图，问蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时，蜡烛焰AB是像A′B′的一半长，已知蜡烛与成像板间的距离为l解：由相似三角形可知△ABO∽△A′B′O，△AEO∽△A′FO∴＝，＝∴＝＝∴＝，＝∴OE＝EF＝l故小孔纸板应放在距蜡烛l处．1．如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分即S1＝S2＝S3，且DE∥FG ∥BC，BC＝，FG－DE等于．A．－1 B．－C．－D．2－解析：由相似三角形的性质，得DE∶FG∶BC＝1∶∶设DE＝，FG＝，BC＝，则＝∴＝∴DE＝，FG＝2∴FG－DE＝2－答案：D2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝CD＝1，又E，D为CB的三等分点．1问图中是否存在相似三角形，若存在，找出并证明相似的三角形；若不存在，试说明理由；2比较∠ADC与∠AEC＋∠B的大小，试说明理由．解：1存在△ADE∽△BDA证明：∵AC＝CD＝DE＝EB＝1，又∠C＝90°，∴AD＝则＝＝，＝∴＝而∠ADE＝∠BDA，∴△ADE∽△BDA2由1知△ADE∽△BDA，∴∠DAE＝∠B又∵∠ADC＝∠AEC＋∠DAE，∴∠ADC＝∠AEC＋∠B。
第27章 相似三角形应用举例 达标训练2022-2023学年人教版九年级数学下册
人教版九年级数学下册27.2.3 相似三角形应用举例达标训练一、单选题1．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB 在地面上的影子长DE ＝1.8m ，窗户下沿到地面的距离BC＝1m ，EC ＝1.2m ，那么窗户的高AB 为（ ）A ．1.5mB ．1.6mC ．1.86mD ．2.16m2．某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m ，影长是1m ，旗杆的影长是8m ，则旗杆的高度是（ ） A ．12mB ．11mC ．10mD ．9m3．如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1 m ，继续往前走3 m 到达E 处时，测得影子EF 的长为2 m.已知王华的身高是1.5 m ，那么路灯A 的高度AB 等于( )A ．4.5 mB ．6 mC ．7.2 mD ．8 m4．如图，身高为1.6m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 到A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m ，CA=0.8m ，则树的高度为（ ）A ．4.8mB ．6.4mC ．8mD ．10m5．如图，小明晚上由路灯A 下的点B 处走到点C 处时，测得自身影子CD 的长为1米，他继续往前走3米到达点E 处（即CE=3米），测得自己影子EF 的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 是（ ）A ．4.5米B ．6米C ．7.2米D ．8米6．如图所示的梯形梯子，AA′∥EE′，AB=BC=CD=DE ，A′B′=B′C′=C′D′=D′E′，AA′=60cm ，EE′=80cm ．则BB′的长为（ ）A ．0.65mB ．0.675mC ．0.725mD ．0.75m7．现有一个测试距离为5m 的视力表（如图），根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m 的视力表，则图中的ab的值为（ ）A ．32B ．23C ．35D ．538．如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外任选一点C ，连接AC，BC分别取其三等分点M，N ，量得MN=38m ．则AB 的长是（ ）A ．76mB ．104mC ．114mD ．152m二、填空题9．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=cm10．小明在离路灯底部6m 处测得自己的影子长为1.2m ，小明的身高为1.6m ，那么路灯的高度为m .11．如图，AB 是斜靠在墙角的长梯，梯角B 距墙0.8m ，长梯上一点D 距墙0.7m ，BD 长0.55m ，则梯子的长度是 m ．12．如图，某风景区在建设规划过程中，需要测量两岸码头A 、B 之间的距离．设计人员在O 点设桩，取OA 、OB 的三等分点C 、D ，测得CD=25m ，则AB= ．13．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD=3m ，标杆与旗杆的水平距离BD=15 m ，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m ，人与标杆CD 的水平距离DF=2m ，E 、C 、A 三点共线，则旗杆AB 的高度为 米．14．如图；课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，在地面上C 处放一小镜子，当镜子离旗杆AB 底端6米，小明站在离镜子3米的E 处，恰好能看到镜子中旗杆的顶端，测得小明眼睛D 离地面1.5米，则旗杆AB 的高度约是 米．三、解答题15．如图，要测量河岸相对的两点A 、B 的距离，先从点B 出发与AB 成90°角方向，向前走50m 到C 处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走10m 到D 处，在D 处转90°沿DE 方向再走17m ，这时A 、C 、E 在同一直线上．问A 、B 间的距离约为多少？16．如图，某人在点A 处测量树高，点A 到树的距离AD 为21米，将一长为2米的标杆BE 在与点A 相距3米的点B 处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，求树CD的高．17．又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去参观“三军会师纪念塔”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60°； 乙：我站在此处看塔顶仰角为30°； 甲：我们的身高都是1.6m ； 乙：我们相距36m ．请你根据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．（精确到1米）18．如图，已知∥ABC 的面积S ∥ABC =1.在图（1）中，若11112AA BB CC AB BC CA ===， 则11114A B C S =； 在图（2）中，若22213AA BB CC AB BC CA ===， 则22213A B C S =； 在图（3）中，若33314AA BB CC AB BC CA ===， 则333716A B C S =； 按此规律，若44415AA BB CC AB BC CA ===， 则444A B C S = 若88819AA BB CC AB BC CA ===， 则888A B C S = . 19．如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC ，∥A=90°，BD∥CD ，垂足为D ．（1） 若AD=9，BC=16，求BD 的长； （2） 求证：AB 2•BC=CD 2•AD ．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】∵BE∥AD，∴∥BCE∥∥ACD，∴CB CEAC CD=，即CB CEAB BC DE EC=++，∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2∴1 1.21 1.8 1.2 AB=++∴1.2AB=1.8，∴AB=1.5m．故答案为：A．【分析】先证明∥BCE∥∥ACD，再利用相似三角形的性质可得CB CEAC CD=，即CB CEAB BC DE EC=++，再将数据代入计算可得1 1.21 1.8 1.2AB=++，最后求出AB的长即可。
相似三角形应用举例
27.2.2相似三角形应用举例课前训练1.在同一时刻同一个地点物体的高度与自身的影长的关系是( ) A.成反比例 B.成正比例 C.相等 D.不成比例2.如图27-2-2-1,DE ⊥EB,AB ⊥EB,∠DCE=∠ACB,DE=12 m,EC=15 m,BC=30 m,则AB =____m.图27-2-2-13.已知A,B 两地相距300 km,在地图上量得两地相距15 cm,则图上距离与实际距离之比为___________.4.某一时刻,测得旗杆的影长为8 m,李明测得小芳的影长为1 m,已知小芳的身高为1.5 m,则旗杆的高度是_______________m. 强化训练1.如图27-2-2-2所示,ABCD 是正方形,E 是CD 的中点,P 是BC 边上的一点,下列条件:(1)∠APB=∠E PC;(2)∠APE=90°;(3)P 是BC 的中点;(4)BP ∶BC=2∶3.其中能推出△ABP ∽△ECP 的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个图27-2-2-22(2010浙江临安模拟,11)如图27-2-2-3,在△ABC 中,DE ∥BC,DE 分别与AB,AC 相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE ∶BC 的值为( )图27-2-2-3A.32 B.21 C.43 D.53 3.图27-2-2-4所示是用杠杆撬石头的示意图,C 是支点,当用力压杠杆的A 端时,杠杆绕C 点转动,另一端B 向上翘起,石头就会被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B 端必须向上翘起10 cm,已知杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC 之比为5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A 端下压( )图27-2-2-4A.100 cmB.60 cmC.50 cmD.10 cm4.如图27-2-2-5所示,要测量河两岸相对的两点A,B 的距离,先从B 处出发与AB 成90°角方向,向前走80米到C 处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D 处,在D 处转90°,沿DE 方向走30米,到E 处,使A(目标物),C(标杆)与E 在同一条直线上,那么可测得A,B 间的距离是______________________.图27-2-2-55.如图27-2-2-6,为了测量一棵树CD 的高度,测量者在B 点立一高为2米的标杆,观测者从E 处可以看到杆顶A,树顶C 在同一条直线上.若测得BD=23.6米,FB=3.2米,EF=1.6米,求树高.图27-2-2-66.如图27-2-2-7,一圆柱形油桶,高1.5米,用一根长2米的木棒从桶盖小口A 处斜插桶内另一端的B 处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,求桶内油面的高度.巩固训练1.(2010南京模拟,10)如图27-2-2-8,电灯P 在横杆AB 的正上方,AB 在灯光下的影子为CD,AB ∥CD,AB=2 m,CD=5 m,点P 到CD 的距离是3 m,则P 到AB 的距离是( )图27-2-2-8A.65 mB.76 mC.56 mD.310 m2.如图27-2-2-9,BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,AE∥BD,若BE=1.7米,AB=3米,BC=12米,求CD的长.图27-2-2-93.如图27-2-2-10,射击瞄准时,要求枪的标尺缺口上沿中央A,准星尖B和瞄准点C在一条直线上,这样才能命中目标.已知某种冲锋枪基线AB长38.5 cm,如果射击距离AC=100 m,当准星尖在缺口内偏差BB′为1 mm时,弹着偏差CC′是多少?(BB′∥CC′)图27-2-2-104.如图27-2-2-11,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80 cm,梯上点D距墙70 cm,BD长55 cm,求梯子的长.图27-2-2-115.一条河的两岸有一段是平行的,在河的这岸每隔5米有一棵树,在河的对岸每隔50米有一根电线杆,在这一岸离开岸边25米处看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽.图27-2-2-126.一位同学想利用树影测量树高AB,他在某一时刻测得小树高为1米,树影长0.9米,但当他马上测量树影时,因树靠近建筑物,影子不全落在地上,有一部分落在墙上,如图27-2-2-13,他先测得地面部分的影子长2.7米,又测得墙上的影高CD为1.2米,试问树有多高?7.如图27-2-2-14所示,大江的一侧有甲,乙两个工厂,它们有垂直于江边的小路,长度分别为m 千米及n千米,设两条小路相距l千米.现在要在江边建立一个抽水站,把水送到甲,乙两厂去,欲使供水管路最短,抽水站应建在哪里?图27-2-2-148.图27-2-2-15,一人拿着一个刻有厘米分度的小尺,站在距离电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上的12个分度恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.图27-2-2-159.晨晓想用镜子测量一棵古松树的高,但因树旁有一条小河,不能测量镜子与树之间的距离,于是他两次利用镜子,如图27-2-2-16,第一次他把镜子放在C点,人在F点正好看到树尖A;第二次他把镜子放在C′处,人在F′处正好看到树尖A,已知晨晓眼睛距地面1.70 m,量得CC′为12 m,CF长1.8 m,C′F′为3.84 m,求这棵古松树的高.图27-2-2-1610.(2010山东潍坊模拟,19)如图27-2-217,河边有一条笔直的公路l,公路两侧是平坦的草地,在数学活动课上,老师要求测量对岸B点到公路的距离,请你设计一个测量方案.要求:图27-2-2-17①列出你测量所使用的工具;②画出测量的示意图,写出测量的步骤;③用字母表示的测量的数据,求点B与公路之间的距离.。