初三二次函数最值问题和给定范围最值(供参考)

二次函数中的最值问题重难点复习

一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.

二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成：2

()y a x h k =-+的形式 ()k h x a y +-=2

的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =. a b ac a b x a c bx ax y 44222

2-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. 二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。

自变量x 取任意实数时的最值情况 （1）当0a >时，函数在2b x a

=-处取得最小值244ac b a -，无最大值； （2）当0a <时，函数在2b x a

=-处取得最大值244ac b a -，无最小值． （3）二次函数最大值或最小值的求法．

第一步：确定a 的符号，0a >有最小值，0a <有最大值；

第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

2.自变量x 在某一范围内的最值．

如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：02b x x a

==-

； 第二步：讨论：

[1]若0a >时求最小值（或0a <时求最大值），需分三种情况讨论：(以0a >时求最小值为例)

①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧，在x m =处取最小值2min y am bm c =++；

②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部，在0x x =处取最小值2min 00y ax bx c =++；

③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧，在x n =处取最小值2min y an bn c =++. [2] 若0a >时求最大值（或0a <时求最小值），需分两种情况讨论：(以0a >时求最小值为例) ①对称轴02m n x +≤

，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧，在x n =处取最大值2max y an bn c =++； ②对称轴02

m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧，在x m =处取最大值2max y am bm c =++ 小结：对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当a >0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f 当a <0时⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910 另法：2(0)y ax bx c a =++≠当m x n ≤≤（其中m n <）的最值： 求出函数的对称轴02b x x a

==-，在以后的数学学习中 ①若0m x n ≤≤，则分别求出0,,m x n 处的函数值()f m ，0()f x ，()f n ，则三函数值最大者即最大值，最小者即为最小值；

②若00x m x n <>或时，则求出,m n 处的函数值()f m ，()f n ，则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。 基础巩固:

将下列函数写成顶点式,并写出对称轴和 顶点坐标 :

(1) 2245y x x =-+；

(2) (1)(2)y x x =-+ (3)2235y x x =-+ (4)y 12++=x x (5)242-+-=x x y (6)241y ax ax =+-

例1.求下列函数的最大值或最小值．

（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．（3）2241y x ax =-+ （4）22y ax x =- (5)2846y x x =

-+ 例1（1） 最小值为498- 无最大值；（2）最大值为254

，无最小值. 练习: 求下列函数的最大值或最小值

(1)241y x x =-+

(2)224y x x =--

(3)22y x ax =- (4)224y ax x a

=--+ (5)

2y =的最小值是_________.

例2.、如图，抛物线2

2y x x p =--与直线x y =交于点A （-1，m ）、B （4，

n ），点M 是抛物线上的一个动点，连接OM

（1）求m ，n ，p 。

（2）当M 为抛物线的顶点时，求M 坐标和⊿OMB 的面积；

（3）当点M 在直线AB 的下方且在抛物线对称轴的右侧，M 运动到何处时，

⊿OMB 的面积最大。

练习 ：

1．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，

0）两点，与y 轴交于点C ，且二次函数的最小值为﹣4，

（1）求二次函数的解析式；

（2）若M （m ，n ）（0＜m ＜3）为此抛物线上的一个动点，连接MC 、MB ，

试求当m 为何值时，△MBC 的面积最大？并求出这个最大值

考点： 二次函数综合题．

专题： 代数几何综合题．

分析： （1）根据点A 、B 的坐标求出对称轴解析式，从而得到顶点坐标，然后设顶点式解析式，把点A 的坐标代入

计算即可得解；

（2）根据点B 、C 的坐标求出OB 、OC 的长度，利用勾股定理求出BC ，再求出直线BC 的解析式，根据三角形的面积，当平行于BC 的直线与抛物线只有一个交点时△MBC 的面积最大，再根据平行直线的解析式的k 值相等设出平行线的解析式，然后与抛物线联立消掉y 得到关于x 的一元二次方程，然后利用根的判别式△=0求出直线的解析式，再根据等腰直角三角形的性质求出点M 到BC 的距离，然后求解即可；

（3）根据抛物线的解析式设点P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），根据抛物线的对称性以及点P 在点Q 的左侧，表示出EF=2（1﹣x ），然后根据正方形的四条边都相等列式，再分①x ＜﹣1时点P 的纵坐标是正数，②﹣1＜x ＜1时，点P 的纵坐标是负数两种情况去掉绝对值号，解方程求解即可．

解答： 解：（1）y=x 2﹣2x ﹣3；

（2）不难求出，直线BC 的解析式为y=x ﹣3，

S △MBC =×3×=； 2．已知：如图，抛物线y=ax 2+3ax+c （a ＞0）与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧．点B 的坐标为（1，0），OC=3BO ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；

．

解答： 解：（1）∴抛物线的解析式为：（2分）

（2）∴AC 的解析式为：

（3分）

∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC == 设，当x=﹣2时，DM 有最大值3

此时四边形ABCD 面积有最大值