数字电路的逻辑运算
数字电路的逻辑运算
非运算：1 0
0 1
请特别注意与普 通代数不同之处
2.基本公式
0-1律 ： A A 10 AA
A11 A00
互补律： A A 1 A A 0
分别令A=0及 A=1代入这些 公式，即可证 明它们的正确 性。
重叠律： A A A A A A
还原律（双重否定律）： ( A) A
亦称 非非律
ABCD Y 1 0 00 1 1 0 01 1 1 0 10 1 1 0 11 1 1 1 00 1 1 1 01 1 1 1 10 1 1 1 11 1
四输入变 量，16种 组合
n个变量可以有2n个组合， 一般按二进制的顺序，输出与输 入状态一一对应，列出所有可能 的状态。
逻辑函数式 把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、
A′·(A·B) ′=A′·(A′+B′) =A′·A′+A′·B′ = A′·(1+B′) =A′
§2.4 逻辑代数的基本定理
一、代入定理 任何一个含有变量A的等式，如果将所有出
现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍 然成立。这个规则称为代入定理。
例如，已知等式 (A B )A B ，用函数Y=BC代
A ⊙ 0= A′ A ⊙ 1= A A ⊙ A′= 0 A ⊙ A= 1
5、 与或非运算：逻辑表达式为：
Y (A B C D )
A
& ≥1
B
Y
C
D
与或非门的逻辑符号
§2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式
1.常量之间的关系
与 运 算 ： 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 或 运 算 ： 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
《数字电子技术(第三版)》2. 基本逻辑运算及集成逻辑门
Ｙ＝Ａ+ Ｙ＝Ａ+Ｂ
功能表
开关 A 断开 断开 闭合 闭合 开关 B 断开 闭合 断开 闭合 灯Y 灭 亮 亮 亮
真值表
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
逻辑符号
Y 0 1 1 1
实现或逻辑的电 路称为或门。或 门的逻辑符号：
A B
≥1
Y=A+B
2.1.3、非逻辑（非运算） 2.1.3、非逻辑（非运算） 非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y） 发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不 满足，事件反而发生。表达式为： Ｙ＝Ａ 开关A控制灯泡Y
A E B Y
A断开、B接通，灯不亮。 断开、 接通 灯不亮。 接通， 断开
A E B Y
A接通、B断开，灯不亮。 接通、 断开，灯不亮。 接通 断开
A、B都接通，灯亮。 、 都接通，灯亮。 都接通
两个开关必须同时接通， 两个开关必须同时接通， 灯才亮。逻辑表达式为： 灯才亮。逻辑表达式为：
Ｙ＝ＡＢ
2.4 集成逻辑门
2.4.1 TTL与非门 TTL与非门 2.4.2 OC门和三态门 OC门和三态门 2.4.3 MOS集成逻辑门 MOS集成逻辑门 2.4.4 集成逻辑门的使用问题 退出
逻辑门电路：用以实现基本和常用逻辑运算的电子电 路。简称门电路。 基本和常用门电路有与门、或门、非门（反相器）、 与非门、或非门、与或非门和异或门等。 逻辑0和1： 电子电路中用高、低电平来表示。 获得高、低电平的基本方法：利用半导体开关元件 的导通、截止（即开、关）两种工作状态。 集成逻辑门 双极性晶体管逻辑门 TTL ECL I2L 单极性绝缘栅场效应管逻辑门 PMOS NMOS CMOS
（6）平均传输延迟时间tpd：从输入端接入高电平开始，到输出端 输出低电平为止，所经历的时间叫导通延迟时间（tpHL）； 从输入端接入低电平开始，到输出端输出高电平为止，所经 历的时间叫截止延迟时间（tpLH）。 tpd=(tpHL+ tpLH)/2=3~40ns 平均传输延迟时间是衡量门电路运算速度的重要指标。 （7）空载功耗：输出端不接负载时，门电路消耗的功率。 静态功耗是门电路的输出状态不变时，门电路消耗的功率。其中： 截止功耗POFF是门输出高电平时消耗的功率； 导通功耗PON是门输出低电平时消耗的功率。 PON> POFF （8）功耗延迟积M：平均延迟时间tpd和空载导通功耗PON的乘积。 M= PON× tpd （9）输入短路电流(低电平输入电流)IIS：与非门的一个输入端直 接接地（其它输入端悬空）时，由该输入端流向参考地的电流。 约为1.5mA。
数字电路逻辑运算公式
数电逻辑运算公式是A+0=A、A+1=1、A+A=A。
逻辑运算又称布尔运算。
布尔用数学方法研究逻辑问题，成功地建立了逻辑演算。
他用等式表示判断，把推理看作等式的变换。
这种变换的有效性不依赖人们对符号的解释，只依赖于符号的组合规律。
这一逻辑理论人们常称它为布尔代数。
20世纪30年代，逻辑代数在电路系统上获得应用，随后，由于电子技术与计算机的发展，出现各种复杂的大系统，它们的变换规律也遵守布尔所揭示的规律。
逻辑运算(logicaloperators)通常用来测试真假值。
最常见到的逻辑运算就是循环的处理，用来判断是否该离开循环或继续执行循环内的指令。
组合逻辑电路(半加器全加器及逻辑运算)
组合逻辑电路是数字电路中的一种重要类型，主要用于实现逻辑运算和计算功能。
其中，半加器和全加器是组合逻辑电路的两种基本结构，通过它们可以实现数字加法运算。
本文将详细介绍组合逻辑电路的相关知识，包括半加器、全加器以及逻辑运算的原理和应用。
一、半加器半加器是一种简单的数字电路，用于对两个输入进行加法运算，并输出其和及进位。
其结构由两个输入端(A、B)、两个输出端(S、C)组成，其中S表示和，C表示进位。
半加器的真值表如下：A B S C0 0 0 00 1 1 01 0 1 01 1 0 1从真值表可以看出，半加器只能实现单位加法运算，并不能处理进位的问题。
当需要进行多位数的加法运算时，就需要使用全加器来实现。
二、全加器全加器是用于多位数加法运算的重要逻辑电路，它能够处理两个输入以及上一位的进位，并输出本位的和以及进位。
全加器由三个输入端(A、B、Cin)和两个输出端(S、Cout)组成，其中Cin表示上一位的进位，S表示和，Cout表示进位。
全加器的真值表如下：A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1通过全加器的应用，可以实现多位数的加法运算，并能够处理进位的问题，是数字电路中的重要组成部分。
三、逻辑运算除了实现加法运算外，组合逻辑电路还可用于实现逻辑运算，包括与、或、非、异或等运算。
这些逻辑运算能够帮助数字电路实现复杂的逻辑功能，例如比较、判断、选择等。
逻辑运算的应用十分广泛，不仅在计算机系统中大量使用，而且在通信、控制、测量等领域也有着重要的作用。
四、组合逻辑电路的应用组合逻辑电路在数字电路中有着广泛的应用，其不仅可以实现加法运算和逻辑运算，还可以用于构建各种数字系统，包括计数器、时序逻辑电路、状态机、多媒体处理器等。
组合逻辑电路还在通信、控制、仪器仪表等领域得到了广泛的应用，为现代科技的发展提供了重要支持。
数字电路第2章逻辑代数基础及基本逻辑门电路
（5）AB＋A B = A （6）（A＋B）（A＋B ）＝A 证明： （A＋B）（A＋B ）＝A＋A B＋AB＋0 A（ ＋B＋B） = 1 JHR A =
二、本章教学大纲基本要求 熟练掌握： 1.逻辑函数的基本定律和定理； 门、 2.“与”逻辑及“与”门、“或”逻辑及“或”
“非”逻辑及“非”门和“与”、“或”、“非” 的基本运算。 理解：逻辑、逻辑状态等基本概念。 三、重点与难点 重点：逻辑代数中的基本公式、常用公式、 基本定理和基本定律。
JHR
难点：
JHR
1.具有逻辑“与”关系的电路图
2.与逻辑状态表和真值表
JHR
我们作如下定义： 灯“亮”为逻辑“1”，灯“灭”为逻辑“0” 开关“通”为逻辑“1”，开关“断”为逻辑 “0” 则可得与逻辑的真值表。 JHR
3.与运算的函数表达式 L＝A·B 多变量时 或 读作 或 L＝AB L＝A·B·C·D… L＝ABCD… 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
与非逻辑真值表
Z = A• B
3.逻辑真值表
逻辑规律：有0出1 全1 出0
JHR
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Z 1 1 1 0
二、或非逻辑 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
Z = A+ B
先或后非
3.逻辑真值表
JHR
三、与或非逻辑 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
1.代入规则 在任一逻辑等式中，若将等式两边出现的同 一变量同时用另一函数式取代，则等式仍然成立。
JHR
代入规则扩大了逻辑代数公式的应用范围。例如摩 根定理 A＋B = A ⋅ B 若将此等式两边的B用B＋C 取代，则有
与门电路逻辑运算规则
与门电路逻辑运算规则用数字信号完成对数字量进行算术运算和逻辑运算的电路称为数字电路，或数字系统。
由于它具有逻辑运算和逻辑处理功能，所以又称数字逻辑电路。
而数字电子技术中，我们使用低、高电平表示0、1两种逻辑状态(也就是分别代表逻辑上的“真”与“假”或二进制当中的“1”和“0”)从而实现逻辑运算。
有了不同的逻辑运算我们可以把他结合起来，最后成为一个逻辑门电路常见的逻辑门包括“与”门，“或”门，“非”门，“异或”等等。
逻辑门可以组合使用实现更为复杂的逻辑运算。
逻辑门是计算机的基础元件，通过它可以完成逻辑运算（也称布尔运算），这类运算输入输出都只有0和1逻辑运算主要包括三种基本运算：逻辑加法（又称“或”运算）、逻辑乘法（又称“与”运算）和逻辑否定（又称“非”运算）。
此外，“异或”运算也很有用。
我们以上方的与门来举例：左侧A B是与门的输入端右侧Y是与门的输出端按照“与”运算&规则：当A和B都为真时输出端才会输出真逻辑的基本表现形式是命题与推理，推理即依据有简单命题的判断推导得出复杂命题的判断结论的过程。
命题有语句表述，即内容为真或假的一个判断语句！思维的符号化及其计算–基本逻辑运算一个命题由X,Y,Z等表示，其值可能为“真”或为“假”。
则两个命题X,Y 之间是可以进行计算的：“与”运算（AND&）：当X和Y都为真时，X&Y也为真；其他情况，X&Y 均为假。
“或”运算（OR|）:当X和Y都为假时，X|Y也为假;其他情况，X|Y均为真。
“非”运算（NOT~）:当X为真时，NOT X为假；当X为假时，~X为真。
“异或”运算（XOR^）:当X和Y都为真或都为假时，X^Y为假；否则，X^Y 为真。
与（&）运算与运算进行的是这样的算法：就是输入端（A或B）只要有一个是0，输出端（Y）就输出0只有当输入端A和B都为真时，其结果才为真相当与串联电路符号：L=A·B或L=AB也就相当于一个串联电路的两个开关。
数字电路知识点汇总
数字电路知识点汇总第1章数字逻辑概论一、进位计数制1.十进制与二进制数的转换2.二进制数与十进制数的转换3.二进制数与16进制数的转换二、基本逻辑门电路第2章逻辑代数表示逻辑函数的方法，归纳起来有：真值表，函数表达式，卡诺图，逻辑图及波形图等几种。
一、逻辑代数的基本公式和常用公式1）常量与变量的关系Ａ+0＝Ａ与Ａ=⋅1ＡＡ+1＝1与0⋅A0=A⋅＝0AA+＝1与A2）与普通代数相运算规律a.交换律：Ａ+Ｂ＝Ｂ+ＡA⋅⋅=ABBb.结合律：（Ａ+Ｂ）+Ｃ＝Ａ+（Ｂ+Ｃ）⋅A⋅B⋅⋅=(C)C()ABc.分配律：)⋅＝+A⋅B(CA⋅⋅BA C+A+=+）B⋅)(C)()CABA3）逻辑函数的特殊规律a.同一律：Ａ+Ａ+Ａb.摩根定律：BBA+=A⋅A+，BBA⋅=b.关于否定的性质Ａ＝A二、逻辑函数的基本规则代入规则在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边同时出现某一变量Ａ的地方，都用一个函数Ｌ表示，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则例如：C⋅+A⊕⊕⋅BACB可令Ｌ＝CB⊕则上式变成L⋅＝C+AA⋅L⊕⊕=LA⊕BA三、逻辑函数的：——公式化简法公式化简法就是利用逻辑函数的基本公式和常用公式化简逻辑函数，通常，我们将逻辑函数化简为最简的与—或表达式1）合并项法：利用Ａ+1A=⋅B⋅,将二项合并为一项，合并时可消去=+A=A或ABA一个变量例如：Ｌ＝B+BA=(C+)=ACACBBCA2）吸收法利用公式AA⋅可以是⋅+，消去多余的积项，根据代入规则BABA=任何一个复杂的逻辑式例如化简函数Ｌ＝EAB++DAB解：先用摩根定理展开：AB＝BA+再用吸收法Ｌ＝E+AB+ADB＝E B D A B A +++ ＝)()(E B B D A A +++ ＝)1()1(E B B D A A +++ ＝B A +3）消去法利用B A B A A +=+ 消去多余的因子 例如，化简函数Ｌ＝ABC E B A B A B A +++ 解： Ｌ＝ABC E B A B A B A +++ ＝)()(ABC B A E B A B A +++＝)()(BC B A E B B A +++＝))(())((C B B B A B B C B A +++++ =)()(C B A C B A +++ =AC B A C A B A +++ =C B A B A ++4)配项法利用公式C A B A BC C A B A ⋅+⋅=+⋅+⋅将某一项乘以（A A +），即乘以1，然后将其折成几项，再与其它项合并。
数字电子技术基础7 与、或、非(基本逻辑运算)1.3.1.1 与、或、非
7. 与、或、非（基本逻辑运算）
主讲人：杨聪锟
1. 问题的引入
数制与码制 常用的逻辑运算
逻辑门电路 布尔代数（逻辑代数基础）
1. 问题的引入
常用的 逻辑运算
与
或
基本逻辑运算
非
常用复合逻辑 同或
异或
与非 或非 与或非
2. 逻辑“与”
当一个逻辑命题的所有条件（输入）同时成立时，
结论（输出）才成立。
AB F
F A B AB
00 0 01 0 10 0 11 1
A &F B 矩形轮廓符号
A
B
F
特定外形符号
A FB 曾用符号源自2. 逻辑“或”一个逻辑命题的所有条件（输入）中，只要有一个
成立，结论（输出）就成立。 A B F
F A B
00 0 01 1 10 1 11 1
A ≥1 F B 矩形轮廓符号
A B
F
特定外形符号
A F
B 曾用符号
2. 逻辑“非”
逻辑命题的条件不成立时，结论必成立； 条件成立时，结论必不成立，
简言之，结论是条件的否定。
F A F A
AF
01 10
A1
FA
FA
F
矩形轮廓符号 特定外形符号
曾用符号
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ABCD Y 1 0 00 1 1 0 01 1 1 0 10 1 1 0 11 1 1 1 00 1 1 1 01 1 1 1 10 1 1 1 11 1
四输入变 量，16种 组合
n个变量可以有2n个组合， 一般按二进制的顺序，输出与输 入状态一一对应，列出所有可能 的状态。
逻辑函数式 把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、
非运算：1 0
0 1
请特别注意与普 通代数不同之处
2.基本公式
0-1
律：
A A
0 A 1 A
A 1 1 A 0 0
互补律： A A 1 A A 0
分别令A=0及 A=1代入这些 公式，即可证 明它们的正确 性。
重叠律： A A A A A A
还原律（双重否定律）： ( A) A
利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公 式数目减少一半。
Y A(B C) YD A BC
Y ( AB CD)
Y D (( A B) (C D))
（2）式 1 A A
（12）式 0 A A A(B C) AB AC
A BC (A B)(A C)
§2.5 逻辑函数及其表示方法
亦称 非非律
3.基本定理
交换律：
A
A
B B BB
A
A
利用真值表很容易证 明这些公式的正确性。 如证明A·B=B·A：
结合律：
( (
A A
B) B)
C
C
A
(B A
C) (B
C)
A B AB BA 00 0 0 01 0 0
分配律：
A
A
(B B
C) C
A (A
B B)
B B BB
EEEE
电路图
YYYY
AAA接、、通BB都、都断B接断开通开，，，灯灯灯不亮不亮。亮。 。
A断开、B接通，灯不亮。
将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯 灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：
功能表
开关 A 开关 B 灯 Y
A
断开 断开
灭
0
断开 闭合
灭
0
1
闭合 断开
灭
1
闭合 闭合 亮
A (A
C C)
1 1
0 1
0 1
0 1
反演律（摩根定律）：
( (
A B) A A B) A
B B
求证: （17式） A+BC=(A+B)(A+C)
证明: 右边 =(A+B)(A+C)
课
=AA+AB+AC
本
+=BAC
上 用
+=AA((B1++BC+)+CB)+CB
真 值
C=A • 1+BC
表 证
=A+B =左边
明
C
二、常用公式
1. A+AB = A 2. A+A′B= A+B A(A′+B)= AB
A′+AB= A′+B A′(A+B)= A′B
注: 红色变量被吸收 掉！统称 吸收律
证明:
A+A′B =(A+A′) •(A+B) ;分配律
=1•(A+B) =A+B
A+BC=(A+B)(A+C)
真值表
A
&
Y
B
与非门的逻辑符号
L=A+B
2、或非运算：
逻辑表达式为：Y (A B)
A
BY
0
01
0
10
1
00
1
10
真值表
A
≥1
Y
B
或非门的逻辑符号
L= A+ B
3、异或运算：逻辑表达式为：
Y AB AB A B
A BY
0
00
0
11
1
01
1
10
真值表
A
=1
Y
B
异或门的逻辑符号
异或逻辑的运算规则：
替等式中的B，根据代入定理，等式仍然成立，即有：
(A (B C)) A (B C) A B C
二、 反演定理 对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中
的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0” 换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量， 反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函 数Y的反函数Y′（或称补函数）。这个规则称为反 演定理。
三、逻辑函数的两种标准形式
最小项:
在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘 积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在 m 中出现，且仅出现一次，则这个乘积项m称为该 函数的一个标准积项，通常称为最小项。
3个变量A、B、C可组成 8(23)个最小项：
4个mm04变AAB量BAACBC可B、C、C组、A、成ABmmB1C51C6、(、2AA4A)BA个BBCCBC最、C、、小m、mA6项2AB,C记BAACB作BC、Cm、0、～mm7m315。AABCBC
Y A(B C) CD Y (A BC)(C D) Y ((AB C) D) C
Y (((A B)C)D)C
应用反演定理应注意两点：
1、保持原来的运算优先顺序，即如果在原函数表 达式中，AB之间先运算，再和其它变量进行 运算， 那么非函数的表达式中，仍然是AB之 间先运算。
BY
00 真 10 值
00 表
11
两个开关均接通时，灯才会 Ｙ＝Ａ•Ｂ
亮。逻辑表达式为：
实现与逻辑的电路称为与门。
与门的逻辑符号：
A
&
Y Ｙ＝Ａ•Ｂ
B
二、或逻辑（或运算）
或逻辑：当决定事件（Y）发生的各种条件A，B，
C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）
就发生。表达式为：Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…
2、不属于单个变量上的反号应保留不变。
三、 对偶定理
对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0” 换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则 可得到的一个新的函数表达式 YD, YD称为Y的对偶 式。
对偶定理：如果两个逻辑式相等，则它们的对偶 式也相等。
01 0 1
Y A BC ABC
01 1 0 10 0 1
10 1 1
11 0 1
11 1 1
3、逻辑式→逻辑图
方法:用图形符号代替逻辑式中的运算符号,就 可以画出逻辑图.
例2.5.3 Y (A BC) ABC C
4、逻辑图→逻辑式
方法:从输入端到输出端逐级写出每个图形符 号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式.
A ⊙ 0= A′ A ⊙ 1= A A ⊙ A′= 0 A ⊙ A= 1
5、 与或非运算：逻辑表达式为：
Y (A B C D)
A
& ≥1
B
Y
C
D
与或非门的逻辑符号
§2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式
1.常量之间的关系
与运算：0 0 0 0 1 0 1 0 0 11 1 或运算：0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
例：一举重裁判电路
设A、B、C为1表示开关闭合，0表示开关断开；
Y为1表示灯亮，为0表示灯暗。得到函数表示形式：
真值表
函数式
Y ABC ABC ABC A(B C)
逻辑图
波形图
Y A(B C)
A
t B
C
t
t Y
t
真值表：将输入、输出的所有可能状态一
一对应地列出。
ABCY
AY 01 10
Y ABC ABC ABC
ABC Y 00 0 0 00 1 0 01 0 0 01 1 1 10 0 0 10 1 1 11 0 1 11 1 0
2、逻辑式→真值表
方法:将输入变量取值的所有 A B C Y
组合状态逐一带入逻辑式求函
数值,列成表即得真值表。
00 0 0
00 1 1
例2.5.2
条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反
而发生。表达式为：Y＝A′
真功能值表表
R
A开关 A Y灯 Y
E
A Y 0 断开 1亮
电路图
1 闭合 0灭
实现非逻辑的电路称为非门。
非门的逻辑符号：
A1
Y
Y＝A′
常用的逻辑运算
1、与非运算：
逻辑表达式为： Y (A B)
A
BY
0
01
0
11
1
01
1
10
非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称 为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。
比如： F ABC ABC ABC ABC ABC
逻辑图： 把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线
表示出来。
Y A(B C)
各种表示方法之间的相互转换
例2.5.1
1、真值表→逻辑函数式 方法:将真值表中为1的项相加, 写成 “与或式”。
3. AB+AB ′= A (A+B ) (A+B′ )= A
4. A(A+B )= A 注: 红色变量被吸收
掉！也称 吸收律
证明: A(A+B )=A·A+A·B =A+A·B =A(1+B) =A
5. AB+A′C+BC = AB+A′C AB+A′C+BCD = AB+A′C