概率基本概念和公理

意义：从条件概率来推导两个事件同时发生的概率。
举例：假设卫星观察到，一个地区某一天有云的概率为 P(Cloud)=0.2。该地区的地面观测站发现，有云的条件下， 当天下雨的为0.5。这是一个条件概率，即 P(Rain|Cloud)=0.5。那么既下雨又有云的概率为
P(Cloud∩Rain)=P(Cloud)×P(Rain|Cloud) =0.2×0.5=0.1
• 练习2： 已知专家预报下雨时，下雨的概率为0.8; 专家预报不下雨时，下雨的概率为0.2。根据以 往的经验，专家一年中有30天预报下雨，剩下 的天里预报不下雨。问，如果下雨，专家预报 的是不下雨的概率为多少?
练习3 某人从甲地至乙地开会. 他乘火车去的概率是 3/10, 乘船﹑汽车或飞机去的概率分别为 1/5﹑1/10﹑2/5. 如果他乘火车去, 迟到的概率 是1/4；如果乘船或汽车,• 那幺迟到的概率分别 为1/3,1/12； 如果乘飞机便不会迟到. 结果他迟 到了, 试问: 在此条件下, 他最有可能选择了那 种交通工具？
S
B
A
C
条件概率 conditional distribution
患者康复有一个概率。在接受治疗和放弃治疗的两种条件下， 患者康复的概率也不同。下面是患者的统计结果
治疗(T) 康复(R) 总数 300 500 未康复(NR) 200
弃疗(NT) 100 400 500
总数 400 600 1000
P(C)=P(C|H)P(H)+P(C|M)P(M)+P(C|L)P(L)
=0.8×0.2+0.5×0.65+0.2×0.15 =0.515
独立事件(independent event)
定义 两个事件A和B，P(A)>0，P(B)>0。如果P(A|B)=P(A)， 或者P(B|A)=P(B)，那么事件A和B是独立事件。 根据独立事件和条件概率的定义可以推知，如果 P(A∩B)=P(A)P(B) 那么A和B独立。
概率的定义
柯尓莫哥洛夫公理：考虑一全集S具有子集A，B，…
A S, P(A) 0 P(S) 1 A B 0 P(A B) P(A) P(B)
从该公理可以导出下列概率公式
P(A)称为事 例A的概率
P (A) 1 P (A) P (A A) 1 A B P (A) P (B) P (A B) P (A) P (B) P (A B)
定义：若A1, A2,…,An 构成完备事件组, 且P(Ai)>0,(i =1,2,…,n), 则对任一事件B(P(B)>0)有:
贝叶斯法则 Bayes’ Rule
证明：因为A1,A2,…,An 构成完备事件组, 由概率乘法公式可得: 且 而由全概率公式可知: 所以
举例：求 P(A5|B)
练习1： 若发报机以0.6 和0.4 的概率发出信号“.” 和“-”. 由于通信系统受到干扰, 当发出信号“.” 时, 收报机以概率为0.8 和0.2 收到信号“.”和 “-”； 同样, 当发报机发出信号“-”时, 收报机 以概率为0.1 和0.9 收到信号“.”和“-“.”和 “-”概率各为多少?
注意 独立事件是指A发生的概率不影响B。 互斥事件是指如果A发生，那么B必然不发生，A的发生影 响到了B，所以不是独立事件。
推论 • 事件[A1, A2, ..., An]被称为相互独立(mutually independent)， 如果对于任意子集[Ai1,...,Aim]都有 P(Ai1∩...∩Aim)=P(Ai1)...P(Aim)
事件之间的相互关系
A与B之并事例
AB
指事例A与B中至少有一个出现的事例 如果A与B互斥，则 A B A B A与B之积(交)事例 A B 指事例A与B中同时出现的事例 A之逆事例
AB
AB
A
A
指事例A不出现的事例
A
空集Φ是一个不包含任何元素的集合。如果两个集合的交集为空 集，即A∩B=Φ，那么这两个集合不相交。在概率论中，不相交 的两个事件互斥。
概率基本概念和公理
实验和样本空间
任何一个过程，如果它的结果是随机的(无法事前知道)， 那么该过程就称为一个实验。实验所有可能的结果组成一个 集合(set)，叫做样本空间(sample space)，用Ω表示。我们看 下面实验的样本空间: 实验1. 连续掷一个硬币两次: Ω={HH,HT,TH,TT} H表示正面，T表示反面。上面括号里包含了所有可能的结果： 正正，正反，反正，反反。
P(R)=400/1000=0.4 300/500=0.6 100/500=0.2
总体的康复概率为 ： 在接受治疗的条件下，康复的概率变成 而放弃治疗的条件下，康复的概率为
不要放弃治疗啊！
条件概率 conditional distribution
条件概率的相关推论
• 推论1 A和B为两个事件，且P(B)>0。那么 P(A∩B)=P(A|B)P(B)
• 推论2 如果事件A1, A2, … , An 构成一个完备事件组, 且 P(Ai)>0,(i=1,2,…,n). 则对任一事件B, 有
举例假设家庭收入分为高(H)，中(M)，低(L)三类，高收 入家庭占20%，中等收入家庭占65%，低收入家庭占15%。 如果高收入家庭的拥有汽车的概率为0.8，中等收入家庭 的拥有汽车的概率为0.5，低收入家庭的拥有汽车的概率 为0.2。那么任意一个家庭的拥车概率为:
实验2. 打印机的队列最多允许10个工作。某时刻的工作数目:
Ω={0,1,3,...,9,10}
实验3. 开车经过两个路口，遇到的红绿灯情况:
Ω={r r,r g,r y,g g,g r,g y,y y,y r,y g}
r表示红灯，g表示绿灯，y表示黄灯。
事件 event
样本空间包含了概率论研究的基本元素，也就是 实验的结果。在概率论里，基本元素称为样本空间的 子集。样本空间的一个子集，被称为一个事件(event)。 比如说，在实验1中，第一次投掷为正面的所有结果 构成子集，即一个事件。该事件包含有两个元素: A={(H,H),(H,T)} 再比如，第二次投掷为正面也构成一个事件，即 B={(H,H),(T,H)} 既然事件是样本空间的一个子集，那么事件可以有补 集。事件A的补集包含所有不属于A的样本空间元素。 A ={TH,TT} 该补集代表的事件为: 第一次投掷是反面。
练习4， 某厂有甲﹑乙﹑丙三个车间生产同一种产品， 其产量分别占总产量的25%﹑35%﹑40%. 各自 的废品率为5%﹑4%﹑2%, 今从总产品中任取 一件, 求所取出的产品为废品的概率.