第五章递归关系及解法
第五讲递推与递归PPT课件
开始，每1项等于前面3项的和。
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)-----递推公式 f(1)=1 , f(2)=2 , f(3)=4 --------递推边界
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① #include <stdio.h> //上楼问题
② void main( )
③ { int x,n,i,a,b,c;
3)第二只猴子醒来，又把桃子均分成五堆后，还是多了一 个，它也吃掉这个桃子，并拿走了其中一堆。
第三只，第四只，第五只猴子都依次如此分食桃子。 问：五只猴子采得一堆桃子数最少应该有几个呢？
11
例2：猴子分食桃子---逆推法
算法分析：
先要找第N只猴子和其面前桃子数的关系。如 果从第1只开始往第5只找，不好找，但如果思路 一变，从第N到第1去，可得出下面的推导式：
19
例11.2 骨牌问题---顺推法
➢长度为n时的骨牌铺放方案？ ➢从最简单的情况开始寻找问题解决的规律？--- 顺推 ➢以 f(i) 表示n=i时的铺放方案数目。 ➢当n=1时，只有1种铺法，即f(1)=1，如下左图所示： ➢当n=2时，只有2种铺法，即f(2)=2，如下右图所示。
20
例11.2 骨牌问题---顺推法
n=1
f(n)=1
n=2
f(n)=2
n=3
f(n)=3
n=4
f(n)=3 + 1 =f[3]+ f[1]=4
n=5
f(n)=f(4)+f(2)
n=6
f(n)=f(5)+f(3)
n=7
f(n)=f(6)+f(4)
规律： f(n)=f(n-1)+f(n-3) (n>=4) 17
数据结构课件第5章递归
return fact; }
递归调用执行情况如下：
int fact (int w) {1if ( w==0) 2 fact= 1; 3else 4fact=w* fact( w-1); }
递归思路
实际上, 递归思路是把一个不能或不好直接求解 的“大问题”转化成一个或几个“小问题”来解决, 再把这些“小问题”进一步分解成更小的“小问题” 来解决,如此分解,直至每个“小问题”都可以直接解 决(此时分解到递归出口)。
但递归分解不是随意的分解,递归分解要保证“大 问题”与“小问题”相似,即求解过程与环境都相似。 并且有一个分解的终点。从而使问题可解。
假 设 f(A,i-1) 已 求 出 , 则 f(A,i)=MIN(f(A,i1),A[i]),其中MIN()为求两个值较小值函数。因 此得到如下递归模型：
A[0] 当i=0时 f(A,i)=
MIN(f(A,i-1),A[i]) 其他情况
由此得到如下递归求解算法：
float f(float A[],int i) { float m;
n!
n
1, (n 1)!,
当n 0时 当n 1时
该问题的算法为： int Fact ( int n )
{ int m; if (n= =0) return(1); else { m=n*Fact(n-1); return(m); } }
例如: 试编一个递归函数，求第n项Fibonacci级数的
} } // delete
5.3 递归算法到非递归算法的转换
递归算法有两个基本特性：一是递 归算法是一种分而治之的、把复杂问 题分解为简单问题的求解问题方法,对 求解某些复杂问题,递归算法分析问题 的方法是十分有效的；二是递归算法 的时间/空间效率通常比较差。
如何利用数学归纳法解决递归关系证明
如何利用数学归纳法解决递归关系证明数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明递归关系的正确性。
它基于两个基本假设：基础步骤和归纳假设。
通过对递归关系进行归纳假设的验证，可以推导出递归关系在所有适用的情况下的正确性。
本文将详细介绍如何利用数学归纳法解决递归关系的证明。
一、基础步骤的证明在使用数学归纳法进行递归关系的证明时，第一步是验证基础步骤。
基础步骤是指递归关系中最小的情况，通常是递归关系中最小的n值。
以递归关系式F(n)为例，我们需要验证当n等于最小值时，即n=1时，递归关系是否成立。
假设递归关系为F(n)=P(n)（P(n)为递归关系的具体表达式），则我们需要证明F(1)=P(1)成立。
证明基础步骤时，我们需要利用已知的数学定理、公式或事实进行推导，使得F(1)等于P(1)成立。
在证明过程中，应该清晰地展示每一步的推导过程，并确保推导的正确性。
此外，证明过程应该简洁明了，以便读者能够理解。
二、归纳假设的验证在完成基础步骤的证明后，接下来需要验证归纳假设。
归纳假设指的是假设递归关系在n=k（k为某个正整数）时成立，即假设F(k)=P(k)成立。
在验证归纳假设时，我们需要在假设的前提下，证明递归关系在n=k+1时也成立，即证明F(k+1)=P(k+1)成立。
这需要利用归纳假设将递归关系从k时推导到k+1时。
在证明过程中，应该清晰地展示每一步的推导过程，并确保推导的正确性。
此外，为了使证明更加简明易懂，可以使用适当的数学符号和推理判断符号。
三、结论的得出在完成基础步骤和归纳假设的证明后，我们可以得出结论：递归关系在所有适用的情况下成立。
结论应该简明扼要地总结证明的结果，并确保读者能够清晰地理解。
如果可能的话，可以对该结论进行相关性质的分析、推论或应用等。
四、实例分析为了更好地理解数学归纳法的应用，我们可以通过一个实例来进行分析。
假设我们有一个递归关系式F(n)=F(n-1)+3，其中F(1)=2。
第一步，我们验证基础步骤。
递归算法详解完整版
递归算法详解标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]递归冯文科一、递归的基本概念。
一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。
在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。
二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。
在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简a与前面临近几项之间的关单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及n系。
要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。
比如阶乘数列1、2、6、24、120、720……如果用上面的方式来描述它，应该是：a的值，那么可以很容易地写成这样：如果需要写一个函数来求n这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。
递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。
以上面求阶乘数列的函数)f为例。
如在求)3(f时，由于3不是特殊值，因此需(n要计算)2(3f，但)2(f是对它自己的调用，于是再计算)2(f，2也不是特殊值，需要计*算)1(f，返回)1(= 2f，需要知道)1(f的值，再计算)1(f，1是特殊值，于是直接得出1*上一步，得23*)2()3(==f，从而得最终=f)1(32**)2(==f2f，再返回上一步，得6解。
用图解来说明，就是下面再看一个稍复杂点的例子。
【例1】数列}{n a 的前几项为1、111+、11111++、1111111+++、……输入n ，编程求n a 的精确分数解。
数列的递归关系
数列的递归关系递归关系在数学和计算机科学中都占有重要的地位。
它是一种通过将问题分解为规模更小的子问题来解决整体问题的方法。
递归关系计算的过程可以看作是函数自身调用自身的过程。
在数学中，递归关系经常应用于数列的计算中。
数列是按照一定规律排列的一组数。
递归关系则是通过前一项或前几项来计算后一项，常用于定义数列的生成规律。
比如斐波那契数列就是一个经典的数列，它的递归关系定义如下：F(0) = 0,F(1) = 1,F(n) = F(n-1) + F(n-2), 其中n≥2。
这个递归关系表明斐波那契数列的第n项等于前两项的和。
根据定义，可以计算出斐波那契数列的前几项：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...递归关系在计算机科学中也非常常见。
在编程中，递归函数是一种自身调用的函数。
通过递归函数，可以将复杂的问题分解成更小的子问题，以此类推，直到问题简化到基本情况，然后通过合并子问题的结果来解决整个问题。
以计算阶乘为例，阶乘（n!）表示从1到n的连续整数的积。
阶乘的递归定义如下：0! = 1,n! = n × (n-1)!, 其中n≥1。
根据这个定义，可以使用递归函数来计算阶乘：```def factorial(n):if n == 0:return 1else:return n * factorial(n-1)```这个递归函数将问题从n乘以(n-1)!递归地分解为(n-1)乘以(n-2)!，直到n为0时，返回1作为基本情况的结果。
递归关系不仅应用于数学和计算机领域，也可以在生活中找到类似的应用。
例如，一个大型公司可以由多个部门组成，而每个部门又由多个小组组成。
这个层层递进的结构可以通过递归关系来描述。
总而言之，递归关系在数学、计算机科学和生活中都发挥着重要的作用。
它通过将问题逐步分解为规模更小的子问题，帮助我们理解和解决复杂的情况。
递归关系是一种强大的工具，我们应当积极学习和运用它。
(完整版)递归关系法求数列通项
(完整版)递归关系法求数列通项引言数列是数学中常见的概念，它是由一列按照一定顺序排列的数字组成的序列。
而求数列通项则是指通过已知的数列项之间的递归关系，来计算出数列中的任意项的方法。
本文将介绍递归关系法求数列通项的基本原理及应用。
基本原理递归关系法求数列通项的基本思想是通过已知数列中某一项与前几项的关系，找到递推公式，从而可以根据已知数列项的值计算出数列中任意项的值。
在具体操作时，可以通过观察数列的特点，寻找规律，并通过数学归纳法进行证明。
求数列通项的步骤1. 观察数列的前几项，寻找规律；2. 建立递归关系，即找到数列项与前几项之间的关系；3. 利用递归关系，得到递推公式；4. 利用递推公式，计算数列中任意项的值。
举例说明假设我们已知数列的前两项为1和2，且每一项与前一项的差等于与前两项的和的平方。
现在我们需要求这个数列的通项。
首先，我们观察数列的前几项，已知数列的第一项为1，第二项为2。
其次，建立递归关系。
根据题目中的要求，我们可以得到递归关系式为: a(n) = (a(n-1) + a(n-2))^2，其中a(n)表示数列的第n项。
然后，利用递归关系，得到递推公式。
根据递归关系式，我们可以得到a(3) = (a(2) + a(1))^2，a(4) = (a(3) + a(2))^2，依次类推。
最后，利用递推公式，计算数列中任意项的值。
通过计算，我们可以得到数列的通项公式为 a(n) = (a(n-1) + a(n-2))^2。
总结递归关系法是一种常用的求数列通项的方法，通过已知数列项之间的关系，可以找到递推公式，并计算出数列中任意项的值。
在实际问题中，掌握递归关系法可以帮助我们解决更多数学计算中的问题。
以上为递归关系法求数列通项的完整版文档，通过观察数列特点找到递推关系，并应用递推公式计算任意项的值。
希望对您有所帮助！。
《数据结构与算法》PPT课堂课件-第5章-递归
(2) if(n==1)
(3) move(x,z);
(4) else{
(5)
hanoi(n-1,x,z,y);
(6)
move(x,z);
(7)
hanoi(n-1,y,x,z);
(8) }
(9) }
A
B
C
2BAC 8 3ABC 0
1BCA6 2BAC 8 3ABC 0
A
B
C
2BAC 8 3 A B C 0 15
O(n)。对比循环结构的Fib2(n)和递归结构的Fib(n)可发现，循环结构
的Fib2(n)算法在计算第n项的斐波那契数列时保存了当前已经计算得到
的第n-1项和第n-2项的斐波那契数列，因此其时间复杂度为O(n)；而递
归结构的Fib(n)算法在计算第n项的斐波那契数列时，必须首先计算第n -1项和第n-2项的斐波那契数列，而某次递归计算得出的斐波那契数列， 如Fib(n-1)、Fib(n-2)等无法保存，下一次要用到时还需要重新递归计
{ printf(“参数错！”);
return -1;
}
if(n == 0) return 1;
else {y = Fact(n - 1); /*递归调用*/
return n * y; }
}
5
为说明该递归算法的执行过程，设计主函数如下
void main(void) {
long int fn;
fn = Fact(3); }
(1) {
(2) if(n= =1)
(3) move(x,z);
(4) else{
(5)
hanoi(n-1,x,z,y);
(6)
move(x,z);
数学中的递归关系与递归公式
数学中的递归关系与递归公式数学中的递归关系与递归公式是一种重要的数学工具，被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、经济学、物理学等。
本文将就递归关系和递归公式的概念、特点以及应用领域进行探讨。
一、递归关系的概念与特点递归关系是指在定义中依赖自身的关系。
换句话说，当前的值取决于前面的值。
在数学中，递归关系常常用于描述数列、集合以及函数之间的关系。
一个典型的递归关系可以用如下的数列来说明：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
在这个数列中，每一个数都是前两个数的和。
递归关系的特点在于它能够将较大的问题转化为较小的子问题，并通过不断地迭代求解子问题来得到最终的结果。
递归关系有以下几个重要的特点：1. 递归关系需要一个或多个初始条件，也称为基本情况。
在上述例子中，F(1)=1和F(2)=1即为初始条件，没有初始条件的递归关系将无法求解。
2. 递归关系必须能够在每一步中将问题规模缩小。
这保证了问题在经过有限次迭代后能够达到基本情况。
3. 递归关系可能存在多个解，每一个解都是基于不同的初始条件得到的。
4. 递归关系的求解通常通过递归公式来实现。
二、递归公式的概念与求解方法递归公式是一种用于求解递归关系的数学表达式。
它用于将问题的较大实例转化为较小实例的解。
通常情况下，递归公式由递归关系的定义式推导得到。
以斐波那契数列为例，递归关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)中的递归公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
通过递归公式，我们可以直接计算出数列中任意位置的值，而无需通过逐步迭代求解。
除了直接求解递归关系外，递归公式还可以用于证明数学定理和推导数学结论。
通过递归公式，我们可以建立数学模型，进而解决实际问题。
三、递归关系与递归公式的应用1. 计算机科学中的递归关系与递归公式在计算机科学中，递归关系和递归公式被广泛应用于算法分析和设计中。
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特征方程的根与递归关系的解之间的关系：
1.特征根无重根 定理5.2.1 若q ≠0, an=qn为递归关系(5.2.1)的解当 且仅当q为特征方程(5.2.2)的根。 定义5.2.3 称式 a0 h0 , a1 h1 , ,
ak 1 hk 1 ,
(5.2.1)
为递归关系(5.2.1)的初值条件。
an b1an1 b2an2 bk ank 0, (n k ) (5.3.2)
为由式(5.3.1)导出的常系数线性齐次递归关系。
* 定理5.3.1 若 a n 为(5.3.1)的一个特解,而 an ci qin
k
( a cij n q )是由(5.3.1)导出的线性齐次递
1.f(n)是n的t次多项式 ⑴1不是齐次递归关系(5.3.2)的特征根 这时,(5.3.1)的特解形式为 an A0nt A1nt 1 At 1n At , 其中 A0 , A1,, At 1, At 为待定常数。
an 2an1 an2 2an3 , 例2 求解递归关系 a0 1, a1 2, a2 0. (n 3)
注：若特征根有复根，复根成对出现，故设 x1 i , x2 i , 则通解可表示为 a n A1 ( x1 ) n A2 ( x2 ) n
n n an c1q1n c2q2 ck qk ,
(5.2.4)
则称该式为递归关系式(5.2.1)的通解。
定理5.2.3 若q1,q2,…,qk为递归关系式(5.2.1)的k个互 不相同的特征根，则式(5.2.4)为(5.2.1)的通解。
例1 求Fibonacci序列的通项。
(n 4)
§5.3 常系数线性非齐次递归关系的解法
定义5.3.1 序列{a0,a1,a2,…,an,…}中相邻的k+1项之 间的关系为
an b1an1 b2an2 bk ank f (n), (n k ) (5.3.1)
则称之为序列的k阶常系数线性非齐次递归关系,其 中系数bi为常数,i=1,2,…,k,bk≠0,f(n) ≠0,n≥k 。 定义5.3.2 在式(5.3.1)中,若f(n)=0, 则称
(n 2)
2.特征根有重根
定理5.2.4 若递归关系(5.2.1)的特征方程(5.2.2)有一 个m重根q，则qn,nqn,…,nm-1qn均为(5.2.1)的解。
定理5.2.5 设q1,q2,…,qt分别为特征方程(5.2.2)的相 异的m1,m2,…,mt重根,且
m
i 1
t
i
* n
t
mi
归关系(5.3.2)的通解,则
* an an an
i 1 j 1
j 1 n i
i 1
为(5.3.1)的通解。
注：由定理5.3.1知, 要求(5.3.1)的通解,只要求它 的一个特解及导出的齐次递归关系的通解即可。 对非齐线性递归关系的特解, 针对f(n)的特殊形式 有以下情形:
k,
mi
则递归关系(5.2.1)的通解为
an cij n q .
i 1 j 1 j 1 n i
t
an 2an 1 an 2 , 例4 求解递归关系 a 2, a 3. 2 1
(n 3)
例5 求解递归关系
an an1 3an2 5an3 2an4 , a0 1, a1 0, a2 1, a3 2.
c1 n cos n c2 n sin n ,
其中
, arctan ,
2 2
c1 A1 A2 ,1 an 2 , 例3 求解递归关系 a1 1, a2 0.
第五章 递推关系及其解法
§5.1 递归关系的建立
----在计算机科学特别是算法分析中有广泛的应用 定义5.1.1 设{a0,a1,a2,…,an,…}为一序列,把该序列 中an的与它前面的几个ai关(0≤i≤n-1)联起来的方 程称为一个递归关系.
例1(“Hanoi塔”问题)：这是个组合数学中的著名问
定理5.2.2 若q1,q2,…,qk为递归关系式(5.2.1)的特征 根，c1,c2,…,ck为任意常数，则
an c q c q c q ,
n 1 1 n 2 2 n k k
为递归关系(5.2.1)的解。
定义5.2.4 若对递归关系(5.2.1)的任意一个解an，都 存在一组常数c1,c2,…,ck使得
题。n个大小不一的圆盘依其半径大小，从下而上
套在A柱上，如下图示。现要求将所有的圆盘从A
柱上全部转移到C柱上,每次只允许从一个柱子上转 移一个盘子到另一柱子上，且在转移过程中不允许
出现大盘放在小盘上方。试问要转移多少次才能将
柱A上的n个盘移到C柱上。
A
B
C
例2 “Fibonacci兔子问题”：从某年某月(设为第0 月)开始,把雌雄各一的一对小兔放入养殖场,假定两 个月后长成成兔,并同时(即第二个月)开始每周产雌 雄各一的一对小兔,新增的小兔也按此规律繁殖,问 第n个月末养殖场共有多少对兔子?
则称之为序列的k阶常系数线性齐次递归关系,其中 系数bi为常数,i=1,2,…,k,且bk≠0。
定义5.2.2 与(5.2.1)相联系的方程
xk b1xk 1 b2 xk 2 bk 0, (n k ) (5.2.2)
称之为递归关系(5.2.1)的特征方程，其根称为递 归关系式的特征根。
第n月的兔子包括两部分:上月留下的和当月新生的, 而新生的小兔数即为前月末的兔子数,所以
Fn=Fn-1+Fn-2
Fibonacci序列的性质:
§5.2 常系数线性齐次递归关系的解法
定义5.2.1 序列{a0,a1,a2,…,an,…}中相邻的k+1项 之间的关系为
an b1an1 b2an2 bk ank 0, (n k ) (5.2.1)