分类与整合思想

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解决数学问题的方法有哪些

解决数学问题的方法有哪些数学问题蕴含着很多日常的生活中，所以，家长应该根据日常生活遇到的问题，对孩子经常性的训练，比如间距问题，楼层问题，开关灯问题，等等，都是可以通过实践来学习的。

下面小编给大家整理了关于解决数学问题的方法，希望对你有帮助!1解决数学问题的方法一个看似复杂的数学问题实际上有好多个简单问题组合而成，要解决它们的关键是能够有丰厚的基础知识储备，有灵活多变的数学思想方法。

首先，要审清题干，明确你已知什么，包括题干中给出了什么具体信息，隐含信息。

这样你才知道你有什么，这是你要得到什么的基础前提。

带着这样的思路去分析问题，就是一种数学上由已知推未知的思路。

数学其实本质上就是在做这样的事情，不管是推理还是计算。

其次，要将题目进行推理转化，类似于数学上的分析法。

如我要吃饭，那我得先做饭或者买饭，做饭的话需要什么材料需要什么步骤，买饭的话需要多少钱买什么东西。

然后一直这样追问下去，直到将问题的源头和最终要解决的问题联系起来，那么就完成解决问题的思维过程，也就是转化完毕。

将思维的过程从前到后整理成逻辑性的步骤。

可以说第二步就是逆向思维的过程，这就是正向推导的逻辑推理。

步骤要运用到最基本的推理，这些是你完成步骤最基本的保证。

2思想代入法，这列方法往往是给定了一些条件，比如a大于等于0，小于等于1。

b大于等于1，小于等于2.这些给定了一些特殊的条件，然后让你求一个ab组合在一起的一些式子，可能会很复杂。

但是如果是选择题，你可以取a=0.5，b=1.5试一试。

还有就是可以把选项里的答案带到题目中的式子来计算。

倒推法!!比如下一题坐标法，如果做的一些图形题完全找不到思路，第一可以用比例法，第二可以用坐标法，不用管什么三角函数，直接找到两点坐标，直接带入高中函数求角度(cos公式)求垂直，求长度，相切相离公式。

直接直捣黄龙，不用一点点找角度做什么麻烦的事区间法，这类方法也成为排除法，靠着大概计算出的数据或者猜一些数据。

高一数学分类与整合思想方法的常见应用

分类与整合思想方法的常见应用分类是自然科学乃至社会科学研究的基本逻辑方法.在解答数学题时,有时会出现这样情形，由于被研究的问题包含了多种情况，不能以统一的方法、统一的式子进行解决，这就要求在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在每个子区域内把问题解决，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的思想方法.“分”与“合”既是矛盾的对立面，又是矛盾的统一体，有“分”必有“合”.当分类解决问题之后，还必须把它们综合在一起，这种先“分”后“合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论的基本原则是:不重不漏,科学合理.高考数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题.分类讨论的渊源很多，下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.1.由数学概念引起的分类讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等.例1 函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f ，求实数a 的取值范围.分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论. 当0a =时，)(x f 是一次函数且单调递增;当0a ≠时, )(x f 是二次函数,单调性与a 的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.解: (1)当0a =时，()43f x x =-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.(2)当0a ≠时，函数()2224433f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，其对称轴为2x a =-.①当0a >时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意;②当0a <时，当22a-≥即10a -≤<时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.综上所述：当1a ≥-时，函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f .点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的a 都符合题意,所以整合时,把每一类型中a 的范围取并集,得到最终答案.变式练习1. 已知等比数列{}n a 中,432,,a a a 分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且164a =，公比1q ≠；设2log n n b a =，求数列{}||n b 的前n 项和n T .2. 由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等.例2 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，求实数a 的值为.分析：对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 恒成立求参数的范围问题，可将参数a 分离出来.在分离a 时,需要对x 等于零, x 为正, x 为负分别进行.分离出a 之后,通过求导研究不等式右边关于x 的函数，判断其单调性并求出其最值.解：若0x =，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立,所以R a ∈；当0x > 即]1,0(∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为：2331a x x ≥-,设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x-=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即)0,1[-∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x-=0>,()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此4)1()(max =-=g x g ,从而a ≤4，综上所述得a ＝4.点评:本题是不等式恒成立问题,需要将参数分离出来，转化为研究函数的最值.在分离参数时,需要在不等式的两边同乘以式子3x .根据不等式的运算性质,需要明确所乘式子的符号,所以要对x 是否为零及其符号进行分类讨论.由于是对自变量x 展开讨论,所以在整合时,要把a 的三个范围取交集.变式练习2. 已知函数x x f a log )(=在],2[π上的最大值比最小值大1，则a 等于A ．π2B ．2πC ．π2或2πD ．不同于A 、B 、C 答案3. 由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论例3.已知数列}{n a 、 3,2,1,),(,1:}{121=⋅===+n a a b a a a a b n n n n 其中且为常数满足（Ⅰ）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅱ）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？分析: 在（Ⅰ）中，欲求数列{}n b 的前n 项和n S ，需要研究该数列的性质.由21a b b nn =+发现该数列为等比数列,但求和时要注意前n 项和公式的选择即对公比进行讨论. 在（Ⅱ）中，需要由{}n b 的性质进一步研究{}n a 的性质，对其是否为等比数列作出判断.解：（I ）因为{}n a 是等比数列a a a ==21,1, 所以1,0-=≠n n a a a . 又211212112111,a aa a a a a a ab b a a a b a a b n n n n n n n n n n n n n ===⋅⋅==⋅=⋅=-+++++++则即}{n b 是以a 为首项,2a 为公比的等比数列. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±≠---=-==∴)1(.1)1()1(,)1( ,22a a a a a n a n S n n （II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：设{}n b 的公比为q ，则022211≠===+++++a q a a a a a a b b nn n n n n n n 且又1253121,,,,,,1-==n a a a a a a a …是以1为首项，q 为公比的等比数列，n a a a a 2642,,,, …是以a 为首项，q 为公比的等比数列，即{}n a 为： 22,,,,,1aq q aq q a .当2a q =时，{}n a 是等比数列；当2a q ≠时，{}n a 不是等比数列. 注:该问亦可以用举特例的办法进行判断.点评:该题两问的解答中都对公比进行了讨论.第一问中,讨论的渊源是公比不同, 等比数列前n 项和公式形式不同.第二问中讨论的原因是, {}n b 的公比取值不同, {}n a 的性质不同. 变式练习3: 解关于x 的不等)(222R a ax x ax ∈-≥-．4. 由图形的不确定性引起的分类讨论例4 设21,F F 为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一点. 已知21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶点，且 ||||21PF PF >，求||||21pF PF 的值. 分析:本题考查圆锥曲线的性质.因为21,,F F P 是一直角三角形的三顶点，且||||21PF PF >，则直角顶点有两种可能性：点2F 或点P ，故有两解.解:由已知得6||||21=+PF PF ,2||21=F F .①若12F PF ∠为直角，则2212221||||||F F PF PF +=,解得314||1=PF ,34||2=PF ,所以||||21pF PF =27. ②若21PF F ∠为直角，则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|22221221||||||PF PF F F +=，得4||1=PF，2||2=PF ，故 2||||21=pF PF . 点评:该题由直角三角形的形状不确定即直角的位置不确定,引发了两方面的讨论,解题时要注意考虑全面.变式练习 4. 设一双曲线的两条渐近线方程为052,02=-+=+-y x y x ，此双曲线的离心率为 .5. 由参数的变化引起的分类讨论.某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.例5 设1-=x 是)()()(22R x e b ax x x f x ∈++=-的一个极值点，求a 与b 的关系式（用a 表示b ）并求)(x f 的单调区间.分析:该题是一个非基本初等函数的单调性问题，考虑用导数解决,所以先对)(x f 求导,再得a 与b 的关系式.求得导函数的零点时,注意两个零点的大小对单调区间的影响.解： x e a b x a x x f --+-+-=22/])2([)(,由0)1(/=-f 得32-=a b∴x e a ax x x f --++=22)32()( ,x x e a x x e a x a x x f ---++-=-+-+-=222/)3)(1(]3)2([)(.令0)(/=x f 得a x x -=-=3,121 .由于1-=x 是)(x f 的极值点，故21x x ≠，即4≠a . ① 当4<a 时，12x x >，故]3,1[a --为)(x f 的单调增区间；),3[]1,(+∞---∞a 和为)(x f 的单调减区间.② 当4>a 时，12x x <，故]1,3[--a 为)(x f 的单调增区间；),1[]3,(+∞---∞和a为)(x f 的单调减区间.点评:在综合问题中对参数分类讨论的考查,是分类讨论思想考查的重要形式之一.对参数的分类,要注意遵循分类讨论的基本原则:科学合理,不重不漏.变式练习5. 已知椭圆1522=+m y x 的离心率 510=e ，则m 的值为 A ．3 B ．253或3 C ．5 D ．3155或15 6. 其它需要进行分类讨论的问题.譬如排列组合问题、实际应用问题等例6 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工、钳工各3人，问有种选派方案？解析:如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有36C 种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题.因此需对全能工人被选的人数进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人,共有3433C C 种不同选法；（2）选出的6人中含有一名全能工人共有351323C C C 种不同选法；（3）选出的6人中含2名全能工人共有362313C C C 种不同选法；（4）选出的6人中含有3名全能工人共有3733C C 种不同选法.所以共有3433C C +351323C C C +362313C C C +3733C C =306种选派方案.点评:分类讨论是解决排列组合问题中最常用的思想方法之一.在进行分类时,要注意选择最恰当的标准,使得所分的类尽量少.一般选择数量较少的那一种元素进行分类.变式练习6. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种．变式练习答案及解析:1. 解:依题意得()032,32344342=+--+=a a a a a a a 即,211,0132,032212131===+-∴=+-∴q q q q q a q a q a 或解得又1111,,6422n n q q a -⎛⎫≠∴==⨯ ⎪⎝⎭故()()17227,71log 64log 27||27,7n n n n n n b n b n n --⎡⎤⎧-≤⎪⎛⎫=⨯==-∴=⎢⎥⎨ ⎪->⎝⎭⎪⎢⎥⎩⎣⎦ ()()()()()()18767137,||6,22177677,||1,2122n n n n n n n b T n n n n n b T T +--∴≤===+---->==+=+当时当时 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴7,212767,213n n n n n n T n . 2. C. 解析：研究函数的最值需考察函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论.⑴当1>a 时， )(x f 在[2，π]上是增函数，最大值是)(πf ，最小值是)2(f ，据题意， 1)2()(=-f f π，即12log log =-a a π，∴2π=a ⑵当10<<a时，)(x f 在[2，π]上是减函数，最大值是)2(f ，最小值是)(πf ，故1)()2(=-πf f ，即1log 2log =-πa a ，∴π2=a . 由⑴⑵知，答案为C.3. 解:原不等式可化为⇔ 02)2(2≥--+x a ax ,(1)0=a 时，x ≤－1，即x ∈(－∞,－1].(2)0≠a 时，不等式即为0)1)(2(≥+-x ax ,①0>a 时，不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ，当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即0>a 时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a ．当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在． ②0<a 时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a x ，当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120aa ，即02<<-a 时，不等式解为]1,2[-a . 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a <－2时，不等式解为]2,1[a -．当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a ＝－2时，不等式解为x ＝－1．综上:当 a ＝0时，x ∈(－∞,－1)； a >0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a ；当－2<a <0时,x ∈]1,2[-a ；当a <－2时，x ∈]2,1[a-； a ＝－2时，x ∈{x |x ＝－1}． 4. 255或．解析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解．（1）当双曲线的焦点在直线3=y 时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=a b ， ∴2=b ．∴ 555222==+==a a a b a c e ．（2）当双曲线的焦点在直线1=x 时，与（1）同理得双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a ，此时25=e ．综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或． 5.B. 解析：题设不能确定5与m 中哪个较大,故应将5与m 的大小分类讨论.据题意5,0≠>m m ,⑴当5>m 时，5,5,22222-=-=∴==m b a c b m a ，m m a c 522-=∴ 又510=e ,325=m . ⑵当50<<m 时，m b a c m b a -=-=∴==5,,522222m m ac -=∴522,3=m . 由⑴⑵知 325=m 或3=m .故选Ｂ. 6. 12. 解析:分类讨论：（1）先考虑作物A 种植在第一垄时，作物B 有3种种植方法；（2）再考虑作物A 种植在第二垄时，作物B 有2种种植方法；（3）又当作物A 种植在第三垄时，作物B 有1种种植方法.而作物B 种植的情况与作物A 相同，故满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2＝12种．。

分类与整合,高中数学解题中重要思想论文

分类与整合,高中数学解题中的重要思想分类与整合是解决问题的一种逻辑方法；是中学数学重要的思想方法之一。

分析近几年高考中分类与整合的试题可知：分类与整合思想在高考中占有十分重要的地位，是一个热点问题。

其原因是：分类与整合试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，能体现“着重考察数学能力”的要求。

那么，引起分类的原因究竟有哪些？分类与整合有何标准和方法？分类能否避免？这都是我们必须从理论层面上需要弄清的问题.下面结合具体题型来回答这些问题。

分析：本题的两问都需要进行分类求解，其分类的对象主要是等比数列的公比.解：（1）因为是等比数列，，可得，，当时，；当时，，即（ =1，2，3，…），上式等价于①（ =1，2，3，…）或②（ 1，2，3，…），解①式得；解②式，由于可为奇数、可为偶数，故 .综上，的取值范围是（-1，0）（0，+∞）.（2）由，得，，于是 .又因为，且或，所以，当或时，，即；当且时，，即；当或时，，即评：数列是高考必考内容之一.而等差、等比数列的通项、前项和是数列的基础，在研究一个数列的通项时，对与要分别予以研究，而涉及等比数列或用错位相减法去求解时，要对公比是否为零，进行分类。

三、由变量或参数的取值范围引起的分类例3：已知在区间［-2,2］上，恒为非负数,求实数的取值范围. 解：设，，由题意知, , ,恒成立,故只须在［-2,2］上的最小值为非负即可.⑴当- <-2,即时, 在区间［-2,2］上递增,所以 .解得，这与矛盾,故舍去.⑵当-2 ,即-4 时, ，解得:-6 ，又因为-4 ,所以 .⑶当 ,即a<-4时, 在区间［-2,2］上递减,所以 ,解得 ,又因为<-4,所以 .由⑴、⑵、⑶知: .评:首先等价转换命题,结合对称轴与区间的各种位置关系分类讨论,函数图像的对称轴为 ,由于为参数不确定,所以要分在区间［-2,2］的左、右侧和区间上三种情况.四、几何元素的形状、位置的变化引起的分类例4：如图，已知一条直线ab，它的两个端点分别在直二面角－－的两个面内移动，若和平面所成的角分别为，试讨论的范围. 解：（1）当时， .（2）与不垂直时，在平面内作，为垂足，连接 .∵平面∴ .∴是与平面所成的角，即 .在平面内作，垂足为，连结 .同理， .在中，，在和中，即。

高中数学七大基本思想方法讲解

（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系
在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系
数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化
第三：分类与整合思想
（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法
（2）从具体出发，选取适当的分类标准
（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向
第六：有限与无限的思想：
（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路
（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向
（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用
（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查
第七：或然与必然的思想：
（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性
（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然
（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点
（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化
第五：特殊与一般思想
（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识
（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论
（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程
（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程
（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法

常用的数学思想和方法

不怕难题不得分，就怕每题扣点分！常用的数学思想和方法一．数学思想：1．数形结合的思想；2．分类与整合的思想；3．函数与方程的思想；4．转化与化归的思想；5．特殊与一般的思想；6．有限与无限的思想；7．或然与必然的思想；8．正难则反的思想．二．数学基本方法：配方法、换元法、反证法、割补法、待定系数法；分析法、比较法、综合法、归纳法、观察法、定义法、等积法、向量法、解析法、构造法、类比法、放缩法、导数法、参数法、消元法、不等式法、判别式法、数形结合法、分类讨论法、数学归纳法、分离参数法、整体代换、正难则反、设而不求、设而求之．【解题时：方法多，思路广，运算准，化简快．】三．数学逻辑方法：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等．【也称数学思维方法．】四．选择题的方法：四个选项有极大的参考价值！千万不要小题大做！①求解对照法(直接法)；②逆推代入法(淘汰法)；③数形结合法(不要得意忘形)；④特值检验法(定值问题)；⑤特征分析法(针对选项)；⑥合理存在性法(针对选项)；⑦逻辑分析法(充要条件)；⑧近似估算法(可能性)．五．填空题的方法：①直接法；②特例法(定值问题)；③数形结合法；④等价转化法．六．熟练掌握数学语言的三种形式：自然语言、符号语言、图形语言的相互转化．七．计算与化简：这是一个值得十分注意的问题！平时的训练中，要多思考如何快速准确的计算和熟练的化简！八．学会自学！课堂上不可能把所有的题型都讲到！所以要多看例题，多思考！看之前一定要想自己会怎么做！怎么看：一看解题思路【看完后要归纳步骤、总结方法】，二看规范表达【尽量学会使用数学语言、符号】．学会总结归类：①从数学思想上归类；②从知识应用上归类；③从解题方法上归类；④从题型类型上归类．【特别提醒】1．一道题有没有简便解法，关键就在于你能不能发现其中的一些条件的特殊性，并能加以灵活运用！（灵机一动）【转化、联想、换元等，另外，解题时有时对一些细节的处理也很关键，会起到峰回路转、柳暗花明的作用．】2．解函数、解析几何、立体几何的客观题，应特别注意数形结合思想的运用！但在解答题中，不能纯粹只凭借图象来解答问题；图象只起到帮助找到解题思路的作用【图象尽量画准，甚至在有时给出图象时也需要自己重新准确画一遍】；解题过程还是要进行严谨的理论推导【用数学语言表达】，不能纯粹以图象代替推理、证明．3．转化数量关系时，若是写不等式，则要注意是否可以取“=”．特别是求取值范围时，端点一定要准确处理．4．平常做解答题应该做完整：解题过程的表达是否流畅、简洁．否则到考试时，还需为如何组织语言表达去思考而耽误时间．这是平时训练值得注意的【条理分明、言简意赅、字迹工整】！表达也是思维的一部分！5．在解答题中，某些局部问题解答过程的书写的详略，取决于整个解题书写过程的长短：长则略写，可用易证、易知等字眼；短则详写．如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明．6．在设置有几问的解答题中，后面问题的解决有时候依赖于如何灵活运用前面已解决的问题的结论．有些解答题某一问貌似与前面无关，实则暗【明】示你必须把它与前面联系起来，才能解决问题．7．平常要多积累解题经验和解题技巧．熟记一些数学规律和数学小结论对解题也是很有帮助的．8．数学总分上不上得去，很大程度上取决于选择题、填空题得分高不高．而选择题、填空题更注重对基础知识，基本数学思想、方法和技能的全面考察．因此，要熟练掌握解选择题、填空题的特有方法：在解选择题或填空题时，优秀的解题方法更显得重要．建议每天做一份选择、填空题，花大力气提高解选择、填空题的准确率和速度．【注意：选择题的四个选项中有且只有一个是正确的，是一个需要特别重视的已知条件．】9．可以在专门的笔记本上，收集作业、考试中的错题，学习中遇到的经典题，便于日后考前复习巩固．⒑作业本上的错题、试卷上的错题一定要及时更正！做错了不可怕，可怕的是做错了不去纠正！我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。

数学思想方法的综合应用

► 探究点二使用函数方法解决非函数问题例2 (1)已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5，则数列{a n }前n 项和S n 的最大值是________．(2)长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立S n 关于n 的函数；(2)将向量坐标化，建立m ＋n 关于动向量OC →的函数关系．(1)4 (2)233【解析】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2.S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA→＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3≤233.变式题若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5) B 【解析】 e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.► 探究点三联用函数与方程的思想例3 已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a (其中a 为常数)．设a >0，问是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得f (x 0)>g (x 0)？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由；【解答】假设存在，即存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得， f (x 0)－g (x 0)＝x 0(x 0－a )2－[－x 20＋(a －1)x 0＋a ]＝x 0(x 0－a )2＋(x 0－a )(x 0＋1)＝(x 0－a )[x 20＋(1－a )x 0＋1]>0，当x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3时，又a >0，故x 0－a <0，则存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0， ①当a －12>a3即a >3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1<0得a >3或a <－32，∴a >3； ②当－1≤a －12≤a 3即0<a ≤3时，4－a －124<0得a <－1或a >3，∴a 无解．综上：a >3.► 探究点四以形助数探索解题思路例4 (1)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数，问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值，通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可；(2)画出抛物线，根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，把问题归结为两点之间的距离．(1)A (2)A 【解析】 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎨⎧－4x <－3，2x ＋2－3≤x <1，4x >1.画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.(2)点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，PF ＋PQ ＝PS ＋PQ ，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，代入y 2＝4x 得x ＝14，故点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，正确选项为A.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，7 (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞) 【解析】 (1)g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.故所求的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7. (2)由⎩⎨⎧Δ1＝4a2－43－4a <0，Δ2＝a －12－4a 2<0，Δ3＝2a2＋8a <0，解得－32<a <－1，再求它的补集，则a 的取值范围是：a ≤－32或a ≥－1.例4 (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin(α－2π)sin(α－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________.(2)函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin2x 的最小值是________．【分析】 (1)化简已知和求解目标，然后采取适当的方法；(2)把sin x ＋cos x 看做一个整体，用这个整体表示已知函数．(1)－35 (2)－54 【解析】 (1)已知条件即sin α＝2cos α，求解目标即cos 2α－sin 2α.已知条件转化为tan α＝2，求解目标转化为cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，把已知代入得求解结果是－35. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，则t 2＝1＋sin2x ，且t ∈[]－2，2.此时函数化为y ＝t ＋t 2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，故所求函数的最小值为－54.。

分类与整合思想例析

分类与整合思想例析1.分类与整合的思想的含义分类与整合的思想,就是当问题所给的对象因一些不确定的因素而不能进行统一研究时 (如不能用同一种标准,或同一种运算,或同一个类型,或同一个定理,或同一种方法去解决等),就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略. 分类讨论既是一种重要的数学方法，也是一种重要的数学思想．由于有关分类讨论的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，并能训练人的思维的条理性与概括性，因而在高考试题中往往占有较大的比重对问题实行分类与整合,确定分类标准后等于增加了一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.2.运用分类与整合思想解题的基本步骤：确定标准→合理分类→逐类讨论→归纳总结。

(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结：将各类情况总结归纳3.明确引起分类讨论的原因，有利于掌握分类整合的思想方法解决问题.分类讨论的主要原因有：(1)由数学概念引起的分类讨论：有些数学概念本身就是以分类形式定义的，如直线与平面所成的角、三角函数值所在象限的符号、绝对值等．有些数学概念本身也有一定的限制，如直线的斜率，二次曲线中又包括椭圆、双曲线及抛物线，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的斜率与倾斜角、两条直线所成的角，指数函数,对数函数,空集，直线的截距式等.(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响，三角函数的定义域，一元二次方程解的情况是按“∆”的正负给出的等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学性质、定理、公式是分类给出的,在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否分类讨论。

高考数学第3讲分类与整合思想——巧分善合

33a，
33a，＋∞.
大二轮复习数学（文）
几种常见的由参数变化引起的分类与整合 (1)含有参数的不等式的求解． (2)含有参数的方程的求解． (3)对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性的问题． (4)二元二次方程表示曲线类型的判定等． (5)直线与圆锥曲线位置关系的分类．
大二轮复习数学（文）
2．(2019·东营模拟)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线 C 的离心率等于________．
大二轮复习数学（文）
解析：不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中，t≠0.若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，
解析：选 A.①当 2－a≥2，即 a≤0 时，22－a－2－1＝1，解得 a＝－1，则 f(a)＝f(－1)＝－log2[3－(－1)]＝－2； ②当 2－a<2 即 a>0 时，－log2[3－(2－a)]＝1，解得 a＝－12，舍去．所以 f(a)＝－2.故选 A.
大二轮复习数学（文）
(2)(2019·阜阳二模)等比数列{an}中，a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18，则{an}的前 9 项和 S9＝________．
解析：由题意得 q2＝aa13＋＋aa46＋＋aa79＝9，q＝±3， ①当 q＝3 时，a2＋a5＋a8＝3(a1＋a4＋a7)＝6， S9＝2＋6＋18＝26 ②当 q＝－3 时，a2＋a5＋a8＝－3(a1＋a4＋a7)＝－6，S9＝2－6＋18 ＝14，所以 S9＝14 或 26. 答案：14 或 26
大二轮复习数学（文）

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分类与整合思想、转化与化归思想一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论．汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合．1．若一条直线过点(5,2)，且在x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为( ) A ．x ＋y －7＝0 B ．2x －5y ＝0C ．x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0D ．x ＋y ＋7＝0或2y －5x ＝02．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A ．8 B ．10 C ．16D ．323．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，B ＝{x |mx －1＝0，m ∈R }，若A ∩B ＝B ，则所有符合条件的实数m 组成的集合是( ) A ．{0，－1,2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，1 C ．{－1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，124．已知函数f (x )＝x |x －a |－a ，a ∈R ，若对任意x ∈[3,5]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.5．已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.833B ．4 3 C.239D ．43或8336．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( ) A ．－12B.12 C ．0D ．0或－127．已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为______．8．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为________．9．已知实数a ，x ，a >0且a ≠1，则“a x >1”的充要条件为( ) A ．0<a <1，x <0 B ．a >1，x >0 C ．(a －1)x >0D ．x ≠010．若函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)11．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(7，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞) C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪(7，＋∞)一、特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.1．据统计某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天价格分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…， b n ，令M ＝{m |a m ＜b m ，m ＝1,2，…，n }，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A ＜B ，现有三种蔬菜A ，B ，C ，下列说法正确的是( ) A ．若A ＜B ，B ＜C ，则A ＜CB ．若A ＜B ，B ＜C 同时不成立，则A ＜C 不成立C ．A ＜B ，B ＜A 可同时不成立D ．A ＜B ，B ＜A 可同时成立2．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a3．已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在[－1,1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[12，＋∞) C ．[－1,12] D.⎣⎡⎦⎤－32，12 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.5．若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．6.如图所示，已知三棱锥P －ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．2407．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是 ________________．8．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________．9．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为________． 10．在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．12．已知函数f (x )＝ln x ．若不等式mf (x )≥a ＋x 对所有m ∈[0,1]，x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 2都成立，则实数 a 的取值范围为________．1．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( )A ．a 1a 8>a 4a 5B ．a 1a 8<a 4a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 52．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－23．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( ) A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对5.如图，在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量且有最大值和最小值D ．是常数6．设点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －xy的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－32，32 C.⎣⎡⎦⎤－32，1 D ．[－1,1]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，m x ，x <0，若f (x )－f (－x )＝0有四个不同的实根，则m 的取值范围是()A ．(0,2e)B ．(0，e)C ．(0,1)D.⎝⎛⎭⎫0，1e 8．已知函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 的定义域为[－3,3]，则不等式f (x 2＋1)>f (－2)的解集为( )A ．[－2，－1]B ．[－2，2]C ．[－2，－1)∪(1，2]D ．(－2，－1)∪(1，2)9．在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.10．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．11．(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆C 离心率的取值范围是______________．。