27.2.1 相似三角形的判定(第一课时)
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为人教版九年级数学下册第27章第2节第1课时，主要学习相似三角形的判定——平行线分线段成比例定理。该定理是初中学段几何知识的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
在课程开始之前，学生已经掌握了相似三角形的概念、性质以及判定方法。在此基础上，通过引入平行线分线段成比例定理，使学生能够更深入地理解相似三角形的本质，提高解题技能。
2.问题提出：在此过程中，我会提出问题：“如果给你一个建筑设计图，你如何判断窗户的布局是否合理？”从而引出本节课的主题——相似三角形的判定。
3.情景创设：利用多媒体手段，展示两个相似的三角形，让学生直观地感受相似三角形的特征，为学习平行线分线段成比例定理做好铺垫。
（二）讲授新知
1.平行线分线段成比例定理：我会用生动的语言和形象的比喻，讲解平行线分线段成比例定理的含义，让学生理解并掌握定理。
本节课的内容与实际生活密切相关，便于学生感知数学与生活的紧密联系。同时，通过探讨平行线分线段成比例定理的证明过程，激发学生的探究欲望，培养其创新精神及合作意识。
在教学过程中，我将以生动形象的语言、贴近实际的生活实例，引导学生掌握平行线分线段成比例定理，并能够运用该定理解决实际问题。从而使学生在轻松愉快的氛围中，提高数学素养，感受数学之美。
2.讨论过程：在讨论过程中，我会引导学生关注相似三角形的性质和判定方法，鼓励学生提出自己的观点，培养其批判性思维。
3.成果分享：每个小组选派一名代表，向全班同学分享讨论成果，让大家在交流中共同进步。
（四）总比例定理在判断相似三角形中的重要性，使学生巩固所学知识。
5.教学策略的运用：运用情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高其数学素养。
27.2.1相似三角形的判定(SSS和SAS)
网格中的相似 如何判断网格中的三角形是？ 三角形相似的两个判定： 三边成比例的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
网格中的相似
如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC， ②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK， 在②～⑥中，与三角形①相似的是(B )
A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥
网格中的相似
如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格 点上． (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个 点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三 角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．
∴△ABC~△A'B'C'.
判定的应用
∴ΔABC∽ΔADE ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE.
判定的应用 提示：先把线段乘积转化为比例
判定的应用
如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4． 沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（C ）
相似三角形的判定（SSS和SAS）
教学目标 理解三边成比例的两个三角形相似． 理解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
教学重点 运用三角形相似的判定证明三角形相似．
教学难点 运用三角形相似的判定证明三角形相似．
知识回顾
1．对应角_相___等___，对应边成___比__例__的两个三角形， 叫做相似三角形． 2．相似三角形性质：对应角相等，对应边成比例．
27.2.1相似三角形的判定(SAS)
课题：27.2.1相似三角形的判定（SAS）【教学目标】1．掌握相似三角形判定定理(SAS) ，能初步运用定理解决相关问题2．通过相似三角形判定定理(SAS)的探究归纳过程，体会类比的数学思想．【教学重点】相似三角形判定定理(SAS)的理解与应用．【教学难点】相似三角形判定定理(SAS)的证明．【教学过程】一、复习引入1．证明两个三角形全等的方法都有哪些？(SAS、ASA、AAS，SSS)2．到目前为止，我们学习过的证明两个三角形相似的方法有哪些？(定义、预备定理、SSS)【白板操作】第2页点击“心形”右边，出现已学的三种方法．二、探究相似三角形判定方法（SAS）思考：类似于判定三角形全等的方法，我们还能不能通过两边及其夹角来判断两个三角形相似．【白板操作】第3页1．探究3（课本P44）．学生自主画图，小组讨论验证【白板操作】第4页2．学生自己写出猜想，再根据猜想的的条件和结论分别写出已知、求证、尝试自己证明。
已知：在△ABC和△A’B’C’，''''A B A CAB AC=，∠A=∠A’。
求证：△ABC∽△A’B’C’【白板操作】第5页点击图形相应位置，互相辅助线；点击“心形”右边，出现辅助线的作法；其余证明过程师生板书．3．得出定理，如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．符号：在△ABC和△A’B’C’中∵''''A B A CAB AC=,∠A=∠A’简写为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．【白板操作】第6页点击“心形”右边，分别出现上述内容．三、例题例1.根据下列条件，判断△ABC和△A’B’C’是否相似，并说明理由．AB=7，AC=14，∠A＝60°A’B’＝6，A’C’＝3，∠A’＝60°例2.如图△ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上点，AB ＝7.8，AD ＝3，AC ＝6，CE ＝2.1．试判断△ADE 与△ABC 是否会相似？【白板操作】第7-8页 师生在白板上书写解答过程．四、辨析：提出问题：是否有SSA 呢？反例：''''A B A C AB AC=，∠B=∠B ’，但△ABC 与△A ’B ’D ’不相似. 【白板操作】第9页 点击“心形”右边，出现反例图形等．第10页 这里设置了屏幕遮盖．五、课堂练习1．能判定△ABC ∽△A’B’C’的条件是( ) (A)''''AB A B AC A C =,且∠A=∠A’ (B)''''AB AC A B A C = (C)''''AB AC A B A C =，且∠B=∠B’ (D)''''AB AC A B A C =，且∠C=∠C’ 2．已知△ABC 和 △A’B’C’,根据下列条件，判断它们是否相似.（1）∠A=120°，AB=7cm ，AC=14cm,∠A`=120°，A`B`=3cm ，A`C`=6cm;(2) ∠A ＝45°，AB=12cm ， AC=15cm∠A’＝45°，A’B’＝16cm ，A’C’＝20cm六、本节小结：1. 到目前为止我们所学习过的相似三角形的判定方法(定义、预备定理、SSS 、SAS)2. 证明方法小结① 化归到预备定理、构造平行、全等三角形② 类比思想【白板操作】第11页 点击“心形”右边，出现相关内容．【教学反思】。
《相似三角形的判定》完整版PPT1
1.对应线段是指被两条平行线所截得的线段，如上 图中的 A1A2 与B1B2 是对应线段，A2A3与 B2B3是对应 线段，A1A3 与 B1B3 是对应线段. 2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等 于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对 应线段写在对应的位置上.
3.基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线上的线段，与 这组平行线上的线段无关.
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构 成的三角形与原三角形相似. 几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC.
定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.
三角形相似的两种常见类型：
A
D
E
B
C
B
“A ”型
D
E
A
C
“X ” 型
巩固新知
如图，AB//EF//DC，AD//BC，EF 与 AC 交于点 G，则图
平行线 DE，交 AC 于点 E.
A
D
E
B
C
△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗？
如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的
平行线 DE，交 AC 于点 E.
A
D
E
B
C
分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长 是否对应成比例？
△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？
F
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，
C
AB AC BC k，
DE DF EF
A
BD
E
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与
△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的相似比为 k， △DEF 与△ABC 的相似比为 1 .
人教版数学九年级下册数学：27.2.1 相似三角形的判定 同步练习(附答案)
27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．如图所示，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE ACC.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AD AB ＝AE EC ＝DE BC2．两个三角形相似，且相似比k ＝1，则这两个三角形 ．3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝ ．5．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为( )A ．4B ．7C ．3D ．126．如图，点E ，F 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且EF ∥BC ，点M 在边BC 上，AM 与EF 交于点D ，则图中相似三角形共有( )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对7．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点P 是直线AB 上一点，且AP ＝2，过点P 作BC 边的平行线，交直线AC 于点M ，则MC 的长为 ．8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A.ABAE＝AGADB.DFCF＝DGADC.FGAC＝EGBDD.AEBE＝CFDF9．如图，AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则AE∶EC的值是()A．3∶2B．4∶3C．6∶5D．8∶510．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB＝4 cm，则线段BC＝cm.11．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝.12．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝．13．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择作MN的平行线BC，并测得AM＝900米， AB＝30米，BC＝45米，求直线隧道MN的长．14．如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过点F作FG∥BE 交AE于点G，求证：GF＝FB.15．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．第2课时 相似三角形的判定定理1，21．将一个三角形的各边长都缩小12后，得到的三角形与原三角形( )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法确定2．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝ cm 时，△ABC ∽△DEF. 3．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．4．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF.5．能判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( )A.AB A ′B ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠A ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠C ′ D.AB A ′B ′＝ACA ′C ′且∠B ＝∠B ′6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是()7．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，当OC＝时，△AOC∽△BOD.8．如图，点C，D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的长．9．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．10．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P 1B．P2C．P3D．P411．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能满足△APC和△ACB相似的条件有()A．1个 B．2个C．3个D．0个12．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE.13．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.15．如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ ∽△QCP.16．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．第3课时相似三角形的判定定理31．下列各组图形中有可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是.3．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形．(用相似符号连接) 4．如图，点B，D，C，F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.5．如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D.求证：△ABC ∽△AED.6．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A ′C ′＝8，则当A ′B ′＝ 时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.7．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm 和454 cm ，这两个直角三角形 (填“是”或“不是”)相似三角形．8．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 (填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，且∠DCE ＝∠B.那么下列判断中，错误的是( )A ．△ADE ∽△ABCB ．△ADE ∽△ACDC ．△DEC ∽△CDBD ．△ADE ∽△DCB10．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．12．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？13．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.求证：△ABF∽△BEC.14．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?15．如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.参考答案：27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．A2． 全等．3．B4． 2．5．B6．B7． 6或12．8．D9．D10．12.11．4.12．169．13．解：∵BC ∥MN ，∴△ABC ∽△AMN.∴AB AM ＝BC MN ，即30900＝45MN .∴MN ＝1 350.答： 直线隧道MN 的长为1 350米．14．证明：∵GF ∥AD ，∴GF AD ＝EFED .又FB ∥DC ，∴FB DC ＝EFED .又AD ＝DC ，∴GF AD ＝FBAD .∴GF ＝FB.15．解：∵在△ABC 中，EG ∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EG BC ＝AEAB .∵BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，∴EG 10＝35，∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD ＝BE AB. ∵AD ＝6，AE ＝3，AB ＝5，∴EF 6＝5－35.∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时 相似三角形的判定定理1，21．A2．3.3．解：相似．理由如下：在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝32－2.42＝1.8，在Rt △DEF 中，DF ＝DE 2－EF 2＝62－3.62＝4.8，∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.4．证明：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.5．B6．C7． 1858．解：∵AE BF ＝34.5＝23，AD BC ＝23，∴AE BF ＝AD BC.又∵∠A ＝∠B ，∴△AED ∽△BFC.∴AD BC ＝DE CF .∴23＝5CF. ∴CF ＝152. 9． 125或53． 10．C11．B12． AD AB ＝AE AC 13．证明：∵AB ∥DE ，∴△ODE ∽△OAB.∴DE AB ＝OE OB. ∵BC ∥EF ，∴△OEF ∽△OBC.∴EF BC ＝OE OB ＝OF OC. ∵AC ∥DF ，∴△ODF ∽△OAC.∴DF AC ＝OF OC. ∴DE AB ＝EF BC ＝DF AC. ∴△DEF ∽△ABC.14．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB . 又AB ＝AC ，∴AB CE ＝DB AC. ∴△ADB ∽△EAC.15．证明：设正方形的边长为4a ，则AD ＝CD ＝BC ＝4a.∵Q 是CD 的中点，BP ＝3PC ，∴DQ ＝CQ ＝2a ，PC ＝a.∴DQ PC ＝AD CQ ＝21. 又∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP.16．3__s 或4.8__s ．第3课时 相似三角形的判定定理31．A2． △EFD ，△HGK .3． 答案不唯一，如△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE 等．4．证明：∵AB ∥EF ，AC ∥DE ，∴∠B ＝∠F ，∠ACB ＝∠EDF.∴△ABC ∽△EFD.5．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠EAD.又∵∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△AED.6．10.7．是．8．不一定．9．D10．B11．6017． 12．解：①若△ABC ∽△ADB ，则AB AD ＝AC AB.∴AD ＝3； ②若△ABC ∽△DAB ，则AB AD ＝BC AB.∴AD ＝3 2.综上所述，当AD ＝3或32时，两直角三角形相似．13．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D ＋∠C ＝180°，∠ABF ＝∠BEC.又∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°，且∠AFE ＝∠D ， ∴∠C ＝∠AFB.又∵∠ABF ＝∠BEC ，∴△ABF ∽△BEC.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD.∴△APQ ∽△CDQ.(2)当DP ⊥AC 时，∠QCD ＋∠QDC ＝90°.∵∠ADQ ＋∠QDC ＝90°，∴∠DCA ＝∠ADP. 又∵∠ADC ＝∠DAP ＝90°，∴△ADC ∽△PAD.∴AD PA ＝DC AD .∴10PA ＝2010，解得PA ＝5. ∴t ＝5.15．证明：∵AD ，BF 分别是BC ，AC 边上的高， ∴∠ADB ＝∠BED ＝90°.∴∠EBD ＋∠EDB ＝∠EDB ＋∠ADE.∴∠EBD ＝∠EDA.∴△AED ∽△DEB.∴AE DE ＝DE BE，即DE 2＝AE ·BE. 又∵∠HFG ＝90°，∠BGE ＝∠HGF ，∴∠EBG ＝∠H.∵∠BEG ＝∠HEA ＝90°，∴△BEG ∽△HEA.∴EG AE ＝BE EH，即EG ·EH ＝AE ·BE. ∴DE 2＝EG ·EH.。
27.2.1相似三角形的判定
∵AB＝2，BC＝2 2，AC＝2 5，FE＝2，DE＝ 2，
DF＝ 10，
∴
DABE＝
2＝ 2
2，BECF＝2 2 2＝
2，DACF＝2
5＝ 10
2.
∴ DABE＝BECF＝DACF，∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知识点 5 边角关系判定三角形相似定理
知5－讲
1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个
感悟新知
知识点 1 相似三角形
知1－讲
1. 定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边 成比例，那么这两个三角形相似.
感悟新知
如图27.2-1，在△ ABC 和△ A′B′C′中，
知1－讲
∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∠ C= ∠ C′， △ABC
AB BC AC k,
↔ ∽△A′B′C′.
感悟新知
知2－练
3-1. 如图，l1 ∥ l2 ∥ l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9， 求BC，BF 的长.
感悟新知
解：∵ l1∥l2∥l3, ∴ ABBC＝ADDE.
∵
AB＝3，AD＝2，DE＝4,
∴
3 BC
＝24，
解得 BC＝6.
知2－练
∵ l1∥l2∥l3,
∴
BF EF
＝
AB AC
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
学习目标
1 课时讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
相似三角形 平行线分线段成比例 平行线截三角形相似的定理 三边关系判定三角形相似定理 边角关系判定三角形相似定理 角的关系判定三角形相似定理 直角三角形相似的判定
27.2.1相似三角形的判定(第1课时)教学设计
课题：27.2.1相似三角形的判定（第1课时）一、教学目标知识技能1.经历观察、类比、猜想过程，得出相似三角形的三个判定定理，会简单运用这三个定理.2.培养合情推理能力，发展空间观念.过程与方法1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
2．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
情感态度价值观1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。
2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。
3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。
二、教学重点和难点1.重点：相似三角形的三个判定定理.2.难点：得出相似三角形的三个判定定理.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：全等三角形的四个判定定理：(1)如果两个三角形三对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：边边边或SSS）.(2)如果两个三角形两对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等（简写成：边角边或）.(3)如果两个三角形两对应相等，并且相应的夹边相等，那么这两个三角形全等（简写成：角边角或）.(4)如果两个三角形两对应相等，并且其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：角角边或）. （本课时教学时间比较紧张，建议把本题提前留作作业）（二）创设情境，导入新课师：我们知道，形状相同的两个图形叫做相似图形.那么什么叫相似三角形？（稍停）形状相同的两个三角形叫做相似三角形.师：对两个三角形来说，形状相同是什么意思？（稍停）就是对应角相等，对应边的比也相等.所以相似三角形还有一个更明确的定义.对应角相等，对应边的比也相等的两个三角形叫做相似三角形. （师出示下图）师：譬如△ABC和△A ′B ′C ′，如果∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′（边讲边板书：如果∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′），ABBC CA A B B C C A （边讲边板书：AB BC CA A B B C C A），我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似（边讲边板书：就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似），记作△ABC ∽△A ′B ′C ′（边讲边板书：记作△ABC ∽△A ′B ′C ′）. 师：（指准板书）相似三角形的这个定义，可以用来判定两个三角形相似，但利用定义判定，既要证明三组对应角相等，又要证明三组对应边的比相等，所以比较麻烦.怎么解决这个问题呢？（稍停）（三）尝试指导，讲授新课师：学习三角形全等时，我们知道，除了可以利用全等三角形定义来判定两个三角形全等，还有四个简便的判定方法.哪四个简便的判定方法？（稍停）就是SSS 、SAS 、ASA 、AAS.同样，判定两个三角形相似，有没有简便的判定方法？请大家先自己想一想.（生思考，要给学生充足的思考时间）师：好了，下面我们一起来考虑这个问题.师：全等三角形判定定理SSS 是怎么说的？（稍停）如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理.（师出示下面的板书）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）师：（指板书）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果ABBC CA A BB C C A ，那么△ABC ∽△A ′B ′C ′（边讲边作如下板书）. AB BC CA A B B C C A△ABC ∽△A ′B ′C ′师：这是相似三角形的一个判定定理，下面我们来看第二个判定定理. 师：全等三角形判定定理SAS 是怎么说的？（稍停）如果两个三角形A /B /BC A /C两边对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理.（师出示下面的板书）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）师：（指板书）如要两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结，夹角∠A=∠A′，那么△ABC∽△A′论的意思是说，如果AB ACA B A CB′C′（边讲边作如下板书）.AB AC，∠A=∠A′A B A C△ABC∽△A′B′C′师：这是相似三角形的又一个判定定理，下面我们来看第三个判定定理.师：全等三角形判定定理ASA、AAS都有两个角对应相等的条件，对相似三角形来说，具备两个角对应相等的条件，有这样一个判定定理.（师出示下面的板书）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.师：（指板书）如要两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC～△A′B′C′（边讲边作如下板书）.∠A=∠A′，∠B=∠B′△ABC∽△A′B′C′师：（指板书）这就是相似三角形的三个判定定理，之所以称它们为定理，是因为它们都是可以证明的.证明的过程比较复杂，有兴趣的同学可以看课本，课堂上我们就不证明了，只要求大家能够理解这三个判定定理，并能运用它们.下面我们就来运用判定定理. （师出示例题）例根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由： (1)∠A=120°，AB=7，AC=14，∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6；(2)AB=4，BC=6，AC=8，A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21；(3)∠A=70°，∠B=60°，∠A ′=70°，∠C ′=50°.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，(1)(2)题解题过程如课本第44页所示，(3)题解题过程如下）(3)∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-60°=50°.∵∠A=∠A ′=70°，∠C=∠C ′=50°，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（四）试探练习，回授调节2.根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似.(1)∠B=100°，∠C=30°，∠A ′=50°，∠B ′=100°；(2)∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A=40°，A ′B ′=16，A ′C ′=20；(3)AB=4，BC=2，CA=3，A ′B ′=6，B ′C ′=3，C ′A ′=4.5.（五）归纳小结，布置作业师：（指板书）本节课我们学习了相似三角形的三个判定定理，希望大家能够理解这三个定理，并记住它们.（作业：P 54习题2） ////BC CA B C C A 就说△ABC 和△A ′B 记作△ABC ∽△A ′B。
27.2.1相似三角形的判定
AD AE DE AB AC BC
∴△ADE∽△ABC
判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
“A”型
A D B
（图1）
D
“X”型
O
E
E C
B
（图2）
C
符号语言：在△ABC中
∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
学以致用
1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可能多地 找出图中的相似三角形，并说明理由。 O
A F E
B D
D
C
A
E
C
学以致用
7、如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值 （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
学以致用
8、如图，在□ABCD中，EF∥AB， DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
相似三角形判定方法
1、三组对应边的比相等且对应角相等；
AB BC CA . AB BC CA
B
C B′
C′
∴△ABC∽△A´B´C´ 2、相似三角形的性质：对应角相等,对应边的比也相等 3、相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比
AB BC AC △ABC与△A´B´C´相似比为k,即 DE EF DF k 1 k1 两三角形相似 则△A´B´C´与△ABC相似比为 k k=1 两三角形全等
如何不通过测量，运用所学知识，快速将 一根绳子分成两部分，使这两部分之比是 2:3?
A
B C BI CI DI EI FI
则
ACI
CIFI
2
D E F
3
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27．2 相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
第一课时
一、教学目标
1．经历探究平行线分线段成比例及其推论的过程，获得探究数学结论的体验，进一步
发展学生的探究、分析、归纳与交流的能力．
2．掌握平行线分线段成比例定理及其推论，会运用定理及其推论解决简单的问题．
二、教学重难点
重点：平行线分线段成比例定理及其推论．
难点：平行线分线段成比例定理的应用．
教学过程（教学案）
一、问题引入
师提问：相似多边形的主要特征是什么？
学生思考、回顾后，回答：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.如果△ABC 与△A ′B ′C ′相似，相似比为
k.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC 与过△A ′B ′C ′相似记作“△ABC ∽△A ′
B ′
C ′”．
教材图27.2－1
判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便
的判定方法(SSS ，SAS ，ASA ，AAS)．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的
判定方法呢？
学生交流、讨论．
二、互动新授
【探究】 见教材P29探究
学生动手实践后，交流，讨论．
教师讲评：可以发现，当l 3∥l 4∥l 5时，有AB BC ＝DE EF ，BC AB ＝EF DE ，AB AC ＝DE DF ，BC AC ＝EF DF
等． 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的
对应线段成比例．
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况．(教材图
27.2－3)
（1） （2）教材图27.2－3
在教材图27.2－3(1)中，把l 4看成平行于△ABC 的边BC 的直线；在教材图27.2－3(2)
中，把l 3看成平行于△ABC 的边BC 的直线，那么我们可以得到结论：平行于三角形一边的
直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
三、精讲例题
【例】 如图，直线l 1∥l 2∥l 3，另两条直线分别交l 1、l 2、l 3于点A 、B 、C 及点D 、E 、
F ，且AB ＝3，DE ＝4，EF ＝2，则( )．
A ．BC ∶DE ＝1∶2
B ．B
C ∶DE ＝2∶3
C ．BC ·DE ＝8
D ．BC ·D
E ＝6
【解析】 由选项知求的是BC 和DE 之间的关系，由平行线分线段成比例定理得AB BC ＝DE EF
，所以BC ·DE ＝6.
【解】 D
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
五、板书设计
六、教学反思
相似三角形是初中数学的重点内容之一，对学生分析能力、化归能力的培养与训练起重
要的作用．注重学生的动手操作能力，探究平行线分线段成比例的定理，有利于培养学生的
动手能力和学习兴趣．
27．2 相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
第一课时
1．平行线分线段成比例定理．
2．平行线分线段成比例定理的推论．
导学方案
一、学法点津
成比例线段在测量中经常用到，如比例尺．应用成比例线段时应注意对应线段的单位必
须一致．本节课主要是通过动手操作实验，学习平行线的性质、平行线分线段成比例定理．平
行线分线段成比例定理要抓住对应线段成比例，必须分清哪些线段是对应线段．
二、学点归纳总结
1.知识要点总结
（1）平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段
成比例．
2.规律方法总结
（1）用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应顶点应该写在对应的位置上，以便
指明对应角、对应边．
（2）寻找平行线分线段成比例定理中的对应线段，可根据图形中线段的对应位置来确
定，大致有：上∶下＝上∶下，上∶上＝下∶下，上∶全＝上∶全，下∶全＝下∶全．
第一课时作业设计
一、选择题
1．如图所示，AF ∥DE ∥BC ，AD ＝4，DB ＝6，EF ＝3，则FC 的长为( )．
A ．3
B ．4.5
C ．7.5
D ．8
2．如果△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是23，△A ′B ′C ′与△A ″B ″C ″的相似比是54
，那么△ABC 与△A ″B ″C ″的相似比是( )．
A.56
B.65
C.158
D.815
3．如图所示，DE ∥BC ，DE 分别交BA ，CA 的延长线于点D ，E ，AD ＝5，BD ＝15，EC ＝12，
则AE 的值为( )．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
第1题图 第3题图
二、填空题
4．已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶3，则△ABC 与△DEF 的相似比k 1＝__________；△
DEF 与△ABC 的相似比k 2＝__________．
5．如图，l 1∥l 2∥l 3，另两条直线分别交l 1，l 2，l 3于A ，B ，C 及A ，D ，E ，其中AB ＝5，AC ＝7，AE ＝8，则DE ＝________．
6．有一块三角形的草地，它的一条边长为25m.在图纸上，这条边的长为5cm ，其他两边长均为4cm ，则其他两边的实际长度均为__________．
三、解答题
7．如右图所示，在△ABC 中，AB ＝20cm ，AG ＝16cm ，AD ＝12cm ，AE ＝9cm ，AH ＝12cm ，DE ∥BC ∥GH ，求EC ，HC 的长．
【参考答案】
1．C 2.A 3.B 4.13 3 5.167
6.20m 7．解：∵DE ∥BC ，∴AD DB ＝AE EC .即1220－12＝9EC
. ∴EC ＝6cm .∵GH ∥BC ，∴
AG GB ＝AH HC . 即
1620－16＝12HC .∴HC ＝3cm .。