人教版2020九年级数学下册 第三章 圆 3.3 垂径定理同步练习

课时作业(二十一)[第三章 *3 垂径定理]一、选择题1．如图K －21－1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不一定成立的是( )图K －21－1A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MD2．如图K －21－2，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为E ，若OE ＝3，则AB 的长是链接听课例1归纳总结( )图K －21－2A ．4B ．6C ．8D ．10 3．绍兴是著名的桥乡，如图K －21－3是石拱桥的示意图，桥顶到水面的距离CD 为8 m ，桥拱半径OC 为5 m ，则水面宽AB 为()链接听课例3归纳总结图K －21－3A ．4 mB ．5 mC ．6 mD ．8 m4．2018·临安区如图K －21－4，⊙O 的半径OA ＝6，以A 为圆心，OA 长为半径的弧交⊙O 于点B ，C ，则BC 的长为( )图K －21－4A．6 3 B．6 2 C．3 3 D．3 25．如图K－21－5，正方形ABCD的四个顶点均在⊙O上，⊙O的直径为2分米，若在这个圆内随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是()图K－21－5A.2πB.π9C.12πD．2π6．如图K－21－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心、CA 长为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为( )图K－21－6A.95B.215C.185D.527．2018·安顺已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB ＝8 cm，则AC的长为()A．2 5 cm B．4 5 cmC．2 5 cm或4 5 cm D．2 5 cm或4 3 cm二、填空题8．过⊙O内一点M的最长的弦长为10 cm，最短的弦长为8 cm，那么OM的长为________．9．如图K－21－7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限内，⊙P 与x轴交于点O，A，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为13，则点P的坐标为________．图K－21－710.如图K－21－8所示，AB，AC，BC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________．图K－21－811．如图K－21－9，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为________.链接听课例1归纳总结图K－21－912．小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图K－21－10是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.链接听课例3归纳总结图K－21－10三、解答题13．2018·浦东新区二模如图K－21－11，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5 3，求弦CD的长及圆O的半径.链接听课例1归纳总结图K－21－1114．如图K－21－12，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.求证：(1)∠OBA＝∠OCD；(2)AB＝CD.图K－21－1215．一个半圆形桥洞截面如图K －21－13所示，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD ＝16 m ，OE ⊥CD 于点E .已测得sin ∠DOE ＝45.(1)求半径OD ；(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？链接听课例3归纳总结图K －21－13探索存在题如图K －21－14，在半径为5的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 是弧AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E .(1)当BC ＝6时，求线段OD 的长．(2)在△DOE 中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图K －21－14详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] D2．[解析] C 连接OA ，如图． ∵OC ⊥AB ，OA ＝5，OE ＝3，∴AE ＝OA 2－OE 2＝52－32＝4， ∴AB ＝2AE ＝8.故选C.3．[解析] D 连接OA ，∵桥拱半径OC 为5 m ，∴OA ＝5 m ．∵CD ＝8 m ，∴OD ＝8－5＝3(m)，∴AD ＝OA 2－OD 2＝4 m ，∴AB ＝2AD ＝2×4＝8(m)．4．[解析] A 设OA 与BC 相交于点D ，连接AB ，OB .∵AB ＝OA ＝OB ＝6，∴△OAB 是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA 垂直平分BC ，∴OD ＝AD ＝3，在Rt △BOD 中，由勾股定理得BD ＝62－32＝3 3，∴BC ＝6 3.故选A. 5．[答案] A6．[解析] C ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5. 过点C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ， 则M 为AD 的中点．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，且AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴CM ＝125.在Rt △ACM 中，根据勾股定理，得AC 2＝AM 2＋CM 2，即9＝AM 2＋(125)2，解得AM ＝95，∴AD ＝2AM ＝185.故选C.7．[解析] C 连接AC ，AO .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ，∴AM ＝12AB＝12×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.当点C 的位置如图(1)所示时，∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，CD ⊥AB ，∴OM ＝OA 2－AM 2＝3 cm ，∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝4 5(cm)．当点C 的位置如图(2)所示时，同理可得OM ＝3 cm ，∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2＋MC 2＝42＋22＝2 5(cm)．综上所述，AC 的长为4 5 cm 或2 5 cm.故选C.8．[答案] 3 cm[解析] 由题意作图，如图所示，AB 为过点M 最长的弦，CD 为过点M 最短的弦，连接OD ，则OM ＝OD 2－DM 2＝52－42＝3(cm)． 9．[答案] (3，2)[解析] 过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP . ∵A (6，0)，PD ⊥OA ，∴OD ＝3.在Rt △OPD 中，∵OP ＝13，OD ＝3，∴PD ＝OP 2－OD 2＝（13）2－32＝2，∴P (3，2)．10．[答案] 6[解析] 由AB ，AC 都是⊙O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，根据垂径定理可知M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴BC ＝2MN ＝6.11．[答案] 2 3[解析] 过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA .∵OD ⊥AB ，∴AD ＝BD .由折叠的性质可知OD ＝12OA ＝1，在Rt △OAD 中，AD ＝OA 2－OD 2＝22－12＝3，∴AB ＝2AD ＝2 3.故答案为2 3. 12．[答案] 25[解析] 如图，设圆的圆心为O ，连接OA ，OC ，OC 与AB 交于点D ，设⊙O 的半径为R cm.由题意得OC ⊥AB ，∴AD ＝DB ＝12AB ＝20 cm.在Rt △AOD 中，∵∠ADO ＝90°，∴OA 2＝OD 2＋AD 2，即R 2＝202＋(R －10)2，解得R ＝25.故答案为25.13．解：如图，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，连接OD ， ∵∠CEA ＝30°，∴∠OEM ＝∠CEA ＝30°. 在Rt △OEM 中，∵OE ＝4，∴OM ＝12OE ＝2，EM ＝OE ·cos30°＝4×32＝2 3.∵DE ＝5 3，∴DM ＝DE －EM ＝3 3.∵OM 过圆心，OM ⊥CD ，∴CD ＝2DM ＝6 3. ∵在Rt △DOM 中，OM ＝2，DM ＝3 3， ∴OD ＝OM 2＋DM 2＝22＋（3 3）2＝31.故弦CD 的长为6 3，⊙O 的半径为31.14．证明：(1)过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M ，N . ∵PO 平分∠EPF ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴OM ＝ON .在Rt △OMB 和Rt △ONC 中， OM ＝ON ，OB ＝OC ，∴Rt △OMB ≌Rt △ONC (HL)， ∴∠OBA ＝∠OCD .(2)由(1)得Rt △OMB ≌Rt △ONC ，∴BM ＝CN . ∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴AB ＝2BM ，CD ＝2CN ，∴AB ＝CD .15．[解析] (1)由OE ⊥CD ，根据垂径定理求出DE ，解Rt △DOE 可求半径OD ；(2)在Rt △DOE 中，由勾股定理求出OE ，再用OE 除以水面下降的速度，即可求出时间． 解：(1)∵OE ⊥CD 于点E ，CD ＝16 m ， ∴ED ＝12CD ＝8 m.在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE ＝ED OD ＝45，∴OD ＝10 m.(2)在Rt △DOE 中，OE ＝OD 2－ED 2＝102－82＝6(m)，6÷0.5＝12(时)，故水面以每小时0.5 m 的速度下降，经过12小时才能将水排干．[素养提升][解析] (1)根据垂径定理可得BD ＝12BC ，然后只需利用勾股定理即可求出线段OD 的长；(2)连接AB ，如图，利用勾股定理可求出AB 的长，根据垂径定理可得D 和E 分别是线段BC 和AC 的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE ＝12AB ，即DE 的长度保持不变．解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3.在Rt △ODB 中，OB ＝5，BD ＝3， ∴OD ＝OB 2－BD 2＝4， 即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长度保持不变． 连接AB ，如图，∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5， ∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2. ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D ，E 分别是线段BC 和AC 的中点， ∴DE 是△CBA 的中位线， ∴DE ＝12AB ＝5 22.。