北师大版初三数学下册《2.2 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质》课件
2
4
要点归纳 y＝ax2 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 a>0 y O x 开口向下,在x轴下方 a<0 y O x
开口向上,在x轴上方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
x · · · －1.5 －1 －0.5 0
· · ·
y 2x
2
的图象.
0.5 0.5
1 2
1.5 4.5
· · ·
· · ·
4.5
2
0.5
0
y x
2
y 2x
2
描点，连线.
8
6
4
2
－4 －2 2
4
观察思考 问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？ 二次函数y=2x2的图象是一条抛物线， 并且抛物线开口向上. 问题2 图象的对称轴是什么？ y轴就是它的对称轴.
4
二 二次函数y=ax2+c的图象与性质
合作探究 做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表：
x · · · －2 －1.5
9 5.5 3.5
－1
3 1
0
1 －1
1
3 1
1.5
5.5 3.5
2
9 7
· · · · · · · · ·
· · y =2 x2＋1 ·
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
合作探究
10 y = 2x2＋ 1 y = 2 x2－ 1
问题 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开 口方向、对称轴和顶点各是什么？
－4
－2
y 2x
2
8 6 4 2
2
4
问题3 图象的顶点坐标是什么？ 原点 (0,0).
问题4 当x取何值时，y的值最小？ 最小值是什么？ x=0时，ymin=0.
y 2x
2
8 6 4 2 －2
问题5 当x<0时，随着x值的增大， y值如何变化？当x>0时呢？ 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. －4
－8
要点归纳
在二次函数y=ax2中，a的绝对值越大，开口越小.
针对训练 把图中图象的号码，填在它的函数式后面：（填序号） （1）y=3x2的图象是_______ ③ ； 1 2 （2）y= x 的图象是_______ ① ； 3 （3）y=-x2的图象是_______ ④ ； 3 2 （4）y=- x 的图象是_______ ． ②
y 1 2 x
2
4
问题 在同一直角坐标系中，画出函数
y x
2
y
1 2
x , y 2 x ，
2
2
的图象如图所示，观察其开口大小与a的绝对值 当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
－4 －2 －2 －4 －6
y 2 x y x
2 2
有什么关系？
2
4
y
1 2
x
2
的两点，且x1＞x2＞0，那么y1与y2的大小关系是 y2＞y1 _____________.
例2 已知
y (k 2) x
k
2
k 4
是பைடு நூலகம்次函数，且当x＞0时，
y随x增大而增大，则k= 2 .
分析：
y (k 2) x
k
2
k 4
是二次函数，即二次
项的系数不为0，x的指数等于2. 又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项 的系数大于0.
要点归纳 二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系 二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移
得到：
当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.
当c < 0 时,向下平移-c个单位长度得到.
上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减.
练一练 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D ) A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
k k 4 2 因此， k 2＞ 0
2
解得 k=2
合作探究 问题 在同一直角坐标系中画出二次函数
y 2x
2
y
1 2
x ,y x ,
2
2
的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有
什么关系？ 当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.
y x
2
y 2x
2
8
6 4 2 －4 －2 2
练一练 1.函数y=4x2的图象的开口向上,对称轴是 y轴 ,顶点 是 (0,0) ;
2.函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴是 y轴 , (0,0) 顶点是抛物线的最____ 高 点 顶点是_____
3.函数y= 3 x2的图象的开口 向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点 低 点. 是(0,0) ;顶点是抛物线的最____
4.函数y= －0.2x2的图象的开口 对称轴是_y轴 __,顶点是 (0,0) ;
向下 ,
5.关于二次函数y＝2x2，下列说法正确的是( B ) A．它的开口方向是向下 B．当x<0时，y随x的增大而减小 C．它的对称轴是x＝2 D．当x＝0时，y有最大值是0
典例精析
例1 若点(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=-3x2图象上
导入新课
情境引入
如果二次函数 y=ax2 的图象与平移碰撞在 一起,会擦出怎样的火花呢？让我们拭目 以待吧！
门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗？ 羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,
大家能回忆出二次函数y=x2的性质吗？
讲授新课
一 二次函数y=ax2的图象与性质
合作探究
画出函数 列表.
第二章
二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的 图象与性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.（难点）
2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
（重点）
3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系.
· · 7 y = 2x2－1 ·
再描点，连线
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与 抛物线y=2x2 有什么关系？
10
8
y = 2x2 ＋ 1 y = 2x2－ 1
6
4 2 －4 －2 －2
2
4
可以发现，把抛物线y=2x2 向 上 平移1个单位长
度，就得到抛物线 y=2x2+1 ；把抛物线 y=2x2 向 下 平 移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
北师大版数学九年级下册 二次函数y=ax2的图象与性质教案与反思
第1课时二次函数y=ax2的图象与性质知人者智，自知者明。
《老子》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！【知识与技能】1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.【过程与方法】经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.【情感态度】培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.【教学重点】会画y=ax2的图象，理解其性质.【教学难点】结合图象理解拋物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来.一、情景导入，初步认知一次函数y=kx+b和反比例函数xy=k(k≠0)图象是什么形状？有哪些性质呢？那么二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入课题【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.二、思考探究，获取新知(1)试着画出y=x2的图象【教学说明】让学生自己经历画y=x2的图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程.(2)探究y=x2的性质【教学说明】让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的.【归纳结论】它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点.拋物线顶点概念：拋物线与它的对称轴的交点叫做拋物线的顶点.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？【归纳结论】1.抛物线y=ax2（a≠0)的对称轴是狔轴，顶点是原点；a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；a0时，拋物线y=ax2的开口向上，顶点是拋物线的最低点a越大，拋物线的开口越小；3.a<0时，拋物线y=ax2的开口向下顶点是拋物线的最高点a越大，拋物线的开口越大．1.布置作业：教材“习题2.2”中第1、2题.2.成练习册中本课时的练习.本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣.教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识.整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣.【素材积累】每个人对未来都有所希望和计划，立志是成功的起点，有了壮志和不懈的努力，就能向成功迈进。
2020春北师版九年级数学下册 第2章【说课稿】 二次函数y=ax2的图象与性质
二次函数y=ax2的图象和性质《二次函数y=ax2的图象与性质》，根据新课标理念，对应本节，将以教什么、怎样教以及为什么这样教为思路，从教材分析、教学目标分析、教学方法分析、教学过程分析四个方面加以说明。
一、教材分析（说教材）：1、教材所处的地位和作用：《二次函数y=ax2的图象与性质》是初中数学（北师版）九年级下第二章二次函数的第一节内容。
本节内容主要是作函数y=ax2的图象，通过图象研究y=ax2的开口方向，对称轴，顶点坐标等其他性质。
本课是在学生掌握了二次函数的概念下对二次函数y=ax2的图象与性质进一步的研究，通过作出二次函数的图象来研究它的性质。
通过这节的学习，学生将掌握函数y=ax2的图象与性质，是进一步学习二次函数的基础。
二次函数的图象与性质是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一。
2、教学目标：根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：（1）、知识目标：会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，能根据图象观察、分析出二次函数y=ax2的开口方向，对称轴，顶点坐标等有关性质。
（2）、能力目标：通过函数图象进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并且能应用到实际问题中；提高学生对比、发现、概括的能力；培养观察能力和分析问题的能力。
（3）、情感目标：通过作函数图象，认识数形结合的数学思想方法，体会数学中的特殊与一般的辨证关系.；培养学生动手能力、勇于探索创新及实事求是的科学精神.。
3、教学重点、难点：本着课程目标，在充分理解教材的基础上，确立了如下的教学重点、难点。
教学重点：1、画出二次函数y=ax2的图象；2、根据图象观察、分析出二次函数y=ax2的性质；教学难点：二次函数y=ax2的性质的应用，渗透数形结合的数学思想方法，了解从特殊到一般的探索方法，培养观察能力和分析问题的能力。
二、教学策略（说教法）：1、教学手段：启发式讲解互动式讨论研究式探索本节课以学生的自主探索为主，老师主要通过演示引导启发学生得出结论，这样有利于学生提高学习兴趣，获得成就感。
数学北师大版九年级下册《二次函数的图象与性质(第二课时)》教学设计
北师大版数学九年级下册第二章第2节《二次函数的图象与性质（第二课时）》教学设计陕西师范大学附属中学马翠一、教材分析二次函数的图象—抛物线是人们最熟悉的曲线之一，生活中的应用非常广泛。
本节课是北师大版数学九年级下册第二章二次函数第2节二次函数的图象与性质的第二课时。
该内容属于《全日制义务教育课程标准（2011版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了二次函数定义、探究了y=±x2图象基础上，进一步探究函数y=ax2与y=ax2+c的图象与性质，既是前面所学知识的延续，又是探究其他二次函数图象的基础，起到了承上启下的作用。
二次函数的核心内容是它的概念和图象特征，本节课开始研究a、c对函数图象的影响，对后期研究一般的二次函数从方法和内容上有着重要的铺垫和打基础作用。
对二次函数图象的研究，充分体现了数形结合思想，通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质. 在以前学习的一次函数和反比例函数中都有所体现，结合本节课的内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。
从列表、解析式、图象三方面理解函数，分析a，c的影响，反应了研究函数图象的基本方法。
因此，学好本节课，将为今后的数学学习，尤其是函数学习，奠定坚实的基础。
二、学情分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质。
学生的图形计算器基础：学生通过培训已经初步掌握了HP Prime图形计算器的使用，对图形计算器的运用熟悉，且有浓厚的学习兴趣。
学生活动经验基础：九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，开始有了数学抽象思维和一定的分析、归纳内能力，具备本节课的认知心理基础。
该阶段的学生几何直观能力也有了很大发展，教学中应深入浅出地引导分析，利用HP Prime图形计算器和几何画板相结合可以使学生更清晰的观察和认识图形，充分理解与归纳。
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
第2课时 确定二次函数y=ax2+bx+c的表达式 数学北师大版九年级下册教案
第二章二次函数3 确定二次函数的表达式第2课时确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式教学目标教学反思1.经历确定二次函数表达式y＝ax2＋bx＋c的过程，体会求二次函数表达式的方法.2.已知二次函数图象上三个点的坐标，运用待定系数法确定二次函数表达式.3.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的方法,培养学生数学应用意识.教学重难点重点：利用二次函数图象上三个点的坐标确定二次函数表达式.难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式确定二次函数的表达式．教学过程导入新课1.一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，所以我们把________________________叫做二次函数的一般式.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c，用配方法可化为y＝a(x－h)2＋k，顶点是(h，k).配方:y＝ax2＋bx＋c＝__________________＝___________________＝__________________＝a(x＋)2＋.对称轴是直线x＝，顶点坐标是,其中h＝，k＝，所以，我们把___________叫做二次函数的顶点式.思考问题已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(－3,0),(1,2),(－1,－4)三点,那么你能利用上节课所学的知识求这个二次函数的表达式吗?让学生独立分析题目中的已知条件,回忆上节课利用待定系数法求二次函数表达式的方法,互相交流.设计意图：通过问题的出示,让学生认识到运用原有的知识无法解决该问题,引起了学生的好奇心,激发了学生探究新知的欲望.探究新知一、预习新知教师提出问题已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上的三个点可以确定这个二次函数的表达式吗？多媒体展示题目已知一个二次函数的图象经过(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点，求这个二次函数的表达式.让学生回忆上节课的知识独立解答，找学生代表展示解题过程.利用上节课的知识，学生都能很容易地得到函数表达式.师：知道了函数图象上的三个点的坐标，除了用上节课的解法，我们还能不能直接用待定系数法设成y ＝ax 2＋bx ＋c 进行解答呢？给学生留出足够的思考时间，与同伴交流想法，再小组内讨论，最后由组长展示解答过程，师生共同订正.解：设所求的二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点坐标分别代入表达式,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=++,4,424,1c c b a c b a 解这个方程组,得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.4,6,1c b a ∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2－6x ＋4.教师点评：通过上面的探究可知，如果已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上三个点的坐标，那么就可以确定这个二次函数的表达式.设计意图：利用上节课所学的知识进行引入，既复习了旧知，又引出了新知，进而学习本节课的解题方法，同时也为下面的学习做好了铺垫.二、合作探究前面我们已经探究了利用两个点或三个点的坐标确定二次函数表达式的方法，你能利用所学知识解决下面的问题吗？多媒体展示课本议一议.一个二次函数的图象经过点 A （0，1），B （1，2），C （2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流．教师要求学生仔细观察给出的三个点的特征，根据点的特征合理地选择解答方法.学生解答，教师巡视发现学生不同的解法，并找解法不同的学生说明思路.生1：因为二次函数图象与y 轴交点的纵坐标为1，所以c ＝1，所以我们可以设表达式为y ＝ax 2＋bx ＋1，然后代入B ，C 两点的坐标求解.生2：由A ，C 两点的纵坐标相等得到点B 是顶点，可以设成顶点式y ＝a (x －1)2＋2，然后代入点A 或C 的坐标求解.生3：由图象经过三个点，可以设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，然后代入三个点的坐标求解.教师对三位学生的解题思路给予肯定，让学生用三种不同的方法解答本题，最后根据这两节课的探究，总结确定二次函数表达式的方法.典型例题【例1】已知二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．【问题探索】已知二次函数的图象经过三点，考虑设二次函数的一般式解决问题．【解】设所求二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 将(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点的坐标分别代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧10＝a －b ＋c ，4＝a ＋b ＋c ，7＝4a ＋2b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝5.即所求二次函数的表达式为y ＝2x 2－3x ＋5.∵y ＝2x 2－3x ＋5＝2243⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋318，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝34，顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛83143，.教学反思【总结】用待定系数法求二次函数表达式，当已知抛物线经过的三点坐标时，通常设二次函数的一般式，即设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，从而列三元一次方程组来求解．【例2】已知抛物线经过点(－1，0)，(5，0)和(3，－4)，求该抛物线的表达式．【问题探索】已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一点的坐标，应该怎样设函数表达式较为简便？【解】设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －5)． 将点(3，－4)的坐标代入，得－4＝－8a ，解得a ＝12.则该抛物线的表达式为y ＝12(x ＋1)(x －5)，即y ＝12x 2－2x －52.【总结】用待定系数法求二次函数表达式时，若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为(x 1，0)，(x 2,0)，可选择设其表达式为交点式，即y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．课堂练习1.已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的表达式为( )A.y ＝2x 2＋x ＋2B.y ＝x 2＋3x ＋2C.y ＝x 2－2x ＋3D.y ＝x 2－3x ＋22.已知一个二次函数，当x ＝0时，y ＝－5；当x ＝－1时，y ＝－4；当x ＝－2时，y ＝5.则这个二次函数的表达式是( )A.y ＝4x 2＋3x －5B.y ＝2x 2＋x ＋5C.y ＝2x 2－x ＋5D.y ＝2x 2＋x －53.已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－8)，图象与x 轴的一个公共点A 的横坐标为－3，则这个函数的表达式为.4.已知抛物线的顶点坐标是(3，5)，且经过点A (1，3)． (1)求此抛物线的表达式；(2)如果点A 关于该抛物线对称轴的对称点是点B ，且抛物线与y 轴的交点是点C ，求△ABC 的面积．参考答案1.D2.A3.y ＝2x 2＋4x －64.解：(1)设抛物线的表达式为y ＝a (x －3)2＋5.将点A (1，3)的坐标代入上式，得3＝a (1－3)2＋5，解得a ＝－12.即抛物线的表达式为y ＝－12(x －3)2＋5.(2)∵A (1，3)，且抛物线对称轴为直线x ＝3， ∴B (5，3)．令x ＝0，得y ＝－12(0－3)2＋5＝12，教学反思∴C ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，∴S △ABC ＝12×(5－1)×⎪⎭⎫ ⎝⎛-213＝5.课堂小结(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c ；（已知抛物线上三点坐标或三对x 、y 的值，用一般式） (2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k ；（已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） (3)交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．（已知抛物线与x 轴交点的横坐标x 1，x 2，用交点式）板书设计第二章 二次函数 3 确定二次函数的表达式第2课时 确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c ; 顶点式：y ＝a (x －h )2＋k ; 交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2). 教学反思。
北师九下数学2.2.1二次函数的图象与性质1二次函数y=x2图象和性质九年级下册第二章二次函数第二节课件北师版
解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2. （2）∵当x=-1时,y=-2· (-1)2 ≠ -4, ∴点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
（3）当 y=-6 时，-6=-2x2 ,得 x2=3, x=± 3, ∴纵坐标为-6 的点有两个， 它们分别是( 3,-6)与(3,-6)
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练习与提高
2、已知点A(1，a)在抛物线y = x2 上。 （1）求A的坐标； （2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等 腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在， y 说明理由。
A o
x
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练习与提高
3. y=x2图象可知，无论x取何值，y ≥ 0． y=－x2图象可知，无论x取何值，y ≤ 0．
第13页 2018.11
课 堂 小 结
二次函数y=±x2的性质 １.顶点坐标 2.对称轴 3.位置 4.开口方向 5.增减性 6.最值 y=x2
y x2
抛物线
（ 0， 0） 顶点坐标 对称轴 y轴 y轴 位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
第10页 2018.11
2 -4 -3 -2 -1
-1 -2
-4 -6 -8 -10
y
2
（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. ? （3）当x<0时,随着x的值增大 -4,y 的值如何变化？当x>0呢 ？ （4）当x取什么值时,y的值最大?最大值是什么？
-6
1 2 3 4 x -1 （2）图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么 -2 -4 -3 -2 -1
北师版九年级数学下册课件 第二章 二次函数 第2课时 二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象与性质
3．(3 分)若 A(－2，y1)，B(1，y2)是二次函数 y＝－23 x2 图象上的两点，则( C ) A.0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
4．(3 分)若原点是抛物线 y＝(m＋3)x2 的最高点，则 m 的取值范围为___m_＜__－__3___．
解：(1)∵点 A(4，0)，点 B(0，6)，∴OA＝4，易得直线 AB 的表达式为 y＝－32 x
＋6，∴S△AOP＝12 OA·yP＝12 ·4yP＝6，∴yP＝3，∴－32 xP＋6＝3，∴xP＝2，∴点 P(2，
3).又∵点 P(2，3)在抛物线 y＝ax2＋2 上，∴3＝22a＋2，∴a＝1 4
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c的图象与性质
二次函数y＝ax2的图象与性质 1．(2 分)如图，二次函数 y＝－3x2 的图象为( C ) A.① B．② C．③ D．④
2．(3 分)抛物线 y＝2x2，y＝－2x2，y＝1 x2 共有的性质是( B ) 2
第 13 题图
第 14 题图
三、解答题(共 36 分) 15．(10 分)如图，抛物线 y＝ax2＋2 与经过点 A(4，0)，B(0，6)的直线在第一象 限内相交于点 P，且△AOP 的面积为 6. (1)求 a 的值； (2)若将该抛物线向下平移 m 个单位长度后所得的抛物线经过点 A，求 m 的值．
解：(1)根据题意可知顶点 C(0，4)，点 A(－2，8)，点 B(2，8)，∴可设抛物线的函 数表达式为 y＝ax2＋4.将点 B(2，8)代入 y＝ax2＋4，得 8＝22a＋4，解得 a＝1，∴该抛 物线的函数表达式为 y＝x2＋4
2.2二次函数的图象和性质第二课时二次函数y=ax2与y=ax2+c
④
1).
图象为
①.
③
2).
3).
y 4x
2
③
图象为
图象为
①
o
2 2 y x 3
②.
.
x
②
④ 2 +5 的图象可由抛物线 y = -2x 2 经过 2. y = -2x 4). 图象为 .
沿y轴向上平移5个单位 得到的. 它的对称轴是 y轴 , 顶点坐标是（0，5） ,在x<0时.y值随x的增大而 增大 ； 与x轴有 2个 交点。
7.对于抛物线 y=x2和 y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说 法错误的是（ ） A．两条抛物线关于x轴对称
B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点 8.已知抛物线 y=mx2＋ n向下平移 2个单位后得到的函数图像
9.如图，直线 l 经过 A（ 3 ， 0）， B（ 0 ， 3）两点，且与二次 函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
y y 2 x 1
2
y 2 x 2
位置不同; 最大值不同: 分别是1和0..
二次函数y=-2x2+1的 图象形状与y=-2x2 一样,仍是抛物线.
二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
议一议
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² -1的图象 与二次函数y=3x² 的图象. 二次函数y=3x² 一l的图象与二次函数y=3x² 的图 象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方 向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
想一想
你知道函数y=3x2-1的 大致图象和位置吗?
y 1.
九年级数学下册 第二章 二次函数教案 (新版)北师大版 教案
第二章 二次函数一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y =ax 2和y=ax 2+c 的一般性质。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax 2和y=ax 2+c 的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。
学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。
同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析第2.4节将讨论一般形式的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质。
它和学生前面几节课学习的2ax y =、c ax y +=2的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。
具体的，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够作出y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a,h 和k 对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a (x-h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法1．经历探索二次函数y=a (x-h )2+k 的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点：理解y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象与y=ax 2的图象的关系，理解a 、h 和k 对二次函数图像的影响。
教学重点：y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 与y=ax 2的图象的关系，y=a (x-h )2+k 的图象性质三、教学过程分析本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。
北师大版九年级下册数学第5讲《二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质》知识点梳理(1)
北师大版九年级下册数学第 5 讲《二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质》知识点梳理【学习目标】1.经历探索二次函数y=ax2 和y=ax2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2.会作出y=ax2 和y=ax2＋c 的图象，并能比较它们与y=x2 的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．3.能说出y=ax2＋c 与y=ax2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4.体会二次函数是某些实际问题的数学模型．【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=a x2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y 轴，它的顶点是坐标原点.当a＞0 时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0 时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=a x2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x 的值，求出相应的y 值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x 和y 的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值.（2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.3.二次函数y=a x2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴.要点二、二次函数y=a x2+c(a≠0)的图象与性质1.二次函数y=a x2+c(a≠0)的图象（1）a 0yy = ax 2+ c (c > 0)c Oxyy = ax 2 + c (c < 0) Oc x（2） a < 0yc OxyOcx2.二次函数 y =a x 2+c (a ≠0)的图象的性质y = ax 2 + c (c > 0)y = ax 2 + c (关c < 0于) 二 次 函 数y = ax 2 + c (a ≠ 0) 的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数y= ax 2 + c (a > 0, c > 0)y = ax 2 + c (a < 0, c > 0)图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小.当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大.最大（小）当x = 0 时，y最小值=c当x = 0 时，y最大值=c 值【典型例题】类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1．(2014 秋•青海校级月考）二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1 的图象交于点P（1，m）（1）求a，m 的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．【思路点拨】（1）把点P（1，m）分别代入二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1 即可求出未知数的值；（2）把a 代入二次函数y=ax2与即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值．（3）根据二次函数的性质直接写出即可．【答案与解析】解：（1）点P（1，m）在y=2x﹣1 的图象上∴m=2×1﹣1=1 代入y=ax2∴a=1（2）二次函数表达式：y=x2因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y 轴，当x＞0 时，y 随x 的增大而增大；（3）y=x2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．【总结升华】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性．举一反三：【变式1】二次函数y =ax2与y =-2x2的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a=．【答案】2.【变式2】（2015•山西模拟）抛物线y=﹣x2不具有的性质是（）．A.开口向上B. 对称轴是y 轴C. 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大D. 最高点是原点【答案】A.2.已知y=(m+1)x m2+m 是二次函数且其图象开口向上,求m 的值和函数解析式.【思路点拨】根据二次函数的定义以及函数y=ax2（a≠0）的图象性质来解答.【答案与解析】⎩⎧m 2 + m = 2由题意， ⎨m +1＞0 ，解得 m=1，∴二次函数的解析式为：y= 2x 2 .【总结升华】本题中二次函数还应该有 m+1≠0 的限制条件，但当 m +1＞0 时，一定存在 m+1≠0，所以就不再考虑了.类型二、二次函数 y =a x 2+c (a ≠0)的图象与性质3. 求下列抛物线的解析式：（1） 与抛物线 y = - 1 x 2+ 3 形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； 2（2） 顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于 y 轴对称的抛物线．【思路点拨】抛物线形状相同则| a | 相同，再由开口方向可确定 a 的符号，由顶点坐标可确定 c 的值，从而确定抛物线的解析式 y = ax 2 + c ．【答案与解析】（1） 由于待求抛物线 y = -1x 2 + 3 21形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为 ， 2又顶点坐标是（0，-5），故常数项 k = -5 ，所以所求抛物线为 y = 1x 2 - 5 ．2（2） 因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为 y = ax 2 +1 ，又∵该抛物线过点（3，-2），∴ 9a +1 = -2 ，解得 a = - 1．3∴所求抛物线为 y = - 1x 2 +1．3【总结升华】本题考察函数 y = ax 2 + c (a ≠ 0) 的基本性质，并考察待定系数法求简单函数的解析式.4. 在同一直角坐标系中，画出 y = -x 2 和 y = -x 2 +1的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线y =-x2+1向平移个单位得到抛物线y =-x2；(2)抛物线y =-x2+1开口方向是，对称轴为，顶点坐标为；(3)抛物线y =-x2+1，当x时，随x 的增大而减小；当x时，函数y 有最值，其最值是．【思路点拨】利用描点法画出函数图象，根据图象进行解答.【答案与解析】函数y =-x2与y =-x2+1的图象如图所示：(1)下；l ；(2)向下；y 轴；(0，1)；(3)＞0；＝0；大；大； 1.【总结升华】本例题把函数y =-x2+1与函数y =-x2的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数y =ax2+c(a ≠ 0) 与y =ax2 (a ≠ 0) 的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．y =ax2+c(a ≠ 0) 可以看作是把y =ax2 (a ≠ 0) 的图象向上(k > 0) 或向下(k < 0) 平移| k | 个单位得到的．举一反三：【变式】函数y = 3x2可以由y = 3x2-1 怎样平移得到？【答案】向上平移1 个单位.。