6反比例函数(特殊图形)
北师大版九年级数学上册第6章 反比例函数的应用
.
= . .
例 5：为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气
体，当温度不变时，注射器里的气体压强 p(kPa)与气体体积 ³
的部分对应 值如下表：
V(cm³) 15
20
25
30
40
50
p(kPa) 400 300 240 200 150 120
在R≥3.6Ω这个范围内
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提疑惑：你有什么疑惑？
教师讲评
知识点1：反比例函数与几何图形、一次函数的综合应用
反比例函数与几何图形、一次函数综合起来应用可解决如下几种问题：
（1）已知一次函数和反比例函数的表达式，求它们图象交点的坐标，这类题目可以
通过列方程组来求解；
（2）判断含有同一字母系数的一次函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中的
误区提醒
忽略实际问题中自变量的取值范围；不能正确地构造出函数模型.
典例精讲
【题型一】反比例函数与一次函数的交点问题
例1：如图，在直角坐标系xOy中，一次函数 = ₁ + 的图象
与反比例函数 =
)的图象交于 A(1,m)、B(3,n)两点,则关
于 x的不等式 ₁ + >
经检验， ₁ = −, ₂ = 是原方程的解，且符合题意，
∴点A的横坐标为 −,把 = −代入 = − ,得 2 = ,
∴点A的坐标为( − .
(3)当 ₁ > ₂时，x的取值范围为. < −或 < < .
和点
【题型二】成比例线段的概念
反比例函数的图像和性质的综合应用
解析
根据题意，将点 A（-2 ，3）和点 B（3，-2 ）分别代入两个函数中 ，得到关于 m、k、b 的方程组，解方程组求 得 m、k、b 的值，即 可得到两个函数的解析
式。
05
反比例函数在几何图形中应用
相似三角形判定定理推广
预备定理
平行于三角形的一边，并且和 其他两边相交的线段，所截得 的三角形的三边与原三角形三 边对应成比例。
反比例函数图像在平面直角坐标系中 ，沿y轴方向平移，函数表达式不变， 图像沿y轴平移。
伸缩变换规律
01
当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而减小；
02
当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而增大。
03
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数； k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3
平行四边形面积问题
通过已知相邻两边及其夹角求解面积，或已知面 积和一边长度及夹角求解另一边长度，应用反比 例函数进行求解。
速度、时间、距离关系分析
匀速直线运动问题
通过已知速度和时间求解距离，或已 知距离和时间求解速度，利用反比例 关系建立方程。
变速直线运动问题
曲线运动问题
通过已知速度和方向的变化规律，求 解某时刻的速度或某段时间内的平均 速度及运动轨迹，结合反比例函数进 行综合分析。
解析
根据题意，将点（-2， -1）代入两个函数中， 得到关于 k、m、n 的 方程组，解方程组求得 k、m、n 的值，即可 得到两个函数的解析式 。再将 x = 3 代入两个 函数中，得到关于 k、 m、n 的另一个方程， 与前面的方程组联立求 解，即可得到最终的解
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像与性质一、反比例函数的概念：形如(0)ky k x=≠的函数，叫做反比例函数.其中x 是自变量,y 是函数 ,k 叫做比例系数. 【注】1、自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数,y 的取值范围也是不等于0的一切实数.2、在反比例函数ky x=(k≠0)的左边是函数y ,右边是分母为自变量x 的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x 的一次单项式,如1y x =,312y x =等都是反比例函数,但21y x =+就不是关于x 的反比例函数. 3、反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y =kx -1或xy =k 的形式.4、反比例函数中,两个变量成反比例关系. 二、反比例函数的图形与性质与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．，b ）在双曲线的一支上，则(),a b --在双曲线的即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k |.所以已知反比例函数可求矩形面积，反之，已知矩形面积可求反比例函数.【规律方法小结】正比例函数与反比例函数的区别与联系.【练】1、下列函数中，哪些是反比例函数？（1）31y x =-；（2）22y x =；（3）1y x =；（4）23x y =；（5）3y x =； （6）23y x =-；（7）12y x -=；（8）41y x =+；2、已知函数()231m m y m x +-=-中，y 是x 的反比例函数，求当3x =时，y 的值.反比例函数的图像与性质专项练习解答题1. 若变量y 与x 成正比例变量x 与z 成反比例，则 ( )A.y 与z 成反比例函数关系B.y 与z 成正比例函数关系C.y 与z 2成正比例函数关系D.y 与z 2成反比例函数关系2. 点P （1，3）在反比例函数ky x=(k≠0)的图象上，则k 的值是） A.13 B.3 C. 13- D.-3 3. 在反比例函数1ky x-=的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．24. 如图，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积为S ，则（ ）A. S=2B. S=4C. 2<S<4D. S>45. 在函数22a y x--=（a 为常数）的图象上有三点()()()112233,,,,,x y x y x y ，且1230x x x ＜＜＜，则123,,y y y 的大小关系是 。
初中反比例函数
今天给大家介绍反比例函数，反比例函数在习题或者测试中经常会结合图形来考察我们，所以我们需要对反比例函数的图形熟练掌握。
同时要牢记其表达式，知道其中的特殊关系，那么许多问题就迎刃而解了。
首先让我们来了解一下什么是反比例函数。
形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。
类似的其他形式有：
在知道反比例函数表达式之后，我们再来复习下反比例函数的图形。
反比例函数图形：
形状：反比例函数的形状是双曲线；
性质：|k|越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直；|k|越小，图像的弯曲度越大。
当k>0时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内， y 随x 的增
大而减小；
k<0时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内， y 随x 的增
大而增大。
对称性：反比例函数图像关于原点对称。
|k|的几何意义：
在掌握这些基础知识的基础上，我们结合几道例题来巩固下。
大家可以看到这道例题就是对我们反比例函数几何意义的考察，类似的题在我们作业或者测试中经常会遇到，所以大家一定要熟练掌握。
我们再来做一道综合型的。
这种题型是我们在反比例函数大题中偶尔会遇见的题型，需要先求出k值再进行相应的计算，不过总体难度不大，只要掌握了反比例函数的基本知识，都能解决。
再来一道升级版的。
这道题就比较综合一些，但是只要耐心分析，总体难度都不是很大。
大家也发现了，反比例函数这个章节，只要把基础知识和性质、物理意义掌握好，那么做题就会迎刃而解。
第六章 反比例函数反比例函数的图象与性质
作业
（A层）如图，当 x 0 时， 下列图象中，
有可能表示 y 2 的图象的是
.
x
（B层）
1、已y2与知xy2 成反y1+比y例2 ，，y且1与当x x成=正2与比x例=3，时，
y的值都等于19. y与x间的系数关系式， 并求x=4时y的值.
2、习题6.2 联系拓广
数学核心素养
一、什么是数学核心素养 二、如何在数学教学活动中体现数学核心素养 三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
挑战自我 能力提升
问题: 1、反比例函数图象是中心对称图形吗？
若是的话，请找出对称中心.
2、反比例函数图象是轴对称图形吗？ 若是的话，你能试着说明它的对称轴 是什么吗？
分层达标 课后延伸
A层
1、y 3(x 0) 的图象叫
，
x
图象位于
象限.
2、写出一个图象分布在二、四象限内的
反比例函数解析式
.
B层
1、已知函数 y(m2)xm22m9是反比例函数，
且图象经过 一、三象限， 求m的值
2、u与t成反比，且当u=6时，t 1 8
这个函数关系式为
.
Hale Waihona Puke 归纳总结 纳入系统反比例函数图象分别都是由两支曲线组成， 因此称反比例函数的图象为双曲线
反比例函数的图象由k决定 当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内;
第六章 反比例函数
反比例函数的图象与性质
设疑激思 复习引入
1.我们通常从哪几方面研究函数？ 2.画一次函数图象的步骤是什么？ 3.借助图象我们研究了一次函数的哪些
性质？
合作探究 发现问题
考点05 反比例函数的图像和性质(解析版)
考点五反比例函数的图像和性质知识点整合一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y 的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．表达式ky x=（k 是常数，k ≠0）kk >0k <0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x 的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．五、反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定.①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y ，等号右边是关于自变量x 的分式，分子是不为零的常数k ，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k ≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x 的指数为-1典例引领变式拓展故答案为：2．考向二反比例函数的图象和性质当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引领根据图象可知，114x x>+的解集是-正确的有②③；故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键．2．如图，点(1,2)A 和点(,)B a b 是反比例函数右侧，则下列说法中，不正确的是（A ．该反比例函数解析式B ．矩形OCBD 的面积为C ．该反比例函数的另一个分支在第三象限，且【详解】解：根据题意，10k ->，解得1k <，∴0k =满足题意，故选：D ．变式拓展二、填空题三、解答题把上表中的坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的(1)请在该平面直角坐标系中作出(2)观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测1y与x之间的函数关系，并求②求2y关于x的函数表达式；（2）①观察表格可知，1y 是x 设1k y x=，把()30,10代入得：1030k =，∴300k =，∴612x ≤≤．考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式k y x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例引领【答案】30【分析】此题主要考查了平移的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，题关键．利用平行四边形的面积公式得出得出k 的值．【详解】∵将该函数图像向上平移x 【答案】52【分析】本题主要考查了矩形的性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据矩形的边与y 轴平行，()1,B m ，D【答案】8 yx =【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、正方形的性质等知识点，确定点是解题的关键．先根据坐标与图形得到A【答案】5 yx =-【分析】本题考查反比例函数图像的性质，键．变式拓展【答案】28【分析】利用反比例函数图像上的坐标特点，即可得出答案．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴90DAB ABC ∠∠==【答案】24a <<【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用长．再由线段BC 与双曲线有交点且与点考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数kyx=中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例引领A ．4-B ．6【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，题的关键．利用APC 与PBD 相似即可解决问题．【详解】解：PC x ⊥ 轴，PD ⊥PDB PCA ∴∠=∠，PD x 轴，BPD PAC ∴∠=∠，APC PBD ∴ ∽，∴AC PC PD BD=．二、填空题【答案】-3【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，的面积是是解答此题的关键．作AD OB ⊥OA =12OB ，然后通过证得AOD BOA ∽何意义即可求得k 的值．∵Rt OAB 中，30ABO ∠=︒，∴OA =12OB ，∵90ADO OAB ∠∠==︒，AOD BOA ∠∠=∴AOD BOA ∽，∴214AOD S OA S OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，【答案】5-【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，比例函数的图象，理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．连接AB y ∥轴，得ABC 和AB y ∥轴，ABC ∴ 和AOB ∆关于AB 边上的高相等，52ABC AOB S S ∆∆∴==，根据反比例函数比例系数的几何意义得：变式拓展（1）用含m 的代数式表示（2）若3OMN S =△，则【答案】24m k =90OAB ∠=︒，∴N 点的横坐标为m ，反比例函数()0k y x x=>的图象过点N ，∴N 点的纵坐标为4m ， OME OAN S S =△△，OMN OME OAN MEAN MEAN S S S S S=+-=△△△梯形梯形，3OMN S =△，三、解答题【答案】(2,4)C 或(8,1)C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，形的判定与性质；由反比例函数的对称性得四边形设点8,C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别过点∵点A 、C 在反比例函数∴1842AOE COF S S ∆∆==⨯=，当04m <<时，则AOE S ∆∴6ACFE AOC S S ∆==梯形，k=【答案】6【分析】本题考查了反比例函数⊥轴，垂足为点E，连接等．作AE x到三角形AOB的面积，两个面积之和为⊥轴，垂足为点【详解】解：作AE x，AE x⊥轴，AB AC=∴=，BE CE，=5OC OB(1)求k和m的値；(2)当8x≥时，求函数值【答案】(1)10k=，m(2)5 04y<≤．考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例引领（1）若2k =，4b =-，则（2）若CE DE =，则b 与【答案】12k +【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，系是解此题的关键．【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．过点⊥轴于点E，过点CB作BE x()DE=---=，证明AD∥132联立43y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：1131x y =-⎧⎨=⎩，2113x y =-⎧⎨=⎩，∴()3,1A -，()1,3B -，二、解答题(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；(2)连接OA OB ，，求OAB 的面积；(3)请结合图象直接写出不等式m kx b x+<【答案】(1)6y x =，y ＝x ＋1(2)52AOB S =对于1y x =+，当0y =时，=1x -；当0x =∴()1,0C -，()0,1D ∴1,OC =1,OD =∴111112*********AOB S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ （3）解：由图象可知：不等式m kx b x+<的解集为：(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设D 为线段AC 上的一个动点（不包括图象于点E ，当CDE 的面积最大时，求点【答案】(1)反比例函数解析式为y =(2)点E 坐标为()2,3-．变式拓展(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出不等式【答案】(1)y x =--(2)6(3)<4x -或02x <<【分析】（1）先把点A 代入反比例函数解析式，即可求出（2）先求出直线y =-（3）观察函数图象即可求得不等式的解集．【详解】（1）解：∵(A(1)求一次函数和反比例函数的关系式；(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求【答案】(1)一次函数解析式1y x 4=-(2)32ABE S =△【分析】（1）利用点A 的坐标，代入可求出反比例函数解析式，进而求出点待定系数法可求出一次函数的解析式；当点P在BC上运动时，则PB∵2sin ==2PH B PB ，即PH =∴(1132822y DB PH =⋅=⨯⋅()304;x x ⎧≤≤由图像可得，函数图像有最大值为（3）解：根据函数图像可得：当【点睛】本题主要考查了函数图像与性质、求函数解析式、画函数图像、三角形面积、运用函数图像解不等式等知识点，求得函数解析式以及数形结合思想是解题的关键．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；的面积；(2)求ABO(1)求a ，k 的值．(2)利用图像信息，直接写出不等式1102k x x+-≥的解集(3)如图2，直线CD 过点A ，与反比例函数图像交于点C ，与x 轴交于点,OA OC ，求OAC 的面积．【答案】(1)4a =，12k =；(2)4x ≥(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)在y轴上取一点N，当(3)将直线1y向下平移2围．根据函数图象可得：当11．如图，在平面直角坐标系例函数2myx=（m为常数，且(1)求反比例函数与一次函数的解析式．(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，坐标．【答案】(1)8 yx =(2)()4,2 C90∠=∠=∠=ABO BOE AEO∴四边形ABOE是矩形，∴==，OB AE2OE AB==45，∠=︒ADO∴ 是等腰直角三角形，AED∴==，DE AE4。
北师大版九上数学6.2《反比例函数的图象与性质》知识点精讲
知识点讲解反比例函数的性质（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大。
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点。
比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。
在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2，且保持不变。
用描点法画反比例函数的图象步骤：列表---描点---连线。
（1）列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值。
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确。
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。
视频讲解反比例函数中的面积类型视频讲解图文解析教学设计【教材分析】《反比例函数的图象与性质》安排在北师大版教材九年级上册，共分两课时，本节课是第二课时．在第一课时中，学生已经学会如何画反比例函数的图象，并对k＞0和k＜0时函数图象的特点有了初步的认识，本节课主要是在第一课时的基础上，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质疑、讨论、交流、总结中增强学生对图象的感知能力，加深对反比例函数性质和几何意义的理解和掌握。
注意数形结合以及分类思想运用。
【学情分析】特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步体会函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图象和性质做好知识上和方法上的铺垫．学生对于画函数图象已经积累了一定的经验，所以画函数图象的过程不仅在于“画”，更在于“探究”．为引导学生体会函数三种表示方法之间的联系和转化积累经验．九年级的学生已经具备了研究函数图象性质的许多方法，但是学习能力有所不同数形结合的抽象能力存在较大差异．所以需要教师在教学中不仅关注教法，更关注学法指导．同时，因为反比例函数较为抽象，所以学生学完性质直接应用的难度很大．这就需要教师精心设计教学方案帮助学生理解和掌握反比例函数的性质。
反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象和性质 形状 由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线; 位置
当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
山西省临汾一中 郭李霞
例2、在坐标系中画出反比例函数
6 6 与 y 的图象. y x x
描点法
描点法的基本步骤:列表、描点、连线。
反比例函数图象画法步骤：
列 表
注意：①列 x与y的 对应值表时，X的值 不能为零，但仍可 以零的基础，左右 均匀、对称地取值。
描 点 描点法
连 线
注意： ③两个分支 合起来才是反比例 函数图象。
增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 图象的发展趋势
反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远不能到达x,y轴
对称性 ⑴反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和y=-x
都是它的对称轴； k k ⑵反比例函数 y 与 y 的图象关于x轴对称, x x 也关于y轴对称。
比较正比例函数和反比例函数的区别 函数 解析式
2、如图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象 （A）y=5x
（B）y=2x+3
4 （C） y x
3 （D） y x
函数
20 y x
一、三 象限, 的图象在第________
减小 在每一象限内，y 随x 的增大而_________. 二、四 象限, 函数 y 30 的图象在第________
x
增大 在每一象限内，y 随x 的增大而_________. 函数
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反比例函数与特殊图形正方形2.正方形的A 1B 1P 1P 2顶点P 1、P 2在反比例函数y=x（x ＞0）的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、 y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y= x2（x ＞0）的图象上，菱形2.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC=2AB ．A ，B 两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），C ，D 两点在反比例函数y=k（k ＜0）的图象上，则k 等于 ．2.如图，平行四边形OABC的顶点B，C在第一象限，点A的坐标为（3，0），点D为边AB的中点，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过C，D两点，若∠COA=α，则k的值等于（）A．8sin2αB．8cos2αC．4tanαD．2tanα3.如图，□ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（-1，0），B（0，-2），顶点C，D在双曲线y=x上，边AD交y轴于点E，且S 四BCDE=5S△ABE，则k=__ __矩形1.已知矩形OABC的面积为1003，它的对角线OB与双曲线y=kx相交于点D，且OB：OD=5：3，则k=2.如图，已知矩形OABC的一边OA在x轴上，OC在y轴上，O为坐标原点，连接OB；双曲线y=kx交BC于D，交OB于E，连接OD，若E是OB的中点，且△OBD的面积等于3，则k的值为3.如图，反比例函数y=-3x（x＞0）图象经过矩形OABC边AB的中点E，交边BC于F点，连接EF、OE、OF，则△OEF的面积是1.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，点A在y轴正半轴上，矩形OABC的面积为82．把矩形OABC沿DE翻折，使点B与点O重合，点C落在第三象限的G点处，作EH⊥x轴于H，过E点的反比例函数y=kx图象恰好过DE的中点F．则k=，线段EH的长为：2.已知：如图，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=2OC，直线y=x+b过点C，并且交对角线OB于点E，交x轴于点D，反比例函数ya x过点E且交AB于点M，交BC于点N，连接MN、OM、ON，若△OMN的面积是809，则a、b的值分别为（）A．a=2，b=3 B．a=3，b=2 C．a=-2，b=3 D．a=-3，b=23.如图，矩形ABOC在坐标系中，A（-3，3），将△ABO沿对角线AO折叠后点B落在B′处，则过点B′的双曲线的解析式为1.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，2+1）．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42.如图，两个反比例函数y=1k x 和y=2kx（其中k 1＞k 2＞0）在第一象限内的图象依次是C 1和 C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，下列说法正确的是（ ）①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积等于k 1-k 2；③PA 与PB 始终相等； ④当点A 是PC 的三等分点时，点B 一定是PD 三等分点． A ．①②B ．①②④C ．①④D ．①③④3.如图，两个反比例函数y 1=1k x （其中k 1＞0）和y 2=3x在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，点P 在C 1上．矩形PCOD 交C 2于A 、B 两点，OA 的延长线交C 1于点E ，EF 垂直x 轴于F 点，且图中阴影部分面积为13，则EF ：AC 为1.如图，正方形OBCD 的边长为2，点E 是BC 上的中点，点F 是边OD 上一点，若双曲线y=k x（x ＞0）经过点E ，交CF 于G ，且△OBG 的面积为512+，则OFDF的值等于 2.如图，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 正半轴上，四边形OABC 为矩形，面积为6，双曲线y=kx（x ＞0）交BC 于点M ，交AB 于点N ，连接OB ，MN ，若2OB=3MN ，则k= 直角三角形1.已知点A ，B 分别在反比例函数y=2x （x ＞0），y=8x-（x ＞0）的图象上且OA ⊥OB ， 则tanB 为2.如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数y 1=mx的图象经过点A ，反比例函数y 2=nx的图象经过点B ，则m ，n 的关系是 3.Rt △AOB 中，O 为坐标原点，∠AOB=90°，∠B=30°，如果点A 在反比例函数y=1x（x ＞0）的图象上运动，那么点B 应在下列哪个函数的图象上运动 4.如图，点A 是双曲线y=4x在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ．1.如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y=kx(x ＞0)经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D ．若S △OC D =9，则S △OBD 的值为 2.如图，双曲线y=kx经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 交于点B ，已知OA=2AN ， △OAB 的面积为52，则k 的值是 3.如图，等腰直角三角形ABC 顶点A 在x 轴上，∠BCA=90°，AC=BC=22，反比例函数y=x3（x ＞0） 的图象分别与AB ，BC 交于点D ，E ．连结DE ，当△BDE ∽△BCA 时，点E 的坐标为等边三角形1.如图，P 1是反比例函数y=kx(k ＞0)在第一象限图象上的一点，点A 1的坐标为（2，0）．若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等边三角形，则A 2点的横坐标为 2.如图，边长为2的等边三角形AOB 的顶点在反比例函数y=mx（m ＞0）的图象上，等边△BCD 的顶点D 也在反比例函数的图象上，依次作等边三角形使三角形的一边在x 轴上，第三个点D 在反比例函数的图象上，则m 的值与第n 个等边三角形的边长分别为 3.如图，△AOB 和△ACD 均为正三角形，且顶点B 、D 均在双曲线y=4x（x ＞0）上， 则图中S △OBP = 梯形1.如图，梯形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线y=kx（k ＞0）经过A 、E 两点，若AC ：OB=1：3，梯形AOBC 面积为24，则k=2.如图，四边形ABCD 的顶点都在坐标轴上，若AB ∥CD ，△ABD 与△ACD 的面积分别为3和6，若双曲线y=kx恰好经过BC 的中点E ，则k 的值为 3.如图，双曲线y=-3x（x ＜0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x轴负半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△A B ′C ，B ′点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 直线1.直线y=-2x+5分别与x 轴，y 轴交于点C 、D ，与反比例函数y=3x的图象交于点A 、B ．过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，连接EF ，下列结论：①AD=BC ；②EF ∥AB ；③四边形AEFC 是平行四边形；④S △AOD =S △B OC ．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42.已知反比例函数y=kx(k ＞0)的图象与一次函数y=-x+6相交与第一象限的A 、B 两点，如图所示，过A 、B 两点分别做x 、y 轴的垂线，线段AC 、BD 相交与P ，给出以下结论：①OA=OB ；②△OAM ∽△OBN ；③若△ABP 的面积是8，则k=5；④P 点一定在直线y=x 上， 其中正确命题的个数是（ ）个． A ．1B ．2C ．3D ．43.如图，A 、B 是双曲线y ＝2x上任意两点，过A 、B 两点分别作y 轴的 垂线，垂足分别为C 、D ，且C 、D 的纵坐标分别为3和1．连接AB ， 直线OB 、OA 分别交图象于点E 、F ，则△EOF 的面积是 1.如图，已知△ABO 的顶点A 和AB 边的中点C 都在双曲线y=4x（x ＞0）的一个分支上，点B 在x 轴上，CD ⊥OB 于D ，则△AOC 的面积为 2.如图，已知A 、B 两点是反比例函数y=xk的图象上的任意两点（x ＞0，k ＞0），过点A 、B 分别作y 轴的垂线，垂足分别是D ，C ，记住梯形ABCD 的面积是S 1，△OAB 的面积是S 2，则S 1：S 2的值是 3.如图，A ，B 是反比例函数y=x图象上两点，AC 和BD 都与坐标轴垂直，垂足分别为C 、D ，OD=1，OC=2，AC 与BD 交于点P ，则△AOB 的面积为 1.如图，直线y=-x+b 与双曲线y=1x（x ＞0）交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于E 、F 两点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，当b=34时，△ACE 、△BDF 与△ABO 面积的和等于△EFO 面积的2.如图，直线b x y +-=与双曲线xy 1=（x ＞0）交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于E 、F 两点， 连结OA 、OB ，若AOB OBF OAF S S S ∆∆∆=+，则=b ．3. 如图，直线AB 过点A （m ，0）、B （0，n ）（其中m ＞0，n ＞0）．反比例函数y=xp （p ＞0）的图象与直线AB 交于C 、D 两点，连接OC 、OD ．（1）已知m+n=10，△AOB 的面积为S ，问：当n 何值时，S 取最大值？并求这个最大值； （2）若m=8，n=6，当△AOC 、△COD 、△DOB 的面积都相等时，求p 的值． 1.如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C （1，12）处，两直角边分别与x ，y 轴平行，纸板的另两个顶点A ，B 恰好是直线y=kx+92与双曲线y=mx（m ＞0）的交点．则m ，k的值分别是2.如图，直线l 与反比例函数y=2x的图象在第一象限内交于A ，B 两点，交x 轴于点C ，若AB ：BC=（m-1）：1（m ＞1），则△OAB 的面积（用m 表示）为（ ）A ．212m m -B ．21m m -C ．23(1)2m m -D ．23(1)m m-3.如图，已知直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于点A ，B 两点，点C 是线段AB 上任意一点，过C 分别作CD ⊥x 轴于点D ，CE ⊥y 轴于点E ．双曲线y=kx与CD ，CE 分别交于点P ，Q 两点，若四边形ODCE 为正方形，且S △OPQ =32，则k 的值是。