习题三 数理方法

习题三

一、选择题

1. 设C 为正向圆周11=−z ， 则积分∫

=−−C dz z z )3)(1(1 【 】 （A ） ； （B ） ； （C ） 01i π； （D ） i π−。

2. 设C 为正向圆周 ，如果积分

3||=z ∫=C dz z f 0)(，

则=)(z f 【 】 (A) 21−z ； (B) 2)2(1−z ； (C) 21−−z z ； (D) 2)

2(1−−z z 。 3. 设C 为正向闭曲线，则以下曲线中，使积分∫=−−C

i dz z z π)3)(1(1的曲线C 是 【 】 （A ）2

1||:=z C ； （B ）1|1|:=−z C ； （C ）1|3|:=−z C ； （D ）。 4||:=z C 4. 设在简单闭曲线C 内解析，在C 上连续，在C 内，则有 【 】

)(z f 0z (A) dz z z z f dz z z z f C C ∫∫−=−2

0'20)(1)()()( ； (B) dz z z z f dz z z z f C C ∫∫−=−0'20)()()(； (C) dz z z z f dz z z z f C C ∫∫−=−0

0201!2)()()(； (D) dz z z z f dz z z z f C C ∫∫−=−0020)()()(。 5. 下列命题中，不正确的是 【 】 （A）积分

dz a

z r a z ∫=−−||1的值与半径的大小无关； (0r r >)（B） 1)(22<+∫C dz iy x ，其中C 为连接i −到i 的线段；

（C）若()f z 在0z 1<<内解析，且沿任何圆周:(0c z r r 1)=<<的积分等于零，

则()f z 在处解析；

0z =（D）设函数)(z g 在区域D 内有定义，且()()f z g z ′=，则在D 内()g z ′存在且解析。

二、填空题

1. 设c 为正向圆周3z =，则积分∫+C dz z z z |

|＝____________________。

2. 设C 为正向圆周，则积分2||=z ∫=−C

dz z z ___________)1(sin 2。 3. 设曲线为由点到点的直线段，则积分 C )0,0()2,1(=∫C dz z 2

。 4. 设为任意一条绕原点的正向简单闭曲线， C ∫

=C z

t dz z e t f 3)(，则__________)1(=′f 。 5. 设在内解析，在闭圆)(z f 1||

∫==++1||._______________)()]1(2[z z

dz z f z z

三、计算题

1. 计算积分z z z z I C z d )1(sin ||22∫=−=

，其中：（1）C 为正向圆周21||=z ；（2）C 为正向圆周。

2||=z 2. 设，计算积分 201322012321)(z z z z f ++++=L dz z z f z z ∫

=1||2011)()(。 3. 计算积分∫

−+C dz z z 22)

1)(1(1，其中：C 为曲线的正向。 )(222y x y x +=+4. 计算积分∫=−+2/3||2

2)2)(1(1z dz z z 。 5. 设，计算积分2||≠a ∫

=−=222sin z iz dz a z z e I 。

四、证明题

1. 设为单连通区域，, 在内除外均解析，且在的邻域内有界。证明：D D z ∈0)(z f D 0z |)(|z f 0z 0)(=∫C

dz z f ，其中：C 为内任一包含的闭曲线。 D 0z 2. 设函数在上解析，且在)(z f 2||≤z 2||=z 上有|||)(|z z z f ≤−，证明：()81'≤f 。 3. 求积分∫=1||z z

dz z e 的值，从而证明定积分 cos 0

cos(sin )e d πθθθπ=∫。 4. 设函数在全平面上解析，且)(z f )(z f 有界，证明：为常数。 )(z f