硕士生《数理统计》例题及答案

《数理统计》例题

1.设总体X 的概率密度函数为： 2

2

1)(ββ

x e

x f -=

)0(>β

试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。 解：（1）矩法 由于EX 为0，

πβββββ

βββββββ2

00

2

2

2

22

2

1][)

()2

(2)

()2(21

2)(2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

+-=-

=-

-

===⎰⎰⎰⎰

⎰∞

+-∞+-

∞

+-

-

∞

+-

∞

++∞

∞

-dx e

xe

e

d x

x d xe

dx

e

x dx

x f x EX x x x x x

πβ2

222

1=

-=X E EX DX 令2S DX =得：S π

β2

ˆ=

（2）极大似然法

∑=

==-

=-

∏

n

i i i x n

n

i x e

e

L 1

2

22

2

1

11

1

β

ββ

β

∑=-

-=n

i i

x

n L 1

22

1

ln ln ββ

2

31

ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =β

d L d 得∑==n i i x n 1

2

2ˆβ

2. 设总体X 的概率密度函数为：

⎪⎩

⎪⎨⎧<≥--=αα

βαββαφx x x x ,0),/)(exp(1

),;(

其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。 解：（1）矩法

经统计得：063.0,176.2==S X

β

αβαβ

φα

β

α

α

β

ααβ

α

β

α

α

β

α

α

+=-=+-=-===∞

+--

∞

+--

∞

+--

--

∞

+--

∞

+∞

+∞-⎰⎰

⎰

⎰x x x x x e

dx e

xe

e

xd dx e

x dx x x EX ][)

(1

)(

)

(222][)

(1

222

22

2βαβαβαβ

β

α

α

αβ

α

β

α

α

β

α

α

++=+=+-=-==--∞

+∞

+--

--∞

+--

∞

+⎰⎰

⎰EX dx e

x e

x e

d x dx e

x EX x x x x

222)(β=-=EX EX DX

令⎩⎨⎧==2S DX X EX 即⎩⎨⎧==+2

2S X

ββα 故063.0ˆ,116.2ˆ===-=S S X βα

（2）极大似然法

)

(1

1

1),;(αβ

β

α

β

β

βα----

==

=∏X n

n

X n

i e

e

x L i

)(ln ln αβ

β--

-=X n

n L

)(ln ,0ln 2αβ

βββα-+-=∂∂>=∂∂X n

n L n L 因为lnL 是L 的增函数，又12,,,n X X X α≥L

所以05.2ˆ)1(==X α