硕士生《数理统计》例题及答案

解：此问题可以归结为检验
且要求当 时能以 的概率拒绝 。
此问题的拒绝域为：
现要求当 时 ，因为 是 的减函数，故只需 即可，此时有
按照给定的数据计算得 ，故取n=而当 时买方就接受这批产品。
11.某中药厂从某种药材中提取一种有效成分，为了进一步提高获得率，改进了提取方法，现在对同一质量的药材，用旧法和新法各做了10次试验，得到的获得率数据如下表：
《数理统计》例题
1.设总体X的概率密度函数为：
试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数 。
解：（1）矩法
由于EX为0，
令 得：
（2）极大似然法
令 得
2. 设总体X的概率密度函数为：
其中 >0，现从总体X中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数 。
所以，
（2）由（1）可知， ， 都是 的无偏估计量。
（3）
因此，两个估计量的有效性一样。
8.用机床生产某种滚珠，现从中随机地抽取8只滚珠，测得其直径（单位：mm）为：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8。现对机床进行维护保养后继续进行生产，从中随机地抽取9只滚珠，测得其直径（单位：mm）为：15.1，15.0，14.8，15.2，14.9，15.0，14.9，15.1，14.8。假设保养前后生产的滚珠直径都服从正态分布。试问保养后机床的加工精度是否显著提高了（ ）。
解：设保养前生产的滚珠直径服从正态分布 ，保养后生产的滚珠直径服从正态分布 。
问题归结为检验假设
经统计得： ，
，
查表得：
因为
所以拒绝 ，即可以认为保养后机床的加工精度是显著提高了。
9.从甲、乙两个分厂的铸铁中分别抽取样本容量为9和8的样本，分别计算后得到含碳量（%）的平均数及校正样本方差为：
甲厂：
乙厂： 。
则
为Z的一组样本观测值，即
-1.8
-1.8
-2.9
-2.9
-3.9
-0.7
-4.7
-1.6
-0.6
-1.1
问题转化为在显著性水平 =0.05下检验假设
经计算得：
查表得： ，
由于
因此拒绝 ，即认为新法的获得率是否比旧法的获得率高。
12.研究纤维的抗拉强度的分布，随机抽测200根纤维的抗压强度，以分组的形式列表如下：
旧法
75.5
77.3
76.2
78.1
76.3
78.4
77.4
78.4
76.7
78.0
新法
77.3
79.1
79.1
81.0
80.2
79.1
82.1
80.0
77.3
79.1
假设提取药材的获得率都服从正态分布，问新法的获得率是否比旧法的获得率高（ =0.05）？
解：假设旧法的提取获得率 ，
新法的提取获得率
i
抗拉强度
频数
1
[1900,2000)
10
2
[2000,2100)
26
3
[2100,2200)
56
4
[2200,2300)
64
5
[2300,2400)
30
6
[2400,2500]
14
要求检验原假设H0：F(x)∈{N(μ,σ2)}。其中F(x)为抗拉强度的分布函数（ =0.05）。
解：
经计算得：
所以
解：（1）矩法
经统计得：
令 即
故
（2）极大似然法
因为lnL是L的增函数，又
所以
令 得
3.已知总体 的分布密度函数为：
（1）用矩法估计其未知参数 ；
（2）用极大似然法估计其未知参数 。
解：（1）
令
得：
（2）
，故L的单调性与 无关
又
可以取 中的任何值。
4.10个病人服用甲、乙两种安眠药后增加（或减少）的睡眠时间（小时）见下表：
压强区间（kg/cm2）
标准化区间
频数
概率
[1900,2000）
（-∞,-1.7033）
10
0.04457
11.22
[2000,2100）
[-1.7033,-0.8922）
在 的情况下，再用T检验法检验 ，
，
计算得： ，
查表得：
因为 ，所以接受 ，即可以认为两个分厂铸铁的含碳量的平均值一样。
10.设有一大批产品，产品质量指标 。以 小者为佳，厂方要求所确定的验收方案对高质量的产品（ ）能以高概率 为买方所接受。买方则要求低质产品（ ）能以高概率 被拒绝。由厂方和买方协商给出。并采取一次抽样以确定该批产品是否为买方所接受。问应如何安排抽样方案。已知 ， ，且由工厂长期经验知 。又经双方商定 ， 均取值为0.05。
解： ，
故
所以，
（1） ，即（-0.272，5.272）。
（2）依题意，有2 ≤2，即 ≤1，即n≥1.962×50
所以，n≥192.08或n≥193。
6.设总体 为其样本。
（1）证明：对一切 都是 的无偏估计量；
（2）试求 的一个无偏估计量。
（1）证：因为 ，
所以
所以对一切 都是 的无偏估计量。
（2）解：因为
甲
1.4
1.8
3.0
0.1
2.2
1.5
2.0
0.3
0.5
1.9
乙
1.9
0.8
3.0
-0.5
3.0
2.5
-0.5
2.5
2.0
2.5
假定病人服用两种安眠药后增加（或减少）的睡眠时间分别服从正态分布 和 ，试求 的 置信下限（ ）。
解：依题意设
经计算得：
先做方差齐性检验：
查表得：
因为
所以接受 ，即认为两个总体的方差相等。
的 置信下限为
即-0.9004
其中 ，
，
5.设样本 来自正态总体 ，样本均值为 ，样本 来自正态总体 ，样本均值为 ，且两样本相互独立。 、 为未知参数。
（1）已知 ， ，样本容量n=25，求 的置信水平为0.95的置信区间；
（2）如果要求 的置信水平为0.95的置信区间长度不超过2，问样本容量n至少应取多少？
所以
故 是 的一个无偏估计量。
7.设总体 服从 上的均匀分布， 未知，( )是来自此总体的一个样本，已知 ， 。
（1）试计算 、 的数学期望；
（2）试分别利用 、 构造 的无偏估计量；
（3）试比较（2）中的两个无偏估计量的有效性。
解：（1）X的概率密度函数为：
因此 的概率密度函数为：
的概率密度函数为：
设甲、乙两个分厂铸铁的含碳量都服从正态分布且相互独立，问这两个分厂铸铁的含碳量的平均值可否看作一样（ =0.05）？
解：假设甲、乙两厂的铸铁的含碳量分别服从
问题归结为检验假设 ；
因为方差未知，又不知方差是否相等，所以应先检验假设
；
用F检验法， 的接受域为：
（因为 ）
现在 ，
查表得：
因为0.817>0.2208，所以接受 ，即认为方差相等。