树
树木资料
名称：毛白杨别称：白杨、独摇分布：中国境内分布广泛。
特征：大乔木，树高达25米。
用途：建筑、家具、造纸及人造纤维等用。
名称：五角枫别称：元宝槭、色木槭分布：东北、华北、西北各省。
特征：落叶乔木，高达20米。
用途：行道树、观赏树，景观树。
名称：紫树别称：水紫树分布：长江流域及华南各省。
特征：落叶乔木，高10—18米。
用途：，制作地板及装饰面板等。
名称：垂柳别称：金丝垂柳分布：沈阳以南大部分地区。
特征：落叶乔木，高可达10米以上。
用途：行道树、庭荫树，减少柳絮对环境的污染。
名称：京桃别称：红花碧桃分布：西北、华北、华东、西南等地。
特征：京桃为亚乔木，最高可达10米。
用途：广泛用于园林绿化之中。
名称：黄刺玫别称：刺玖花、黄刺莓分布：东北、华北至西北地区。
特征：直立灌木，小枝无毛。
用途：可供观赏，保持水土及园林绿化树种。
名称：银杏别称：白果、蒲扇分布：辽宁、广东、浙江等省。
特征：落叶乔木，叶扇形，种子核果状。
用途：抗烟尘、抗火灾、抗有毒气体。
名称：油松别称：短叶松、红皮松分布：辽宁、河北、山西、陕西等地。
特征：针叶常绿乔木，高达30米。
用途：建筑、家具、人造纤维等用材。
名称：旱柳别称：河柳，江柳分布：东北平原，黄土高原等皆有。
特征：落叶乔木，高达20米。
用途：北方常用的庭荫树、行道树。
名称：红皮云杉别称：虎尾松、高丽云杉分布：东北、华北地区。
特征：树冠尖塔形，大枝平展或稍斜伸。
用途：园景树、风景林。
名称：垂榆别称：垂枝榆分布：普遍分布我国西北、华北地区。
特征：落叶小乔木，单叶互生，单锯齿。
用途：庭院观赏、公路、道路行道树绿化。
名称：冬青别称：冻青分布：江苏、浙江、河南等地。
特征：常绿乔木，高达13米。
用途：观赏树种，可制作盆景。
名称：栗子树科名：壳斗科分布：中国境内广泛分布。
特征：叶缘有锯齿，坚果紫褐色。
用途：果仁味甜,可供建筑和制器具用。
名称：国槐别称：槐树、家槐分布：辽宁、广东、山东等地。
特征：落叶乔木，高15-25米。
树木
俗语中也有将比较大的灌木称为“树”的，如石榴树、茶树等。
树在减少土地侵蚀及调整气候上相当的重要，树可以从空气中吸收二氧化碳，将大量的碳储存在组织内。树 木和森林是许多物种的栖息地。热带雨林是世界上生物多样性最丰富的地方之一。树可以提供遮阴及保护，木材 可供建筑用，木炭可以用来加热及烹煮，果子可以用来作为食物。在世界各地的森林面积正在下降，目的是要增 加可以农业使用的土地。由于树的长寿及实用，在许多神话中也有树的出现。
第三，大约30°～40°左右纬度的大陆西岸，是一种地中海气候。这里冬季尚较温暖，树木照样生长。降水 对树木的影响主要是因为降水和热量季节匹配不当。地中海气候的雨季在冬，夏季反是干季。树木为了度过干旱 的长夏，因而森林不密，树木不高，树叶坚硬呈革质，有的常有许多茸毛，没有光泽，称为硬叶常绿林。橄榄是 地中海气候最重要的经济林木。
夏季低温决定了树木是否可以生存，冬季低温则决定生存树木的种类。从东北到华南，从高山到海拔较低的 地区，由于冬季最低气温的逐渐升高，树木种类也从耐寒的寒温带针叶林演变到温带的阔叶落叶林、不耐严寒的 亚热带阔叶常绿树种，以至郁郁葱葱不见天日的赤道雨林。经济林木的分布对温度的要求更加严格。温带的苹果 树一般不能耐零下30℃左右以下的严寒，因此东北苹果一般只分布在渤海和黄海沿岸，亚热带的柑桔害怕零下 7～9℃低温，如果最低气温低于零下9～11℃，柑桔园会遭到毁灭性的冻害。因此长江以北种柑桔无经济价值； 热带作物橡胶，气温5℃时就会受到冻害，这就是中国热带纬度上仍不一定能种热带作物的原因所在。
第一，世界上热带、亚热带和温带的干旱地区，都是由于水分的极度缺乏以至不能生长树木及草类而成为荒 漠的。
树木小百科
树木知识小百科树木简介树是具有木质树干及树枝的植物，可存活多年。
一般将乔木称为树，有明显直立的主干，植株一般高大，分枝距离地面较高，可以形成树冠。
树有很多种。
俗语中也有将比较大的灌木称为“树”的，如石榴树、茶树等。
树的构造树的主要四部份是树根、树干、树枝、树叶。
树根是在地下的，在一棵树的底部有很多根。
在树干的部分分为五层。
第一层是树皮。
树皮是树干的表层，可以保护树身，并防止病害入侵。
在树皮的下面是韧皮部。
这一层纤维质组织把糖分从树叶运送下来。
第三层是形成层。
这一层十分薄，是树干的生长部分，所有其他细胞都是自此层而来。
第四层是边材。
这一层是把水分从根部输送到树身各处，此层通常较心材浅色。
第五层就是心材。
心材是老了的边材，二者合称为木质部。
树干绝大部分都是心材。
树木的作用树木可以调节气候、净化空气、防风降噪，是人类最好的朋友。
树木是氧气制造厂。
l公顷阔叶林1天可以吸收1吨二氧化碳，释放出0．73吨氧气。
树木是粉尘过滤器。
当含尘量大的气流通过树林时，随着风速的降低，空气中颗粒较大的粉尘会迅速下降。
另外，有些树木的表皮长有绒毛或者能够分泌出油脂，它们能把粉尘粘在身上，从而使经过树林的气流含尘量大大降低。
树木是杀菌能手。
许多树木在生长过程中会分泌出杀茵素，杀死由粉尘带来的各种病原菌。
据调查，每立方米空气中的含菌量，百货大楼为400万个，林荫道上为58万个，公园里为100个，而林区只有55个。
林区与百货大楼空气中的含菌量相差7万多倍。
此外，树木还是天然蓄水库和天然空调。
我们要保护森林被破坏，如少用一次性筷子、水杯、饭盒等制品，多用可重复使用的制品，减少森林资源的消耗。
奇异的树木王国与人类的关系在天地之间，在人类与星星之间，存在着一个奇异的树木王国。
在地球上的树木王国中，有数以万计的各种各样的树木。
就其树木的高矮来说：有高于德国佛莱堡大教堂（115米）的巨杉树（122米），也有高于埃及金字塔（137米）的澳大利亚桉树（146米）；也有株高仅5～10厘米常绿的平卧杜鹃树。
树种类介绍
紫叶小檗紫叶小檗（Berberis thunbergii var. atropurpurea Chenault），小檗科、小檗属。
落叶灌木，喜阳，耐半阴，耐寒，耐修剪。
园林常用与常绿树种作绿篱或色块布置。
黄栌黄栌（Cotinus coggygria Scop.），漆树科黄栌属。
落叶灌木或亚乔木，喜阳、耐旱、耐瘠薄、怕淹。
叶片秋季变红，秋色叶树种。
石榴石榴（Punica granatum L.），石榴科石榴属。
落叶乔木或灌木；花期6月，果熟期9-10月，果实营养丰富，维生素C含量高。
喜水、耐旱、耐寒性差，中国传统文化石榴为吉祥树种，视它为多子多福的象征。
银杏银杏（Ginkgo biloba L.），银杏科、银杏属。
落叶乔木，高大挺拔，生长较慢，寿命极长，又名白果树、公孙树。
喜水怕淹，喜欢透气土壤，秋季叶色金黄，是著名的色叶行道树。
连翘连翘（Forsythia suspensa），木樨科连翘属植物。
落叶灌木，花期3-4月，早春先叶开花，满枝金黄，是早春优良观花灌木。
喜阳、耐旱、耐瘠薄、怕淹。
刚竹刚竹（Phyllostachys），禾本科刚竹属。
常绿树。
喜水、耐阴，抗寒性好，但忌排水不良。
杜梨杜梨（Pyrus betulifolia Bunge），蔷薇科梨属。
落叶乔木，花瓣白色，花期4月，果期8-9月。
抗旱、耐寒、耐水湿、耐盐碱，通常作梨的砧木，园林常做孤植树。
水杉水杉（Metasequoia glyptostroboides Hu & W. C. Cheng），裸子植物柏科水杉属。
落叶乔木，中国特有植物。
水杉适应性强，喜湿润生长快，怕干燥空气，树姿优美，为庭园观赏树。
五角枫五角枫（Acer mono Maxim. ），又名色木槭，槭树科槭属，落叶乔木。
高可达20米。
稍耐阴，深根性，喜湿润肥沃土壤，在酸性、中性、石炭岩上均可生长，不耐水淹。
北方重要秋天观叶树种，叶形秀丽，嫩叶红色，入秋又变成橙黄或红色，可做园林绿化庭院树、行道树和风景林树种。
树木小知识
树木小知识
1.树木是地球上最长寿的生物之一，有的树甚至可以活上千年。
2. 树木通常由树冠、树干、根系三部分组成。
树冠是指树木的枝叶部分，树干是指树木的主干部分，根系是指树木的根部部分。
3. 树木可以通过水分、二氧化碳和阳光进行光合作用，将这些物质转化为能量和氧气。
4. 树木不仅是生态系统的重要组成部分，还可以提供木材、果实、药材等资源，对人类的生产和生活有着重要的作用。
5. 许多树木在冬季会进入休眠期，这时它们的生长速度会变缓，直到春季气温回升时再次复苏。
6. 树木还可以通过树轮来记录它们的成长历史，树轮的宽窄和颜色可以反映出树木的年龄和环境变化情况。
7. 树木也会受到各种外界因素的影响，如天气、病虫害等，这些因素会对树木的生长和发展产生影响。
8. 为了保护树木，我们应该合理利用资源，减少砍伐和污染，加强植树造林和树木保护工作，为人类和自然生态系统的可持续发展做出贡献。
- 1 -。
树的知识点总结
树的知识点总结一、树的分类在植物界中，树的分类是非常丰富的。
按照形态上的分类，可以分为乔木、灌木和草本。
其中，乔木是指高大的木本植物，高度一般在2米以上；灌木是指木本植物，高度不及乔木，一般在2米以下；而草本是指地上茎干柔软，高度一般较低的植物。
另外，根据叶的性状也可以将树进行分类，如针叶树、阔叶树等。
二、树的结构树的结构一般可以分为植根系统、地上部分和树干。
树的植根系统是指其根部的构造，包括主根、侧根、细根等；地上部分是指树木的茎、叶和花、果等器官；而树干是指整棵树中直立的主干部分。
此外，树的结构还包括树皮、树枝、树叶等。
三、树的生长树的生长主要包括休眠期、生长期和成熟期。
在休眠期，树木处于生长的较低阶段，此时树木的新陈代谢减慢，树木内部的水分运动也较为缓慢；而在生长期，树木则处于生长的高峰期，此时树木的新陈代谢加快，也是树木吸收水分、养分、合成物质的重要时期；而在成熟期，树木则长成了一颗高大的大树，此时树木的生长速度就较为平稳了。
四、树的物种树的物种种类非常丰富，估计全世界的树木种类在10万到10.5万之间。
其中，北美洲和东南亚拥有最为丰富的树种，而欧洲和南美洲的树种则相对较少。
不同的树种在形态、习性、生态需求、用途等方面也有所不同。
五、树的用途树在我们的日常生活中有着极为重要的用途。
首先，树木能够提供我们生活所需的氧气，同时还能吸收二氧化碳，并起到净化空气的作用。
此外，树木还能提供我们大量的木材，用于建筑、制造家具等用途。
另外，树木还具有美化环境、调节气候、净化水质、固定土壤等作用。
六、树的保护由于树在生态系统中的重要作用，保护树木也就显得尤为重要。
目前，全球范围内都建立了不同程度的林业保护制度，以保护树木。
而在一些地区，还建立了自然保护区，以保护珍稀树种和森林生态系统。
在日常生活中，我们也要注意节约用水、节约用电，减少砍伐森林等行为，为保护树木做出自己的努力。
以上就是关于树的一些知识点总结，希望对大家有所帮助。
【课外阅读】艾青《树》赏析
【课外阅读】艾青《树》赏析一棵，一棵树彼此孤离地兀立着风与空气告诉着它们的距离但是在泥土的覆盖下它们的根伸长着在看不见的深处它们把根须纠缠在一起1940年春对一草一木寄以真诚诗人走在湖南新宁的旷野上，这美丽的有山有水的旷野把诗人吸引住了。
这里的一草一木都激发起诗人浓郁的诗情……诗人的足迹，是诗人自己把握的呢？还是命运使然呢？1939年的秋天，正在桂林生活的艾青，因有人请他到湖南新宁县衡山乡村师范学校任教，他就答应了，来到这山水之间作了国文教员。
这里，会对他的诗歌创作产生怎样的影响呢？这里的山山水水、一草一木似乎都有灵性，使诗人获得了颇为丰厚的收获。
《树》这首诗，就产生在这个时候。
新宁县是一派田园风光，似乎离抗日烽火很远，似乎听不见中华民族的勇士们与日寇浴血奋战的枪炮声和呐喊声。
但诗人的心并没有沉醉在这一派田园风光里，他的心伸出了无数的触角，时刻感受着民族存亡大搏斗的脉膊。
他的心不能平静，他的诗仍关怀着天下兴亡的大事。
也许这里的树有其特殊的风姿吧，也许此时此刻，诗人对这里的树有一种特殊的感情吧，这里的树引起了诗人的注目和沉思。
《树》这首诗产生了。
《树》这首诗并不长，只有八行。
然而，这首诗却有着巨大的涵量。
“一棵树，一棵树／彼此孤离地兀立着／风与空气／告诉着它们的距离”。
这前四行诗，写出了一种景象，这景象是实实在在的，不仅是诗人，别人也能够感觉到。
世界上的树都是单独的立着的，彼此间都有一定的距离。
单看这四行诗，似乎没有什么特别的地方，如果不看下面，别人也很难知道诗人这样写的用意。
但是看了下面的诗句，这前四句的涵意就明朗了，在这朴素平易之中，有着一种具有社会性的概括力。
“但是在泥土的覆盖下／它们的根伸长着／在看不见的深处／它们把根须纠缠在一起”。
“但是”，一个转折，把读者的目光从地上转移向地下，这首诗的博大涵意逐渐清楚了。
这一个“但是”，有着巨大的力量，诗人是要人们知道，别只看树在地面上孤离地兀立，更重要的是要看树在地下的情景，在地下，树的根是“纠缠在一起”的。
《树》赏析
《树》赏析1. “哇，这棵树好高啊！”我仰头看着那棵大树惊叹道。
记得有一次我和小伙伴们在公园里玩耍，看到这棵大树，我们都兴奋极了。
“我们来爬树吧！”一个小伙伴提议。
“好呀好呀！”大家都积极响应。
我也摩拳擦掌，准备一试。
当我努力往上爬的时候，心里想着：这棵树就像一个巨人，守护着我们的快乐时光。
我觉得树真是神奇又有趣的存在呀！2. “看，那棵树的形状好奇怪哦！”我对旁边的同学说。
有一回我们一起去郊外，看到了那棵形状独特的树。
“真的呀，像个大蘑菇！”同学笑着说。
我们走近它，抚摸着它的树干。
“它在这里一定经历了很多吧。
”我轻声说。
这棵树仿佛在诉说着岁月的故事，它让我感受到了生命的坚韧。
树啊，你可真是大自然的杰作！3. “哎呀，这棵树的叶子好漂亮！”我忍不住叫起来。
记得那次和家人去森林散步，我被一棵满是漂亮叶子的树吸引住了。
“哇，像一把把小扇子。
”我兴奋地和家人分享。
“是呀，真美。
”妈妈也赞叹道。
我站在树下，感受着它带来的阴凉，心想：树是我们的好朋友，给我们带来这么多美好。
树，我爱你！4. “嘿，这棵树好像我爷爷家的那棵呀！”我对朋友说道。
有次去朋友家玩，看到他家门口的一棵树让我想起了爷爷家的。
“真的吗？”朋友问。
“嗯，很像呢。
”我陷入回忆。
那棵树陪伴着我和爷爷度过了很多时光。
这棵眼前的树啊，也让我感到亲切无比，好像它也承载着我的回忆。
树，真的很特别呢！5. “哇塞，这棵树的果子好多啊！”我惊讶地喊着。
有一次在果园里，我看到一棵挂满果子的树。
“可以吃吗？”我好奇地问。
“当然可以呀。
”大人们笑着回答。
我迫不及待地摘了一个尝了尝，“好甜呀！”我开心地说。
这棵树就像一个宝藏，给我们带来甜蜜和欢乐。
树，你太厉害了！6. “哎呀呀，这棵树怎么倒了呀！”我惋惜地说。
记得有一次路过一片树林，看到一棵倒下的树。
“可能是被风吹倒的吧。
”旁边的人说。
我看着它，心里很难过。
“它以前一定也很威风的。
”我喃喃自语。
这棵树的倒下让我意识到生命的脆弱，也让我更加珍惜其他的树。
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推论2.3
推论2.3 任何一个非平凡树G至少有两个度数为1的顶 点． 证 因为G为非平凡树，所以G的任何一个顶点v，d(v) ≥1．假如G的p个顶点中，度数为1的顶点个数小于2， 那么度数大于或等于2的顶点个数就不小于p-1．于是， 总度数：
d (v) 2( p 1) 1 2(Βιβλιοθήκη p 1) 2q2 3 4
1 6 5
s1=1, t1 =4 s2=2, t2 =3 s1=3, t1 =4 s1=4, t1 =5 (4, 3 , 4 , 5)
反过来，要从长度为n-2的序列重新构造 出Kn的一棵生成树T．我们注意到，T中 度数为1的顶点正是在该序列中没有出现 的那些顶点．设s1是N的不在(t1,t2,t3,…,tn-2) 中的第一个顶点，则连接s1与t1 。其次设 s2是N\{s1}的不在(t2 , t3 , …, tn-2)中的第一 个顶点，则连接s2与t2，…如此继续下去， 直到连接了n-2条边s1t1,s2t2,…,sn-2tn-2．最 后再增添一条连接N\{s1, s2 , …, sn-2}中剩 下的两个顶点的一条边，即可得到T． 最后可以证明Kn的不同生成树对应着不 同的序列．这样就建立了所希望的一一 对应．
生成树数目的递归算法示例
练习
利用生成树的递推公式，计算K3,3的生成树 数目。 = =
=
=3+8+8+16+7+ 10+12+12=76个
凯莱(Cayley)公式
定理2.7 (凯莱(Cayley)公式) ： τ(Kn)=nn-2 证 设Kn的顶点集合为N={1，2，…， n}．注意到由N的元素组成的长度为n-2序 列的个数是nn-2．于是为了证明本定理只须 在Kn的生成树集合和这种序列集合之间建 立一一对应就行了．我们用树的编码思想 来给出这种对应．
1 1 1
1 1
2 2 1
深探法
边的收缩运算
设e是G的一条边，将e删去，并使其两端重 合，称e被收缩，所得图记为G·。 e
G1
e
G1· e
G2
e
G 2· e
定理2.5 树经边的收缩后仍为树． 证 设T是树，e是T的一条边，因为T连通， 所以T· e也连通。在T中：q(T)=p(T)-1,经边的 收缩后，q(T· e)=q(T)-1，p(T· e)=p(T)-1 于是在T· e中， q(T· e)=p(T· e)-1 因此T· e也是树。
生成树数目的递归算法
定理2.6 若e是G的一条边，则τ(G)=τ(G-e)+τ(G· e)，其中τ(G) 表示G的生成树的数目． 证 将G的生成树分成两类
1)不包含e的生成树，它也是G-e的生成树；反之， G-e的生 成树也是G的不包含e的生成树．此类生成树有τ(G-e)个。 2)包含e的生成树，设T是这样一棵生成材；则T· e是G· e的一 棵生成树．反之，G· e的一棵生成树包含e边收缩成的点，将 此点扩张成G的一条边e，这样得到G的一棵含e的生成 树．此类生成树有τ(G· e)个． 因此 τ(G)=τ(G-e)十τ(G· e)
1)当l=0时，此途径即为通路。
2)假设重复顶点个数小于l时，结论成立。 设第k个(1≤k≤l)重复出现的顶点在途径中首次出现为vi， 末次出现为vj，即(u,v)-途径为： w1=u1e1v1…viei+1…vjej+1…env，将vi,vj合并，途径成为
w2=u1e1v1…viej+1…env
首先给N的各个顶点标号，即把N 当作一个n元集合．如果我们已经 有了Kn的一棵生成树T，设s1是T 中度数为1的最小标号顶点，与s1 邻接的那个顶点标号为t1 ．现在 从T中删去s1 ，用s2记T-s1中度数 为1的最小标号顶点，与s2邻接的 那个顶点标号为t2 …重复这个操 作，直到tn-2被确定，留下一个恰 有两个顶点的一棵树．这样由Kn 的一个生成树唯一地确定一个长 度为n-2的序列(t1, t2 , t3 , …, tn-2)
最优树的算法
Kruskal算法——加边避圈法． 不妨假定，连通图G各边的权非负，即w(e)≥o． 1)选择e1，使得w(e1)尽可能地小； 2)若已选好e1,e2,…,ei，则从E(G)-{e1,e2,…,ei}中选取ei+1满足； a)G[{e1,e2,…,ei+1}]无回； b)w(ei+1)是满足a)的尽可能小的权； 3)直到2)不能再进行为止． 去边破圈法 1)取G的任意一个圈ci 2)在ci上，去掉权最大的边； 3)重复1)一2)，直到G中无圈为止
练习
K5有多少个生成树？其中不同构的有多少？ 根据Cayley公式， K5有55-2=125个生成树。 根据顶点的最高度分析，可知其中互不同构的 生成树只有三种，即
连接问题
设给定n个城市v1,v2,v3,…,vn，城市vi与vj 直接修通一条 铁路需要费用xij，试设计一个总造价最低的铁路网把 这些城市连接起来，这就是所谓的连接问题。 连接问题反映在图论上，就是在赋权图G中，找出具 有最小权的连通子图——最小权生成树，称为最优树 (最小树)． 对有限的赋权图，由于它只有有限个生成树，通过穷 举比较，总可以找出其中权最小者，故最优树是一定 存在的，但不难想见，穷举法实现起来是很困难的
(2, 3 , 2 , 3) s1=1, t1 =2 s2=4, t2 =3 s1=5, t1 =2 s1=2, t1 =3
2 3 4
1 6 5
练习
画出K4的所有16棵生成树。
A B A B A B A B D C D C D C D C A B A B A B A B D C D C D C D C A B A B A B A B D C D C D C D C A B A B A B A B D C D C D C D C
(4) G无回，且q＝p—1
(5) G无回，若u，v是G的任意两个非邻接顶点， G+uv有且仅有一个回路；
(6) G连通，但舍弃任何一条边后便不连通．
引理2.2 若在图G中存在(u,v)-途径，则在G中存在 (u,v)-通路．
证明：对途径中重复出现的顶点个数l作归纳：
纽约
伦敦
68
59
67
59
36
2
20
55
/
34
34
/
数学竞赛中的图论方法
例1 十个学生参加一次考试，试题十道。已知没两个学生做对 的题目完全相同。证明在这十道试题中可以找到一道试题，将 这道试题取消后，每两个学生所做对的题目仍然不会完全相同。 证明：用反证法。每一个学生用一个点vi(1≤i≤10)表示，如果 命题不成立，那么对每一个题目h，如果去除h后，就可以找到 一对学生vi与vj，做对的题目相同。这就不妨设原来vi比vj多做 对一道题目h，在这样的一对点vi与vj中连一条边，并且标上数 h,于是得到一个有10个顶点10条边的图，并且这10条边上标上 了10个互不相同的数。因为边数不小于顶点数，所以此图一定 有圈。 设(vi1,vi2, …,vik, vi1)为一个圈，那么沿这个圈前进时，每通过一 条边相当于解出的题目增加或减少一道，并且增减的题目互不 相同。由vi1做对的题目增加一些题再减少一些题，最后的结果 和和vi1原来做对的题目完全相同，这显然是矛盾的。
最优树算法示例
去边破圈法 加边避圈法
6 6 6 7 3 8 1 3 4 2 2 3
6 6 6
2 2 2
3 1
练习
试用Kruskal算法和破圈法求下列赋权图的 最优树。
5 2 2 3 2 2 1 3 3 5 3 4 2 2
4 11 15 2
6 18
练习
已知世界六大城市之间的航线距离(以百英里为单位) 表，试在此表确定的赋权完全图中找出一个最小权生 成树。 北京 东京 巴黎 墨西哥 纽约 伦敦 北京 东京 巴黎 墨西哥 / 13 51 77 13 / 60 70 51 60 / 57 77 70 57 / 68 67 36 20 50 59 2 55
求生成树的方法
1．去边破圈法 在连通图G中，逐次去边，破掉所有回路，但 必须保持连通化最后得到的无回连通图就是G的 生成树．
求生成树的方法
2．加边避圈法。 在连通图G中任取一条边e1，找一条不与e1构成回路的边e2 ， 然后再找不与{e1, e2}构成回路的e3 …如此继续下去，直到 这一过程不能再进行为止，所得图就是G的生成树． 广探法
生成树
图G的生成子图如果是树，则称为G的生成 树(支撑树)。 定理2.4 图G有生成树的充要条件为G是 连通的． 证 如果G不连通，那么它的任何一个生成 子图都不连通，因此G没有生成树． 如果G连通，那么G必有连通的生成子图 (特别地， G本身便是)．设G的最小连通生 成子图为T，那么对T的每一条边e，图T-e 不连通，由定理2.1(6)，T是树．又T是G的 一个生成子图，所以T是G的生成树．
vV
导出矛盾．故G至少有两个度数为1的顶点． 树的度数为1的顶点称为悬挂点
练习
用Δ(G)表示G中顶点的最大度。证明：若G 是Δ(G) ≥k的树，则G至少有k个顶点的度为1。 证明：假设顶点v的度为Δ(G) ，则G-v有Δ(G) 个分支，而每个分支中至少有两个悬挂点， 故必有G中的一个1度点。
定理2.1的证明