快速判断直线与椭圆位置关系的方法
快速判断直线与椭圆位置关系的方法（原创）
四川省宜宾县第二中学 傅小力
在解决椭圆的选择、填空问题中需要快速判断与坐标轴不平行的直线0:=++C By Ax l 和椭圆)0(122
22
>>=+b a b y a x 的位置关系时，我建议我的学生：
第一步：找出直线与坐标轴的交点，判断是否在已知椭圆内部或在椭圆上，
否，则第二步：设椭圆上任一点P （θθsin ,cos b a ）， C By Ax m ++=，则
C b B a A C Bb Aa m +++=++=)sin(sin cos 2222ϕθθθ，
其中R Bb Aa ∈=θϕ,tan ， 故],[22222222 b B a A C b B a A C m +++-∈。
结合线性规划的知识，结论如下：
① 若0>m 恒成立 即0>++C By Ax 恒成立，则椭圆上的点都在直线l 的同一侧，故直
线l 与椭圆相离；若0<m 恒成立 即0<++C By Ax 恒成立，同理直线l 与椭圆相离。
如图1。
还可用来求直线与椭圆相离时，参数的取值范围：
当m 的最小值0022222222<++>+- 的最大值或 b B a A C m b B a A C 即22222C b B a A +>时，直线与椭圆相离；
② 若0≥m 恒成立 即0≥++C By Ax 恒成立，则椭圆与直线l 有公共点，除公共点外，
其余的点都在直线l 的同一侧，故直线l 与椭圆相切；同理0≤m 恒成立 即
0≤++C By Ax 恒成立时。
如图2。
此时22222C b B a A +=，可用来求出切线方程。
③ 若0022222222>++<+-b B a A C b B a A C 且 ，则椭圆上的点使
0>++C By Ax ，0=++C By Ax ，0<++C By Ax 三种情况都存在，故椭圆上的点有的在直线l 的两侧，有的在直线l 上，所以此时直线l 和椭圆相交。
如图3。
可用来求直线与椭圆相离时，参数的取值范围：
当m 的最小值0022222222>++<+- 的最大值且 b B a A C m b B a A C 即22222C b B a A +<时，直线与椭圆相交。
练习：（1）直线052=++y x 和椭圆13
42
2=+y x 的位置关系是 。
（填空） 解：
5)sin(195)sin(314222++=++⨯+⨯=ϕθϕθm ]195,195[
+-∈ 所以0>m 恒成立 即0>++C By Ax 恒成立，故直线与椭圆相离。
（2）直线02=++c y x 和椭圆13
42
2=+y x 相切时，的值为 。
（填空） 由上面的结论②知22222C b B a A +=时，直线与椭圆相切，所以193142c 222=⨯+⨯=，即19±=c 时，直线和椭圆相切。
熟练掌握后一分钟之内应该能解答出本文提到的这类问题。
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直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系1. 求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，转化为利用判别式判断一元二次方程是否有解，应特别注意数形结合思想的应用.2. 注意根与系数的关系的应用.（1）弦长公式:斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦若A 、两点的坐标分别是A （x ,y ），B （x ,y ）1122则|AB =\:'(X i _x 2)2+(y 1_y 2)2=v1+k 23. 有关中点弦问题.（1）已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用根与系数的关系.（2）有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“点差法”可简化运算.4. 圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决.（1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决.（2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数、三角函数、均值不等式等）求最值.二、题型梳理1. 直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x （或尹）的一元二次方程的判断式/的符号来确定：当/>0时，直线和椭圆相交；当/=0时，直线和椭圆相切；当/<0时，直线和椭圆相离.2. 直线和椭圆相交的弦长公式|AB |=\：1+k 2[齐+七2—4X ]X 2]或|AB 戶\「（1+£|[儿+歹22—帅」3. 直线与椭圆相交时的常见处理方法 =鶯(1+k 2)[(x i +x )2一4xx ]212 =<1+k 2 l a l当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．本次授课内容授课标题直线与椭圆的位置关系学习目标1•直线与椭圆位置关系的判断2.直线和椭圆相交的弦长公式3.直线与椭圆相交时的常见处理方法重点难点直线与椭圆相交时的常见处理方法考点1点差法与中点弦例1⑴椭圆16+寻=1的弦被点P（2'1）所平分’求此弦所在直线的方程.(2)已知椭圆C：養+^2=l(a>b>0)过点P(T，T)，c为椭圆的半焦距，且c=⑵•过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线11的斜率为一1,求口尸肋的面积；(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.考点2直线与圆锥曲线的位置关系例2在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆斗+y2二1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.规律方法(1)解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法；(2)直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴(抛物线)或平行于渐近线(双曲线)；(3)联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对A进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论•考点3与弦长有关的问题x2□例3已知椭圆：古+y2二1,过左焦点尸作倾斜角为匚的直线/交椭圆于A、B两点，求96弦AB的长.考点4直线与椭圆综合x2y2例5如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆一+厂二1(a>b>0)(a>b>0)的离心a2b2率为#，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；考点5椭圆中的定点、定值问题例6椭圆C：a2+b2=l(a>b>0)的离心率为拿，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C的方程；⑵设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点P是直线x=l上的动点，直线PA与椭圆的另交点为直线PB与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN经过一定点.x2y2例7如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A,B,C是椭圆石+乞=1(°>&>°)上不同的三点，A(3\迂,爭)，B(-3,—3),C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上.(1)求椭圆的标准方程；(2)求点C的坐标；(3)设动点P在椭圆上(异于点A,B,C),且直线PB,PC分别交直线OA于M,N两点，证明：OM・ON为定值，并求出该定值.探究提高(1)求定值问题常见的方法有两种：□从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关•□直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. (2)如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法.考点6圆锥曲线中的最值、范围问题例8已知圆C：(x+1)2+y2二&定点A(1,O),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP,NP-AM=0,点N的轨迹为曲线E.(I)求曲线E的方程；(II)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足FG=X FH，求九的取值范围.x2y21•已知直线尸-x+1与椭圆一+［二1(a>b>0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在a2b2直线l：x-2y=0上，求此椭圆的离心率.x2y22•已知椭圆C的方程丁+y=1，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆C上有不同两点关于该直线对称.3.已知椭圆C：匸+「二1(a>b>0)的右焦点为F，离心率e二二，椭圆C上的点到Fa2b22的距离的最大值为、迈+1，直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A,B.(1)求椭圆C的方程；3,''2(2)若IAB1=十，求直线l的方程.4•已知椭圆—+二=1(a>b>0)的离心率为冷―，短轴的一个端点到右焦点的距离为詣a2b23直线l:y二kx+m交椭圆于不同的两点A,B.(I)求椭圆的方程；(II)若坐标原点O到直线/的距离为£,求A AOB面积的最大值.5•已知椭圆C：02+诗=l(a>b>0)过点P(—1，—1),C为椭圆的半焦距，且c=-j3b.过点P 作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M,N.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线11的斜率为一1,求D PMN的面积；(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.6•已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1．（口）求椭圆C的标准方程；（口）若直线l:y二kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.37•已知，椭圆C以过点A（1，2），两个焦点为（一1，0）（1，0）•（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.本次课课后练习1•椭圆36+才=1的一条弦被A(4,2)平分’那么这条弦所在的直线方程是一X2(11、2•已知椭圆〒+y2二1，求过点P-，-且被P平分的弦所在的直线方程.2\22丿x23•已知椭圆q：}+严=1,椭圆C2以q的长轴为短轴，且与q有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A,B分别在椭圆C1和C2上,OB=204,求直线AB的方程.x2y24•如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆石+右=1(。
直线与椭圆的位置关系的另类判别方法
／
图 ４
联 立直 线 与 椭 圆 的方 程 得
ｆ ｘ ｎ＋ ＝ ， ＋ｙ ｔ ０ ｍ
＝
？ｔ Ｔ ２Ｃ２
＂ 山
ｍ。６ ＋ｃ） ｍ２２ 即 ２ ＝ ａ 所 以 上 （ ＝ 。， ｔ ２
，
～、 ＼
、
０ Βιβλιοθήκη ｍ／ ±ａ 此 时２ ， 的方程为 ｘ＝土ａ 所以直线２ ， 与椭圆 相切． ｍ ２ｃ２ 若 ｄ ． ２＞ ｂ， — １ｄ ２即 ￥ ２ ＞ｂ时， ２ 整理
（ 当 直 线 ｌ Ｘ轴 垂 直 时 ， ｎ ＝ ０ 寸 １ Ｊ 与 即 日，
直 线方 程 为 ＝ 一 ｔ
，
证明：１ 点 Ｆ 、Ｆ 分别位于直线 ｆ （） ｌ ２ 的两侧，
或点 Ｆ 或 Ｆ 在直线ｆ ｌ ２ 上时， 图 １ 如 所示， 此时直
此ｄＩ＋，＝ ｃ 时＝三ｃ 一一 一 ｌ Ｉ ｌ Ｉ ｌ ｍ ｄ ｍ 所ｄ２ ＋・ 以＂ Ｉ ｃ ｃ ｌ－ ｆｍ Ｉ ｄ一 ｌ 一 ￣ｍ Ｊ Ｉ 一 ＝ 『 Ｉ ｌ Ｊ ．
／
图３
为ｄ＝ １
所
Ｉ２ Ｉｃ １ ｄ ＝丽 ＋ｔ ｍ
．
．２ ｄ＝
Ｖ ‘ 十 ｎ ‘ ｍ
・［ｃ ｔ 丽 ＋ｌ ｍ
Ｖ ｍ 十 ｎ
当ｄ ．２＜ｂ 时， ＞０ 所 以直线２ １ｄ △ ， 与椭 圆
＝
相交 （ 如图４． ）
Ｉ 一ｍ 。 ｔ 一ｍ２２ ｔ 。 ｃＩ ２ ｃ
关 系的判别是否有类似 的方法呢？ 结论 已知直线 ｆ ｍｘ ｙ ＝０ ｍ。 ： ＋ｎ ＋ｔ （ ＋
图 １
。
（） Ｆ 、Ｆ 位于直线的同侧时， ２点 １ ２
礼 ≠ 。 与椭 圆： ２＋ ｙ ） ２ ｘ
第40讲 直线和椭圆的位置关系学生
第40讲 直线和椭圆的位置关系[玩前必备]一、直线与椭圆的位置关系1．位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ，(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．2．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a . [玩转典例]题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)例2 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[玩转跟踪]1．（2020·全国高三课时练习（理））已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m(m>0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)2.（2020·全国高三课时练习）若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个题型二 椭圆的弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．[玩转跟踪]1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( ) A ．±1B ．±12 C. 2 D ．±22．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．题型三 中点弦问题例4 (1)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________________． (2)焦点是F (0,5 2)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________． 例5 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G横坐标的取值范围．[玩转跟踪]1．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是( ) A ．4x ＋3y －13＝0B ．3x ＋4y －13＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．3x －4y ＋5＝02．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称，求实数m 的取值范围．题型四 椭圆大题例6 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC ―→·DB ―→＋AD ―→·CB―→＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．[玩转跟踪]1．已知动点M 到两定点F 1(－m,0)，F 2(m,0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，且OA ―→·OB ―→＝2(O 为坐标原点)，求k 的值．[玩转练习]1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个B ．2C ．1D ．02．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－943．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223B.423C. 2 D ．24．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点M (2,1)在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下面结论正确的有( )A ．椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1B ．k OM ＝12C ．－2＜m ＜2D ．m ≤－2或m ≥26．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )A ．直线PB 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2b 2 B ．PB 1―→·PB 2―→＞0C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 22aD ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线7．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)8．(一题两空)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点．则椭圆C 的方程为________；若点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥PQ ，则线段MN 所在的直线方程为_____________．9．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________．10．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．11．(2020·上饶模拟)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．12．(一题两空)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)椭圆C 的方程为____________．(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，则直线l 的斜率k 的值为________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．14．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．15.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆C 上任意一点，点A 关于原点O 的对称点为点B ，有|AF 1|＋|BF 1|＝4，且∠F 1AF 2的最大值为π3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ′是点A 关于x 轴的对称点，设点N (－4,0)，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A ′E 与x 轴相交于点M ，试求|NF 1|·|MF 2|的值．。
直线与椭圆的位置关系讲解(全面)
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
如何确定直线与椭圆的位置关系？
如何确定直线与椭圆的位置关系？
概述：
确定直线与椭圆的位置关系是一个在几何学中常见的问题。
直
线可以与椭圆相交、切线与椭圆相切，或者不相交、不相切。
本文
将介绍如何确定直线与椭圆的位置关系的方法。
方法一：代入方程法
通过代入直线的方程和椭圆的方程，可以求解出直线与椭圆的
交点。
将直线方程代入椭圆方程中，得到一个关于未知数的方程。
通过解方程可以求得交点的坐标，从而确定直线与椭圆的位置关系。
方法二：点斜式法
如果直线已知斜率和一点坐标，可以使用点斜式方程来表示直线。
将点斜式方程代入椭圆的方程中，得到一个关于未知数的方程。
通过解方程可以求得直线与椭圆的交点，从而确定位置关系。
方法三：参数方程法
如果直线已知经过两点，则可以使用参数方程表示直线。
将参
数方程代入椭圆的方程中，得到一个关于参数的方程。
通过解方程
可以求得参数的值，从而确定直线与椭圆的位置关系。
方法四：判别条件法
通过椭圆的方程和直线的方程，可以得到一个关于未知数的二
次方程。
这个二次方程的判别式可以用来判断直线与椭圆的位置关系。
当判别式大于0时，直线与椭圆相交；当判别式等于0时，直
线为椭圆的切线；当判别式小于0时，直线与椭圆不相交、不相切。
总结：
确定直线与椭圆的位置关系可以通过代入方程、点斜式、参数
方程、判别条件等方法进行。
根据实际问题的条件，选择合适的方
法来求解，并通过解方程或判别式来确定位置关系。
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系例1当m 为何值时，直线l : y=x+m 与椭圆•9x 2+16y 2=144相切、相交、相离？离2、有关弦长问题例2 设直线12y x =-与椭圆2242x y +=相交于 点A B 、，求弦AB 的长注意：直线与二次曲线相交弦长的求法（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）利用弦长公式: 弦长公式：=|||A B AB x x =-但有关圆的弦长一般运用垂径定理！特殊的弦—通径：经过椭圆的焦点且垂直于椭圆长轴的弦 222=b AB a《成才》课后强化训练 （八）133、与弦中点有关的问题例3 椭圆221369x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是A ．20x y -=B ．2100x y +-=C ．220x y --=D ．280x y +-=【答案】D注意：弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率----点差法4、椭圆中的最值问题《成才之路》P27 例5已知椭圆2288+=x y ，在椭圆上求一点P ，使P 到直线:40-+=l x y 的距离最小，并求出最小值。
分析：即求与:40-+=l x y 平行的椭圆的切线与:40-+=l x y 间的距离课后作业：=1、如果椭圆2212x y +=的弦被点1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，平分，求这弦所在的直线方程。
【答案】2430x y +-=2、（2009汕头）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。
（1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围；（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.解：（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ……1分 则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得……………3分 ∴椭圆方程为12822=+y x ………4分 （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m又K OM =21 m x y l +=∴21的方程为：…………………5分 由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m m x x y x m x y ………6分 ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，分且解得8...........................................................0,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可…………9分设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且……………………10分则21,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x42,222121-=-++m x x m x x ………………………10分 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.…14分4、综合问题例1已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，坐标原点O 到直线lAOB ∆面积的最大值。
直线与椭圆的位置关系
再结合韦达定理解决问题。
弦长问题
例3、已知椭圆
x2 y2 1的左右焦点 2 1
分别为F1,F2，若过点P（0，-2）
及F1的直线交椭圆于A,B两点，
求Δ ABF2的面积
中点问题
例4.已知点A(4,2)是直线l被椭
x y 1 圆 36 9
2 2
截得线段的中点,
求直线l的方程
中点问题
2.弦的中点问题
x2 y2 1 36 9
x2 y 2 练习:椭圆 2 4 1 中,过P(1,1)的弦恰被P 点平分,求该弦所在直线的斜率.
小结:(1)弦长的计算 (2)中点弦问题
(3)韦达定理的应用
x2 2 y 1 ,求过P(1/2,1/2)且被P平 1.巳知椭圆 2 分的弦所在的直线方程.
(2)当 0 时,直线和椭圆有且只有一个公共点,此 时直钱和椭圆相切.
(3)当 0 时,直线和椭圆无公共点,此时称直线和 椭圆相离.
例题选讲
例1、判断直线 kx y 3 0
x y 例题选讲
例2、若直线 y kx 1(k R)
直线与椭圆
教学目的
使学生掌握有关直线与椭圆位置
关系问题,会用设而不求的方法求
弦长.能够解决有关弦的中点问题.
重点:直线与椭圆的位置关糸,弦长公式
的应用
难点:弦长公式及应用.
一、判断直线和椭圆的位置关系
1.联立方程组
2.消去y(或x)得一元二次方程,考察判别式
(1)当 >0 时,直线和椭圆有两个公共点,此时直线和 椭圆相交.
例5、已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的两准线间的距离为 2 3 ，若椭圆被直线x+y+1=0截 2 得的弦的中点的横坐标是 3，求 椭圆的方程
直线与椭圆的位置关系的判断
对称。
问题8、椭圆中的最值性问题：
（1）．椭圆
外有一点
，内有一点
，P为椭圆上任意一点，若要求
最小，
则这最小值是（ ）
A
B
C
D
（2）．设
，则
的最小值是（ ）
A
B
C
D
(3)、已知椭圆
的右焦点是 ，点
在椭圆内，点M是椭圆上的动点，求
的最大、最小值。
(4)、已知P是椭圆 为左右焦点，求
上的点， 的最大、最小值之差是多少？
(1)使
(2)使线段AB被
平分.
(3)使以A、B为直径的圆过点。
（4）直线 和 轴交于 点P, 使
A P
F1
F2 B
，注意对斜率存在或不存在进行分类讨论。
②如果已知直线在 轴上的截距为 或直线过
点时，方程设为
或
，不需要对 分类讨论，当
时直线斜率不存在，当
时，直线斜率为
问题5：椭圆面积公式：
例4
椭圆
的两个焦点为F1 、F2 ，过左焦点作
直线与椭圆交于A，B 两点，若△ AB F2 的面积为16，
求直线的方程。
y
A（x1Байду номын сангаас, y1）
直线与椭圆的位置关系的判 断
问题1：点与椭圆的位置关系判定：点在椭圆内、上、外。
例1.椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴顶点，而 其重心是椭圆的一个焦点，求椭圆的离心率的取值 范围。
问题2：直线与椭圆位置关系种类
相交
二个
一个 0个
注意观察交点个数。
相切 相离
问题2：直线与椭圆位置关系判断方法：
已知
[1]将直线方程代入椭圆方程，得到 x （或 y）的一 元二次方程