第24课 计算圆周率π的近似值
圆学圆周率的计算方法
圆学圆周率的计算方法圆周率（π）是一个数学常数，表示圆的周长与其直径之比。
π的值是一个无限不循环的小数，可以近似表示为3.1415926。
在数学和科学领域，计算π的精确值一直是一个挑战。
然而，有许多方法可以用来估算π的值，这些方法在不同的领域和应用中都有重要的作用。
历史上，人们一直在尝试寻找准确的π值。
早在古希腊时期，人们就已经知道π的存在，并试图计算其值。
然而，由于π是一个无理数，无法用有限的小数或分数来表示，因此无法精确地计算出其值。
最早的一种计算π的方法是基于几何形状的测量。
例如，阿基米德使用了多边形的逼近来计算π的值。
他将一个圆形分成许多小扇形，然后逐渐增加扇形的数量，以逼近圆形。
通过不断增加小扇形的边数，最后可以得出一个非常接近π的值。
这种方法被称为阿基米德方法，是最早的近似计算π的方法之一。
在14世纪，数学家马德拉·普尔设计了一种称为蒙特卡洛方法的计算π的方法。
该方法将圆形画在一个正方形内，然后通过随机投掷点的方式来计算圆内和正方形内的点的比例。
通过不断增加投掷点的数量，可以逐渐得到一个接近π的值。
这种方法在现代计算机时代得到了广泛应用，特别是在概率和统计领域。
另一种计算π的方法是使用级数展开式。
数学家莱布尼茨和牛顿独立地发现了一个称为莱布尼茨级数的级数展开式，可以用来计算π的近似值。
这个级数展开式是无限的，但通过截取前面几项，可以得到π的近似值。
这种方法在计算机和数值分析中得到广泛应用。
近年来，随着计算机的发展，人们能够使用更高级的算法来计算π的值。
例如，基于分形几何的算法可以利用计算机的计算能力来逼近π的值。
这些算法使用复杂的数学公式和迭代过程来计算π的值，从而得到更高精度的结果。
除了数学方法，还有许多实际应用中使用的近似计算π的方法。
例如，在计算机图形学中，使用解析几何和三角函数来逼近π的值。
这些方法在计算机图形渲染和动画制作中起着重要的作用。
综上所述，圆学圆周率的计算有许多方法，包括几何测量、蒙特卡洛方法、级数展开式和现代计算机算法。
π值表的快速记忆方法
π值表的快速记忆方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：π是一个非常重要的数学常数，其值约等于3.14159。
在数学、物理、工程等领域中，π常常会出现在各种公式和计算中。
π的值是一个无限不循环小数，因此无法准确地用有限的小数表示。
为了方便计算和记忆π的值，人们制作了各种π值表。
今天我将向大家介绍一种关于π值表的快速记忆方法。
我们需要知道π的近似值是3.14159。
这个近似值可以帮助我们在计算中快速估算π的大小。
接下来，我们可以通过记忆π值表中的一些常见数值来帮助我们计算。
在π值表中，经常会出现一些常见的π值，例如π/4、π/3、π/2、2π/3、3π/4等。
这些值在各种公式和计算中经常会出现，因此我们可以通过记忆这些常见的π值来帮助我们进行快速计算。
我们还可以通过一些简单的规律来记忆π值表。
我们知道π是一个无限不循环小数，因此π的值是一个无限不循环的数字序列。
我们可以通过一些特殊的规律来记忆π的近似值。
我们还可以通过一些有趣的方法来帮助我们记忆π的近似值。
我们可以将π的值与一些具体的事物或图像联系起来，通过观察这些事物或图像，来帮助我们回忆π的值。
通过以上这些方法，我们可以在日常生活和工作中方便快速地记忆π值表，从而更好地应用π的概念和数值。
希望以上方法可以帮助大家更好地理解和应用π的概念，提高计算效率和准确性。
祝大家学习进步！第二篇示例：π值是代表圆周率的一个重要数值，它是一个无理数，约为3.14159。
在数学、物理等领域中都有广泛的应用，因此对π值的熟记是非常重要的。
但是π值是一个无限不循环小数，记忆起来很困难。
今天我们来分享一些关于π值表的快速记忆方法，希望可以帮助大家更轻松地记住这一重要数值。
我们可以利用一些记忆技巧来简化π值的记忆。
我们可以利用数字的规律进行记忆。
所谓数字的规律，就是数字之间有一定的联系和规律，我们可以利用这些规律来记忆数字。
π值的前几位小数是3.14159，我们可以将这些数字同音字或者谐音词联系起来，形成一个有意义的词语或短语。
pi的计算
5.圆周率的随机模拟计算方法 (蒙特卡罗法)
cs=0 n=500 %随机取点数 for i=1:n a=rand(1,2); if a(1)^2+a(2)^2<=1 cs=cs+1 end end 4*cs/n
１
０
１
依次取n 500,1000,3000,5000,50000取算得 圆周率的近似值分别为 3.18400000000000 3.10400000000000 3.13866666666667 3.12080000000000 3.14376000000000
1 ( 1)n (6n)! 13591409 545140134n 12 , 3 3 3 n n 0 ( 3n)!( n! ) 640320 2
并在1994年计算到了4044000000位．它的另一 种形式是
426880 10005 . (6n)!(545140134 n 13591409) 3 3n ( n ! ) ( 3 n )! ( 640320 ) n 0
例3 完成下面的实验任务
(1) 用MATLAB软件计算函数arctan x的Maclaurin 展开式，计算的近似值.
( 2)利用下面的等式计算 的值，并与（ 1）比较.
2 1 2 ( 1)n1 (a ) (b) , 2, 2 8 n1 ( 2n 1) 12 n1 n
分析法时期
这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难 计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。 1593年，韦达给出
这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至 在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它 表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和 开平方就可算出 π 值。
圆周率计算方法
圆周率计算方法引言：圆周率，简称π，是数学中一个非常重要的常数，表示圆的周长与直径的比值，约等于3.14159。
它的精确值无法表示为有限的小数，因此一直是数学界的一个研究课题。
本教案将介绍一些计算圆周率的方法，并帮助学生了解圆周率的意义和计算的过程。
一、什么是圆周率圆周率π是一个无理数，表示圆的周长和直径的比值。
它的精确值无法用有限的小数表示，但可以用无限小数或无线级数来近似表示。
二、近似计算方法1. 迭代法：利用正多边形边数增加时，逐渐逼近圆形周长的方法。
a. 步骤：- 选取一个近似的正多边形，如正六边形。
- 计算该正多边形的周长。
- 将正多边形的边数增加，重新计算周长，直到达到所需精度。
b. 示例代码：```pythondef calculate_pi(precision):sides = 6 # 初始正六边形length = 1 # 初始边长pi_approx = 0while abs(pi_approx - math.pi) > precision:pi_approx = (sides * length) / 2sides *= 2length = math.sqrt(length**2 - (length/2)**2)return pi_approxprint(calculate_pi(0.0001)) # 输出近似值```2. 蒙特卡洛方法：根据随机采样的点落在圆内或圆外的比例来估计圆周率。
a. 步骤：- 假设正方形边长为2，以原点为圆心的内切圆半径为1。
- 随机生成坐标值在正方形区域内的点。
- 统计落在圆内的点的数量。
- 计算落在圆内的点占总点数的比例。
- 利用比例来估计圆周率。
b. 示例代码：```pythonimport randomdef estimate_pi(num_samples):num_points_inside_circle = 0num_points_total = num_samplesfor _ in range(num_samples):x = random.uniform(-1, 1)y = random.uniform(-1, 1)if x**2 + y**2 <= 1:num_points_inside_circle += 1pi_approx = 4 * (num_points_inside_circle / num_points_total)return pi_approxprint(estimate_pi(1000000)) # 输出近似值```三、应用案例1. 计算机图形学：在绘制圆、弧和曲线时，需要精确的圆周率值。
C#2010 计算圆周率π近似值
C#2010 计算圆周率π近似值圆周长与圆直径的比例就是圆周率π，古时经常使用“正多边形逼近”法来得出π的近似值，当圆的内接正多边形边数越多时，其边长就越接近圆周长。
本练习就将使用循环的方式求出圆周长最终得出π的近似值，具体步骤如下所示：（1）程序分析首先确定最初单位圆（半径为1）的内接正多边形为正四边形，其边长为Math.sqrt(2)/2，边长为4；而当边数加倍后，新八边形的边长为Math.sqrt(2-2sqrt(1-(Math.sqrt(2)/2)2))/2,边长为8。
如此循环，即可求出十六边形，三十二边形……的边长。
最后，使用该边长乘以相应的边数得到周长C来代替外接圆的周长，继而求出π的近似值。
（2）在Program.cs程序代码中，编写getPI()函数来求出指定循环次数后求出的π的近似值，代码如下所示。
//得到π的近似值public static double getPI(int count){int n, i = 4;double b = Math.Sqrt(2) / 2.0;double PI = 0.0;for (n = 0; n < count;n++ ){b = Math.Sqrt(2.0-2.0*Math.Sqrt(1.0-b*b))*0.5;i = i * 2;}PI = b * i;return PI;}（3）然后，在main()函数中调用getPI()函数求出根据用户输入循环次数所得出的π的近似值并打印出来，代码如下所示。
static void Main(string[] args){int n,b;Console.WriteLine("请指定循环次数：");n = int.Parse(System.Console.ReadLine());Console.WriteLine(getPI(n));Console.WriteLine("请指定循环次数：");b = int.Parse(System.Console.ReadLine());Console.WriteLine(getPI(b));}（4）执行该程序，用户在命令行中输入循环次数，单击【Enter】键，命令行中就会显示出π的近似值，如图3-4所示。
π的近似计算
实验报告课程名称：数学实验实验名称：π的近似计算实验目的、要求：1.了解圆周率π的计算历程。
2.了解计算π的割圆术、韦达公式、级数法、拉马努金公式、迭代法。
3.学习、掌握MATLAB 软件有关的命令。
实验仪器：安装有MA TLAB 软件的计算机实验步骤：一、 实验内容1．内容π是人们经常使用的数学常数，对π的研究已经持续了2500多年，今天，这种探索还在继续中。
1.割圆术。
2.韦达（VieTa ）公式。
3.利用级数计算π。
4.拉马努金（Ranmaunujan ）公式。
5.迭代方法。
6.π的两百位近似值。
计算π的近似值：2. 原理1、 刘徽的迭代公式1106.2 6.2 6.2 6.224, 3.2,1n n n n n x x s x x ++=--==2、利用韦达（VieTa ）公式22222222222...2222π++++++= 3、莱布尼茨级数 n 1(1)=421nn π∞=-+∑4、级数加速后的公式2121n 0n 011(1)1(1)116arctan 4arctan 164523921521239k k k k k k π∞∞++==--=-=⋅-⋅++∑∑5、拉马努金公式4n 0122(4)!110326396=9801396n n n π∞=+⋅∑（n!）二、实验结果练习1 用刘徽的迭代公式11 6.206.2 6.2 6.224, 3.2,1n n n n x x s x x ++=--==计算π的近似值。
相应的MA TLAB 代码为>>clear;>>x=1;>>for i=1:30>>x=vpa (sqrt(2-sqrt(4-x^2)),15)%计算精度为15位有效数字>>S=vpa(3*2^i*x,10)>>end计算可得x =.517638********* S =3.105828541x =.261052384440103 S =3.132628613 …练习题 1.1106.2 6.2 6.2 6.224, 3.2,1n n n n n x x s x x ++=--==,计算π的近似值,迭代50次，有效数字取为100位。
π的计算
取 k 10
1 1 1 1 4 1 3.232316 3 5 19 21
取 k 20
1 1 1 1 4 1 3.189184 3 5 39 41
在中学数学中证明过下面的等式 1 1
2l N na
历史上有一些学者亲自做过这个试验，下表记
录了他们的结果（把a折算为单位长）：
试验者 Walf Smith 年份 1850 1855 投掷次数 相交次数 得的近似值 针 长 5000 2532 3.159 6 0.8 3204 1218 3.155 4 0.6
DeMorgan Fox
1 1 记 arctan ， 4 ，得tan 239 4 5
此式求得了π的第100位小数且全部正确
其它方法
除用古典方法与分析方法求π的近似值以 外，还有人用其他方法来求π的近似值。
这里我们将介绍两种方法：
概率方法 数值积分方法
概率方法1
取一个二维数组（x,y），取一个充分大的 正整 数n，重复n次，每次独立地从 （0，1） 中随机地取一对 数x和y ，分别检验 x2+y2≤1是否成立。 设n次试验中等式成立 的共有m次，令π≈4m/n。
但这种方法很难得到π的较好的近似值。
概率方法2——利用葡丰（Buffon）投针问题 葡丰（Buffon）投针问题：平面上画有等距离的 一族平行线，平行线间的距离为a（a＞0），向平 面任意投掷一枚长为l（l ＜a）的针，求针与平行 线相交的概率。
Georges Louis Leclerc Comte de Buffon
分公式来求，但用
此类方法效果也很
4
圆周率π的计算与应用
圆周率π的计算与应用圆周率π是数学中一个重要的无理数，它的计算和应用在科学和工程领域中起着重要的作用。
本文将探讨圆周率π的计算方法和应用领域。
一、圆周率的计算方法计算圆周率π是一个古老而复杂的问题，历史上有许多不同的计算方法被提出和应用。
其中最著名的方法之一是阿基米德的方法。
阿基米德通过将一个圆内接正多边形的周长逐渐逼近圆的周长，从而得到了一个较为准确的圆周率近似值。
这个方法被称为“阿基米德方法”，至今仍然被广泛使用。
除了阿基米德方法，还有许多其他的计算圆周率的方法。
例如，马青公式是一种基于级数展开的计算圆周率的方法。
该方法通过将一个无穷级数展开，逐渐逼近圆周率的值。
这个方法的优点是可以通过增加级数的项数来提高计算精度。
另外，近年来随着计算机技术的发展，一些基于数值计算的方法也被广泛应用于计算圆周率。
例如，蒙特卡洛方法是一种基于随机数的计算圆周率的方法。
该方法通过在一个正方形内随机生成大量的点，并统计落在圆内的点的比例来估算圆周率的值。
由于计算机的高速计算能力，蒙特卡洛方法可以得到非常精确的圆周率近似值。
二、圆周率的应用领域圆周率π在科学和工程领域中有着广泛的应用。
首先，圆周率π在几何学中起着重要的作用。
几何学是研究图形、形状和空间关系的数学学科，而圆周率π是几何学中最基本的常数之一。
在计算圆的面积、周长以及其他几何问题时，圆周率π是必不可少的。
其次，圆周率π在物理学中也有着重要的应用。
物理学是研究自然界中物质和能量的运动和相互作用的学科，而圆周率π在物理学中常常出现在各种公式和方程中。
例如，在计算圆形物体的转动惯量、计算电子的自旋磁矩等问题时，圆周率π起着关键的作用。
此外，圆周率π还在工程领域中有广泛的应用。
工程学是应用科学的一个分支，它研究如何设计、建造和维护各种工程系统。
在工程设计中，圆周率π经常用于计算圆形结构的尺寸和参数。
例如，在建筑设计中，计算圆柱体的体积和表面积时，圆周率π是必需的。
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属性值 星期几问题 计算 年 月 日 输入日期 结果 空串 空串 空串 空串
说明
显示程序的功能 说明命令按钮的作用 说明文本框text1的作用 说明文本框text2的作用 说明文本框text3的作用 提示文本框的作用 说明文本框text4的作用 输入“年” 输入“月” 输入“日” 输出结果
授课人：杨鹏
1 a2 3
，第3项为
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2.算法流程图：
变量n: 输入计算的项数 变量pi: 计算的结果 变量an: 第n项的值
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3.程序界面设计：
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控件属性值的设置参考如下表：
对象名 Form1 Text2 属性名 Caption 属性值
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星期计算问题
高中信息技术必修2：算法与程序设计
平时在日常生活中遇到这样的问题，忘记了几月几日是星期几，一 般会采用这样的方法，从一个已知的某天开始推算，先计算已知星期几 的这一天距要推算的那天共相差几天，然后将天数除以7取余数，最后 就可以推算出星期几了。 已知公元元年1月1日是星期一，再计算需推算的日子离元年1月1日 相距多少天（W），再用天数W除以7的余数加上1就是星期几了，余0 就是星期一，余1就是星期二.……，但是在计算天数时会发现由于中间 会经历平年（365天）、闰年（366天），每年的不同月份天数也不相 同，这样计算量是很大的，计算也十分困难。 德国数学家克里斯蒂安•蔡勒（Christian Zeller，1822-1899）在 1886年推导出了一个解决此问题的著名的蔡勒公式，
第24课 计算圆周率π的近似值
授课人：杨鹏
高中信息技术必修2：算法与程序设计
1.用迭代法
求π 的近似值。 2.用蒙特卡洛法求π 的值。
3.设计一个算法计算1900 年1月1日之后的任何一 天是星期几？用VB程序 实现这一算法。
授课人：杨鹏
复习引入
高中信息技术必修2：算法与程序设计
解析算法基本思想： 用解析的方法找出表示问题的前提条件 与所求结果之间关系的数学表达式，并通过 表达式的计算来实现问题求解。 在设计解析算法时，必须注意保证计算 过程描述的正确性。
W ← [C/4] – 2*C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1
输出“输入有 误”
w←w mod 7
输出结果星期几
结束
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参考程序界面如下：
高中信息技术必修2：算法与程序设计
星期几计算问题界面
程序需要使用到四个文本框，其中三个分别用于输入年、月、日，另一个用于 输出计算结果，一个命令按钮，当按下按钮时开始计算，五个标签，分别说明 文本框的作用。
计算π的近似值
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说明
说明程序的功能 输出计算的结果（π 的近似值） 输入各个电阻的阻值 （每次输入一个） 说明命令按钮的作用
Text
BackColor
Text1
Command 1 Label1 Label2 Image1
Text
BackColor
空串 蓝色 空串 黄色
‘判断输入的日期是否是有效的日期，根据平年、闰年，不同月份的不同情况来判断
If (month = 1 Or month = 3 Or month = 5 Or month = 7 Or month = 8 Or month = 10 Or month = 12) And (day >= 1 And day <= 31) Then ok = 1 If (month = 4 Or month = 6 Or month = 9 Or month = 11) And (day >= 1 Or day <= 30) Then ok = 1 If leap(year) = 1 And month = 2 And (day >= 1 And day <= 29) Then ok = 1 If leap(year) = 0 And month = 2 And (day >= 1 And day <= 28) Then ok = 1 If ok = 0 Then Text4.Text = "输入日期有错误"
授课人：杨鹏
高中信息技术必修2：算法与程序设计
使用随机函数Rnd随机产生两个小数x、y,可构成一个坐 标点(x,y），判断是否落在扇形内的充要条件是x2+y2<=1， 总计投放n次，根据条件判断统计得到落在扇形内的次数m， 再根据两者的比例m/n，求得π=4*m/n的近似值。
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高中信息技术必修2：算法与程序设计
w =[c/4]-2*c+y+[y/4]+[13*(m+1)/5]+d-1
其中，c是年份的前2位，y是年份的后两位，m是月份，d是日数。 1月和2月要按上一年的13月和 14月来算，这时c和y均按上一年取值， ［］表示取整。
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高中信息技术必修2：算法与程序设计
如：推算2009年1月1日是星期几？ C=20，y=08（１月按上一年13月 来算，同时y取上一年的年份），M=13 （１月按上一年13月来算），d=1， w=[20/4]-2*20+8+[8/4]+[13*(13+1)/5]+1-1=，
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实践活动
用级数公式 ， 计算圆周率π 的近似值。
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1.算法分析 按照级数公式， S 项为
2
由若干项 求和得到，第1
a1 1
，第2项为
1 2 ，第4项为 a 1 2 3 , 分析可 a3 4 3 5 7 3 5 n 1 得第n项为an与前一项an-1的关系是 an an 1 。 2n 1
计算
Caption
说明文本框Text1的作 Caption 输入项数n： 用 说明文本框Text2的作 计算π 的近似值 Caption 用
Picture pi.jpg
显示图片pi.jpg（级数公式）
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4.分析算法流程，编写代码
Private Sub Command1_Click() Dim Pi As Double, an As Double Dim m, n As Integer n = Val(Text1.Text) Pi = 1 an = 1 For m = 2 To n an = an * (m - 1) / (2 * m - 1) '计算第n项的值 Pi = Pi + an '进行累加 Next Text2.Text = Str(Pi * 2) End Sub
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5.运行调试程序;
授课人：杨鹏
课堂练习
1.使用蒙特卡洛法求π的近似值。 利用求单位正方形与内接圆 面积的比例关系来求得π的近似 值 。单位圆的1/4面积是一个扇 形，它是边长为1单位正方形的 一部分。 如果能求出扇形面积 s1在正方形面积s中占的比例 k=s1/s，它的值也等于π/4，从 而就计算得到π的值。 怎样求出扇形面积在正方形 面积中占的比例k呢？蒙特卡洛 法是在正方形中随机投入很多点， 使所投的点落在正方形中每一个 位置的机会相等。有些点将落在 扇形内，而另一些点将会落在扇 形外，落在扇形内的点数m与所 投点的总数n之间比m/n即为k的 近似值。
除以7的余数为4，所以推算是星期 四，与事实一致。为方便口算，上式中 的[13 * (M+1) / 5]也往往写成[26 * (M+1) / 10]。
授课人：杨鹏
算法流程框图下图所示：
开始 输入年月 日
N
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判断日期是否有效？
Y
计算c，y，m，d。C是世纪数减一，y是年份 后两位，M是月份，d是日数，1月和2月要按 上一年的13月和 14月来算，这时C和y均按上 一年取值
授课人：杨鹏
高中信息技术必修2：算法与程序设计
古今中外的数学家们计算π 的近似值主要有三类方法： 1.利用“正多边形逼近”的方法。 2.使用迭代法。可利用下列式子计算π 。
3.使用蒙特卡洛法（Monte-Carlo method）。蒙特卡 洛法是使用随机模拟实验结果进行统计来求得π 的 近似值的方法。
参考程序代码如下：
高中信息技术必修2：算法与程序设计
Public Function leap(y As Integer) As Integer If y Mod 100 = 0 Then If y Mod 400 = 0 Then leap = 1 Else leap = 0 Else If y Mod 4 = 0 Then leap = 1 Else leap = 0 End If End Function
1）参考程序代码：
Private Sub Command1_Click() Dim Pi As Double, x As Double, y As Double Dim m As Long, n As Long Randomize Timer '随机数初始化 n = Val(Text1.Text) '读入投放次数n If n = 0 Then MsgBox "请输入投放次数n" Exit Sub End If m=0 For I = 1 To n x = Rnd() y = Rnd() If x ^ 2 + y ^ 2 <= 1 Then m = m + 1 '判断是否在扇形内 Next I Pi = 4 * m / n '计算出π的近似值 Text2.Text = Str(Pi) End Sub