第二讲 等差数列(总结-北京程雪)
等差数列知识点归纳总结公式大全
等差数列知识点归纳总结公式大全等差数列是数学中常见的一种数列，它具有重要的数学性质和应用价值。
本文将对等差数列的概念、性质以及常用的公式进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和应用等差数列。
一、等差数列的概念与性质等差数列指的是一个数列中，从第二个数起，每个数都与它的前一个数之差相等。
这个等差差值常被称为公差，用字母d来表示。
例如，数列1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，公差为2。
等差数列的常见性质包括：1. 第n项的通项公式对于等差数列an，它的第n项可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 求和公式等差数列的前n项和Sn可以通过求和公式来计算，公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。
3. 递推公式等差数列的递推公式可以用来计算数列中某一项与它的前一项之间的关系。
递推公式为：an = an-1 + d，其中an为第n项，an-1为第n-1项，d为公差。
二、等差数列的常用公式1. 第n项的公式等差数列的第n项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 前n项和的公式等差数列的前n项和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。
3. 公差与首项和末项的关系等差数列的公差与首项和末项之间的关系为：d = (an - a1) / (n - 1)，其中d为公差，a1为首项，an为第n项。
4. 公差与相邻项的关系等差数列的公差与相邻项之间的关系为：d = an - an-1，其中d为公差，an为第n项，an-1为第n-1项。
5. 等差数列的项数已知等差数列的公差、首项和末项，可以根据等差数列的项数公式求得项数：n = (an - a1) / d + 1，其中n为项数，a1为首项，an为第n 项。
6. 等差数列的和数已知等差数列的公差、首项和项数，可以根据等差数列的和数公式求得和数：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn为和数，n为项数，a1为首项，an为第n项。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中常见的一种数列，它具有一定的规律性和特点。
在学习数学的过程中，掌握等差数列的知识对于理解数学的整体框架和提高解题能力都具有重要意义。
本文将对等差数列的相关知识点进行总结，以便读者更好地掌握这一部分内容。
首先，我们来了解一下等差数列的定义。
等差数列是指一个数列，其中相邻两项的差值都相等。
即对于数列{a1, a2, a3, ...}，若满足a2 a1 = a3 a2 = ... = d，其中d 为公差，则称该数列为等差数列。
公差d的值可以为正、负或零，它决定了数列中相邻项之间的间隔大小和方向。
在等差数列中，我们常常需要计算数列的第n项和前n项和。
对于等差数列{a1, a2, a3, ...}，其第n项an的计算公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
而前n项和Sn的计算公式为Sn = n/2 (a1 + an)，这个公式的推导过程可以通过数学归纳法来证明。
另外，等差数列还有一个重要的性质，那就是任意三项成等差数列。
对于等差数列{a1, a2, a3, ...}，任取其中三项a1, ak, an，若满足ak a1 = an ak，则这三项构成等差数列。
这一性质在解题过程中经常会被用到，可以帮助我们简化问题，减少计算量。
在实际问题中，等差数列也有着广泛的应用。
比如在日常生活中，我们经常会遇到一些成等差数列的情况，比如等差数列的数值模拟了某种变化规律，或者在金融领域中，利息的计算也涉及到等差数列的概念。
因此，掌握等差数列的知识对于我们理解和解决实际问题都具有重要意义。
总的来说，等差数列作为数学中的一个重要概念，具有着丰富的性质和应用。
通过本文的总结，相信读者对等差数列的相关知识已经有了更清晰的认识。
在学习数学的过程中，要善于运用所学的知识，灵活应用到实际问题中，不断提高自己的数学素养和解题能力。
希望本文能对读者有所帮助，谢谢阅读！。
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等差数列与等比数列知识梳理 211()2n n n a a na +=+)1(1)n q a q q --=≠ ,
复习训练题
1、求等差数列-1,2,5，…的通项公式，并写出第50项.
2、求等比数列10,1，110
，…的通项公式，并写出第12项.
3、在等差数列{n a }中，3a =4，7a =20，求15S .
4、在等比数列{n a }中，5833,432
a a ==-，求7S .
5、在数列{n a }的前n 项和为31,n n S =-求数列的通项公式n a .
6、等差数列{n a }中，已知d=3,且13599+80,a a a a +++=…求前100项和.
7、已知等比数列{n a }的前3项和是35-，前6项和是215
，求它的前10项和.
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等差数列知识点归纳总结
等差数列知识点归纳总结
等差数列是一种非常重要的数学概念，它广泛应用于几乎所有数学分支，包括代数、统计、优化等。
本文将介绍等差数列的基本概念、定义、性质及应用，以此对此知识点进行归纳总结。
一、等差数列的定义
等差数列是一种特殊的的数列，它的元素保持一定的差值相等，例如： 1,4,7,10...，元素之间的差值都为3.
二、等差数列的性质
（1）等差数列的前n项和
若等差数列的前n项和为Sn,公差为d，则Sn = n(a1 + an) / 2 = n(a1 + a1 + (n 1)d) / 2 = n(2a1 + (n 1)d) / 2
（2）等差数列的等比数列
如果一个数列所有元素都是正数，且满足等比数列的性质，则称这个数列为等比数列。
例如：2 ,4 ,8, 16...，元素之间的比值都为
2.
三、等差数列的应用
（1）数学问题
等差数列在解决数学问题时很有用，可以用来计算总和、平均数和对数等。
（2）统计分析
等差数列也可以用于统计分析，可以用来判断数据的变化趋势，并进行回归分析。
（3）其他
等差数列也可以在其它领域有用。
例如，它可以用来帮助用户在购物时进行折扣，并可以帮助用户在预测股票价格变化时做出正确的决策。
综上所述，等差数列是一种非常重要的数学概念，它广泛应用在几乎所有数学分支，具有明显的规律性，可以被用来解决各种数学问题，并可以用于统计分析和其他应用。
因此，掌握等差数列的相关知识是数学学习中必不可少的一部分。
等差数列知识点归纳总结
等差数列知识点归纳总结等差数列（ArithmeticSequence）是指一组有序的满足规定的数据，通常按公差d（即每一项与其前一项的差值）来进行排列，即形如a1,a1+d,a1+2d,a1+3d.....an-1,an的数列，其中a1是等差数列的第一项，d是等差数列的公差，而an是等差数列最后一项。
二、等差数列的性质1、如果等差数列的公差不为0，则等差数列中任意两项的差值均相等，即d=a2-a1=a3-a2=a4-a3=....an-1-an-2=an-an-1；2、如果等差数列的公差为0，则等差数列的所有数据均相等，即a1=a2=a3=...=an-1=an；3、等差数列的每一项与等差数列的第一项和项数都有关，即a3=a1+2d,a4=a1+3d......an=a1+(n-1)d；4、等差数列的和 Sn=a1+a2＋a3＋....an-1＋an＝n/2（a1＋an）；5、等差数列中任一项的平方和与项数有关，即a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2=n(2a1a2+(n-1)d^2)/3；三、等差数列的特殊性质1、等差数列的四项和等差数列a1，a2，...，an中任意四项的和都是一定的，即a1+a2+a3+a4=a2+a3+a4+a5=......an-3+an-2+an-1+an；2、等差数列的两项之积等差数列a1，a2，...，an中任意两项的乘积也是一定的，即a1×a2=a2×a3=......an-1×an；3、等差数列的总和等差数列的总和Sn=a1+a2+a3+......an-1+an可表示为n/2(a1+an)，即Sn=n/2(首项与末项的和)；四、等差数列的运用1、求等差数列的某一项如果给出等差数列的首项和公差，通过公式a3=a1+2d，a4=a1+3d，...，an=a1+(n-1)d可以计算出第n项的值；2、求等差数列的和等差数列的和Sn=a1+a2＋a3＋....an-1＋an=n/2（a1＋an），如果给出等差数列的首项和末项，则可以通过公式求出等差数列的和；3、求等差数列的任意项之和如果要求等差数列从a1到an的和，可以通过Sn=n/2(a1+an)求解；4、求等差数列某两项之和如果要求等差数列从a1到an的和，可以通过Sn=n/2(a1+an)求解，如果要求从第m项到第n项的和，可以使用公式S(m，n)=n/2(am+an)；五、等差数列的应用1、等差数列应用于等额本息贷款等额本息是指在贷款到期时，贷款本息全部偿还，每期还款数相等，比较为常见的一种贷款形式，它的特点是本金渐渐减少，利息渐渐减少，每期还款金额相等。
第二讲 等差数列(总结-北京程雪)
第二讲：等差数列基础一、等差数列的相关概念1、判断等差数列⑴数列同向变化（越来越大，或越来越小）⑵每相邻两项之间的差都相等2、基本概念项：首项、中项、末项、通项项数（n）：就是等差数列一共有多少个数公差（d）：相邻两数之间的差数列和（S n）：这一数列全部数的和二、基本公式1、通项公式:什么时候用？——知道首项和公差，求某一项第n项=首项+（n-1）×公差an=a1+ (n-1) d辅助记忆：小青蛙跳远：第n个脚印也是从第一个脚印一步一步跳过去的。
问第7个脚印，那是从第1个脚印开始，连跳了6步到达的。
所以a7= a1+（7-1）d =2+6×3=202、项数公式：什么时候用？——知道首项、末项及公差，求项数项数=（末项-首项）÷公差 + 1n=（an-a1）÷d + 1辅助记忆：五指法（指头是项，空是公差，项数比公差个数多1）小青蛙一共跳了多少米？23-2=21（米）小青蛙一共跳了多少步？21÷3=7（步）脚印比步数多1:7+1=8（个）综合算式：n=（23-2）÷3+1=82 5 8 11 23…一共有几个脚印2 5 8 11 ？3、公差公式：什么时候用？——知道首项、末项及项数，求公差公差=（末项-首项）÷（项数-1）d=（an-a1）÷（n-1）小青蛙一共跳了多少米？17-2=15（米）小青蛙一共跳了多少步？6-1=5（步）每一步是：15÷5=3（米）综合算式：d=（17-2）÷（6-1）=34、求和公式（1）高斯公式：什么时候用？——任何一个等差数列求和和=（首项+末项）×项数÷2（2）中项公式：什么时候用？——对于容易找到中项的等差数列求和和 = 中项×项数注：中项就是该数列的平均数注意：（1）对于项数为奇数的等差数列，很好用如：2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 8×7 = 56（2）对于项数为偶数的等差数列，可以假设出一个中间数如：9×8 = 72假设出中间数是（8+10（3）要熟悉运用逆向思维：已知等差数列的和，就能很方便求出中项（或假设的中项）如：一个等差数列共有5个数，和是100。
高二等差数列的知识点总结
高二等差数列的知识点总结等差数列是数学中的一种重要的数列形式，高中数学课程中，学生在高二阶段通常会接触到等差数列的知识。
下面将对高二等差数列的相关知识点进行总结。
一、等差数列的概念与性质等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么它的一般项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示第n项。
等差数列的性质如下：1. 公差相等2. 首项与末项之和等于中间任意两项之和3. 任意三项共线。
二、等差数列的常用公式1. 求等差数列的前n项和等差数列的前n项和公式为：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2其中，Sₙ表示前n项和。
2. 求等差数列的第n项等差数列的一般项公式可用于求解第n项，也可以利用等差数列的前n项和与前n-1项和的关系求解。
三、等差中项与等差数列的特殊性质1. 等差数列的中项若等差数列的项数n为奇数，则存在唯一的中项，可以通过下面的公式获得：中项 = aₙ/2 = a₁ + (n-1)d/22. 等差数列的倒数第k项可以通过下面的公式求得倒数第k项：倒数第k项 = aₙ₋ₙ₊₁ = a₁ + (n-k)d四、等差数列的应用1. 数列问题通过求解等差数列的各项，可以解决一些实际问题。
例如，计算某项的值、求取前n项和、寻找等差数列中的缺项等。
2. 等差数列与方程等差数列与方程的关系密切。
通过将等差数列转化成方程，可以解决一些涉及等差数列的方程问题。
3. 等差数列与数列极限当等差数列的公差d趋近于0时，即可将其看作是一个数列极限。
通过研究等差数列的趋势，可以进一步了解数列的极限问题。
总结：高二阶段的等差数列知识包含了等差数列的概念与性质、常用公式、特殊性质以及应用等方面。
通过掌握这些知识点，学生可以更好地理解等差数列的特征，解决与等差数列相关的问题，并将其运用到实际生活和数学领域中。
等差数列等比数列知识点归纳总结
等差数列等比数列知识点归纳总结等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题中都起着重要的作用。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的差都相等。
这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
1. 基本概念一个等差数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
2. 性质（1）公差：等差数列的公差d是等差数列中相邻两项的差，公差可以是正数、负数或零。
（2）公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1) * d，其中n表示项数。
（3）前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2来计算。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的差额、间隔、递推关系等。
（2）物理问题中的匀速直线运动、连续等差分布等。
（3）经济学中的利润、销售额等。
二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的比都相等。
这个相等的比值被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。
1. 基本概念一个等比数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，r表示公比。
2. 性质（1）公比：等比数列的公比r是等比数列中相邻两项的比值，公比可以是正数、负数或零。
（2）公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示项数。
（3）前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。
3. 应用等比数列也广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的倍数关系、增长衰减等。
（2）物理问题中的连续等比分布、指数增长等。
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第二讲：等差数列基础
一、等差数列的相关概念
1、判断等差数列
⑴数列同向变化（越来越大，或越来越小）
⑵每相邻两项之间的差都相等
2、基本概念
项：首项、中项、末项、通项
项数（n）：就是等差数列一共有多少个数
公差（d）：相邻两数之间的差
数列和（S n）：这一数列全部数的和
二、基本公式
1、通项公式:什么时候用？——知道首项和公差，求某一项
第n项=首项+（n-1）×公差
a
n
=a
1
+ (n-1) d
辅助记忆：小青蛙跳远：第n个脚印也是从第一个脚印一步一步跳过去的。
问第7个脚印，那是从第1个脚印开始，连跳了6步到达的。
所以
a
7
= a
1
+（7-1）d =2+6×3=20
2、项数公式：什么时候用？——知道首项、末项及公差，求项数
项数=（末项-首项）÷公差 + 1
n=（a
n
-a
1
）÷d + 1
辅助记忆：五指法（指头是项，空是公差，项数比公差个数多1）
小青蛙一共跳了多少米？23-2=21（米）
小青蛙一共跳了多少步？21÷3=7（步）
脚印比步数多1:7+1=8（个）
综合算式：n=（23-2）÷3+1=8
2 5 8 11 23
…
一共有几个脚印
2 5 8 11 ？
3、公差公式：什么时候用？——知道首项、末项及项数，求公差
公差=（末项-首项）÷（项数-1）
d=（a
n
-a
1
）÷（n-1）
小青蛙一共跳了多少米？17-2=15（米）
小青蛙一共跳了多少步？6-1=5（步）
每一步是：15÷5=3（米）
综合算式：d=（17-2）÷（6-1）=3
4、求和公式
（1）高斯公式：什么时候用？——任何一个等差数列求和
和=（首项+末项）×项数÷2
（2）中项公式：什么时候用？——对于容易找到中项的等差数列求和
和 = 中项×项数
注：中项就是该数列的平均数
注意：（1）对于项数为奇数的等差数列，很好用
如：2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 8×7 = 56
（2）对于项数为偶数的等差数列，可以假设出一个中间数
如：9×8 = 72
假设出中间数是（8+10
（3）要熟悉运用逆向思维：已知等差数列的和，就能很方便求出中项（或假设的中项）如：一个等差数列共有5个数，和是100。
那么中项就是100÷5=20
三、判断题型
仔细审题，分析题目告诉的是什么，求的是什么，再选择合适的公式求解即可。
适当时可以画图帮助自己理解。
例1 对于数列4，7，10，13，16，19……，第10项是多少？49是这个数列的第几项？第100项与第50项的差是多少？
解析：（1）求某一项，用项数公式。
a10 = a1+（10-1）d = 4+（10-1）×3 = 31 （2）问49是第几项，不就是写到49，数列一共有几项，它就是第几项吗？用项数公式 n =（a n-a1）÷d + 1 =（49-4）÷3+1 = 16
（3）可以分别把第100项与第50项求出来，然后再求差，但比较麻烦。
回忆小青蛙跳远的例子，第50个脚印与第100个脚印之间相距的不就是（100-50）步吗？所以这两项的差就是3×（100-50）=150
拓展记忆：等差数列中任意两项的差
2 17
第n项-第m项=公差×（n-m）
（尖子）学案2 数列4，7，10……295，298一共有多少个数？
解析：等差数列问项数，直接用项数公式，其中公差是3，n=（298-4）÷3+1=99（个）
例2 （1）4+8+12+16+…+32+36
（2）65+63+61+…+5+3+1
解析：本题就是等差数列求和，可以直接用高斯求和公式。
只是不知道项数，怎么办呢？用项数公式不就能求出项数了吗？
（1）项数：（36-4）÷4+1=9 和：（4+36）×9÷2=180
（2）遇到越来越小的等差数列，我们可以倒过来看，原式=1+3+5+…+61+63+65 项数：（65-1）÷2+1=33 和：（1+65）×33÷2=1089
对于几种特殊的等差数列，我们可以用更快的方法求项数。
（1）自然数列：1，2，3，4，5……98，99，100 100个数
（2）偶数列：2,4,6,8，……96,98,100 100÷2=50个数
（3）奇数列：1,3,5,7……95,97,99 （99+1）÷2=50个数
（4）倍数列：3,6,9,12 ……30,33,36 36÷3=12个数
5,10,15,20 ……90,95,100 100÷5=20个数
例3 求100以内除以3余2的所有数的和
解析：这是一道求和的题，但是哪些数求和呢？首先必须把这些数找到。
100以内除以3余2的数依次为2,5,8,11……98.这是一个公差是3的等差数列，求和可以用高斯公式，但是项数不知道怎么办？可用项数公式：项数=（98-2）÷3+1=33
和=（2+98）×33÷2=1650
例4 计算1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+69+70的和是多少？
解析：本数列不是等差数列，但通过观察规律我们就能找到解决的办法
方法一：我们以前学过，当一个数列的规律不明显时，可以试着隔着看，本数列隔着看，发现是两个等差数列。
所以原式=（1+4+7+10+……+70）+（3+6+9+……+69）=1680
方法二：如果补入2,5,8,11……，68，它就是一个自然数列啦
所以原式=（1+2+3+4+5+......+68+69+70）-（2+5+8+11+ (68)
=2485-805=1680
方法三：我们把连续的两个自然数先试着加起来，发现是一个公差是6的等差数列原式=1+7+13+19+25+……+133+139 项数=（139-1）÷6+1=24
=（1+139）×24÷2
=1680
例5把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？
解析：当项数不多时，同学们可以用圆圈表示数，画图帮助自己理解，本题画图如下：
+5 +5 +5 +5 +5 +5
30
210
知道是7个数，和是210，那么一定能算出平均数，在等差数列中，平均数就是中项！
中项（第4项）：210÷7=30
第1项（与第4项相差3个公差）：30-3×5=15
第6项（与第4项相差2个公差）：30+2×5=40
小结：只要知道等差数列的总和与项数，我们就先用除法求中项，这是很好用的一招。
例6有五个滑轮的直径成等差数列，已知最小的与最大的滑轮直径分别是120毫米和216毫米，求中间的三个滑轮的直径。
解析：本题只有5个数，我们仍然可以先画图形象地把条件表示出来。
画图如下：
d d d d
120 216
等差数列知道其中的两项，我们可以找到它俩之间的总差：216-120=96（毫米）
这个总差一共分为了4段，每段即公差为96÷4=24（毫米）
所以第二个滑轮直径：120+24=144（毫米）
第三个：144+24=168（毫米）
第四个：168+24=192（毫米）
（提高）学案4 在5到40之间插入6个数后，使之成为等差数列，插入的6个数是多少？解析：同样，画出图分析
5 ○○○○○○40
总差：40-5=35
公差：35÷（6+1）=5
可算出，这6个数分别是10,15,20,25,30,35。