等差数列知识点总结最新版

等差数列
1. 定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；
2．等差数列通项公式：
（1）*
11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈（首项:1a ，公差:d ，末项:n a ）
（2）d m n a a m n )(-+=． 从而m
n a a d m
n --=； 3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
b a A +=
或b a A +=2
（
2
）
等差中项：数列
{}
n a 是等差数列
)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a
4．等差数列的前n 项和公式：1()
2
n n n a a s +=
1(1)
2
n n na d -=+ 211
()22
d n a d n =
+- 2An Bn =+
（其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）
5．等差数列的证明方法
（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （
2
）
等差中项：数列
{}
n a 是等差数列
)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．
（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2
n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

注：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，
其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）
7.等差数列的性质：
（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的
一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+
=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有
2m n p a a a +=.
注： =+=+=+--23121n n n
a a a a a a ，图示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ++---11
2,,,,,,12321 (4) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列
图示：
m
m
m m
m m
S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++ （5）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且
()n
n
A f n
B =，则21
21
(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. （6）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列
练习：
1.等差数列}{n a 中，33,1112==S a ，求}{n a 的通项公式。

2.等差数列}{n a 前n 项和记为n S ，已知3010=a ，.5020=a （1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求.n
3.若69121520a a a a +++=求20S
4.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？。