等差数列知识点总结最新版
等差数列
1.定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字 母d 表示。
用递推公式表示为a .—a .」二d （ d 为常数）（n_2）；
2 ?等差数列通项公式
(1) a n
(n -1)d =dn y -d(n N )(首项:a !，公差:d ，末项:
3. 等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:
2a n = an-1 ■ an 1 (n — 2) = 2a . 1 二 a . a . .2
d 2
1
n (a 1 d )n 2 2 2
=An Bn
等差数列的证明方法 二d 或am-a n=d （常数「N ）= & 是等差数列.
「a, 是等差数列
= 2a . - a n-1 ' a . 1 （n 一 2） = 2a n 1 = a . ' a . 2 ?
（3） 数列"a n *是等差数列二a n 二kn ? b （其中k,b 是常数）。 （4）
数列乩1是等差数列二&二A n 2 ? Bn ,（其中A 、B 是常数）。
注：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5个元素：a 1、d 、n 、a n 及S n ，
(2) a n "m (n —m)d .
从而d =勺屯;
n —m
a n )
（2
） 等差 中 项
数列；、和是等差
等差数列的前n 项和公式:
n(a 1 +a n ) Sn
厂
（其中A 、B 是常数） （当d M 0时，S 是关于n 的二次式且常数项为 0)
（1）定义法：若a n -a n j
其中a i 、d 称作为基本元素。只要已知这 5个元素中的任意 3个，便可求出其余 2个，即
知3求2。
(2 )为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
a -2d,^d,a,a d,a 2d …(公差为d )；偶数个数成等差，可设为…， a -3d,a -d,a d,a 3d ，…(公差
为 2d )
7.等差数列的性质： (1)
当公差d =0时，等差数列的通项公式a n=a 「(n_1)d=dn ? a !—d 是关于n 的 一次函数，且斜率为公差d ;前n 和S n = na< -n(n 耳d = Q n 2 ?(印-Q)n 是
2 2 2 关于n 的二次函数且
常数项为0.
(2)
若公差d ?0,则为递增等差数列，若公差d ：0，则为递减等差数列，若公 差d
= 0,则为常数列。
(3)
当m ? n = p ? q 时，则有a m - a n 二a p - a q ，特别地，当m ? n = 2p 时，则有
a m ' a n 二 2a p .
(4) 若｛ a n ｝是等差数列，则S n ,S 2n —S n ,S 3n —S 2n ，…也成等差数列
辭誌瓷W).
(6)若、、b n ?为等差数列，则：a n — b n ?为等差数列
练习：
1
.等差数列｛a n ｝中，a 2 = 1, S 11 = 33，求｛a n ｝的通项公式。
注: a 〔 +a n =a 2 +a n 』=a 3 *a n_2
a 1.^a n
_________________
图示： a
1 , a
2 , a __ ：a n —2, a n —1,
a
n
图示：a ! a 2 a 3 ?…
a
m
a
m 1
a
2m
-a 2m a 3m
S
m
3m
S
3m -S 2m
(5)若等差数列｛a n ｝、｛b n ｝的前n 和分别为
A n 、
B n ，且
f (n
)，则
B
2.等差数列｛a n｝前n项和记为S n，已知a io =30, a?o =50.
(1)求通项a n; (2)若S n =242，求n.
3.右"09 ' a i2 玄仆=20 求S?o
4. 一个首项为23,公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？