等差数列知识点总结

第一讲 数列定义及其性质

一、基本概念：

1、通项公式：n a ；

2、前n 项和：n S

3、关系：1(2)n n n a S S n -=-≥ 二、性质：

1、单调性：增数列：1n n a a ->；减数列：1n n a a -<；常数列：1n n a a -=

2、最值：

77878789+++(0)0,00,=0,0,n n a S a a S S S a a a ⎧⎧⎪⎨

⎩⎪⎪---⎧⎪

⎨⎪

><⎪

⎪⎨⎪><⎪

⎪⎪⎪⎩⎩L 最大值：减数列最小值：增数列

最大值：若最大，则若或最大，则最小值:与上面相反

3、前n 项积n T 有最大值： 三、几种常见数列： 1、-1,7,-13,19L 2、7,77,777,L 3、135248

L ，，

4、1611

49

L ，，， 5、2468,3153563L ，，

★随堂训练：

1、已知数列{}n a 通项公式是231

n n

a n =

+，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列

2、已知数列{}n a 满足10a >，

11

2

n n a a +=，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列

3、已知数列{}n a 通项公式是22n a n kn =++，若对任意*

n N ∈，都有1n n a a +>成立，则

实数k 的取值范围是（ ） 4、已知数列{}n a 通项公式是10

,21

n n n a T n +=

+是数列{}n a 的前n 项积，即123n n T a a a a =L ，当n T 取到最大值是，n 的值为（ ）

5、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值是（ ）

等差数列专题

一、等差数列知识点回顾与技巧点拨

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．

2．等差数列的通项公式

若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －m )d ＝p .

3．等差中项

如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和y 的等差中项，则A ＝

x ＋y

2

.

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *

)．

(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *

)．

(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *

)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .

(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd

2

；

若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．

5．等差数列的前n 项和公式 若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n

2

，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其

前n 项和公式为S n ＝na 1＋

n n －1

2

d .

6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系

S n ＝d 2

n 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．

7．最值问题

在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． 一个推导

利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式：

S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，②

①＋②得：S n ＝

n a 1＋a n

2

.

两个技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 ． 四种方法

等差数列的判断方法

(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *

)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2

＋Bn .

注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

基础训练：（公式的运用，定义的把握）

1．已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=3，则公差d 的值为（ ） A ．

B ． 1

C ．

D ． ﹣1

2．已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+5，则此数列是（ ） A ． 以7为首项，公差为2的等差数列 B ． 以7为首项，公差为5的等差数列 C ． 以5为首项，公差为2的等差数列

D ． 不是等差数列

3．在等差数列{a n }中，a 1=13，a 3=12，若a n =2，则n 等于（ ） A ． 23

B ． 24

C ． 25

D ． 26

4．两个数1与5的等差中项是（ ） A ． 1

B ． 3

C ． 2

D ．

5．（2005•黑龙江）如果数列{a n }是等差数列，则（ ）