等差数列常考题型归纳总结很全面
根据等差数列知识点总结及题型归纳
根据等差数列知识点总结及题型归纳
等差数列是数学中常见的数列，也是初中数学中的基础概念之一。
以下是关于等差数列的知识点总结及题型归纳。
等差数列的定义
等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数的差值都相等的数列。
通常用字母 a 表示首项，d 表示公差，数列的通项公式为 an = a + (n-1)d。
等差数列的性质
1. 首项与末项之和等于中间项之和的两倍（也即数列的平均值）：a + an = 2 * (a + (n-1)d)。
2. 求和公式：等差数列前 n 项和 Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d)。
3. 最后一项的值可以通过首项、末项和公差求得：an = a + (n-1)d。
4. 任意一项的值可以通过首项、公差和项数求得：ak = a + (k-1)d。
等差数列的题型归纳
1. 求等差数列的第 n 项的值。
2. 求等差数列的前 n 项和。
3. 求等差数列中缺失的项或差值。
4. 求等差数列中满足一定条件的项数。
5. 求等差数列中满足一定条件的和。
示例题目
1. 已知等差数列的首项 a = 3，公差 d = 2，求第 5 项的值和前5 项的和。
2. 一个等差数列的首项 a = 1，公差 d = 3，已知数列中缺失了第 4 项，求第 4 项的值。
3. 已知等差数列的首项 a = 2，公差 d = 5，求该等差数列中满足大于 20 的项数。
以上是对于等差数列的知识点总结及题型归纳，希望对你有所帮助。
如有需要，可以参考相应的解题方法和公式。
等差数列的19种经典题型
等差数列的19种经典题型
等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项之差都相等的数列。
以下是一些常见的等差数列题型：
1. 求等差数列的通项公式；
2. 已知等差数列的首项和公差，求第n项的值；
3. 求等差数列前n项的和；
4. 求等差数列中有多少项满足某个条件；
5. 求等差数列的前n项和与后n项和的关系；
6. 求等差数列的和等于某个数的情况下，确定首项和项数；
7. 求等差数列的和等于另一个等差数列的情况下，确定首项、项数及公差；
8. 求等差数列中的两个数之和等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
9. 求等差数列中的两个数之积等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
10. 求等差数列中的两个数之差等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
11. 求等差数列中的两个数之商等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
12. 求等差数列中的两个项之和等于某个数的情况下，确定这两个项的位置；
13. 求等差数列中的两个项的积等于某个数的情况下，确定
这两个项的位置；
14. 求等差数列中的两个项的差等于某个数的情况下，确定这两个项的位置；
15. 求等差数列中的一个项与它前面的项和后面的项的和的比值；
16. 求等差数列中任意两项之间的差的绝对值；
17. 求等差数列的平均值；
18. 已知等差数列的前n项和及项数，求公差；
19. 已知等差数列的前n项和及公差，求项数。
以上是一些经典的等差数列题型，通过掌握这些题型的解题方法和技巧，可以更好地解决与等差数列相关的问题。
数列知识点总结及题型归纳---含答案
数列一、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．642.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6703.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”）题型三、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA += a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）A ．120B ．105C ．90D ．752.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 题型五、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n da ）（2n 2112-+=。
等差数列知识点总结和题型总结
等差数列知识点总结与题型归纳
一．等差数列知识点：
知识点 1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示
知识点 2、等差数列的判定方法:
②定义法：对于数列an ，若 an1 an d (常数)，则数列an 是等差数列
n
项和，求使得 Tn
m 20
对所有 n N 都成立的
最小正整数 m
6
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
五、等差数列习题精选
1、等差数列{an}的前三项依次为 x ， 2x 1 ， 4x 2 ，则它的第 5 项为（ ）
A、 5x 5
B、 2x 1
C、5
D、4
2、设等差数列{an}中， a4 5, a9 17 ,则 a14 的值等于（ ）
1
关注公众号“品数学”，获取更多干货！
也就是： a1 an a2 an1 a3 an2
⑨若数列 an 是等差数列， Sn 是其前 n 项的和， k N * ，那么 Sk ， S2k Sk ，
S3k S2k 成等差数列 如下图所示：
S3k a1 a2 a3 ak ak 1a2k a2k1a3k
11、在等差数列an 中， a2 a8 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 （ ）
A．18
B 27
C 36
D9
12、设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9 ， S6 36 ，则 a7 a8 a9 （ ）
A．63
B．45
C．36
D．27
13、在等差数列 an 中， a1 a2 a3 15, an an1 an2 78 ， Sn 155 ，
等差数列知识点及考点试题解析
等差数列知识点及考点试题解析一．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．二．等差中项如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义知2A ＝a＋b．①a，A，b是等差数列的充要条件是2A＝a＋b．②数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．③若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．三．等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d；an＝am＋(n－m)d(n，m ∈N*)四．等差数列的前n项和公式1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和Sn＝n（a1＋an）2或Sn＝na1＋n（n－1）d．22.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝dn2n⇌数列{an}是等差数列⇔Sn＝2An2＋Bn(A，B为常数)．3.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，若a1>0，d<0≥0，＋1≤0的项数m 使得Sn 取得最大值Sm ；若a1<0，d>0≤0，＋1≥0的项数m 使得Sn 取得最小值Sm ．一．等差数列运算问题的通性方法1.等差数列运算的一般求法是设出首项a1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．2.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a1，an ，d ，n ，Sn ，知其中三个就能求另外两个。
二．等差数列的判定与证明的常用方法1.定义法：an ＋1－an ＝d(d 是常数，n ∈N*)或an －an －1＝d(d 是常数，n ∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列．2.等差中项法：2an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)⇔{an}为等差数列．3.通项公式法：an ＝an ＋b(a ，b 是常数，n ∈N*)⇔{an}为等差数列．4.前n 项和公式法：Sn ＝an2，b 为常数)⇔{an}为等差数列．三．在等差数列{an}中前n项和性质1.Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m ，…，构成等差数列；2.S2n ＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an ＋an ＋1)；3.S2n －1＝(2n －1)an ．n n n n 2n 1n 2n 1n 2n-12m 1m2n 1n(S T a b n S (2n 1)a S a 1S =(2)T (2m 1)b T b -----==-−−→特例n 4.数列项数为奇数2n-1时、分别是等差数列、的前项和）（）(2n-1)a 5.若项数为偶数2n ，则S2n ＝n(a1＋a2n)＝n(an ＋an ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝anan ＋1．6.若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；S奇S偶＝nn－1．四．求等差数列前n项和Sn及最值1，二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.2.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．3.项的符号法(邻项变号法)：①当a1>0，d<0≥0，＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0≤0，＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.数列的单调性当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．考点等差数列基本量的计算【例1-1】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列{}na的前n项和为nS，131,18a S==，则6S=（）A．54B．71C．80D．81【答案】D【解析】设等差数列{}n a的公差为d ，因为131,18a S ==，可得1333318a d d +=+=，解得5d =，所以166********S a d =+=+⨯=.故选：D.【例1-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和是376,1,3n S a S a ==，则3S =（）A ．1B ．1-C ．3D ．3-【答案】D【解析】由已知设等差数列的公差为d ，则3121a a d =+=，117673(5)2a d a d ⨯+=+，解得13a =-，2d =，所以31333S a d =+=-．故选：D.【例1-3】（2023·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（）A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【解析】方法一：设等差数列{}n a的公差为d ，首项为1a ，依题意可得，2611510a a a d a d +=+++=，即135a d +=,又()()48113745a a a d a d =++=，解得：11,2d a ==，所以515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=．故选：C.方法二：264210a a a +==，4845a a =，所以45a =，89a =，从而84184a a d -==-，于是34514a a d =-=-=，所以53520S a ==．故选：C.【一隅三反】1．（2023·四川雅安·统考三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．若()*111,2N n n n a S S a n +==++∈，则5S =（）A ．16B ．25C ．29D ．32【答案】B【解析】由12n n n S S a +=++可得12n n a a +=+，即12n n a a +-=，故数列{}n a是以11a =为首项，2为公差的等差数列，所以5154=52252S a ⨯+⨯=，故选：B2．（2023春·广东佛山）（多选）若{}n a为等差数列，211a =，55a =，则下列说法正确的是（）A ．152n a n=-B ．－11是数列{}n a中的项C ．数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-+D ．数列{}n a的前7项和最大【答案】ABD【解析】2111a a d =+=，5145a a d =+=，解得113a =，2d =-，对选项A ：()()1312152n a n n=+-⨯-=-，正确；对选项B ：取15211n a n =-=-，13n =，正确；对选项C ：()21132142n n n S n n n -=-⨯=-+，错误；对选项D ：152n a n =-，710a =>，810a =-<，故数列{}n a的前7项和最大，正确.故选：ABD3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等差数列{}n a为递减数列，且31a =，2434a a =，则下列结论中正确的有（）A ．数列{}n a的公差为12-B ．1522n a n =-+C ．数列{}1n a a 是公差为1-的等差数列D ．1741a a a +=-【答案】ABC【解析】由题意知，2432 2.a a a +==又2434a a =，故24,a a 可看出方程23204x x -+=的两根，∵数列{}n a为递减数列，412a ∴=，232a =．∴公差42122a a d -==-，故A 正确；又122a a d =-=，11521222n a n n ∴=+-⨯-=-+（）（），故B 正确；由上可知12n n a a a =，则当2n ≥时，()111222212n n n n a a a a --⎛⎫-=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，当1n =时，214a =，∴数列{}1n a a 是首项为4，公差为1-的等差数列，故C 正确；由C 选项知：15n a a n =-，故17572a a =-=-，∵451222a =-=，174135722a a a ∴+=-+=-，故D 错误．故选：ABC4．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）（多选）已知数列{}n a的前n 项和为n S ，若数列{}n a和均为等差数列，且518a=，则（）A ．16a =B ．830a =C ．560S =D ．798S =【答案】BD【解析】数列{}n a为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则18(5)185n n d dn d a =+-=+-，5(184)(3692182)n n nS d dn d dn d +-=+-+=-，由数列为等差数列，可得则7215d -=两边平方整理得，28160d d -+=，解之得4d =，则42n a n =-，22n S n =，选项A ：1422a =-=.判断错误；选项B ：848230a =⨯-=.判断正确；选项C ：252550S =⨯=.判断错误；选项D ：272798S =⨯=.判断正确.故选：BD考点等差数列的判定与证明【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a满足1111,22n n a a a +=-=--．证明：11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求出数11n a ⎧⎫⎨+⎩⎭的通项公式．【答案】证明见解析，111n n a =++【解析】因为112n n a a +=--，所以1111122n n n n a a a a +++=+=--+，则12111111n n n n a a a a ++==++++，即111111n n a a +-=++，又112a =-，则1121112n a ==+-，所以11n a ⎧⎫⎨+⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，所以()121111n n n a =+-⨯=++．【例2-2】（2023·北京）已知数列{}n a满足()1144,41n n a a n a -==->，记12n n b a =-．求证：数列{}n b 是等差数列．【答案】证明见解析【解析】（定义法）111111422242n n n n n nb b a a a a ++-=-=------()121222nn a a -==-，所以数列{}n b 是首项为11122a =-，公差为12的等差数列.（等差中项法）12n n b a =-，()1111422242n n n n na b a a a ++===----，()1214412224242n nn n n n n a a a b a a a +++--==--⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()21112202222n n n n n n n n a a b b b a a a ++-+-=+-⨯=---，所以()*212N n n n b b b n +++=∈，所以数列{}n b 是首项为11122a =-，公差为12的等差数列.【一隅三反】1．（2023·安徽）若数列{}n a为等差数列，则下列说法中错误的是（）A ．数列12a ，22a ，32a ，…，2n a …为等差数列B ．数列2a ，4a ，6a ，…，2n a ，…为等差数列C ．数列{}1n n a a +为等差数列D ．数列{}1n n a a ++为等差数列【答案】C【解析】A 选项：因为{}n a为等差数列，所以设1n n a a d --=（d 为常数），又()112222n n n n a a a a d---=-=，所以数列{}2n a 也为等差数列，故A 正确；B 选项：2222n n a a d --=，所以数列{}2n a 为等差数列，故B 正确；C 选项：112n n n n n a a a a da +--={}1n n a a +不是等差数列，故C 错；D 选项：()112n n n n a a a a d+-+-+=，所以数列{}1n n a a ++为等差数列，故D 正确.故选：C.2．（2023·云南）已知等差数列{}n a的前n 项和为n S ，若6812,72,a S ==(1)求数列{}n a的通项公式.(2)证明:数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.【答案】(1)2n a n =(2)证明见解析【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得11512878722a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，有22(1)2n a n n=+-=，所以等差数列{}n a 的通项公式为2n a n =；（2）由(1)知(22)(1)2n nS n n n =+=+，1n S n n =+，所以1(1)1(1)11n n S S n n n n +-=++-+=+，又121S =，故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列.3．（2023·广东）已知数列{n a }满足112,12nn n a a a a +==+．(1)求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)求数列{n a }的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)243n a n =-【解析】（1）证明：数列{n a }满足112,12nn n a a a a +==+．两边取倒数可得：1112n n a a +=+，即1112n n a a +-=，∴数列{1n a }是等差数列，首项为1112=a ，公差为2；（2）由（1）可得：()11432122n n n a -=+-=，解得243n a n =-．。
(完整版)等差数列知识点总结及练习(精华版)
等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d 为常数）（）；d a a n n =--12≥n 2．等差数列通项公式：， 首项:，公差:d ，末项:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1a n a 推广： ． 从而；d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2（2）等差中项：数列是等差数列{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n +1n a +5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列． d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a （2） 等差中项：数列是等差数列． {}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3） 数列是等差数列（其中是常数）。
{}n a ⇔b kn a n +=b k ,（4） 数列是等差数列,（其中A 、B 是常数）。
{}n a ⇔2n S An Bn =+6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a 7.提醒：等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：，其中n a n S n n S a n d a 及、、、1称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.d a 、18. 等差数列的性质：（1）当公差时，0d ≠等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d 前和是关于的二次函数且常数项为0.n 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-n （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
等差数列（总结和例题）
等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=³或1(1)n n a a d n+-=³。
根据定义，当我们看到形如：d a a n n =--1、da a n n =--212、d aa n n=--1d a a n n =--111、211-++=n n na a a 、d S S n n =--1时，应能从中得到相应的等差数列。
的等差数列。
等差数列的判定方法1. 定义法：若d aa n n=--1或da an n =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．是等差数列．2.2.等差中项：数列等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-³+=Û+n a a a n n n 212+++=Ûn n n a a a ． 3.3.数列数列{}n a 是等差数列Ûbkn a n+=（其中b k ,是常数）。
是常数）。
4.4.数列数列{}n a 是等差数列Û2n S An Bn =+,（其中（其中A A 、B 是常数）。
是常数）。
等差数列的证明方法定义法：若d aa n n=--1或d a ann =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．例1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（是（ ）A.等比数列，但不是等差数列等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列既非等比数列又非等差数列 答案：B ；解法一：a n =îíì³-==Þîíì³-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数，12121-+=+n n a a n n ≠常数≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列. 2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-Î ，， 首项首项首项::1a ，公差，公差:d :d :d，末项，末项，末项::n a＝1，＝1得＝2，＝1＋×2，项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ______ ______ ；；11<11<＝19(a 119)＝＝120＝ac（C ）8 8 （（D ）10 【答案】A 【解析】由角标性质得1952a a a +=，所以5a =5.=5.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin(2a 4－π3)＝( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12 答案 D 解析 ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2，∴sin(2a 4－π3)＝sin(3π2－π3)＝－cos π3＝－12，选D. 1. (2009北京东城高三第一学期期末检测，理9）已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π,则cos(a 2+a 8)的值为________________.答案：21-2。
等差数列及其前n项和全面总结
自主学习
表示.
2.等差数列的通项公式 如果等差数列 {an} 的首项为 a1 ，公差为 d ，那么它的 通项公式是an=a1+（n-1）d .
3.等差中项 ab A 如果 2 ，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am+(n-m)d，（n， m∈ N* ） . （2）若{an}为等差数列，且k+l=m+n，（k，l，m， n∈N*），则 ak+al=am+an .
（2）Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项， 前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差 数列.
（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质 ①若项数为2n，则S偶-S奇= nd ， S奇 S偶
S S偶= an ， 奇 n . S偶 n 1
=
an an1 .
②若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇= n an，S奇-
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等
差数列，公差为 2d . （4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}是 等差 数列 .
（ 5 ）若 {an} 是等差数列，则 ak ， ak+m ， ak+2m ，…
（k，m∈N*）是公差为md 的等差数列.
5.等差数列的前n项和公式
项，即Sn= An2+Bn，（A2+B2≠0） .
7.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最 大 值；若a1＜0,d＞0,则Sn存在最 小 值.
8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质
S n 也成 等差 数列， （1）若{an}是等差数列，则 n 1 其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的 2 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等差数列及其前n 项和教学目标：1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。
2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。
知识回顾： 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为)2(1≥=--n d a a n n 或)1(1≥=-+n d a a n n 。
（证明数列是等差数列的关键） 2．通项公式：等差数列的通项为：d n a a n )1(1-+=，当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。
推广：d m n a a m n )(-+= 3．中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项；其中2a bA +=。
4．等差数列的前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+可以整理成S n ＝2d n 2＋n da )2(1-。
当d ≠0时是n 的一个常数项为0的二次函数。
5．等差数列项的性质（1）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a +=2。
（2）已知数列{}{}n n b a ,为等差数列，n n T S ,为其前n 项和，则1212--=n n n n T S b a （3）若等差数列的前n 项和为nS ，则,,,232n n n n n S S S S S --也成等差数列，公差d n d 2'=；（4）⎩⎨⎧≥-==-)2(n ,)1(n ,11n n n S S S a ； （5）若数列{n a }是公差为d的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 也是等差数列，且公差为______。
考点分析考点一：等差数列基本量计算例1、等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9113a a -的值为 练习（1）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和．已知2a ＝3，6a ＝11，则7S 等于A ．13B ．35C ．49D ．63（2）数列{}n a 为等差数列，且7421a a -=-，03=a ，则公差d ＝A ．－2B ．－12C ．12 D ．2 （3）在等差数列{}n a 中，已知32a =，则该数列的前5项之和为A ．10B ．16C ．20D ．32（4）若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15（5）记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48（6）{}n a 的前n 项和为n S ，若21=a ，123=S ，则6a 等于( )A ．8B ．10C ．12D ．14 考点二：等差数列性质应用例1、等差数列{}n a 中，24)(2)(31310753=++++a a a a a ，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156 练习1、在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为A ．5B ．6C ．8D ．64 2、在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）A ．5B ．8C ．10D ．143、设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35例2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27练习、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 例3、已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 016＝________.练习、(1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A. 12 B ．1 C ．2 D ．3例4、设n n T S ,分别是等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a 。
例5、已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________。
练习1、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项 2、等差数列{}n a 的公差2d =-，1479750a a a a ++++=，那么36999a a a a ++++=A ．－78B ．－82C ．－148D ．－182 考点三：等差数列的证明例1：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=-，221n n b a =-，其中*.n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求证：在数列{}n a 中对于任意的*n N ∈，都有1n n a a +>练习1、数列{}n a 满足22211221+-===++n n n a a a a a ，，。
（1）设n n n a a b -=+1，证明{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式。
2、已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列；3、数列{}n a 满足：21=a ，*+∈+=N n a a a n nn ，221。
求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列；小结与拓展：（1）定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； （2）中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列； （3）通项公式法：b kn a n +=（b k ,是常数）⇔{}n a 是等差数列； （4）前n 项和法：S n ＝2kn ＋bn （b k ,是常数）⇔{}n a 是等差数列 考点四：等差数列前n 项和的最值（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②找到正负项分界的是第几项。
例1、数列{}n a 中，492+-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时，=n 练习1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．92、若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，890a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大。
例2、在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当n ＝8时，n S 取得最大值，则d 的取值范围为________。
例3、等差数列{}n a 中，01>a ，前n 项和为n S ，且仅当125S S =,则当=n 时，n S 取最大值。
练习1、设数列{}n a 是等差数列，且28a =-，155a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．1011S S =B ．1011S S >C ．910S S =D ．910S S <2．设{})(*∈N n a n 是等差数列，S n 是其前n 项的和，且87665,S S S S S >=<则下列结论错．误．的是（ ） A ．0<d B.．07=a C ．59S S > D ．S 6与S 7均为S n 的最大值考点五：等差数列和项转换⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n a a n n n例1、已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n 212-=，求n a 。
练习1、已知数列{}n a 的前n 项和为22+=n S n ，求n a 。
2、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）A ．15B ．16C ．49D ．64习题15.21、在等差数列{}n a 中，（1）已知n a n d a 求,10,3,21===； （2）已知n d a a n 求,2,21,31===； （3）已知d a a 求,27,1261==；（4）已知17,8,31a a d 求=-=。
2、在等差数列{n a }中，（1）已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2）已知6510,5a S ==，求8a 和8S （3）,599,54,201===n n S a a 求d 及n ；（4）n n a a S n d 及求1,629,37,31===；（5）n n a n S d a 及求,5,61,651-=-==；（6）n n S a a n d 及求1,10,15,2-===。
3、等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50a a ==。
（1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n 。
4、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a =5、等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．146、已知道单调递增的等差数列{}n a 的前三项和为21，前三项积为231，则=n a7、在等差数列{}n a 中，1205=a ，则=+++8642a a a a8、数列{}n a 中，492+-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时，=n 9、数列{}n a 是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负. （1）求数列的公差；（2）求前n 项和S n 的最大值； （3）当0>n S 时，求n 的最大值。