等差数列常考题型归纳总结很全面
等差数列及其前n项和
教学目标：
1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n项和；性质。
2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。
知识回顾：
1. 定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等丁同一个常数，那么这个数列就叫等差数歹0,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为a n a n1 d(n 2)或a n1 a n d (n 1)。(证明数歹0是等差数歹0的关键)
2. 通项公式：
等差数列的通项为：a n a i (n i)d，当d 0时，a n是关丁n的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。推广：a n a m (n m)d
3. 中项：
如果a , A , b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项；其中A J。
2
4. 等差数列的前n项和公式
S n座U na i虹皂d可以整理成&= Sn2+(a i d)n。当d』时是n的一个常数 2 2 2 2
项为0的二次函数。
5. 等差数列项的性质
(1) 在等差数歹0 a n中，若m , n , p , q N且m n p q ,则a m a n a p a q ；特别的，若m , p , q N 且2m p q ,则2a m a p a q。
(2) 已知数列a n , b n为等差数列，S n,T n为其前n项和，则冬
b n T2n 1
(3) 若等差数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n Sn,S3n S2n,也成等差数列，公差d' n2d ；
S,(n 1) a n
(4) S n & 1 , (n 2).
(5)若数列｛%｝是公差为d的等差数列，则数列斜也是等差数列，且公差为
考点分析
考点一：等差数列基本量计算
例1、等差数列｛a n｝中，a i 3a8血120，贝U 3a’ a,的值为
练习
（1）设S n是等差数列a n的前n项和.已知a2 = 3, a6 = 11,则S7等丁
A . 13
B . 35 C. 49 D . 63
（2）数歹U a n为等差数歹0,且a7 2a4 1 , a3 0 ,则公差d =
1 - 1
A. -2
B. —2
C. 2
D. 2
（3）在等差数列a n中，已知a3 2,贝U该数列的前5项之和为
A. 10
B. 16
C. 20
D. 32
（4）若等差数列｛a n｝的前5项和& = 25,且a2= 3,则a7等丁（）
A . 12
B . 13 C. 14 D. 15
1
（5）记等差数列｛a n｝的前n项和为&,若a1 = 2, S4= 20,则S等丁（）
A. 16
B. 24
C. 36
D. 48
(6) a n的前n项和为S n,若a〔2 ,S3 12，则a6 等丁（
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
知点一：等差数列性质应用
例1、等差数列a n中，3（a3 a5）20 a〔。褊）24 ,贝U该数列前13项的和是（）
A. 13
B. 26
C. 52
D. 156
练习
1、在等差数列a n中，a1 a9 10 ,则a5的值为
A. 5
B. 6
C. 8
D. 64
2、在等差数列｛a n｝中,a〔2,a3 a5 10 ,则a’（）
A . 5 B. 8 C. 10 D . 14
3、设数歹0 ｛an｝是等差数歹0,若aa+ a4 + & = 12,则a〔+ &+?…+ a’等丁（）
A . 14
B . 21 C. 28 D . 35
例2、设等差数歹0 ｛a n｝的前n项和为若&= 9, &= 36,则a7 + 38 + a g等丁()
A . 63 B. 45 C. 36 D. 27
练习、已知等差数歹0 ｛an｝的前n项和为S,且So= 10, &= 30,则 &=.
S2 014 S2 008
例3、已知S n是等差数歹0 ｛a n｝的前n项和，右a = — 2 014 , 2014一2 008 = 6’则&。16 = .
一... ............. ..... .. 一…S3 S2 ...................................... .........
练习、(1)已知等差数列｛a n｝的前n项和为&且满足--S= 1,则数列｛务｝的公差是( )
3 2
1 -
A. 2
B. 1
C. 2
D. 3
例4、设S n,T n分别是等差数列a n、b n的前n项和，岛也圣，则冬。
T n n 3 b5
例5、已知等差数列a n的公差为2,项数是偶数，所有奇数项之和为15,所有偶数项之
和为25,则这个数列的项数为o
练习1、若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390, 则这个数列有( )
A . 13 项
B . 12 项C. 11 项D. 10 项
2、等差数歹U a n的公差d 2, a〔a4 a?川a97 50,那么a3 a& a g川a99 =
A. —78
B. —82
C. —148
D. —182
考点三：等差数列的证明
例1 :在数歹U (a n)中，a〔1, a n1 1 , b n—2—，其中n N*.
4a n 2a n 1
(1) 求证：数列(b n)是等差数列；
(2) 求证：在数列(a n)中对丁任意的n N*，都有a”为1
练习1、数歹U a n满足a〔1, a2 2, a n 2 2a” 1 a” 2
(1) 设b n a n 1 a n ，证明b n 是等差数歹U ； (2) 求数列a n 的通项公式。
3 1 一* 1 "
2、已知数歹 0 ｛a n ｝中，a 1 = -, a n = 2 (n> 2, n€ N),数歹 0｛欢｝￥两足 b n = ---------------------------- ; (n € N).
5 a n 1 a n — 1' ' 求证：数列｛b n ｝是等差数列；
小结与拓展：
(1)定义法：a n 1
a n d ( n N , d 是”) a n 是等差数列;
3、数歹0 a n 《两足：a 〔 2 , a n 1 a 〔
求证:
-是等差数列;
a n
（2） S n 最值的求法：①若已知S n ,可用二次函数最值的求法（nN ）;②找到正负项 分界的是第
几项。
例1、数列a n 中，a n
2n 49 ,当数列a n 的前n 项和S n 取得最大值时,n
练习1、设等差数列a n 的前n 项和为$ ,若a i 11 , a 4 a &
6,则当&取最小值时
n 等丁（
）
A . 6
B . 7 C. 8 D . 9 2、若等差数列a n 满足a ? a 8
a ’
0 , a 8 a ’
0 ,则当n __________ 时a n 的前n 项和
最大。
例2、在等差数列 &中，a 1 7,公差为d,前n 项和为& ,当且仅当n= 8时，&取得 最大值，则d 的取值范围为。
例3、等差数列a n 中，a 1 0,前n 项和为& ,且仅当S 5 嶷,则当n —时，&取最大
练习1、设数列a n 是等差数列，且a 2
8 , a 15 5 , S n 是数列a ”的前n 项和，WJ （）
误的是（）
C. S 9 S 5 D . S 6与序均为S n 的最大值
S
11
S
11
C. S 9 S 10
2.设 a n (n N ）是等差数歹U, S n 是其前n 项的和，且S 5
S 6,S 6 S 7 S 8则下列结论机
考点五：等差数列和项转换a n a 〔 S n
(n 1)
S n 1 (n 2) 例1、已知数列a n 的前n 项和为S n
n 2 〔n ,求 a n 。
2
练习1、已知数列a n 的前n 项和为S n n 2 2 ,求 a n
A. d 0
B.. a 7 0
2、设数列（a n｝的前n项和S n n2,则a8的值为（
A . 15 B. 16 C. 49
习题15.2
1、在等差数列a n中，
(1) 已知a1 2,d 3,n 10,求a n;
(2) 已知a1 3,a n 21,d 2,求n ；
(3) 已知a1 12, a6 27,求d ；
1 .
(4) 已知d 一,a7 8,求a1。
3
2、在等差数列(a n｝中，
(1) 已知 & 48, & 168，求a1,和d
(2) 已知a6 10, S5 5 ,求a8和 &
(3) a1 20,a n 54,S n 599,求d 及n；
，.、 1 - .、一
(4) d -,n 37,S n 629,求a〔及a” ；
3
一、 5 . 1 一
(5) a〔-,d —,S n 5,求n及a” ；
6 6
(6) d 2,n 15, a n 10,求a^S n。
3、等差数列(a n｝的前n项和记为S n，已知a10 30, a20
50。
(1) 求通项公式(an｝;
(2) 若S n 242，求n。
4、设S n为等差数列(a n)的前n项和，若& 3, S6 24 ,则a9
5、等差数列(a n)的前n项和S n ,若a i 2, S3 12 ,则a6 ( )
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
6、已知道单调递增的等差数列a n的前三项和为21,前三项积为231，则a n
7、在等差数歹0 a n中，a5 120，则a2 a4 a6 a8
8、数列a n中，a n 2n 49,当数列a”的前n项和&取得最大值时,n
9、数列a n是首项为23,公差为整数的等差数歹0,且第六项为正，第七项为负
(1) 求数歹U的公差；
(2) 求前n项和&的最大值；
(3) 当S n 。时，求n的最大值。
(2) 中项法：2a n1 a n a n 2(n N ) a n是等差数歹U;
(3) 通项公式法：a n kn b (k,b是常数) a”是等差数列；
(4) 前n项和法：S n= kn2 3 4 + bn ( k,b是常数) a”是等差数列
考点四：等差数列前n项和的最值
(1) a1 0 , d 0时，S n有最大值；a1 0 , d 0时，S n有最小值;