等差数列的三种常考题型及解答方法
等差数列题型及解题方法
等差数列题型及解题方法摘要：1.等差数列的定义及性质2.等差数列的通项公式与应用3.等差数列的求和公式与应用4.等差数列的性质在解题中的应用5.典型例题解析正文：等差数列是高中数学中的重要内容，它在各类考试中都有所体现。
掌握等差数列的性质和解题方法，对于提高数学成绩具有重要意义。
本文将介绍等差数列的定义、性质、通项公式、求和公式及其在解题中的应用，并通过典型例题进行解析。
一、等差数列的定义及性质1.定义：等差数列是指一个数列，其中任意两个相邻的项之差相等。
这个相等的差称为公差。
2.性质：（1）任意两项之间的公差相等；（2）任意三项之和等于中间项的倍数；（3）首项与末项之和等于第二项的倍数；（4）任意一项与它后面一项的比值相等。
二、等差数列的通项公式与应用等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
应用：已知等差数列的前n项和Sn，可求任意一项的公式为：an = Sn / n - (a1 + an)/2。
三、等差数列的求和公式与应用等差数列的前n项和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)。
应用：已知等差数列的首项、末项和项数，可求前n项和的公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2。
四、等差数列的性质在解题中的应用1.利用等差数列的性质直接求解问题；2.利用等差数列的性质转化为其他数列问题；3.利用等差数列的性质求解最值问题；4.利用等差数列的性质求解恒成立问题。
五、典型例题解析1.已知等差数列的前5项分别为3，5，7，9，11，求公差和首项。
解：由等差数列的性质可知，5项之间的公差为2。
首项为3，故可求得公差d=2，首项a1=3。
2.已知等差数列的前n项和为10n，求通项公式。
解：由等差数列的前n项和公式Sn = n/2 * (a1 + an)可得，a1 + an = 20。
又由通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1 + an = 20，解得d=2，a1=19。
五年级等差数列题型及解题方法
五年级等差数列题型及解题方法一、等差数列的基本概念1. 定义等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
例如数列1,3,5,7,9,·s，公差d = 2。
2. 通项公式a_n=a_1+(n 1)d，其中a_n表示第n项的数值，a_1表示首项，n表示项数，d表示公差。
例如：已知一个等差数列a_1=3，d = 2，求第5项a_5。
解析：根据通项公式a_n=a_1+(n 1)d，将a_1=3，n = 5，d = 2代入公式，得到a_5=3+(5 1)×2=3 + 8=11。
3. 求和公式S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}或S_n=na_1+(n(n 1))/(2)d例如：求等差数列1,3,5,·s,99的和。
解析：方法一：首先求项数n，根据通项公式a_n=a_1+(n 1)d，这里a_1=1，d = 2，a_n=99。
由99 = 1+(n 1)×2，99=1 + 2n-2，2n=100，解得n = 50。
再根据求和公式S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}，将n = 50，a_1=1，a_n=99代入，得到S_50=(50×(1 + 99))/(2)=2500。
方法二：直接用S_n=na_1+(n(n 1))/(2)d，n = 50，a_1=1，d = 2，则S_50=50×1+(50×(50 1))/(2)×2=50+50×49=2500。
二、常见题型及解题方法1. 求项数题目：在等差数列3,7,11,·s,43中，项数是多少？解析：已知a_1=3，d = 4，a_n=43。
根据通项公式a_n=a_1+(n 1)d，则43=3+(n 1)×4。
首先展开式子得到43=3 + 4n-4，即43 = 4n-1。
数列知识点总结及题型归纳---含答案
数列一、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．642.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6703.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”）题型三、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA += a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）A ．120B ．105C ．90D ．752.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 题型五、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n da ）（2n 2112-+=。
数列题解析常见的数学题型及解题技巧
数列题解析常见的数学题型及解题技巧数列题解析：常见的数学题型及解题技巧数学中，数列是一种按照一定规律排列的数字序列。
数列题是中学数学常见的题型之一，考察学生对数列的理解和解题能力。
本文将介绍数列题的常见题型，并提供解题技巧。
一、等差数列1. 等差数列概念等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差。
等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d。
2. 等差数列题型及解题技巧(1) 求前n项和：可以利用等差数列的求和公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)来计算。
(2) 求项数：已知等差数列的首项和公差，求第n项可以利用通项公式an = a + (n-1)d。
(3) 求公差：已知等差数列的首项和任意两项，可以利用公式d = an - a(n-1)来计算。
二、等比数列1. 等比数列概念等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
通常用字母a表示首项，q表示公比。
等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)。
2. 等比数列题型及解题技巧(1) 求前n项和：可以利用等比数列的求和公式Sn = (a(1-q^n))/(1-q)来计算。
(2) 求项数：已知等比数列的首项和公比，可以利用通项公式an = a * q^(n-1)进行转化求解。
(3) 求公比：已知等比数列的首项和任意两项，可以通过求项数的方式来计算公比。
三、递推数列递推数列是指数列中的每一项都由前一项递推而来的数列。
递推数列题型比较灵活，常见的有斐波那契数列、阶乘数列等。
解决递推数列题目的关键是找到递推关系式，将问题转化为数列的求解问题。
四、复合数列复合数列是指数列中同时具有等差和等比特征的数列。
可以通过将复合数列拆分成等差数列和等比数列两部分来解决问题。
解决复合数列题目的关键是根据题目给出的条件，分别求解等差数列和等比数列的部分，然后将结果综合起来。
五、其他常见数列题型除了上述三种常见的数列题型外，还有一些其他常见的数列题型，如费马数列、幂次数列等。
高中数学解题技巧之等差数列求解
高中数学解题技巧之等差数列求解在高中数学中，等差数列是一个非常重要的概念，也是解题中经常遇到的一种题型。
掌握等差数列的求解技巧，对于解题能力的提升至关重要。
本文将介绍几种常见的等差数列求解方法，并通过具体的例子来说明每种方法的应用场景和解题思路。
一、等差数列的通项公式等差数列的通项公式是解题中最常用的方法之一。
对于一个等差数列，如果已知首项为a1，公差为d，第n项为an，那么可以使用以下通项公式来求解：an = a1 + (n - 1) * d其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差。
例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
解题思路：根据通项公式，可以直接代入a1=3，d=2，n=10，得到：a10 = 3 + (10 - 1) * 2= 3 + 9 * 2= 3 + 18= 21所以，第10项的值为21。
二、等差数列的前n项和公式除了求解某一项的值，有时候我们还需要求解等差数列的前n项和。
对于一个等差数列，如果已知首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，那么可以使用以下前n 项和公式来求解：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，Sn表示前n项的和，n表示项数。
例如，已知等差数列的首项为1，公差为3，求前10项的和。
解题思路：根据前n项和公式，可以直接代入a1=1，d=3，n=10，得到：S10 = 10/2 * (1 + a10)= 5 * (1 + 21)= 5 * 22= 110所以，前10项的和为110。
三、等差数列的差值求解在解题过程中，有时候我们需要求解等差数列中两项之间的差值。
对于一个等差数列，如果已知第m项为am，第n项为an，那么可以使用以下差值公式来求解：an - am = (n - m) * d其中，an表示第n项的值，am表示第m项的值，d表示公差。
例如，已知等差数列的第3项为10，第8项为28，求公差。
解题思路：根据差值公式，可以直接代入am=10，an=28，m=3，n=8，得到：28 - 10 = (8 - 3) * d18 = 5 * dd = 18 / 5d = 3.6所以，公差为3.6。
等差数列大题解法技巧汇总，附典型例题及答案
等差数列大题解法技巧汇总，附典型例题及答案等差数列大题求解技巧和题型汇总
数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。
求Sn实质上是求{Sn}的通项公式，应注意对其含义的理解。
常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和，但是常见的就记忆上图中的方法就可以了。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位，数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要有一定的技巧，也就是一些特殊数列，要单独记忆。
求解过程要注意，通法和巧法的使用，第一选择用巧法，实在不行都可以用通法转化成a1和d，再去求解。
主要公式的应用，书记公式，套用，求解
对于递推公式的套用转化，需要强化练习，孰能生巧
方法二更简单些，一定要掌握
先化简，再裂项相消，就简单了
错位相减法要注意，Sn等于的最后两项都要写出来，乘以公比，错位书写，相减，末项前面是减号，中间部分用数列求和公式，再化简，随后把Sn前面的系数除掉。
等差数列的三种常考题型及解答方法
等差数列的三种常考题型及解答方法 一、 通项公式的运用1. 已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为（A ）2- （B ） 3- （C ） 2 （D ）32. 已知数列的等差数列，若，则数列的公差等于A ．1B ．3C ．5D ．63. 在等差数列{a n }中，a 1=13,a 3=12若a n =2，则n 等于A ．23B ．24C ．25D ．264. {a n }是首项a 1=1，公差为d=3的等差数列，如果a n =2008，则序号n 等于（ ）A 、667B 、668C 、669D 、6705. 在等差数列{a n }中，若等于 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10二、 性质：1）若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+2）若m+n=2p ，p n m a a a 2=+运用6. 数列为等差数列，且，则．7. 在等差数列{}中，已知则等于A.40B.42C.43D.458.已知等差数列中，，则________。
9. （2008•海南）已知{a n}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=_____________10.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=_______________11.已知等差数列中，和是方程的两根，则——————————————12.在等差数列中，若，则等于 A．30 B．40 C．60 D．80 13. 已知数列{a n}是等差数列，且a4+a7+a10=17，a8+a9+a10=21，若a k=13，则k=14.已知等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差________。
15.等差数列共有项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则中间项为16.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于______________17.等差数列{a n}中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a1=1，求其项数和中间项．18.（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A、a1+a8＞a4+a5B、a1+a8=a4+a5C、a1+a8＜a4+a5D、a1a8=a4a519.（2005•黑龙江）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A、a1a8＞a4a5B、a1a8＜a4a5C、a1+a8＞a4+a5D、a1a8=a4a5三、灵活求解20.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成的一个首项为1/4的等差数列,则|m-n|等于______________21.首项为-30的等差数列，从第7项开始为正，则公差d的取值范围是（）A 、5≤d ＜6B 、d ＜6C 、5＜d ≤6D 、d ＞522. 已知动点P(x,y)，若lgy,lg|x|,lg2x y -成等差数列，则点P 的轨迹图形是什么？23. 已知数列{}n a 的首项135a =，121n n n a a a +=+，*n N ∈，求{}n a 的通项公式。
等差数列及其前n项和知识点讲解+例题讲解(含解析)
等差数列及其前n 项和一、知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 小结：1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数.答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A.31B.32C.33D.34解析 由已知可得⎩⎨⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32. 答案 B3.在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.答案 1804.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A.－12B.－10C.10D.12解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( )A.－3B.－52C.－2D.－4 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎨⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15， 解得d ＝－4.答案 D6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______.解析 在等差数列{a n }中，∵a 3＋a 8>0，S 9<0，∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5<0， ∴a 5<0，a 6>0，∴S 1，S 2，…，S 9中最小的是S 5.答案 S 5考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8 (2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )A.9B.10C.11D.15 解析 (1)法一 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4.法二 等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，则d ＝4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×（11－1）2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎨⎧a1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.答案 (1)C (2)B【训练1】 (1)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于()A.3B.4C.log 318D.log 324(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 解析 (1)∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )，∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2，解之得x ＝4，x ＝0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318，∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.(2)法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2，所以S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二 由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ， 由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎨⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎨⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30. 答案 (1)A (2)30考点二 等差数列的判定与证明【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2， 又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎨⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得⎩⎨⎧q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23. ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.考点三 等差数列的性质及应用角度1 等差数列项的性质【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( )A.6B.12C.24D.48 解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.答案 D角度2 等差数列和的性质【例3－2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.63B.45C.36D.27 解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝45.答案 B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则(1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( )A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( ) A.3727B.1914C.3929D.43 解析 (1)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3，∴S 2 019＝3×2 019＝6 057.(2)由a 3＋a 4＋a 5＝3及等差数列的性质，∴3a 4＝3，则a 4＝1.又a 4＋a 12＝2a 8，得1＋a 12＝2×8.∴a 12＝16－1＝15.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 答案 (1)6 057 (2)A (3)A考点四 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？ 解 (1)令n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0，因为a 1≠0，所以a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n (n ≥2).所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1·2n －1＝2n λ.(2)当a 1>0，λ＝100时，由(1)知，a n ＝2n 100，则b n ＝lg 1a n ＝lg 1002n ＝lg 100－lg 2n ＝2－n lg 2， 所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2，所以b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027<lg 1＝0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大. 规律方法 求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值.①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( ) A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎨⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S n n ＝na 1＋n （n －1）2d n ＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4. (2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2 ＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122， 又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)110三、课后练习1.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( )A.259B.269C.3D.289 解析 令b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，则b n ＝3n －2，所以b 18＝52，则18a 18＝52，所以a 18＝269.答案 B2.(2019·青岛诊断)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)，若S n T n ＝2n －1n ＋1，则a 12b 6＝( )A.154B.158C.237D.3 解析 由题意不妨设S n ＝n (2n －1)，T n ＝n (n ＋1)， 所以a 12＝S 12－S 11＝12×23－11×21＝45，b 6＝T 6－T 5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，所以a 12b 6＝4512＝154. 答案 A3.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0， ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 答案 1304.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 13＝26，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n ＋1a n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若30T n －m ≤0对一切n ∈N *成立，求实数m 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，a 1＋a 13＝26，S 9＝81， ∴⎩⎨⎧2a 7＝26，9a 5＝81，解得⎩⎨⎧a 7＝13，a 5＝9，∴d ＝a 7－a 57－5＝13－92＝2， ∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝9＋2(n －5)＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1（2n ＋1）（2n ＋3） ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3随着n 的增大而增大，知{T n }单调递增. 又12n ＋3>0，∴T n <16，∴m ≥5， ∴实数m 的最小值为5.。
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等差数列的三种常考题型及解答方法 一、 通项公式的运用
1. 已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为
（A ）2- （B ） 3- （C ） 2 （D ）3
2. 已知数列的等差数列，若，则数列的
公差等于
A ．1
B ．3
C ．5
D ．6
3. 在等差数列{a n }中，a 1=13,a 3=12若a n =2，则n 等于
A ．23
B ．24
C ．25
D ．26
4. {a n }是首项a 1=1，公差为d=3的等差数列，如果a n =2008，则序号n 等
于（ ）
A 、667
B 、668
C 、669
D 、670
5. 在等差数列{a n }中，若
等于 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
二、 性质：1）若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+
2）若m+n=2p ，p n m a a a 2=+运用
6. 数列为等差数列，且
，则．
7. 在等差数列{}中，已知则等于
A.40
B.42
C.43
D.45
8.已知等差数列中，，则________。
9. （2008•海南）已知{a n}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=
_____________
10.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=
_______________
11.已知等差数列中，和是方程的两根，则
——————————————
12.在等差数列中，若，则等
于 A．30 B．40 C．60 D．80 13. 已知数列{a n}是等差数列，且a4+a7+a10=17，a8+a9+a10=21，若a k=13，
则k=
14.已知等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，
则其公差________。
15.等差数列共有项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为
290,则中间项为
16.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的
和为150，则n等于______________
17.等差数列{a n}中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项
之和为66，a1=1，求其项数和中间项．
18.（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）
A、a1+a8＞a4+a5
B、a1+a8=a4+a5
C、a1+a8＜a4+a5
D、a1a8=a4a5
19.（2005•黑龙江）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公
差d≠0，则（）
A、a1a8＞a4a5
B、a1a8＜a4a5
C、a1+a8＞a4+a5
D、a1a8=a4a5
三、灵活求解
20.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成的一个首项为1/4的等
差数列,则|m-n|等于______________
21.首项为-30的等差数列，从第7项开始为正，则公差d的取值范围是
（）
A 、5≤d ＜6
B 、d ＜6
C 、5＜d ≤6
D 、d ＞5
22. 已知动点P(x,y)，若lgy,lg|x|,lg
2
x y -成等差数列，则点P 的轨迹图形是什么？
23. 已知数列{}n a 的首项135a =，121n n n a a a +=+，*n N ∈，求{}n a 的通项公式。