线性泛函和对偶空间
线性泛函数知识点总结
线性泛函数知识点总结一、线性泛函数的基本概念1.1 线性泛函数的定义线性泛函数是指一个将向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的函数，且满足线性性质。
设V和W是两个向量空间，如果一个函数T:V→W满足以下两个条件：1) 对于任意的向量x,y∈V，有T(x+y)=T(x)+T(y)；2) 对于任意的向量x∈V和标量a，有T(ax)=aT(x)；则函数T被称为V到W的线性泛函数。
1.2 线性泛函数的例子下面我们举几个线性泛函数的例子，以便更好地理解这个概念。
例1：设V是实数域上的n维向量空间，W是实数域上的m维向量空间，定义一个函数T:V→W，使得对于任意的向量x=(x1,x2,...,xn)∈V，有T(x)=(x1^2,x2^2,...,xn^2)∈W。
显然，函数T满足线性性质，因此它是一个线性泛函数。
例2：设V是实数域上的3维向量空间，W是实数域上的2维向量空间，定义一个函数T:V→W，使得对于任意的向量x=(x1,x2,x3)∈V，有T(x)=(x1+x2,x2+x3)∈W。
同样地，函数T也满足线性性质，因此它也是一个线性泛函数。
1.3 线性泛函数的表示线性泛函数可以用矩阵来表示。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{e1,e2,...,en}和{f1,f2,...,fm}，则对于任意的向量x=(x1,x2,...,xn)∈V，有其在基{e1,e2,...,en}下的表达式为x=x1e1+x2e2+...+xnen，而对于任意的向量y=(y1,y2,...,ym)∈W，有其在基{f1,f2,...,fm}下的表达式为y=y1f1+y2f2+...+ymfm。
定义一个线性泛函数T:V→W，使得对于任意的向量x∈V，有T(x)=y∈W，则T的矩阵表示为一个m×n的矩阵A，其中A的第i列为T(ei)在基{f1,f2,...,fm}下的坐标表示，即A=[T(e1)|T(e2)|...|T(en)]。
l∞的对偶空间不是l1证明
l∞的对偶空间不是l1证明要证明l∞的对偶空间不是l1，我们需要先了解一下对偶空间的定义和性质。
对于一个赋范线性空间X，其对偶空间X定义为所有连续线性泛函的集合，其中线性泛函是从X到实数域R的线性映射。
对偶空间X的元素可以看作是对X中元素的泛函或函数，用来对X中的向量进行评估。
现在我们来看l∞和l1空间。
l∞是由所有以自然数为下标的实数序列组成的空间，其范数定义为序列中的最大绝对值。
l1是由所有以自然数为下标的实数序列组成的空间，其范数定义为序列中所有绝对值之和。
我们需要证明的是l∞的对偶空间不是l1。
假设l∞的对偶空间是l1，即X = l1。
那么我们可以得到一个结论，对于任意的f∈X，存在一个x∈l∞，使得f(x) = ∑|x_n|，其中n为自然数。
这意味着对于任意的线性泛函f，都可以通过一个l∞中的序列x来表示。
然而，我们可以构造一个反例来证明这个结论是错误的。
考虑一个特殊的线性泛函f∈X，它的定义如下，对于任意的x∈l∞，f(x) = lim sup |x_n|，其中n为自然数。
这个线性泛函表示了序列x中的最大聚集点。
现在我们来考虑这个线性泛函f在l∞中的表示。
假设存在一个序列y∈l∞，使得对于任意的x∈l∞，有f(x) = ∑|y_n|。
根据定义，我们知道f(x) = lim sup |x_n|，而∑|y_n|是一个有限的值。
然而，我们可以构造一个序列x∈l∞，使得lim sup |x_n| > ∑|y_n|，这与f(x) = lim sup |x_n|矛盾。
因此，不存在一个序列y∈l∞，使得对于任意的x∈l∞，有f(x) = ∑|y_n|。
由此可见，我们无法找到一个序列y∈l∞，使得对于任意的x∈l∞，有f(x) = ∑|y_n|。
因此，l∞的对偶空间不是l1。
综上所述，我们证明了l∞的对偶空间不是l1。
这个证明从对偶空间的定义出发，通过构造一个反例来推导出结论。
3.3有界线性泛函和对偶空间
定义3.3.3（对偶空间）
当赋范空间 X 上定义的线性算子空间
B ( x , y ) 中的元素为有界线性泛 X * 表示。
举例：
1、Rn中由点积定义的泛函
2、Lp[a,b]空间
3.3.3 希尔伯特空间上泛函的一般形式
定理3.3.4（黎斯表现定理） 希尔伯特空间 H上任一有界线性泛函可由内积表示，即 f ( x ) = < x , z > （对任意 x ∈ H ）
h ( x , y) = < S x , y> x∈ H1 ，y∈H2
其中S： H1 → H2 为一有界线性算子，且 由 h 唯一确定，并有范数 ‖ S‖ = ‖ h‖
3.3 有界线性泛函和对偶空间 3.3.1 有界线性泛函 定义3.3.1（线性泛函） 设 X 为线性
空间，f 为 D ( f )（含于X）到数域 K 的
线性算子，则称 f 为线性泛函，D ( f ) 为 f
的定义域，而
R ( f ) = { f ( x ) ∣x ∈ D ( f ) }
为 f 的值域。简单说：值域为数域的算子 称为泛函。
实双线性泛函，简称双线性泛函。
举例
1
2
有界及范数的定义
定义3.3.7（二次泛函）在双线性泛函中，
如果令 x = y，则称为 X × X 到 R 上的泛
函，称作二次泛函。
举例：二次型，信号的能量
定理3.3.8（双线性泛函的黎斯表示）
设 H1、H2为希尔伯特空间，h： H1 × H2 → K 为有界复双线性泛函，则 h 可以 表示为
定义3.3.2（有界线性泛函）
设X是数域K上的赋范空间，f： D ( f )
→K是线性泛函，如果存在常数 C > 0，使
线性泛函分析
线性泛函分析泛函分析的主要工作在于对积分方程而不是对变分法提供一个抽象的理论． 变分法领域里所需泛函的性质是相当特殊的，对一般的泛函并不成立．此外，这些泛函的非线性造成了困难，而这种困难对于包含在积分方程中的泛函和算子则是无关紧要的．在Schmidt ，Fischer ，Riesz 为积分方程解的理论作具体推广时，他们和其他一些人也同时开始了相应的抽象理论的研究．第一个试图建立线性泛函和算子的抽象理论的，是美国数学家E ．H ．Moore ，他从1906年开始这一工作． Moore 认识到，在有限多个未知数的线性方程的理论、无限多个未知数的无限多个线性方程的理论、以及线性积分方程的理论之间，有许多共同的地方．他因此着手建立一种称为“一般分析”(Generl Analysis)的抽象理论，它包含上述具体理论作为特殊情形．他用的是公理方法．我们将不叙述其细节，因为他的影响并不广，而且电没有获得很有效的方法．另外，他的符号语言很奇怪，使以后的人理解起来很困难．在建立线性泛函和算子的抽象理论的过程中，第一个有影响的步骤是由Erhard Sohmidt 和Frechet 在1907年采取的．Hilbert 在他的积分方程的工作中，曾经把一个函数看成是由它相应于某标准正交函数系的Fourier 系数给定的．这些系数以及在他的无穷多个变量的二次型理论中他所赋予这些x i 的值，都是使21n x ∑∞成为有限的序列{x n }．然而，Hilbort 并没有把这些序列看成空间中点的坐标，也没有用几何的语言，这一步是由Schmidt 和Frechet 采取的． 把每一个序列{x 。
}看成一个点，函数就被表现为无穷维空间的点．Sohmidt 不仅把实数而且把复数引入序列{x 0}中．这样的空间从此以后被称为Hilbort 空间．我们的叙述 按照Schmidt 的工作．Schmidt 的函数空间的元素是复数的无穷序列z ＝{z n }，使得.21∞∑∞=＜zp p Schmidt 引入记号;211⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑∞=-p p p z z 来表示z ；z 后来就称为z 的范数(norm)．按照Hilbert ，Sehmidt 用记号).,(,),(1-∞==∑z z z 所以z 表示z p p pωω(现在通用的记号是把)),(1p p p z 定义义z -∞=∑ωω．空间中两个元素z 和ω称为正交的，当且仅当.0,=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ωz Schmidt ；接着证明了广义的Pythagoras 定理：如果z 1， z 2， …，z n 是空间的n 个两两正交的元素，则由∑==n p p z 1ω知 .212p n p z ∑==ω由此可推出n 个两两正交的元素是线性无关的．Schrnidt 在他的一般空间中还得到了Bessel 不等式：如果{z n }是标准正交元素的无穷序列，即ωδ而z z pq q p ,),(=-是任何一个元素，那末21,(-∞=∑p p z ω≤.2ω 此外，还证明了范数的Schwarz 不等式和三角不等式．元素序列{z n }称为强收敛于z ，如果z z n -趋向于0，而每个强Cauehy 序列，即每个使q p z z -趋于0 (当p ，q 趋于0时)的序列，可以证明都收敛于某一元素z ，从而序列空间是完备的．这是一条非常重要的性质．Schmidt 接着引进了(强)闭子空间的概念．他的空间H 的一个子集A 称为闭子空间，如果在刚才定义的收敛的意义下它是闭子集，并且是代数封闭的，后者意指，如果ω1与ω2是A 的元素，那末2211ωωa a +也是A 的元素，其中a 1，a 2是任何复数．可以证明这样的闭子空间是存在的，这只需取任何一个线性无关的元素列{z n }，并取{z n }中元素的所有有限线性组合．全体这些元素的闭包就是一个代数封闭的子空间．现在，设A 是任一固定的闭子空间．Schmidt 首先证明，如果z 是空间的任一元素，则存在唯一的元素ω1和ω2，使得z ＝ω1+ω2，其中ω1属于A ， ω2和A 正交，后者是指ω2和A 的每个元素正交(这个结果，今天称为投影定理；ω1就是z 在A 中的投影)进一步，,min 2z y -=ω 其中y 是A 的变动元素，而且极小值只在21.ωω时达到y =称为z 和A 之间的距离．在1907年，Schmidt 和Frechet 同时注意到，平方可和(Lebesgue 可积) 函数的空间有一种几何，完全类似于序列的Hilbert 空间． 这个类似性的阐明是在几个月之后，当时Riesz 运用在Lebesgue 平方可积函数与平方可和实数列之间建立一一对应的Riesz-Fischer'定理指出，在平方可和函数的集合L 2中能够定义一种距离，用它就能建立这个函数空间的一种几何． L 2中，定义在区间[a ， b]上的任何两个平方可积函数之间的距离这个概念，事实上也是Frechet 定义的，他把它定义为(1) ⎰-b a dx x g x f ,)]()([2其中积分应理解为Lebesgue 意义下的；并且两个函数只在一个0测集上不同时就认为是相等的．距离的平方也称为这两个函数的平均平方偏差．f 和g 的内积定义为⎰=ba dx x g x f g f )()(),(． 使(f ，g) = 0的两个函数f 与g 称为是正交的．Schwarz 不等式 dx x g x f ba )()(⎰≤dx g dx fb a b a ⎰⎰22以及对平方可和序列空间成立的其他性质，都适用于函数空间．特别是，这类平方可和函数形成一个完备的空间．这样，平方可和函数的空间，同这些函数相应于某一固定的完备标准正交函数系的Fourier 系数所构成的平方可和序列的空间，可以认为是相同的．在提到抽象函数空间时，我们应重提一下Riesz 引入的空间L p (1<p<∞)．这些空间对度量pb a p dx f f f f d 12121),(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰ 也是完备的．虽然我们很快就要考察抽象空间领域中的其他成就，但下一发展涉及泛函和算子．在刚才引述的对空间L 2的函数引进了距离的1907年的文章中，以及在同年的其他文章中， Frechet 证明了，对于定义在L 2的每一个连续线性泛函U(f)，存在L 2中唯一的一个u(x)，使得对L 2的每个f 都有⎰=ba dx x u x f f U .)()()( 这推广了Hadamard 1903年得到的一个结果．1909年Riesz 推广了这个结果，用Stieltjes 积分表示U(f)，也就是⎰=ba x du x f f U ).()()(Riesz 自己还把这个结果推广到满足下面条件的线性泛函A:对L p 中所有的f)(f A ≤p ba p dx x f M /1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰其中M 只依赖于A ．这样，存在L q 中的一个函数a(x)，在允许相差一个积分为0的函数的意义下是唯一的，使得对L p 中所有的f(2) ⎰=b a dx x f x a f U .)()()( 这个结果称为Riesz 表示定理。
线性泛函与对偶空间
线性泛函与对偶空间1. 线性空间 ● 线性空间的定义现有非空集合V 与数域P ，在非空集合V 上定义运算“加法”，在数域P 与非空集合V 之间定义运算“数乘”（这里暗含了运算的封闭性，即运算结果存在且唯一），满足下列8个规则：(1) ,V ∀∈αβ，有ββα+=+α；(2) ,,V ∀∈αβγ，有()()αβγαβγ++=++； (3) 0V ∃∈，对于V α∀∈，有0αα+=； (4) V α∀∈，都有V α∃-∈，使得()0αα+-=； 即，非空集合V 及其上定义的“加法”构成Abel 群 (5) V α∀∈，有1αα=；(6) ,k l P ∀∈及V α∈，有()()k l kl αα=； (7) ,k l P ∀∈及V α∈，有()k l k l ααα+=+； (8) k P ∀∈及,V αβ∈，有()k k k αβαβ+=+。
● 线性空间运算的基本性质(1) 零元素惟一 证：1122120=0+0=0+0=0 (2) 负元素惟一证：()()()()()()()()112122=++=++=αααααααα------ (3) 00α=，00k =，()1αα-=-证：()()001100αααααααα+=+==⇒=+-=，()(),00000V k k k αααα∀∈==⋅==，()()()()1=1111001αααααααα-+-+=-+==⇒-=-(4) 000k k αα=⇒==或者证：()10000k k k k ααα-≠=⇒=⇒=若，则2. 线性空间上的线性泛函 ● 线性泛函的定义线性空间V 到数域P 的线性映射f 称为V 上的线性泛函。
所谓“线性映射”是指满足条件,P λμ∀∈及,V αβ∈，有()()()f f f λαμβλαμβ+=+的映射f 。
● 线性泛函由其在基向量上的作用惟一决定(1) 设f 是V 上的线性泛函，取定线性空间V 的一组基向量12,,,n εεε，i i ix x V ε∀=∈∑，其中12,,,n x x x P ∈，那么()()i i i i i if x f x x f εε⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑；(2) 取定线性空间V 的一组基向量12,,,n εεε，给定数域P 中的一个n 元数组12,,,n a a a P ∈，则惟一决定了一个线性空间V 上的线性泛函f ，使得i i ix x V ε∀=∈∑，有()i i if x x a =∑。
4-1 狄拉克符号
，
F
根据内积的性质
x
Fy x Fx x Fy x ,
aFx x aFx x
(13)
Fx x Fy x x, x y, x x y, x Fx y x
将(19)式定义的泛函记为 Fx ，并将所有 Fx 的集合记为 B X
。根据 Riesz 定理，
B X
包括了希尔伯特空间上所有的连续线性泛函，按照(2)式定义的加法和数乘成为
X 的对偶空间，记为 X ，即
X Fx x X
按照加法和数乘的定义(2)， x X ， (20)
4-1 狄拉克符号
~6~
线性子空间， 但 C a, b 根据由内积导出的度量不完备， 因此不是希尔伯特空间。 将 L2 a, b 中的泛函的定义域限制在 C a, b 上，确实可以得到新的泛函。比如，考虑如下分段函数
i 1
n
(12)
n
这是一个将
n
的映射，由内积的性质 Fx x 可知它是
上的线性泛函。将所有这样
n
的线性泛函的集合记为 B
n
。同样，我们很快会知道，B
n
包含了
n
n
上所
有的连续线性泛函。因此， B
按照(2)式定义的加法和数乘成为
n
的对偶空间。
按照加法和数乘的定义(2)， x
(17)
n
或写为 T x Fx 。与 线性的
的情况不同，根据(16)式可知这个映射不是线性的，而是复共轭
T ax by Faxby a Fx b Fy
泛函分析的基本概念与空间性质
泛函分析的基本概念与空间性质泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的空间以及这些函数构成的空间的性质。
本文将介绍泛函分析的基本概念和一些常见的空间性质。
一、泛函分析的基本概念1. 线性空间：线性空间是指具有加法和数乘两种运算，并满足一些基本性质的集合。
在泛函分析中，函数的集合常常构成一个线性空间。
2. 泛函：泛函是定义在线性空间上的一个实值函数，即将线性空间中的元素映射到实数域上。
泛函可以将一个函数映射到一个实数，或者将一个向量映射到一个实数等。
3. 范数：范数是泛函分析中用来度量向量“大小”的一种方法。
在线性空间中，范数需要满足非负性、同一性、齐次性以及三角不等式等性质。
范数可以衡量向量的长度或大小。
4. 完备性：在泛函分析中，完备性是指一个空间中的柯西序列收敛到空间中的一个元素。
完备性是保证泛函分析中许多重要定理成立的基础。
二、常见的空间性质1. 紧性：紧性是指空间中的任意序列都有收敛子序列的性质。
在泛函分析中，紧性是一个非常重要的性质，它与完备性和有界性等概念密切相关。
2. 可分性：可分性是指一个空间中存在一个可数集合，该集合在空间中稠密。
可分性是泛函分析中的一个重要性质，它保证了许多关键定理的存在性和可推广性。
3. 连续性：连续性是指泛函在某个点上的微小变化引起其函数值的微小变化。
在泛函分析中，连续性是一个重要的性质，它与极限、收敛等概念密切相关。
4. 可逆性：可逆性是指一个泛函在某个空间中的函数上有左逆元素。
可逆性是泛函分析中的一个重要概念，它在解决方程组和优化问题等方面具有重要应用。
此外，泛函分析还涉及到拓扑结构、对偶空间、复数域上的泛函分析等内容，这些内容超出了本文的范围。
三、结论泛函分析的基本概念和空间性质是该学科的重要基础。
通过对线性空间、泛函、范数、完备性等概念的理解，我们可以更好地研究函数的性质、解决问题以及推导出更一般化的结论。
了解常见的空间性质，如紧性、可分性、连续性和可逆性等，可以帮助我们更深入地理解泛函分析，并应用于实际问题中。
对偶空间的包含关系
对偶空间的包含关系对偶空间是线性代数中的一个重要概念，主要涉及到向量空间及其对偶空间之间的包含关系。
以下是关于对偶空间包含关系的详细介绍：一、基本概念首先，需要明确什么是对偶空间。
给定一个向量空间V（定义在某个数域F 上，如实数域R或复数域C），V上的所有线性泛函（即从V映射到数域F的线性映射）构成的集合，按照通常的加法和数乘定义，也构成一个向量空间，称为V的对偶空间，记作V*。
二、包含关系原空间与对偶空间的关系：原空间V与其对偶空间V在结构上是不同的。
原空间V中的元素是向量，而对偶空间V中的元素是线性泛函。
然而，它们之间有着密切的联系，特别是当原空间V是有限维的时候。
有限维情况：当V是有限维向量空间时，V与其对偶空间V在维数上是相等的，即dim(V) = dim(V)。
但是，这并不意味着V和V*在结构上完全相同。
事实上，它们仍然是不同类型的空间：一个是向量空间，另一个是线性泛函空间。
尽管如此，有限维向量空间与其对偶空间之间存在一种自然的同构关系。
无限维情况：当V是无限维向量空间时，情况就变得更加复杂了。
此时，原空间V的维数通常小于其对偶空间V的维数。
换句话说，存在从V到V的单射但非满射的线性映射。
这意味着对偶空间V*包含了比原空间V更多的信息。
三、应用与意义对偶空间的包含关系在线性代数和相关领域中具有重要的应用和意义。
例如，在量子力学中，态矢量和观测量分别对应于希尔伯特空间及其对偶空间中的元素。
此外，在泛函分析和最优化理论中，对偶空间的概念也发挥着关键作用。
总之，对偶空间的包含关系反映了原空间与对偶空间在结构和信息含量上的差异。
在有限维情况下，它们之间存在自然的同构关系；而在无限维情况下，对偶空间通常包含更多的信息。
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|
a
+
1 n
x
a fn (t )dt | dx
ò ò =
a
+
1 n
n(
x
-
a
)dx
+
b
dx
a
a
+
1 n
=b-a- 1
2n
Therefore || T ||³ sup || Tfn ||L = b - a.
n
• Proposition.
Linear operator T : ( X ,|| × ||) ® (Y ,|| × ||)
Þ T : X ® X是线性算子.
•例
1
y(s) = ò k(s, t)x(t)dt, k( , ) Î C([0,1]´[0,1]) 0
定义算子 A : C[0,1] a C[0,1] 如下
1
A : x(t) a y(s) = ò k(s, t )x(t)dt, 0
满足 A(a x1 + b x2 ) = a Ax1 + b Ax2 .
=
æ
ç
A
ç ç
x1 x2 M
ö ÷ ÷ ÷
ççè yn ÷÷ø ççè an1 an2 L ann ÷÷ø ççè xn ÷÷ø
ççè xn ÷÷ø
由此可知,在有限维线性空间上,如果将基选定后,
线性算子与矩阵是相对应的.
•例
X :[a, b]上全体多项式所成的线性空间,
定义微分算子 Tx(t) = x¢(t), x Î X
Tx关于这个基的坐标是(y1, y2 , ..., yn ).
n
n
å å x = xkek , Tx = ykek :
k =1
k =1
æ ç ç ç
y1 y2 M
ö ÷ ÷ ÷
=
æ ç ç ç
a11 a21 L
a12 a22 L
L L L
a1n a2n L
öæ ÷ç ÷ç ÷ç
x1 x2 M
ö ÷ ÷ ÷
• X ,Y是赋范空间, T : X ® Y 是有界线性 算子,定义 T 的范数:
|| T ||= sup || Tx || x¹0 || x ||
• 等价地,
|| T ||= sup || Tx ||= sup || Tx ||
|| x||£1
|| x|| =1
= inf{M ³ 0 : || Tx ||£ M || x ||, "x Î X }
a
|
a
a
f (t)dt |dx
ò òb x
£ | f (t) | dtdx aa
ò ò ò b b
b
£ | f (t) | dtdx = 1dx = b - a
aa
a
Þ|| T ||£ b - a.
On the other hand , for any n Î N : a + 1 < b, n
we define fn ( x) as follows,
n
å "x = ( x1, x2 , ...) Î l1,
x
=
lim
n®¥
k =1
xk ek
"f Î (l1 )* , hk = f (ek ), k = 1, 2, ...
Þ|hk |£|| f || × || ek ||1 =|| f ||
Þ h = (h1,h2 , ...) Î l ¥ , ||h ||¥ £|| f || .
x
(Tf )( x) = òa f ( x)dt
T : L[a, b] ® C[a, b]线性算子, 且 || T ||= 1.
In fact, "f Î L[a, b]：|| f ||L = 1
|| Tf
||C[a,b] =
max | (Tf
xÎ[a ,b]
)( x) |
òx
£ max | f (t) | dt xÎ[a ,b] a
Þ B( X ,Y ) - - - -赋范线性空间
定理 设X是赋范线性空间,Y是Banach
空间,那末B( X ,Y ) 是Banach空间.
定义 设X是赋范线性空间,X上的连续 线性泛函全体记做 X *,它按通常的线 性运算及泛函的范数构成一个赋范线 性空间,称 X *为X的共轭空间.
定理 设X是赋范线性空间, 那末
n
å x = xkek Þ
å k =1 n
Tx =
xkTek
=
(Te1 ,
...,Ten
æ
)
ç ç
x1 M
ö ÷ ÷
k =1
çè xn ÷ø
=
(e1
,
...,
en
)
æ ç ç
a11 L
L L
a1n L
ö ÷ ÷
æ ç ç
x1 M
ö ÷ ÷
çè an1 L ann ÷ø çè xn ÷ø
x关于这个基的坐标是(x1 , x2 , ..., xn );
• B(X,Y): 有界线性算子 T :X ® Y 的集合.
对T , S Î B( X ,Y ), a Î K , 定义算子 T + S, aT 如下:
(T + S )x = Tx + Sx, "x Î X ; (aT )x = aTx, "x Î X 易知,T + S, aT Î B( X ,Y ), 且
X * = B( X , K ) 是Banach空间.
• 赋范线性空间X和Y,映射 j : X ® Y :
"xÎX 有|| j( x) ||=|| x || ,则称 j 是X到
Y的一个保范映射.若 j : X ® Y 保范、
线性、双射,则称 j 是X到Y上的同构
映射.如果空间X到Y之间存在一个从X 到Y上的同构映射,则称X和Y是同构的.
B( X ,Y ) - - - -线性空间
T , S Î B( X ,Y ), a Î K , 满足 : (1) || T + S ||£|| T || + || S ||
(2) || aT ||=| a | × || T || (3) || T ||³ 0, || T ||= 0 Û T = 0.
ì n, fn ( x) = íî0,
x
Î [a, a
+
1 n
]
x
Î
(a
+
1 n
,
b]
It is easy to see that
|| f ||L = 1
and
bx
ò ò || Tfn ||L =
|
a
a
fn (t )dt | dx
ò ò ò ò =
| a
+
1 n
a
x
b
a
fn (t )dt | dx +
• X ,Y 是赋范空间, T : X ®Y是有界线性 算子,若 $ M ³ 0, s.t.,
|| Tx ||£ M || x ||, "x Î X
则称 T 是有界的. • 等价于 T 将有界集映成有界集. • B(X,Y): 有界线性算子 T; X ® Y 的集合. • 定理 Y完备,B(X,Y)是Banach空间.
作映射j : (l1 )* ® l ¥ ,
j : f a h = (h1,h2 , ...) 是同构映射.(Proof)
既然 (l1 )* 和l ¥ 同构，我们把 (l1 )* 和 l ¥ 同一化，所以可以说 l1 的共轭空间是 l ¥ ，
即 (l1 )* = l ¥ 。应注意，(l1 )* = l ¥ 只是同构意 义下的等式，所以在运用这些“等式”去探 讨其它问题时，还必须把同构映射同时加 以考虑，忽视这一点将会发生错误。
|| x ||£1
令r = inf{M ³ 0 : || Tx ||£ M || x ||, "x Î X }
} Þ|| Tx ||£ r || x ||Þ|| T ||£ r Þ || T ||= r .
|| Tx ||£|| T || × || x || Þ r £|| T ||
•例
f Î L[a, b],
• 1） 若T : Rn ® Rn是线性算子,
Tei是e1 , e2 , ..., en的线性组合
Þ $ aij , s.t.,
Te1 = a11e1 + a21e2 + ... + an1en
...... Te2 = a12e1 + a22e2 + ... + an2en
Ten = a1ne1 + a2ne2 + ... + annen
Þ
f ( x) = lim n®¥
f ( xn ) = 0
Þ x Î N ( f ).
2) 若N ( f ) = N ( f ). 设 sup | f ( x) |= ¥
|| x|| =1
Þ $xn : || xn ||= 1, s.t., | f ( xn ) |³ n
令
yn =
xn f ( xn )
s.t., || Tx ||£|| T || × || x ||< e
Þ T在点x = 0是连续的.
2) 若T在点x0 = 0是连续的."x Î X 如果xn ® x, 则xn - x ® 0. Þ T ( xn - x) = Txn - Tx ® 0
Þ Txn ® Tx ( n ® ¥ )
3) 若T是连续的线性算子,
ò 例
x