线性泛函分析
泛函分析简介
泛函分析简介什么是泛函分析泛函分析是数学的一个分支，主要研究无限维空间的线性算子及其性质。
它源于传统的分析学，特别是微分方程、积分方程和最优化理论等领域的发展。
通过研究空间中的点和函数，以及这些点和函数之间的映射关系，泛函分析提供了一种强大的工具用于解决各种实际问题。
在物理学、工程学、经济学和其他科学领域中，泛函分析有着广泛的应用。
泛函分析的基本概念线性空间线性空间（或称向量空间）是泛函分析的基础。
它由一组元素组成，这些元素可以通过向量加法和标量乘法进行组合。
形式上，若 (V) 是一个集合，满足以下条件，则 (V) 是一个线性空间：对于任意 (u, v V)，则 (u + v V)（封闭性）。
对于任意 (u V) 和标量 (c)，则 (c u V)（封闭性）。
存在零向量 (0 V)，使得对于任意 (u V)，有 (u + 0 = u)。
对于每个向量 (u V)，存在一个对应的负向量 (-u V)，使得 (u + (-u) = 0)。
向量加法满足交换律和结合律。
标量乘法满足分配律以及结合律。
拓扑空间拓扑空间是讨论连续性和极限的重要工具。
在泛函分析中，通常会结合线性空间与拓扑结构。
例如，一个拓扑向量空间需要具备以下性质：每个点都有邻域；任意多个开集的并集仍为开集；有限多个开集的交集仍为开集。
此时，可以引入收敛、限制、开集、闭集等概念，从而更深入地研究函数的性质。
巴拿赫空间与希尔伯特空间巴拿赫空间（Banach Space）是一类重要的完备线性空间，其定义为一个带有范数的线性空间，使得它是完备的。
也就是说，在这个空间中，每个柯西序列都收敛于某个元素。
范数是一个度量，用来描述向量之间的“距离”。
希尔伯特空间（Hilbert Space）则是一个完备的内积空间，是巴拿赫空间的一种特殊情况。
内积允许我们定义角度、正交性等概念，对于研究四维空间中的物理现象尤为重要。
主要定理与结果超平面定理与 Hahn-Banach 定理超平面定理指出，在有限维欧几里德空间中，任何非空闭子集至少可以由一个超平面相切。
信号与系统——泛函分析初步
再如，若一个能量有限信号可以分解成无穷多个分量，即其各分量 平方可和
可证明，按内积构成的内积空间，也是一个Hilbert空间。 Cauchy-Schwarz不等式：为内积空间，，有
定义（和、直和，Sum、Direct sum）：
设是的线性子空间，称为子空间的和。如果，即p个子空间彼此无 交集，则这些子空间的和称为直和，记为：。
定理：设是的线性子空间，则 （1）子空间的交也是的子空间； （2）子空间的和也是的子空间； （3）是直和 对于，可唯一表示成
，其中。
§2.3 距离空间（度量空间）
其中，为定义域，为值域。
图2-1 算子的映射作用 定义（数域，Number field）：包括0、1且对四则运算封闭 的数集。 定义（泛函，Functional）：值域是实／复数域的算子称为 泛函。 注：定积分，距离，范数，内积，函数（第三种定义），（普 通）函数均为泛函。 定义（线性算子）：为线性空间，，若对，
Hilbert第六问题：任何物理学理论、物理定 律、实验结论，都可以从一组数学公理出发通
过演绎得到。
希尔伯特第六问题，体现了一种对于统一的追求。
泛函分析：属于基于公理的分析体系，不在于计算，
而着眼于概念演绎，更普适、更一般、更深刻地理
解、解释数学物理问题。
1. 内积空间：
定义（内积，Inner product）：设为实或复线性空间，若对 （复数域），均有一实数或复数与之对应，记为，满足：
注意2：满足三条公里的距离定义可以有多种。因此，同一个集合
与不同定义的距离结合，构成不同的度量空间。
泛函分析线性赋范空间论文
泛函分析线性赋范空间论文摘要：本论文主要围绕泛函分析线性赋范空间的基本理论进行研究，介绍了线性赋范空间的定义、性质、范畴和代数结构等方面。
对于赋范空间中的基本概念如范数、内积、对偶空间、共轭性等，进行详细阐述，并以此为基础，引入了Banach空间、Hilbert空间、算子空间等重要概念和定理。
论文最后还介绍了一些经典的应用和发展趋势。
通过本论文的研究，可以更好地理解和应用泛函分析线性赋范空间的基本理论。
关键词：泛函分析；线性赋范空间；范数；内积；对偶空间；共轭性；Banach空间；Hilbert空间；算子空间一、引言泛函分析是数学中的一个重要分支，它主要研究无限维向量空间及其上的函数或算子。
线性赋范空间是泛函分析中一个重要的概念，它是带有范数（norm）的线性空间，具有加法、数乘和范数这三个运算，是泛函分析的基础。
本论文旨在对于泛函分析线性赋范空间的基本理论进行系统的阐述和探讨。
二、线性赋范空间的定义与性质线性赋范空间是一个带有范数的线性空间，它的定义包括线性空间的定义和范数的定义。
线性赋范空间具有很多性质，如唯一的零元素、范数的非负性、齐次性、三角不等式等，这些性质为后续的研究提供了基础。
三、范数、内积、对偶空间和共轭性范数、内积、对偶空间和共轭性是赋范空间中的基本概念，范数是一种测量距离的方式，内积是一种度量夹角的方法，对偶空间是指所有从X到标量域的线性连续映射组成的空间，而共轭性则是指内积或对偶空间的一些特殊性质。
四、Banach空间、Hilbert空间、算子空间等Banach空间是指完备的赋范空间，Hilbert空间是一种特殊的Banach空间，具有良好的几何性质和完备性质，是应用广泛的空间之一。
在算子理论中，算子空间则是指线性映射所组成的空间，它也具有重要的应用和意义。
五、经典应用和发展趋势泛函分析线性赋范空间在数学和物理等领域都有着广泛的应用，如偏微分方程、量子力学、信号处理、数据挖掘等。
第四章4.1-4.3线性泛函与线性泛函的延拓定理(短)
T 是线性算子。 {Tn }是基本列 0, N , 当 n, m N 时，Tn Tm Tn Tm Tn 为基本数列 Tn 有界，设 Tn M , ( n 1, 2,3, ) Tn x Tn x M x Tx M x（n ） T 是有界算子 T B ( X , Y )
注：1）定义中，D为算子T的定义域; M是算子T的界值；T(D)={Tx|xD}称
为算子T的值域 2）有界算子与有界函数不同。例如 f(x)=x 无界函数 有界算子: |f(x)|=|x|<2|x|
3) T是连续算子 T在D上处处连续
2. 有界线性算子的性质 定理1 设X、Y是线性赋范空间，DX是线性子空间，T: DY 是线性算子，则
x X
定理2 设X、Y是线性赋范空间，DX是线性子空间，T: DY是 有界线性算子，则T的范数具有下列性质： (1) ||Tx||||T|| ||x||, xD (2)
T sup Tx Y sup Tx Y
x 1 xD x 1 xD
(即||T||是有界线性算子T的最小界值） （可作为范数定义）
x 1 x D
则B (X,Y)成为线性赋范空间，称之为（有界）线性算子空间。
2. 线性算子空间中的极限理论 定义4 （算子序列的一致收敛与强收敛）设X、Y是两个线性赋范 空间，Tn, TB(X,Y), n=1,2,…
(1) 如果||Tn-T||0, 则称算子序列{Tn}按范数收敛于T, 或称{Tn}一致收敛于T. (2) 如果xX,||Tnx -Tx||0, 则称算子序列{Tn}强收敛 于T, 或称{Tn}按点收敛于T.
T su p T x T x 0 m ax
泛函分析各空间关系
泛函分析各空间关系泛函分析是数学中重要的分支领域，研究函数空间及其上的映射。
这个领域有广泛的应用，包括偏微分方程、优化理论、概率论等。
在泛函分析中，各种函数空间之间的关系是非常重要的。
在泛函分析中，最基本的函数空间是赋范空间。
赋范空间是一个线性空间，其中定义了范数函数，满足一定的性质，例如正定性、齐次性和三角不等式。
泛函分析中的很多理论都是基于赋范空间展开的。
赋范空间的一种特殊情况是内积空间。
内积空间是一个赋范空间，其中定义了一个内积函数，满足一定的性质，例如对称性、正定性和线性性。
内积空间中的内积可以用来定义距离和角度的概念。
对于一个内积空间，我们可以考虑它的完备性。
一个完备的内积空间称为希尔伯特空间。
希尔伯特空间是泛函分析中非常重要的一个概念，很多泛函分析中的理论和方法都是基于希尔伯特空间展开的。
在泛函分析中，我们还可以考虑范数空间。
范数空间是一个线性空间，其中定义了范数函数，满足一定的性质，例如正定性、齐次性和三角不等式。
范数可以用来衡量向量的大小。
对于一个范数空间，我们可以考虑它的完备性。
一个完备的范数空间称为巴拿赫空间。
巴拿赫空间是泛函分析中非常重要的一个概念，很多泛函分析中的理论和方法都是基于巴拿赫空间展开的。
在泛函分析中，还有一些特殊的函数空间，例如$L^p$空间和$C^k$空间。
$L^p$空间是一个范数空间，其中定义了一种范数函数，满足一定的性质，例如正定性、齐次性和三角不等式。
$L^p$空间中的元素是可测函数，范数可以用来衡量这些可测函数的大小。
$C^k$空间是一个范数空间，其中定义了一种范数函数，满足一定的性质，范数可以用来衡量这些连续可微函数的大小。
除了上述的函数空间，泛函分析还研究了一些其他的函数空间，例如分布空间和索伯列夫空间。
分布空间是一个线性空间，其中定义了一个针对测试函数的线性泛函，可以用来描述分布的性质。
索伯列夫空间是一个半范数空间，其中定义了一种半范数函数，满足一定的性质，可以用来衡量这些分布的大小。
泛函分析中的泛函空间理论
泛函分析中的泛函空间理论泛函分析是数学中的一个重要分支，研究的是函数的空间及其性质。
其中一个核心概念就是泛函空间，它在泛函分析中扮演着重要的角色。
本文将围绕泛函分析中的泛函空间理论展开讨论，包括泛函空间的定义、性质以及在实际应用中的意义。
一、泛函空间的定义在泛函分析中，泛函空间指的是由一类具有特定性质的函数所组成的空间。
常见的泛函空间包括函数空间、向量空间和巴拿赫空间等。
这些泛函空间按照不同的性质和定义方式来划分和描述，以满足具体问题的需求。
以函数空间为例，泛函空间可以定义为一个由函数组成的集合，它具有一些特定的性质。
这些性质可以是函数的可测性、可积性、有界性、连续性等。
在泛函空间中，函数之间可以进行运算和比较，从而揭示了函数的内在结构和性质。
二、泛函空间的性质泛函空间作为一类特殊的数学对象，具有一系列独特的性质和特性。
首先，泛函空间是一个线性空间，即其中的函数满足线性运算的性质。
其次，泛函空间具有一定的度量和拓扑结构，可以定义范数和距离来描述函数之间的相似度和距离。
此外，泛函空间还具有可完备性、有界性和闭性等性质，这些性质保证了泛函空间在分析和应用中的可靠性和有效性。
三、泛函空间在实际应用中的意义泛函空间理论在实际科学和工程应用中具有广泛的意义和应用价值。
首先，泛函空间可以用来描述和分析实际问题中的函数特征和性质，比如函数的光滑性、有界性、收敛性等。
通过对函数空间的分析和研究，可以得到函数的内在结构和特点，为问题的解决提供了理论上的依据和工具。
其次，泛函空间可用于建立和研究不同领域的数学模型，比如物理学、工程学和经济学等。
泛函空间的概念和理论可以帮助建立问题的数学模型，并通过对特定空间的分析来研究模型的性质和解的存在性。
这不仅拓展了数学在实际问题中的应用范围，也推动了相应领域的发展和进步。
最后，泛函空间的理论还为函数的逼近和优化问题提供了重要的数学工具和方法。
通过在泛函空间中寻找函数序列的收敛性和最优性，可以得到逼近算法和优化算法，从而提高计算的效率和准确性。
什么是泛函分析及其应用
泛函分析是数学中的一个重要分支，它主要研究无穷维向量空间中的函数和函数序列。
泛函分析不仅具有广泛的理论意义，而且在工程、物理学和经济学等应用领域中也有着重要的实际应用。
泛函分析中经常用到的基本概念包括范数、内积和度量等。
范数是用来衡量向量的大小的一种数学工具，它满足非负性、齐次性和三角不等式等性质。
内积则是定义了向量空间中的两个向量之间的夹角和长度之间的关系，它是一种更加广义的概念，包括了点积、矩阵的迹和函数的积分等。
度量则是一种用来衡量向量空间中的元素之间距离的函数。
泛函分析的核心研究对象是线性空间中的函数。
线性空间是指满足线性结构和空间结构的集合。
在泛函分析中，我们关注的是函数的性质和行为，而不仅仅是函数的数值。
泛函是一种从函数空间到数域的映射，它对应于一个实数或复数。
泛函可以对函数空间中的函数进行排序和比较，并且可以通过泛函的性质和行为来推断函数的性质和行为。
泛函分析的应用非常广泛。
它在工程领域中可以用来解决控制系统、信号处理和图像处理等问题。
例如，在控制系统中，泛函分析可以用来描述系统的稳定性和性能指标，通过对控制器进行优化，实现对系统的最优控制。
在信号处理和图像处理中，泛函分析可以用来对信号进行分析和重构，提取信号中的信息并去除噪音。
在物理学中，泛函分析可以用来描述多体系统和量子力学问题。
例如，泛函分析可以用来研究无限维的希尔伯特空间中的粒子的运动和性质，并且可以通过泛函的极值性质来解决量子力学中的变分问题。
在经济学中，泛函分析可以用来解决经济学模型和经济学问题。
例如，在宏观经济学中，泛函分析可以用来描述经济系统的动态行为和稳定性，通过构建适当的泛函和约束条件，可以对经济系统进行最优化问题的求解。
总之，泛函分析是一门重要的数学分支，它研究的是向量空间中的函数和函数序列。
泛函分析不仅具有广泛的理论意义，而且在工程、物理学和经济学等应用领域中也有着重要的实际应用。
通过泛函分析的方法和工具，我们可以更好地理解和描述自然界和人类社会中的一系列现象和问题。
泛函分析基本定理证明
泛函分析是数学中的一门重要学科，它研究的是无限维空间中的函数和函数列的性质。
在泛函分析中，有一些基本定理被广泛应用于实际问题的解决中。
本文将证明泛函分析中的两个基本定理：闭线性子空间的补空间存在性和开映射定理。
首先，我们来证明闭线性子空空间的补空间存在性定理。
设X是一个Banach空间，Y是它的一个闭线性子空间。
我们定义X的柯西序列为{xn}，它满足对于任意的ε>0，存在正整数N，当m,n>N时有||xm-xn||<ε。
现在，我们取X的一个柯西序列{xn}，它在Y中取值为0。
我们定义序列{yn}为xn-x，其中x是Y的一个元素。
显然，对于任意的ε>0，当m,n>N时有||ym-yn||=||xm-xn-(x-x)||<ε，因此{yn}是Y的一个柯西序列。
由于Y是一个闭空间，所以{yn}收敛于Y中的一个元素y，即存在一个元素y∈Y，使得yn→y。
现在我们来证明y是X的一个元素。
由于Y是一个线性空间，我们知道对于任意的a∈F，b∈Y，ax+b∈Y。
对于任意的正整数m，有xm-yn=ym-yn+xm-yn=ym-x+xm-yn∈Y。
因此，{yn}是X的一个柯西序列。
由于X是一个Banach空间，所以{yn}收敛于X中的一个元素x0，即存在一个元素x0∈X，使得yn→x0。
现在我们来证明x0=y，即yn→y。
由于yn=yn+xn-x=y+xn-x，当n→∞时有yn→y，因此y=x0。
因此，我们证明了闭线性子空间的补空间存在性。
接下来我们来证明开映射定理。
设X和Y是两个Banach空间，T:X→Y是一个线性映射，并且存在正数M，使得对于任意的x∈X，有||Tx||≤M||x||。
我们要证明T是一个开映射，即T(U)是Y中的一个开集，其中U是X中的一个开集。
设x0∈U，由于U是一个开集，存在一个正数ε，使得B(x0,ε)={x∈X:||x-x0||<ε}⊆U，其中B(x0,ε)表示以x0为中心，ε为半径的开球。
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线性泛函分析泛函分析的主要工作在于对积分方程而不是对变分法提供一个抽象的理论． 变分法领域里所需泛函的性质是相当特殊的，对一般的泛函并不成立．此外，这些泛函的非线性造成了困难，而这种困难对于包含在积分方程中的泛函和算子则是无关紧要的．在Schmidt ，Fischer ，Riesz 为积分方程解的理论作具体推广时，他们和其他一些人也同时开始了相应的抽象理论的研究．第一个试图建立线性泛函和算子的抽象理论的，是美国数学家E ．H ．Moore ，他从1906年开始这一工作． Moore 认识到，在有限多个未知数的线性方程的理论、无限多个未知数的无限多个线性方程的理论、以及线性积分方程的理论之间，有许多共同的地方．他因此着手建立一种称为“一般分析”(Generl Analysis)的抽象理论，它包含上述具体理论作为特殊情形．他用的是公理方法．我们将不叙述其细节，因为他的影响并不广，而且电没有获得很有效的方法．另外，他的符号语言很奇怪，使以后的人理解起来很困难．在建立线性泛函和算子的抽象理论的过程中，第一个有影响的步骤是由Erhard Sohmidt 和Frechet 在1907年采取的．Hilbert 在他的积分方程的工作中，曾经把一个函数看成是由它相应于某标准正交函数系的Fourier 系数给定的．这些系数以及在他的无穷多个变量的二次型理论中他所赋予这些x i 的值，都是使21n x ∑∞成为有限的序列{x n }．然而，Hilbort 并没有把这些序列看成空间中点的坐标，也没有用几何的语言，这一步是由Schmidt 和Frechet 采取的． 把每一个序列{x 。
}看成一个点，函数就被表现为无穷维空间的点．Sohmidt 不仅把实数而且把复数引入序列{x 0}中．这样的空间从此以后被称为Hilbort 空间．我们的叙述 按照Schmidt 的工作．Schmidt 的函数空间的元素是复数的无穷序列z ＝{z n }，使得.21∞∑∞=＜zp p Schmidt 引入记号;211⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑∞=-p p p z z 来表示z ；z 后来就称为z 的范数(norm)．按照Hilbert ，Sehmidt 用记号).,(,),(1-∞==∑z z z 所以z 表示z p p pωω(现在通用的记号是把)),(1p p p z 定义义z -∞=∑ωω．空间中两个元素z 和ω称为正交的，当且仅当.0,=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ωz Schmidt ；接着证明了广义的Pythagoras 定理：如果z 1， z 2， …，z n 是空间的n 个两两正交的元素，则由∑==n p p z 1ω知 .212p n p z ∑==ω由此可推出n 个两两正交的元素是线性无关的．Schrnidt 在他的一般空间中还得到了Bessel 不等式：如果{z n }是标准正交元素的无穷序列，即ωδ而z z pq q p ,),(=-是任何一个元素，那末21,(-∞=∑p p z ω≤.2ω 此外，还证明了范数的Schwarz 不等式和三角不等式．元素序列{z n }称为强收敛于z ，如果z z n -趋向于0，而每个强Cauehy 序列，即每个使q p z z -趋于0 (当p ，q 趋于0时)的序列，可以证明都收敛于某一元素z ，从而序列空间是完备的．这是一条非常重要的性质．Schmidt 接着引进了(强)闭子空间的概念．他的空间H 的一个子集A 称为闭子空间，如果在刚才定义的收敛的意义下它是闭子集，并且是代数封闭的，后者意指，如果ω1与ω2是A 的元素，那末2211ωωa a +也是A 的元素，其中a 1，a 2是任何复数．可以证明这样的闭子空间是存在的，这只需取任何一个线性无关的元素列{z n }，并取{z n }中元素的所有有限线性组合．全体这些元素的闭包就是一个代数封闭的子空间．现在，设A 是任一固定的闭子空间．Schmidt 首先证明，如果z 是空间的任一元素，则存在唯一的元素ω1和ω2，使得z ＝ω1+ω2，其中ω1属于A ， ω2和A 正交，后者是指ω2和A 的每个元素正交(这个结果，今天称为投影定理；ω1就是z 在A 中的投影)进一步，,min 2z y -=ω 其中y 是A 的变动元素，而且极小值只在21.ωω时达到y =称为z 和A 之间的距离．在1907年，Schmidt 和Frechet 同时注意到，平方可和(Lebesgue 可积) 函数的空间有一种几何，完全类似于序列的Hilbert 空间． 这个类似性的阐明是在几个月之后，当时Riesz 运用在Lebesgue 平方可积函数与平方可和实数列之间建立一一对应的Riesz-Fischer'定理指出，在平方可和函数的集合L 2中能够定义一种距离，用它就能建立这个函数空间的一种几何． L 2中，定义在区间[a ， b]上的任何两个平方可积函数之间的距离这个概念，事实上也是Frechet 定义的，他把它定义为(1) ⎰-b a dx x g x f ,)]()([2其中积分应理解为Lebesgue 意义下的；并且两个函数只在一个0测集上不同时就认为是相等的．距离的平方也称为这两个函数的平均平方偏差．f 和g 的内积定义为⎰=ba dx x g x f g f )()(),(． 使(f ，g) = 0的两个函数f 与g 称为是正交的．Schwarz 不等式 dx x g x f ba )()(⎰≤dx g dx fb a b a ⎰⎰22以及对平方可和序列空间成立的其他性质，都适用于函数空间．特别是，这类平方可和函数形成一个完备的空间．这样，平方可和函数的空间，同这些函数相应于某一固定的完备标准正交函数系的Fourier 系数所构成的平方可和序列的空间，可以认为是相同的．在提到抽象函数空间时，我们应重提一下Riesz 引入的空间L p (1<p<∞)．这些空间对度量pb a p dx f f f f d 12121),(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰ 也是完备的．虽然我们很快就要考察抽象空间领域中的其他成就，但下一发展涉及泛函和算子．在刚才引述的对空间L 2的函数引进了距离的1907年的文章中，以及在同年的其他文章中， Frechet 证明了，对于定义在L 2的每一个连续线性泛函U(f)，存在L 2中唯一的一个u(x)，使得对L 2的每个f 都有⎰=ba dx x u x f f U .)()()( 这推广了Hadamard 1903年得到的一个结果．1909年Riesz 推广了这个结果，用Stieltjes 积分表示U(f)，也就是⎰=ba x du x f f U ).()()(Riesz 自己还把这个结果推广到满足下面条件的线性泛函A:对L p 中所有的f)(f A ≤p ba p dx x f M /1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰其中M 只依赖于A ．这样，存在L q 中的一个函数a(x)，在允许相差一个积分为0的函数的意义下是唯一的，使得对L p 中所有的f(2) ⎰=b a dx x f x a f U .)()()( 这个结果称为Riesz 表示定理。
泛函分析的中心部分是研究在微分方程和积分方程中出现的算子的抽象理论．这个理论统一了微分方程和积分方程的特征值理论以及作用在n 维空间中的线性变换．这样的一个算子，例如⎰=ba dy y f y x k x g )(),()((其中k 是给定的)，把f 变到g 并且满足某些附加条件算子的符号A 和符号g = Af 的表示法之下，线性是指(3) ,)(22112211Af Af f f A λλλλ+=+其中i λ是任何实常数或复常数．不定积分⎰=xa dt t f x g )()(和微商f ’(x)＝Df(x)，对通常的函数类来说，就是线性算子．算子A 的连续性是指，如果函数序列f n 按函数空间的极限意义收敛到f ，那末Af n 必然趋向于Af ．带对称核K(x ，y)的积分方程的抽象推广是算子A 的自伴性．如果对于任何两个函数f 1，f 2，都有),(),(2121Af f f Af =其中(Af 1， f 2)表示空间中两个函数的内积或数量积，那末称A 为自伴的．在积分方程的情形，如果⎰=ba dy y f y x K Af ,)(),(1 则 ,)()(),(),(2121dydx x f y f y x K f Afb a b a ⎰⎰= ,)()(),(),(1221dydx x f y f y x K Af f b a b a⎰⎰= 因而只要核是对称的．就有(Af 1，f 2) = (f 1，Af 2)．对任意的自伴算子，特征值都是实的，而且对应于不同特征值的特征函数是互相正交的．作为泛函分析核心的抽象算子理论的一个良好开端，是由Riesz1910年发表在《数学年刊》的文章中做出的，文中他引进了L p 空间．在那里他把积分方程⎰=-ba x f dt t t x K x )()(),()(φλφ的解推广到L p 空间中的函数．Riesz 把表达式⎰ba dt t t s K )(),(φ设想为作用在函数)(t φ上的变换． 他称之为泛函变换，记为T )).((t φ．然而，由于Riesz 所处理的)(t φ是属于L p 空间的，所以变换就把函数变到同一或另一空间去．特别地，一个把L p 中的函数变为L p 中的函数的变换或算子，称为在L p 中是线性的，如果它满足(3)并且如果T 是有界的；这就是说，存在一个常数M ，使得对L p 中所有满足dx x f p b a ⎰)(≤1 的函数f 都有dx x f T pba ⎰))((≤M p ． 后来这种M 的最小上界称为T 的范数(norm)，用T 表示．Riesz 还引进了T 的伴随或转置算子的概念． 对L q 中任何一个g 和作用在L p 中的T ，(4) ⎰ba dx x g x f T )())(( 对固定的g 与在L p 中变动的f 定义了L p 的一个泛函．因此由Riesz 表示定理，存在L q 中的一个函数Φ(x)，在差一个积分为0的函数外是唯一的，使得(5)⎰⎰=b a b a dx x x f x g x f T .)()()())((ψ T 的伴随或转置算子用*T 表示，现在就定义为L q 中这样的算子:它对固定的T 只与g 有关，并根据等式(5)把g 对应于Ψ，也就是说，.)(ψ=*g T (用近代的记号，***=T g T f g Tf 满足T ).),(),(是L q 中的线性变换，而且.T T =*Riesz 现在考虑方程(6) )())((x f x T =φ的解，其中T 是L p 中的线性变换，f 己知而Ф是末知的．他证明(6)有一个解当且仅当⎰ba dx x g x f )()(≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰*b a q dx x g T M ))((1/ 对L q 中所有的g 都成立．他由此引入逆变换或逆算子T -1的概念，并把完全一样的思想引到T ﹡-1．借助于伴随算子，他证明了逆算于的存在性．Riesz 在他1910年的文章中引进了记号(7) ),())(()(x f x K x =-φλφ其中K 现在表示⎰**ba 而dt t x K ,),(表示受K 作用的一个函数．他的补充的结果是限于L 2的在其中有.*=K K ．为了处理积分方程的特征值问题，他引入了Hilbert 的全连续的概念，但现在是对抽象算子说的． L 2中的——个算子K 称为是全连续的，如果正把每一个弱收敛的函数序列映为强收敛的序列，也就是说，{f n }弱收敛蕴含{K(f n )}强收敛．他曾证明(7)的谱是离散的(这就是说，不存在刘称K 的连续谱)，并证明相应于不同特征值的特征函数是正交的．应用范数概念作为研究抽象空间的另一种方法也是由Riesz 开始的．然而，赋范空间的一般定义却是在1920到1922年间由Stefan Banach (1892～1945)、Hans Hahn(1879～1934)、Eduard Helly (1884～1943)和Norbert Wiener (1894～1964)给出的． 虽然这些人的工作有许多是重迭的，并且优先权的问题也很难弄清，但要算Banach 的工作影响最大．他的动力来自积分方程的普遍化．所有这些工作，特别是Banach 的工作，主要特点是要建立具有范数的空间，但这范数却不再用内积来定义．虽然在L 2中 ,),(21f f f =但是不可能这样来定义Banach 空间的范数，因为内积不再是可用的了．Banach 从空间E 出发，，用x ， y ，z ，…表示E 中的元素，而用a ， b ，c ， …表示实数。