泛函分析第3章连续线性算子与连续线性泛函
泛函3-6,3-7,3-8,3-9,4-4
GrT =
{( x, Tx ) : x ∈ X }
T 称为映射（算子） 的图象。 称为映射（算子） 的图象。
是赋范空间， 4.9 定义 设 X , Y 是赋范空间，D ⊂ X ，
T : D → Y 称为闭算子，如果 T 的图象 称为闭算子，
GrT = {( x, Tx ) : x ∈ D}
是 X ×Y 中的闭集。 中的闭集。
3.3 定理 如果 A : X → Y 是紧线性算子， 是紧线性算子，
B ∈ B (Y , Z ), C ∈ B ( Z , X ), 则 BA, AC
均是紧线性算子。 均是紧线性算子。 系 如果X为无穷维赋范空间，紧线性算子 如果 为无穷维赋范空间， 为无穷维赋范空间 不可能有定义在Y上的有界 T : X → Y 不可能有定义在 上的有界 逆算子。 逆算子。
T : X → Y 是线性算子，如果 将X中每一 是线性算子，如果T将 中每一
有界集映成Y中的列紧集，则称 为紧线性 有界集映成 中的列紧集，则称T为紧线性 中的列紧集 算子或全连续算子。 算子或全连续算子。
在有限维赋范空间上， 在有限维赋范空间上，任何线性算子 都是有界的，把有界集映成有界集， 都是有界的，把有界集映成有界集，而在 有限维赋范空间中， 有限维赋范空间中，任何有界集都是列紧 集，因此定义在其上的线性算子都是紧线 性算子。 性算子。 在无穷维赋范空间X中，由于列紧集 在无穷维赋范空间 中 必是有界集，所以紧线性算子是有界的， 必是有界集，所以紧线性算子是有界的， 但有界线性算子不一定是紧算子。 但有界线性算子不一定是紧算子。
f ∈ X * ，使得 f ( x j ) = α j , 的数， 的数，则存在
1 ≤ j ≤ n.
8.5 系 设X是赋范空间且 x0 ∈ X ，则 是赋范空间且
泛函分析 PPT课件
• 可数基数a，连续基数c。
• 主要结论：1.可数集的子集至多可数； 2.有限或可数多个可数集合的并是可数集； 3.有限个可数集的直积是可数集； 4. 无限集必于它的某真子集对等，含可数子集；
可数集的例子：整数集，有理数集，n维欧式空间中 的有理点集。
实数的基本定理：确界存在原理、单调有界原理、 闭区间套引理、聚点定理、有限覆盖定理等等都 当成已知
距离空间的拓扑
• 空间引入距离，才有了空间上映射的连续性概念 （开集的原像是开集）
• 称X的子集B(x,r)={y;p(x,y)<r}为以x为心半径为r的 开球
• 称X的子集S(x,r)={y; p(x,y)=r}为以x为心半径为r的 有着很大优越和方便之处，但并不完全一致。如:离散距离空间中的球 面只有两种可能：空集或全空间
• 紧集的连续象是紧集 • 紧集上的连续函数是一致连续的，能取到最大值
和最小值。 • 空间X是有限维的当且仅当X的闭单位球是紧集。 • 非紧的空间，可以通过一点紧致化，进而利用紧
空间的性质来研究
小结
• 我们讨论距离空间的基本性质 • 距离空间就是赋予距离的集合，是三维立体空间
概念的推广，二者既有相同又不完全相同。
• Zorn引理是集论的一个重要工具，与选择公理，良序原理都是彼此等价的,主要应用于 数学上存在性定理的证明，而不具体描述寻求的方法。
泛函分析中的连续与紧性
泛函分析中的连续与紧性泛函分析作为数学领域的一个重要分支，研究了函数空间中的连续性和紧性。
在此文中，我们将深入探讨泛函分析中连续与紧性的概念、性质和应用。
一、连续性连续性是泛函分析中最基本的性质之一。
在函数空间中，连续性的定义是基于距离的。
假设X是一个函数空间，d是X上的距离函数，若对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得对于所有的x,y∈X，当d(x,y)<δ时，有d(f(x),f(y))<ε，那么我们称函数f:X→Y在点x处连续。
在泛函分析中，我们常用的连续性概念有一致连续、局部有界和有界等。
一致连续是指对于给定的ε>0，存在δ>0，当d(x,y)<δ时，有d(f(x),f(y))<ε，对于任意的x,y∈X成立。
而局部有界是指任意点x∈X附近存在一个有界的子集，使得f在该子集上有界。
有界是指存在一个常数M，使得对于所有的x∈X，有d(f(x),0)<M成立。
在实际应用中，连续性为我们提供了判断函数空间中函数行为的重要工具，也为后续的紧性概念铺垫了基础。
二、紧性紧性是泛函分析中的另一个重要性质。
一个函数空间X被称为紧的，如果它对于区间和序列的紧致性有良好的性质。
下面我们分别介绍区间紧性和序列紧性。
1. 区间紧性设X是一个函数空间，如果对于任意的紧区间[a,b]，函数空间X上的函数族F={fλ}λ∈Λ存在一个有限的子族S，使得S={fλ1,fλ2,...,fλn}覆盖了紧区间[a,b]，即对于任意的x∈[a,b]，存在fλi∈S，使得d(fλi(x),x)<ε成立，那么称函数空间X是区间紧的。
2. 序列紧性设X是一个函数空间，如果对于任意的序列{f_n}n∈N⊆X，在X上存在一个子序列{f_nk}k∈N，以及一个函数f∈X，使得对于任意的x∈X，有d(f_nk(x),f(x))→0成立，那么我们称函数空间X是序列紧的。
紧性在泛函分析中具有广泛的应用，特别是在函数空间进行极值问题的研究中，紧性的性质可以提供很多有用的判断和刻画。
数学中的泛函分析与算子理论
数学中的泛函分析与算子理论泛函分析与算子理论是数学中的两个重要分支，它们在函数空间和线性算子的研究中起着至关重要的作用。
本文将就泛函分析和算子理论的概念、基本原理和应用进行探讨。
一、泛函分析泛函分析是研究函数空间的一门学科。
它涵盖了实分析、拓扑学、线性代数和函数论等多个领域。
泛函分析的基本概念是泛函和函数空间。
1. 泛函在数学中，泛函是将函数映射到数域的映射。
泛函可以看作是向量空间上的线性函数。
泛函的研究使我们能够描述函数的性质和行为，例如连续性、可微性以及极值等。
2. 函数空间函数空间是指由特定类型的函数构成的集合。
例如，Lp空间是由满足p次方可积条件的函数构成的空间。
函数空间的研究使我们能够研究函数的性质和空间结构，以及函数之间的距离和收敛性等。
泛函分析的应用广泛，包括但不限于微分方程、概率论、信号处理和量子力学等。
通过泛函分析的方法，我们可以研究函数的连续性、可微性以及函数空间中的完备性等性质。
二、算子理论算子理论是研究线性算子的性质和行为的学科。
线性算子是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性映射。
算子理论的基本概念是线性算子、谱理论和算子代数等。
1. 线性算子线性算子是保持线性性质的映射。
在线性代数中，我们学习了线性方程组和矩阵运算，而线性算子是对线性方程组和矩阵运算的推广。
线性算子的研究使我们能够研究向量空间之间的映射及其性质。
2. 谱理论谱理论是研究算子特征值和特征向量的理论。
它在量子力学、振动力学和信号处理等领域中具有重要应用。
谱理论的研究使我们能够研究算子的谱结构、特征值的分布以及算子的稳定性等性质。
3. 算子代数算子代数是研究算子的代数结构和性质的学科。
它将线性算子和代数理论相结合，研究了线性算子的代数性质、结构以及它们之间的关系。
算子代数在量子力学和量子信息等领域中有广泛的应用。
总结：泛函分析和算子理论是数学中重要的研究领域。
泛函分析研究函数空间的性质和行为，而算子理论研究线性算子的性质和代数结构。
数学的泛函分析方法
数学的泛函分析方法泛函分析是数学中的一个分支领域，它研究的是函数空间及其上的线性算子等数学结构。
在数学的各个领域中，泛函分析方法都得到了广泛的应用，包括数论、微分方程、偏微分方程、概率论等等。
本文将介绍数学的泛函分析方法及其在不同领域中的应用。
一、泛函分析的基本概念和原理泛函分析的基本概念包括函数空间、线性算子、内积、范数等。
函数空间是泛函分析的重要概念之一，它是一组具有一定性质的函数的集合。
常见的函数空间有无穷可微函数空间、有界函数空间、连续函数空间等。
线性算子则是函数之间的映射，它保持线性性质。
内积是一个函数空间上的二元运算，它满足线性性、对称性和正定性。
范数是函数空间上的一种度量，它衡量函数的大小和距离。
泛函分析的原理主要包括函数的连续性、可微性、积分等性质。
连续性是泛函分析的基本性质之一，它描述了函数在某一区间上的变化情况。
可微性是指函数在某一点附近存在导数，它描述了函数的变化速率。
积分是泛函分析中常用的计算工具，它描述了函数在某一区间上的总体情况。
二、泛函分析在数论中的应用泛函分析在数论中的应用主要体现在数论函数的性质研究、数论方程的解法等方面。
数论函数是研究整数性质的函数，如欧拉函数、狄利克雷级数等。
泛函分析方法可以用来研究这些数论函数的性质，如连续性、可微性等。
此外，泛函分析方法还可以用来解决一些数论方程，如椭圆曲线方程、费马方程等。
三、泛函分析在微分方程中的应用泛函分析在微分方程中的应用是非常广泛的，它主要体现在解析解的存在性和唯一性、解的稳定性等方面。
微分方程是描述变化的数学模型，而泛函分析方法可以用来证明微分方程的解的存在性和唯一性，以及解的稳定性。
此外，泛函分析方法还可以用来研究微分方程的数值解法，如有限元法、有限差分法等。
四、泛函分析在偏微分方程中的应用泛函分析在偏微分方程中的应用同样是非常广泛的，它主要体现在偏微分方程的解的存在性和唯一性、解的稳定性等方面。
偏微分方程是描述空间变化的数学模型，而泛函分析方法可以用来证明偏微分方程的解的存在性和唯一性，以及解的稳定性。
数学中的泛函分析与算子理论
数学中的泛函分析与算子理论泛函分析是数学中的重要分支之一，它研究的是无限维度向量空间上的函数和算子的性质。
在泛函分析中，算子理论是一个关键的概念，它提供了一种描述和分析线性变换的方法。
本文将介绍泛函分析和算子理论的基本概念，以及它们在数学和其他领域中的应用。
一、泛函分析的基本概念泛函分析是对无限维度向量空间中的函数进行研究和描述的数学分支。
在泛函分析中，我们关注的是函数的性质和空间的结构。
泛函分析的基本概念包括范数、内积、完备性等。
1. 范数在泛函分析中，范数是衡量向量空间中元素大小的一种方法。
对于一个向量空间V，如果存在一个函数∥·∥：V→R，满足以下条件：1) 对于任意的向量x∈V，有∥x∥≥0，且当且仅当x=0时，∥x∥=0；2) 对于任意的标量α，以及向量x∈V，有∥αx∥=|α|∥x∥；3) 对于任意的向量x,y∈V，有∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
那么我们称∥·∥为范数。
2. 内积内积是定义在向量空间中的一种运算，它衡量了两个向量之间的夹角和大小关系。
对于一个向量空间V，如果存在一个运算符<·, ·>：V×V→R，满足以下条件：1) 对于任意的向量x∈V，有< x,x >≥0，并且当且仅当x=0时，< x,x >=0；2) 对于任意的标量α，以及向量x,y∈V，有< αx,y > = α< x,y >；3) 对于任意的向量x,y,z∈V，有< x+y,z > = < x,z > + < y,z >。
那么我们称<·, ·>为内积。
3. 完备性在泛函分析中，完备性是指向量空间中的柯西序列(Cauchy sequence)在该空间中存在极限。
一个向量空间如果对于所有的柯西序列都存在极限，那么我们称该向量空间是完备的。
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泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
考研泛函分析知识点详解
考研泛函分析知识点详解泛函分析是数学中重要的理论分支之一，广泛应用于各个领域，尤其在工程、物理学和计算机科学等领域具有重要的应用价值。
本文将详细介绍考研泛函分析的知识点，帮助考生更好地备战考试。
一、概述泛函分析是研究无穷维空间上的函数和它们之间的关系的数学理论。
它考察了函数的性质、收敛性、连续性等，并提供了一系列强有力的工具和方法来研究这些问题。
泛函分析在数学分析中扮演着重要的角色，也是许多其他学科的基础。
二、范数空间和内积空间范数空间是指带有范数的线性空间。
范数是对于向量的一种度量，它满足非负性、齐次性和三角不等式。
内积空间是指带有内积的线性空间。
内积是向量之间的一种度量方式，它满足对称性、线性性和正定性。
范数空间和内积空间是泛函分析中的基本概念，它们提供了函数空间的结构和性质。
三、巴拿赫空间巴拿赫空间是一种完备的范数空间，也就是说任何一个柯西序列都能在该空间中收敛。
巴拿赫空间常见的有Hilbert空间和Lp空间。
Hilbert空间是一个内积空间，并且是完备的。
Lp空间是一类以p阶可积函数为元素的空间，其中p是一个实数。
四、线性算子和泛函线性算子是指一个线性映射，它把一个向量空间映射到另一个向量空间。
泛函是一种对向量空间中的向量进行映射的函数。
线性算子和泛函是泛函分析中的重要研究对象，它们有着丰富的性质和应用。
五、连续性和紧性在泛函分析中，连续性是一个重要的性质。
一个线性算子或泛函如果是连续的，就意味着在某种度量下输入的小变动会导致输出的小变动。
紧性是一种强化的连续性，它表示函数空间中有一部分序列具有收敛的子序列。
连续性和紧性在泛函分析中有着广泛的应用。
六、谱理论谱理论是泛函分析中研究线性算子谱的一门学科。
谱是线性算子特征值的推广，用于描述线性算子的性质和行为。
谱分为点谱、连续谱和剩余谱等。
谱理论在泛函分析和偏微分方程等领域具有重要的意义。
七、弱收敛和弱*-收敛弱收敛也称为弱拓扑收敛，是泛函分析中一种弱形式的收敛性。
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第3章连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。
他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景, 尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。
3.1连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个”维向量空间E"映射到另一个加维向量空间E"的运算，就是借助于川行”列的矩阵对F中的向量起作用来达到的。
同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。
把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。
撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。
本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。
[定义3・1]由赋范线性空间X中的某子集D到赋范线性空间丫中的映射T 称为算子，D称为算子了的定义域，记为D(r),为称像集｛y|y = 7k,xeD(7')｝为算子的值域，记作T(D)或77)。
若算子T满足：(1)T(x+y) = Tx+Ty e£)(T))(2)T(ax) = (/rx(V<zeF,xe£)(r))称了为线性算子。
对线性算子，我们自然要求T(D)是X的子空间。
特别地，如果了是由X到实数(复数)域F的映射时，那么称算子T为泛函。
例3.1设X是赋范线性空间，a是一给定的数，映射T.x^ax是X上的线性算子，称为相似算子；当a = l时，称了为单位算子或者恒等算子，记作/。
例3・2 XfxeC[a,b],定义Tx(t) =由积分的线性知，T是C[a,b]到C[a,列空间中的线性算子。
若令f (x) = [ x(T)dt(Vx e C[a,b])则/是C［a,b］上的线性泛函。
［定义3.2］设X, Y是两个赋范线性空间，门X t X是线性算子，称T在兀点连续的，是指若e X,x tl—>x,则7\ T7k(” ts)；若丁在X上每一点都连续，则称了在X上连续；称T是有界的，是指T将X中的有界集映成Y中有界集。
［定理3・1］设X』是赋范线性空间，T是X的子空间D到丫中的线性算子, 若了在某一点x o e£)(r)连续，贝灯在D(T)±连续。
证明：对0xwD(T),设｛x”｝u£)(7'),且->x(n ->oo),于是-X + X o -->00),由假设T 在点连续，所以当"TS时，有T (兀一X+勺)=%” 一％+矶 T 矶因此，Tx.—Tx,即了在X点连续。
由X的任意性可知，7*在D(T)上连续。
定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。
特别地，线性算子的连续性可山零元的连续性来刻画，即线性算子T连续等价于若(X中零元)，则7\,T& (Y中零元)。
例3・3若T是/?维赋范线性空间X到赋范线性空间丫中的线性算子，则T在X上连续。
证明：在X中取一组基｛知勺,…,£”｝，设兀“ =S E X (m= 1,2,3,…)j-i且x m—> 6(m—>s),即||x w| —>0(w —>oo),贝ij丄£(歼卜0 (〃+)从而—>0(j = 1,2,3,•••”)(〃? ts) o 于是IKII = |輕牝IS踽I側卽引T 0 (心。
0)因此，7兀T&(〃2TS),即丁在x = B处连续，进而T在X上每点连续。
［定理3・2］设X,Y是赋范线性空间，T是X的子空间D到Y中的线性映射,则T有界的充分必要条件是：存在常数M>0,使不等式成立，即证明：必要性。
因丁有界，所以丁将D中的闭单位球B1(^) = {x|||.v||<l}映成Y中的有界集，即像集厲(&)是Y中的有界集。
记M=sup{||7\||："8］(&)}，此由M的定义有<M(3.1)B|J ||7x|| < M ||x||,而当x = &时，不等式(3.1)变成等式。
故VxeD(T)有充分性。
设A是D(T)的任一有界集，则存在常数冋使H<M,(VxeA)o 由||7x||<A/H(xeD(T))知故7X有界。
证毕。
［定理3.3］设X,Y是两个赋范线性空间，T是从X的子空间D到丫中的线性映射，则T是连续的充要条件是丁是有界的。
证明：充分性。
设T有界，则存在常数M>0 ,使对一切x e £)(7'),||7^|| < M ||x||,从而对x” ->s),{x&} u D(T)冇一珂=卩(兀一聊 < M ||兀 _兀|| T 0 (M T O0)即Tx n T 7x(/7 —>°o) o所以，T是连续的。
必要性。
若丁连续但T是无界的，那么对每个nN,必存在%wD(T), 使瓯||>"||兀||，令儿=；^訂，那么II儿卜+ —°3 —°°)，即儿—&，由丁的连续性，7X T%7T S),但是另一方面，內」|=务>怕=1,引出矛盾，Z?||A;,||故T有界。
定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用L(X.Y)表示X到Y的有界线性算子组成的集合。
例3.1 ,例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是存在的。
例3.4考察定义在区间［0,1］上的连续可微函数全体，记作C* ［0J］,其中范数定义为H = inax|x(r)|,不难证明，微分算子扌是把C'［0,l］映入C［0,l］中的线性算子。
取函数列{sinw/},显然，卜inw/| = l,但因此，微分算子是无界的。
［定义3・3］设X,Y是赋范线性空间，丁是从X到丫的有界线性算子，对一切XWX ,满足||7：v||<M||x||的正数M的下确界，称为算子丁的范数，记作|卩||。
由定义可知，对一切*X,都有||7：V||<||7'||H O［定理3・4］设X,Y是赋范线性空间，丁是从X到丫的有界线性算子，则有证明：由||7x||<||T||||x||,易得根据卩||的定义，对于任给的£>0,存在非零x() e X ,使令力舒则有网巨PZ),因此由式（3.2）和式（3.3）,便得令£—0得例3・5在l![a,b]上定义算子T 如下（〃）「）叮（巧訂S 问）（1）把T 视为d[a,b]到C[“]的算子,求p||； （2）把T 视为Il[a,b\到的算子，求|卩卜解：算子7的线性是显然的，下面分别求|卩卜（1） 设T ： l![a,b]^C[a,b],任取/ eL*[a^b],由于7/eC[«,Z?],从而网卜喇（〃）⑴卜噩|"（M |故丁是有界的，并且llrll< 1 o 另一方面，取九（/）=_!_,/eg,可，并且b-a uii =£l -A （o^=£^^/r=i 于是 p|| = sup||Tr|| > ||T/… || =黒怂 J ：士力=t 丄弘=1故阿T 。
（2） 设T ： L! [a,b]^l![a,b],任取 / eL 1 [a,b],由于Tf & 11 [a.b],从而可：0>（側）心（j ）M因此T 是有界的，并且|卩||“7；另一方面，对任何使得a + *<b 的自然数允，山定义易知。
1xe a,a + —n作函数f n(X) = <显然£丘厶［恥］,且||£|| = ［|九(/)M = 1，而MI=J：|J：£⑴平15d/+「［〃/dxJd+-n1 . 1 . 1=—+ b — a~— = b-a-—2n n 2n所以，乂有||T||>sup||7jf||=Z>-«因此，卩[|"一°。
此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射，他们的算子范数未必相同。
一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对算子的范数作出估计。
例3・6 设K（s,f）在上连续，定义算子T： C[d,b]—>C[a,b]为7X（5）=|K则Tw2L（C[d,b],C[ab]）,且||T|| < max J |^（5,r）dt:a<s<l^证明：由于Smax J* |K（s,/）k〃・max x（f）a<s<b Ja I \ 7|a<s<b ' 7=max j K（5,/）p/r:a<s< Z?J*||x||故结论成立。
事实上，还可以进一步证明||r|| = max < f :a<s< /?}由于证明要用到实分析知识，这里从略。
例3.7已知实矩阵A = （a IJ）,定义T • RJ R”为7k = Ar ,则\ 7 /nxmr n m \2TwL(RSR“),且|卩卜工工砖。
k J— /1\ n ( m丫平证明：IM=11^11= Z X a u x ji \ y-1 丿「/ V 、胡s E TA 2>；_ \ >-i 八丿/_n in \i=EE«<? -HI\ z j-i 7'n m X2故卩卜EE-JI $■］ J-l >对于赋范线性空间X上的线性泛函f,我们总视/为X到数域F所成赋范线性空间的线性算子，因此，关于泛函的连续性，有界性以及它们之间的关系不再重述。
对于赋范线性空间X上的线性泛函/,由于/(x)eF(VxeX),所以ll/(^)ll=\f a)i，因而/的范数就是||/||=sup\f(x)|o•s*对于线性泛函，还有下面的连续性等价定理。
［定理3・5］设X是赋范线性空间，/是X上的线性泛函，则：(1)/是连续的充要条件是/的零空间N(f) = {x\f(x) = O,xeX}是X的闭子空间；(2)非零线性泛函/是不连续的充要条件是2(/)在X中稠密。
证明：(1 )必要性：设/是X上的线性泛函，又设{x”}uN(f),兀Tx(ms),由/的连续性可得/(x) = lim/(x n) = Oo 因此，JI «—►scxe/v(y),所以2(门是X的闭子空间。
充分性：设2(f)是闭集，如果/•不是有界线性泛函，则对每个自然数”，必有捡eX,卜讣=1,使得\f (xj|>«o闭集矛盾。