第三讲 地下水系统分布参数数学模型
合集下载
第三讲 地下水数值模拟原理及建模方法和步骤_xiugai
➢ 方法二．在渗流区剖分的基础上，直 接由达西定律和水均衡原理，建立各 个均衡区的水均衡方程，从而得到差 分方程。适用于矩形网格、三角形网 格。
矩形网格 多边形网格
方法一：差商代替微商
1、网格划分的基本类型
（1）先划格线，格点位
均
于网格中心
衡
网
格
（2）先规定格点位置，
再垂直平分两相邻结点的连
节
线作格线，形成的网格即为 水均衡区
H (x0
x, t0 )
2H (x0 , t0 ) (x)2
H (x0
x, t0 )
一维控制方程差分格式
方法一
控制方程
T
2h( x, t ) x2
h( x, t ) t
网格剖分nx个
显式差分格式
H (x0 x, t0 ) 2H (x0 , t0 ) H (x0 x, t0 ) H (x0 , t0 t) H (x0 ,t0 )
(x) 2
t
Hn i 1
2
H
n i
Hn i 1
(x)2
H
n1 i
H
n i
t
i 2,3,, nx 1
隐式差分格式
H (x0 x, t0 t) 2H (x0 , t0 t) H (x0 x, t0 t) H (x0 , t0 t) H (x0 , t0 )
(x) 2
t
H n1 iБайду номын сангаас1
数值方法很多，但是最简单实用的是有限差分法：
✓ 有限差分法
✓ 有限单元法
✓ 积分有限差分法
✓ 半解析半数值法
✓ 边界元法
✓ 有限体积法
只讲有限差分法
一、有限差分法的基本原理
矩形网格 多边形网格
方法一：差商代替微商
1、网格划分的基本类型
（1）先划格线，格点位
均
于网格中心
衡
网
格
（2）先规定格点位置，
再垂直平分两相邻结点的连
节
线作格线，形成的网格即为 水均衡区
H (x0
x, t0 )
2H (x0 , t0 ) (x)2
H (x0
x, t0 )
一维控制方程差分格式
方法一
控制方程
T
2h( x, t ) x2
h( x, t ) t
网格剖分nx个
显式差分格式
H (x0 x, t0 ) 2H (x0 , t0 ) H (x0 x, t0 ) H (x0 , t0 t) H (x0 ,t0 )
(x) 2
t
Hn i 1
2
H
n i
Hn i 1
(x)2
H
n1 i
H
n i
t
i 2,3,, nx 1
隐式差分格式
H (x0 x, t0 t) 2H (x0 , t0 t) H (x0 x, t0 t) H (x0 , t0 t) H (x0 , t0 )
(x) 2
t
H n1 iБайду номын сангаас1
数值方法很多，但是最简单实用的是有限差分法：
✓ 有限差分法
✓ 有限单元法
✓ 积分有限差分法
✓ 半解析半数值法
✓ 边界元法
✓ 有限体积法
只讲有限差分法
一、有限差分法的基本原理
《地下水数值模拟》课件
CHAPTER 04
地下水数值模拟的案例分析
案例一：某地区地下水污染模拟
总结词
该案例展示了如何运用地下水数值模拟技术 预测和评估某地区地下水污染情况。
详细描述
该案例首先介绍了该地区的地下水分布和流 向，然后通过建立数值模型，模拟了不同污 染源对地下水的影响，并预测了污染扩散的 范围和程度。最后，根据模拟结果，提出了 相应的污染防治措施。
VS
有限体积法适用于不规则的网格系统 和复杂的边界条件，能够得到相对准 确的结果，计算量适中，适用于较大 的模型规模。
CHAPTER 03
地下水数值模拟的步骤
建立数学模型
01
确定研究区域和边界条件
02
描述地下水流动和物质传输过程
03
建立数学方程，包括连续性方程、动量方程、源汇 项等
模型离散化
1
地下水数值模拟的应用
地下水数值模拟广泛应用于水资源管理、环境保护、地质 灾害防治等领域。
通过模拟地下水动态变化，可以预测未来地下水资源量、 评估地下水污染风险、研究地下水与地质灾害的关系等， 为相关决策提供科学依据。
CHAPTER 02
地下水数值模拟的基本方法
有限差分法
有限差分法是一种将偏微分方程离散 化为差分方程的方法，通过在时间和 空间上将偏微分方程近似为差分方程 ，从而将连续的物理量离散化为离散 的数值。
随着数值计算技术的发展，地下水数值模型将越来越复杂，能够 模拟更多的物理过程和化学反应。
参数优化和数据同化
通过人工智能和机器学习技术，对模型参数进行自动优化和数据同 化，提高模拟精度和可靠性。
多尺度模拟
从微观到宏观的多尺度模拟将成为一个重要方向，能够更好地揭示 地下水系统的复杂性和规律性。
地下水数值模型设计步骤及对资料的要求
一、数值模型研究一般步骤（续）
建立数值模型
网格剖分：根据确定的数值方法和软件，对研究区进行剖分。 对于平面二维流问题，一般将研究区剖分成矩形或三角形网格； 对于剖面二维流问题，一般也是将剖面区域剖分成矩形或三角形； 对于三维流问题，一般先在垂向上分成若干层，而在每层剖分成矩 形或三角形。
边界条件： 初始条件： 含水层参数：渗透系数、储水系数、给水度、孔隙度 源汇项：降雨入渗、河流补给、蒸发排泄、地表水体、沟渠渗漏、
上述数学模型是一个偏微分方程定解问题，通常只能用数值方法 求解，常用的数值方法有：有限差分法和有限单元法。
目前有一些软件可以直接用于求解地下水流动问题，如果不是自 己编写程序，可以选择合适的软件，建立数值模型。
如果用软件，则需对软件功能作简要介绍，论述软件的适用性。
3
第七章 数值模型一般步骤及对 勘查资料的要求
模型设计者应出具有较高理论水平和丰富经验的水文地质工作者担 任。设计者应精细地分析有关资料, 以获得较符合实际条件的分区 图。
18
三、数值模型设计中一些特殊问题
（一）抽水试验设计 （二）抽水试验数值模拟设计 （一）含水层剖分注意事项
（一）抽水试验设计
19
三、数值模型设计中一些特殊问题
（一）含水层剖分注意事项
12
二、数值模型设计及对资料和水文地质勘探的要求
（四）边界条件的确定
边界条件是与计算区的范围同时确定的
考虑计算区的范围时, 必须同时确定边界条件的性质； 反之, 边界的位置一旦确定, 计算区的范围自然也就确定下来了。
合水层的边界分为自然边界与人为边界两类
当研究的合水层系统(包括弱透水的含水层)与非含水层相接触时,其界 面(线)称为自然边界；
建立数值模型
网格剖分：根据确定的数值方法和软件，对研究区进行剖分。 对于平面二维流问题，一般将研究区剖分成矩形或三角形网格； 对于剖面二维流问题，一般也是将剖面区域剖分成矩形或三角形； 对于三维流问题，一般先在垂向上分成若干层，而在每层剖分成矩 形或三角形。
边界条件： 初始条件： 含水层参数：渗透系数、储水系数、给水度、孔隙度 源汇项：降雨入渗、河流补给、蒸发排泄、地表水体、沟渠渗漏、
上述数学模型是一个偏微分方程定解问题，通常只能用数值方法 求解，常用的数值方法有：有限差分法和有限单元法。
目前有一些软件可以直接用于求解地下水流动问题，如果不是自 己编写程序，可以选择合适的软件，建立数值模型。
如果用软件，则需对软件功能作简要介绍，论述软件的适用性。
3
第七章 数值模型一般步骤及对 勘查资料的要求
模型设计者应出具有较高理论水平和丰富经验的水文地质工作者担 任。设计者应精细地分析有关资料, 以获得较符合实际条件的分区 图。
18
三、数值模型设计中一些特殊问题
（一）抽水试验设计 （二）抽水试验数值模拟设计 （一）含水层剖分注意事项
（一）抽水试验设计
19
三、数值模型设计中一些特殊问题
（一）含水层剖分注意事项
12
二、数值模型设计及对资料和水文地质勘探的要求
（四）边界条件的确定
边界条件是与计算区的范围同时确定的
考虑计算区的范围时, 必须同时确定边界条件的性质； 反之, 边界的位置一旦确定, 计算区的范围自然也就确定下来了。
合水层的边界分为自然边界与人为边界两类
当研究的合水层系统(包括弱透水的含水层)与非含水层相接触时,其界 面(线)称为自然边界；
地下水数值模拟03
差分公式对比
名称
前差
公式
df f ( x x) f ( x) dx x
截断误差
O(x) O(x)
一 阶 导 数
后差 中心差
df f ( x) f ( x x) dx x
df f ( x x) f ( x x) dx 2x
O(x )
2
二阶导数
该问题属于一维承压非稳定流的定解问题。求解该问题，需要对空间 和时间进行离散，形成的差分网格称为时空网格。
网格剖分
• • •
以等距剖分为例 将研究区域[0，L]用直线等分为n份，把时间段[0,T]用直线等分成m份 以 H ik 表示结点（i,k）处的水头
2H * H T 2 x t H ( x, t ) H 0 ( x ) t 0 H ( x, t ) (t ) 0 x 0 H ( x, t ) x L L (t )
开始
输入初始参数 t=0 对i=0,1,…,n循环执行
hi0 H0 ix
t=t+Δt 对i=1,…,n-1循环执行
hik 1 hik1 (1 2 )hik hik1
• 用差分方程的解作为微分方程的近似解。
一、有限差分法的基本思想
• 2、求解步骤
选取网格； 对微分方程及定解条件选择差分近似，列出
差分格式；
求解差分格式； 讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及 误差估计。
差分网格
结点 格点
y
x
Δx，Δy——空间步长 Δt——时间步长
一、有限差分法的基本思想
显式差分方程的求解
差分方程与离散后的定界条件构成了数学模型 的显式差分方程问题。其求解步骤如下： 由初始条件给出t0时刻各结点的水头值h00， h10，…hl0；再根据差分方程，在k=0时， 分别取i=1，i=2,…i=n-1,便可求得t1时刻各 内结点的水头值h11，…hn-10。 由以上计算的h11， h21 …hn-11值及由边界 条件计算的h01和hl1,再次利用差分公式 （取k=1， i=1，i=2,…i=n-1，便可计算得 t2时刻各结点的水头值。如此重复，便可 计算出t3 ，t4 ，…各时刻的水头分布值。
地下水数值模拟
一、模型概化-内部结构
1、含水介质 2、含水层空间分布
确定含水层类型，查明含水层在空间的分布形状。对承压 水，可用顶底板等值线图或含水层等厚度图来表示；对潜水， 则可用底板标高等值线图来表示；
一、模型概化-内部结构
1、含水介质 2、含水层空间分布 4、地下水运动状态
（1）层流、紊流 一般情况下，在松散含水层及发育较均匀的裂隙、岩溶含水层中的地下
三维有限差分模型与MODFLOW
**使用VMODFLOW建立模型 1. 准备数据资料（划分含水层，顶底板高度，
渗透参数，存贮参数，初始地下水位） 2. 划分平面网格，输入顶、底板高度 3. 输入模拟层参数 4. 输入边界属性和模块参数 5. 是稳定流还是非稳定流 6. 非稳定流的初始水头分布 7. 运行模型，查看结果
一模型概化内部结构11含水介质含水介质2含水层空间分布含水层空间分布3地下水运动状态地下水运动状态4水文地质参数水文地质参数1时间概化时间概化水文地质参数是慢时变的在一定时期和外部条件下可以近水文地质参数是慢时变的在一定时期和外部条件下可以近似地看作恒定不变建立概念模型时将参数概化为随时间不变似地看作恒定不变建立概念模型时将参数概化为随时间不变一模型概化内部结构11含水介质含水介质22含水层空间分布含水层空间分布33地下水运动状态地下水运动状态44水文地质参数水文地质参数11时间概化时间概化2空间概化空间概化查明含水层的导水性储水性及主渗透方向的变化规律
模拟步骤
建立概念模型 选择数学模型 将数学模型进行
数值化 模型校正(识别) 模型验证 预测
一、模型概化-边界条件
1、研究区边界
研究区应尽可能以自然边界为计算边界，最好是以 完整的水文地质单元作为计算区。
第六章(3) 地下水数值模拟模型的应用实例xiugai
图5-51 距垃圾场中心约150m（cell Id：4227） 溶解氧浓度变化曲线
3、硫酸根在地下水中的浓度分布规律
图5-60 垃圾场中心（cell Id：4867）硫酸根浓度变化曲线
图5-63 距垃圾场中心约200m污染羽边缘（cell Id：4147） 硫酸根浓度变化曲线
在所有点中硫酸根都随季节有轻微的 波动，这可能是由于雨季降雨对地下 水中随酸根的稀释作用。 在填埋场中心，由于硫酸根是补给源， 硫酸根的浓度是持续上升的，并在 6000d左右时基本稳定。 随着距填埋场的距离增加，硫酸根上 升的速率逐渐降低。 在污染羽边缘（约200m）处，硫酸根 先是降低然后增加，这是因为一开始 该区域固有的硫酸根先与BTEX反应， 而垃圾渗滤液中的硫酸根还没有补给 到这一区域，所以硫酸根离子先降低， 随后硫酸根逐渐补给，故其浓度又开 始逐渐增加。 在污染羽范围之外，硫酸根离子则是 逐渐降低。
a：概念模型
场区为三面环山地形，与单斜地层基本构成一独立的水文地质单元。 填埋场地下方分布有新生界第四系及中生界侏罗系、古生界二叠系地层。 本区第四系地层分布不甚规律，缺少全新统。上更新统下段洪积层（莲花组 PLQ3）以黄色粘土、亚粘土组成，缺少砂砾层位。平均厚度约3米左右；中更 新统洪积层（之江组PLQ2）以棕红色粘土、亚粘土组成，结构紧密，层厚一 般为7米左右。 第四系下覆有埋藏型裂隙岩溶水，含水层由古生界二叠系下统栖霞组 （P3q）、石炭系上统船山组（C3c）、中统黄龙组（Czh）灰岩、白云质灰岩 组成。
（2）厌氧状态下在反硝化细菌作用下，NO3-作为电子接受体，接 受电子氧化BTEX。 （3）厌氧状态下在铁还原菌的作用下，Fe(Ⅲ)还原为Fe(Ⅱ)接受 电子，氧化BTEX。 （4）厌氧状态下在硫酸根还原菌的作用下，S6+还原为S2-接受电 子，氧化BTEX。
地下水数值模拟模型简介
Problems about GW Development
Functions of GW
An Important Water Supply for Human An Important Environmer Shortage Ecologic problems Saline soil Sea Water Intrusion Land Subsidence Groundwater Contamination ……
基 本 思 路
运用地下水模型计算各组参数情况下地下水位（hsij)
根据目标函数评价各组参数值的优劣
输出结
Y
两次迭代的差足够小？
N
考虑到变量上下限等约束，根据一定的准则， 生成新的N组参数
确定决策变量、目 标函数和约束条件
研究工作区 水文地质条件
产生初始种群N 建立水文地质 概念模型
编
码
求解水均衡约束： W(X,)=0 得到地下水系统状 态
Calibration of the Model
目标：使模拟期内所有观测点的水位误差的平方和最小。 变量： Sk、Kk (k=1,…,L) 约束：
各参数分区参数的上下限约束 连续性方程约束
m n
2 obj . z ( hs hr ) ij ij j 1 i 1
s .t.
Groundwater Model_Math Model
Mass Balance
Q Q Q input output
Darcy’s Law
dh q K dl
Boundary Conditions
First Type Second Type Mixed Type
地下水渗流基本方程及数学模型总结
V Qt vt m V vt
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
X方向流入流出差
( v x ) |( x , y , z ,t ) yzt ( v x ) |( x x , y , z ,t ) yzt
y方向流入流出差
( v y ) |( x , y , z ,t ) xzt ( v y ) |( x , y y , z ,t ) xzt
流入－ 流出＝V
研究对象可以是大区域的，也可以是微分单元体 大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价 地下水渗流的连续性方程就是质量守恒方程，也称为水
均衡方程。现在基于微分单元体做水均衡分析，推导渗 流连续性方程。
（一）渗流连续性方程的推导
在渗流场中任意取一点P(x, y, z)，以P为 中心沿直角坐标轴取一微小的六面体，体 积为 ，称为特征单元体，设单元 体无限小，但保证单元体中地下水穿过介 质骨架和空隙。 假设：水是可压缩的，固体颗粒不能被压 缩，多孔介质骨架在垂直方向（Z）可压 缩，x、y为常量。因此，只有水的密 度、孔隙度n和单元体高度z三个量随压 力而变化。
( v y ) xyzt y
y 0
z方向流入流出差 单元体内地下 水质量变化量 地下水运动的 连续性方程：
( v z ) xyzt z
z 0
( v x ) ( v y ) ( v z ) ( nz ) x y z xy y K xx ) x x x
H ( K yy ) y y ( v z ) H ( K zz ) z z z
( v y ) y
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
( nz ) 第二步：化简方程右端项： t
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b 有限单元法：基本思想是用有限个单元的集合代替渗透区，用比较 简单的函数代替每个单元上的实际水头函数，然后通过某种变换处理， 把偏微分方程的定解问题转化为求解线性方程组的问题。
c 边界元法：边界元的剖分仅仅在边界上进行，然后利用边界积分方 程求出边界上的未知量，并进而计算区域内的未知量。
4.2 地下水流动数学模型求解的有限单元法
目前在实际工作中，研究途径主要有： （1）北方地区，由于岩溶发育程度相对较弱，多数情况，地下水的运动基本上 服从达西定律，所以常用孔隙水的数学模型或双重介质模型近似地进行地下水研究。 （2）南方地区，可考虑同时存在裂隙流和管道流两种水流情况，裂隙流服从达 西定律，管道流则不服从，裂隙流区与管道流区的分界线上存在着水量交换，这样 可推导出相应的地下水流模型。
地下水系统是一个受多因素控制的系统，这些因素中有些是随机的、 不确定的。严格地说，地下水流动数学模型应该用随机的微分方程（或 积分方程）来表示。
随着地下水赋存介质的特征不同，地下水的流动特点也就不相同，相 应的地下水流数学模型的建立和研究途径也就存在着差异。
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
1 孔隙水 在孔隙介质中，地下水的运动服从达西定律。
第一节 地下水系统的控制 第二节 地下水系统的管理 第三节 目标函数、约束条件、决策变量、状态变量
第五章 地下水系统的控制与管理
第一节 地下水系统的控制
地下水系统由自然系统转为自然-人工复合系统，其行为、功能及活 动方式受到人为活动的影响，使其具有目的性并具有适应目标价值多样 化的特点。为使地下水的开采利用不至于造成系统的失稳，又使其活动 和状态朝着我们所希望的方向发展，就需对施加给地下水系统的（人为) 作用进行选择。这种选择过程就是控制。
一 基本知识 1 泛函 2 变分原理 （1）描述地下水运动的偏微分方程的定解问题等价于求某一泛函的 极小值问题；（2）求二次泛函的极小值问题与求解某一线性代数方 程的解是等价的。 3 剖分与插值
4.2 地下水流动数学模型求解的有限单元法
二 稳定流问题的解法 三 非稳定流问题的解法
第五章 地下水系统的控制与管理
要沿裂隙进行，而地下水的储存主要在孔隙中，孔隙和裂隙中各有不同 的水头，它们之间存在着水量交换，由此建立的数学模型称为双重介质 模型。
③把裂隙岩石看作是一种按一定几何规律分布的裂隙系统所割裂的 介质，此时，研究裂隙的参数和建立裂隙介质的水力学（层流或紊流模 型）就应该考虑单个裂隙的形状、规模及排列。
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
二、地下水流数学模型的内容及其求解方法 1 一般包含两方面的内容： （1）有一个或一组能描述地下水运动规律的偏微分方程。一般，可把它 理解为是水量（或质量）平衡方程的一种微分表达形式；【注意对水文地质 条件的分析】 （2）有相应的定解条件。定解条件包括初始条件和边界条件。当模拟稳 定流时，只需要边界条件；当模拟非稳定流时，则要同时给出初始条件和边 界条件。 初始条件是指某一选定的初始时刻渗流区内地下水的水头分布状况；边 界条件是指渗流区的边界位置及边界上地下水应满足的条件，一般包括有已 知水头边界、已知流量边界和混合边界等三类。
第四章 地下水系统分布参数数学模型
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法 4.2 地 地下水流动数学模型及其求解方法
一 地下水流数学模型 分布参数地下水流数学模型可分为不同的类型。按赋存介质的不同，
可分为孔隙水、裂隙水和岩溶水等模型；按流动要素的特点，可分为稳 定流、非稳定流、承压流、非承压流、饱和流、非饱和流、单相流、多 相流、一维流、二维流和三维流等模型。
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
2 地下水流数学模型的求解方法 （1）解析法是利用经过严格的推理和数学推演获得的各种计算公
式进行计算的方法，裘布依公式和泰斯公式即属此类。其特点是：在 一定的假设条件下所进行的数学推导是非常严密的，所获得的解是精 确的。但水文地质条件非常复杂，用此法求解，误差非常大。
2 裂隙水 （1）裂隙介质的特点 ①其渗透性具有较强的非均质性和各向异性，在一个计算区内往往可以划出许
多非均值区，每个区之间的导水系数或渗透系数有时可以相差数百倍。 ②渗透性往往随深度发生变化，在不同地点或不同的岩层，渗透系数随深度的
变化规律也不相同。因此，在厚层裂隙介质中确定含水层的厚度比较困难。 ③储水能力比孔隙介质小。 ④裂隙介质的储水性主要取决于微裂隙和岩层的孔隙（如粒间孔隙、气孔等），
有限单元法可分为变分有限元法和迦辽金有限元法。变分有限元法的 基本思想是：利用变分原理，把地下水流偏微分方程的定解问题转化 为某一泛函I[H]的极值问题，再通过剖分和插值，可将该泛函I[H]转 化为一个普通的二次函数。这个二次函数的极值问题等价于一个线性 代数方程的求解问题，求解该方程组，即可得到地下水流问题的解。
（2）数值法是一种只能求出计算区内有限个点在某些时刻近似解 的计算方法。也就是说，数值法不能求出解的解析表达式，只能求出 解（未知量）在若干个离散点的近似值。
数值法在处理渗透区的非均质性和不规则性等方面具有很大的灵 活性。
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
a 有限差分法：原理就是在空间域时间离散的基础上用差商代替微商， 最后把地下水运动的偏微分方程的求解问题转化为差分方程的求解问 题；
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
3 岩溶水
岩溶水与裂隙水在许多方面有共同之处，因而裂隙水的某些特点对岩溶水也同 样使用。但是，岩溶介质比裂隙介质具有更强的非均质性，使建立岩溶水流数学模 型更困难。
北方与南方岩溶水在分布、径流、补给、动态等方面存在着差异。南方岩溶地区， 地下水流动以管道流为主；北方地区，岩溶发育相对较弱，多数裂隙-岩溶水，含水 层中的地下水往往具有统一的地下水面。
而导水性则主要取决于一些较大的裂隙。 ⑤由于压力对裂隙张开的程度有明显的影响，故压力变化与岩层的透水性之间
存在着密切的关系。
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
（2）裂隙介质渗透性研究的途径 ①把裂隙介质视为连续介质，认为裂隙水的运动基本上服从达西定
律，可以用与孔隙水相同的数学模型来计算裂隙水流。 ②仍然认为裂隙水的运动符合达西定律，但地下水的传导和运动主
c 边界元法：边界元的剖分仅仅在边界上进行，然后利用边界积分方 程求出边界上的未知量，并进而计算区域内的未知量。
4.2 地下水流动数学模型求解的有限单元法
目前在实际工作中，研究途径主要有： （1）北方地区，由于岩溶发育程度相对较弱，多数情况，地下水的运动基本上 服从达西定律，所以常用孔隙水的数学模型或双重介质模型近似地进行地下水研究。 （2）南方地区，可考虑同时存在裂隙流和管道流两种水流情况，裂隙流服从达 西定律，管道流则不服从，裂隙流区与管道流区的分界线上存在着水量交换，这样 可推导出相应的地下水流模型。
地下水系统是一个受多因素控制的系统，这些因素中有些是随机的、 不确定的。严格地说，地下水流动数学模型应该用随机的微分方程（或 积分方程）来表示。
随着地下水赋存介质的特征不同，地下水的流动特点也就不相同，相 应的地下水流数学模型的建立和研究途径也就存在着差异。
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
1 孔隙水 在孔隙介质中，地下水的运动服从达西定律。
第一节 地下水系统的控制 第二节 地下水系统的管理 第三节 目标函数、约束条件、决策变量、状态变量
第五章 地下水系统的控制与管理
第一节 地下水系统的控制
地下水系统由自然系统转为自然-人工复合系统，其行为、功能及活 动方式受到人为活动的影响，使其具有目的性并具有适应目标价值多样 化的特点。为使地下水的开采利用不至于造成系统的失稳，又使其活动 和状态朝着我们所希望的方向发展，就需对施加给地下水系统的（人为) 作用进行选择。这种选择过程就是控制。
一 基本知识 1 泛函 2 变分原理 （1）描述地下水运动的偏微分方程的定解问题等价于求某一泛函的 极小值问题；（2）求二次泛函的极小值问题与求解某一线性代数方 程的解是等价的。 3 剖分与插值
4.2 地下水流动数学模型求解的有限单元法
二 稳定流问题的解法 三 非稳定流问题的解法
第五章 地下水系统的控制与管理
要沿裂隙进行，而地下水的储存主要在孔隙中，孔隙和裂隙中各有不同 的水头，它们之间存在着水量交换，由此建立的数学模型称为双重介质 模型。
③把裂隙岩石看作是一种按一定几何规律分布的裂隙系统所割裂的 介质，此时，研究裂隙的参数和建立裂隙介质的水力学（层流或紊流模 型）就应该考虑单个裂隙的形状、规模及排列。
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
二、地下水流数学模型的内容及其求解方法 1 一般包含两方面的内容： （1）有一个或一组能描述地下水运动规律的偏微分方程。一般，可把它 理解为是水量（或质量）平衡方程的一种微分表达形式；【注意对水文地质 条件的分析】 （2）有相应的定解条件。定解条件包括初始条件和边界条件。当模拟稳 定流时，只需要边界条件；当模拟非稳定流时，则要同时给出初始条件和边 界条件。 初始条件是指某一选定的初始时刻渗流区内地下水的水头分布状况；边 界条件是指渗流区的边界位置及边界上地下水应满足的条件，一般包括有已 知水头边界、已知流量边界和混合边界等三类。
第四章 地下水系统分布参数数学模型
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法 4.2 地 地下水流动数学模型及其求解方法
一 地下水流数学模型 分布参数地下水流数学模型可分为不同的类型。按赋存介质的不同，
可分为孔隙水、裂隙水和岩溶水等模型；按流动要素的特点，可分为稳 定流、非稳定流、承压流、非承压流、饱和流、非饱和流、单相流、多 相流、一维流、二维流和三维流等模型。
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
2 地下水流数学模型的求解方法 （1）解析法是利用经过严格的推理和数学推演获得的各种计算公
式进行计算的方法，裘布依公式和泰斯公式即属此类。其特点是：在 一定的假设条件下所进行的数学推导是非常严密的，所获得的解是精 确的。但水文地质条件非常复杂，用此法求解，误差非常大。
2 裂隙水 （1）裂隙介质的特点 ①其渗透性具有较强的非均质性和各向异性，在一个计算区内往往可以划出许
多非均值区，每个区之间的导水系数或渗透系数有时可以相差数百倍。 ②渗透性往往随深度发生变化，在不同地点或不同的岩层，渗透系数随深度的
变化规律也不相同。因此，在厚层裂隙介质中确定含水层的厚度比较困难。 ③储水能力比孔隙介质小。 ④裂隙介质的储水性主要取决于微裂隙和岩层的孔隙（如粒间孔隙、气孔等），
有限单元法可分为变分有限元法和迦辽金有限元法。变分有限元法的 基本思想是：利用变分原理，把地下水流偏微分方程的定解问题转化 为某一泛函I[H]的极值问题，再通过剖分和插值，可将该泛函I[H]转 化为一个普通的二次函数。这个二次函数的极值问题等价于一个线性 代数方程的求解问题，求解该方程组，即可得到地下水流问题的解。
（2）数值法是一种只能求出计算区内有限个点在某些时刻近似解 的计算方法。也就是说，数值法不能求出解的解析表达式，只能求出 解（未知量）在若干个离散点的近似值。
数值法在处理渗透区的非均质性和不规则性等方面具有很大的灵 活性。
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
a 有限差分法：原理就是在空间域时间离散的基础上用差商代替微商， 最后把地下水运动的偏微分方程的求解问题转化为差分方程的求解问 题；
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
3 岩溶水
岩溶水与裂隙水在许多方面有共同之处，因而裂隙水的某些特点对岩溶水也同 样使用。但是，岩溶介质比裂隙介质具有更强的非均质性，使建立岩溶水流数学模 型更困难。
北方与南方岩溶水在分布、径流、补给、动态等方面存在着差异。南方岩溶地区， 地下水流动以管道流为主；北方地区，岩溶发育相对较弱，多数裂隙-岩溶水，含水 层中的地下水往往具有统一的地下水面。
而导水性则主要取决于一些较大的裂隙。 ⑤由于压力对裂隙张开的程度有明显的影响，故压力变化与岩层的透水性之间
存在着密切的关系。
4.1 地下水流动数学模型及其求解方法
（2）裂隙介质渗透性研究的途径 ①把裂隙介质视为连续介质，认为裂隙水的运动基本上服从达西定
律，可以用与孔隙水相同的数学模型来计算裂隙水流。 ②仍然认为裂隙水的运动符合达西定律，但地下水的传导和运动主