2020届河南省名校联盟高三模拟仿真考试数学(文)试题(解析版)
2020届河南省名校联盟高三模拟仿真考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}|51xA y y ==+，B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，则A B =I ( ) A ．()1,2 B ．()1,-+∞ C ．(]1,2D ．[]1,2【答案】C【解析】分别求出两个函数的值域和定义域即可得解. 【详解】因为()1,A =+∞， 解201xx -≥+得(]1,2x ∈- (]1,2B =-，所以(]1,2A B =I .故选：C 【点睛】此题考查求集合的交集运算，关键在于准确求出已知函数的值域和定义域.2．复数()()23z a i a R =+-∈在复平面内对应的点位于第四象限，且20z z ⋅=，则z =( )A ．23i -B ．23i +C ．24i -D ．24i +【答案】D【解析】根据复数在复平面内对应点所在位置求出a 的范围，根据20z z ⋅=列方程即可得解. 【详解】因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以30a -<， 由20z z ⋅=，可得()24320a +-=，解得7a =， 所以24z i =-，24z i =+. 故选：D 【点睛】此题考查复数的几何意义与共轭复数的辨析，关键在于熟练掌握复数的相关计算. 3．已知2log 3a =， 1.30.2b =，2log 0.3c =，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间值1,0，进行比较. 【详解】因为2log 31a =>，()1.30.20,1b =∈，2log 0.30c =<，所以c b a <<. 故选：A 【点睛】此题考查指数对数的大小比较，关键在于熟练掌握指数函数对数函数的单调性，结合中间值进行比较.4．学校按年级采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取135人进行问卷调查，已知该校高一､高二､高三的学生分别有450人､400人､500人，则从高一年级的学生中应抽取的人数为( ) A ．40 B ．45C ．50D ．54【答案】B【解析】根据高一年级学生人数的占比即可求得高一年级应抽取的人数. 【详解】由题意知，该校共有高中生4504005001350++=人， 则从高一年级的学生中应抽取135450451350⨯=人. 故选：B 【点睛】此题考查分层抽样，关键在于根据抽样方法，准确求解各层人数比例关系.5．函数()2cos x xx xf x e e--=+的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的奇偶性，特殊值及取值范围进行辨析，排除可得.【详解】因为()()2cos x xx xf x f x e e--==+-，所以()f x 为偶函数，排除A ； 因为()102f =-，所以排除B ；因为()()210,1f ee ππππ-+=∈+，所以排除D. 故选：C 【点睛】此题考查函数图象的辨析，利用函数性质和特殊值辨析，常用排除法解题.6．我国古代数学家对圆周率π的近似值做出过杰出的贡献，魏晋时期的数学家刘徽首创用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，称为“割圆术”.在割圆术求π的方法中，若使用正三十二边形，则圆周率的近似值为( ) (附:sin cos0.09753232ππ≈)A ．3.13B ．3.12C ．3.064D ．3.182【答案】B【解析】根据圆的内接正三十二边形，每个顶点连接圆心，形成三十二个小等腰三角形，顶角为16π，根据面积公式求解即可. 【详解】设正三十二边形的外接圆半径为r ，三十二个小等腰三角形顶角为16π， sin2sincos0.195163232πππ=≈，圆的内接正多边形的面来逼近圆面积 由2221232sin 16sin 23216r r r πππ≈⨯=，得16sin 3.1216ππ=≈. 故选：B 【点睛】此题以中国传统文化为背景，涉及有限与无限的思想，其本质是考查求三角形的面积，根据面积公式，结合题目给定数据求解即可.7．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解. 【详解】∵双曲线C 与2214x y -=的渐近线相同，且焦点在y 轴上，∴可设双曲线C 的方程为2214y x k k-=，一个焦点为()0,5，∴425k k +=，∴5k =，故C 的标准方程为221520y x -=.故选：B 【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.8．在空间四边形ABCD 中，已知2AD =，22BC =，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，5EF =，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为( )A ．6πB ．3π C ．4π D ．34π【答案】C【解析】取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，EGF ∠即异面直线AD 和BC 所成的角或补角，结合解三角形求出角的大小. 【详解】取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EGF ∠即异面直线AD 和BC 所成的角或补角， 因为122EG BC ==，112FG AD ==，5EF =， EGF ∆中，结合余弦定理可得：所以cos2EGF∠==，则异面直线AD与BC所成角的大小为45︒.故选：C【点睛】此题考查求异面直线所成角的大小，常用平行线处理，结合解三角形知识求解. 9．已知抛物线C:()220x py p=>上一点(),3P m到焦点F的距离为4，直线l过()0,3M且与C交于A，B两点，5BF=，若AM BMλ=，则λ=( )A．23B．35C．25D．34【答案】D【解析】根据点(),3P m到焦点F的距离为4，求出抛物线方程，结合5BF=求出B 点坐标，联立方程求解,AM BM线段的比例关系.【详解】由题可知342p+=，得12p=，故抛物线C的方程为24x y=.∵5BF=，∴B点的坐标为()4,4±，当B点的坐标为()4,4时，直线l的方程为134y x=+，与24x y=联立可得2120x x--=，解得4x=或3x=-，∴A点的坐标为93,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴34ABAM xBM x==，∴34λ=.同理，当B点的坐标为()4,4-时，34λ=.故选：D【点睛】此题考查根据几何关系求解抛物线的方程，根据直线与抛物线的交点坐标处理线段长度关系，将线段长度的比例关系转化为坐标的比例求解.10．执行如图所示的程序框图，若输出的49S=，则输入的P的取值范围是( )A ．(]15,16B ．(]16,17C ．(]17,18D ．(]18,19【答案】B【解析】根据程序框图关系得出框图的作用，根据输出的值，求输入值的取值范围. 【详解】 由图知()()111233412n S n n =++⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯+1122n =-+，当16n =时，49S =.故(]16,17P ∈.故选：B 【点睛】此题考查程序框图，关键在于根据框图准确辨析其作用.11．在Rt ABC ∆中，6AC =，斜边10AB =，点M ，N 在其内切圆上运动，且MN是一条直径，点P 在ABC ∆的三条边上运动，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值是( )A ．36B ．24C ．16D ．12【答案】A【解析】根据向量的运算法则，运算得出：24PM PN PO ⋅=-u u u u r u u u r u u u r ，即可求得最大值. 【详解】由题可知ABC ∆的内切圆的半径4222BC AC AB r +-===.设ABC ∆内切圆的圆心为O ，由2PM PN PO +=u u u u r u u u r u u u r，得()224PM PNPO +=u u u u r u u u r u u u r ，即22224PM PN PM PN PO ++⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r .①由PM PN NM -=u u u u r u u u r u u u u r，得()22PM PNMN -=u u u u r u u u r u u u u r ，即22216PM PN PM PN +-⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，②①-②得24416PM PN PO ⋅=-u u u u r u u u r u u u r ，即24PM PN PO ⋅=-u u u u r u u u r u u u r .当P 在点B 时，()22822210PO BO =-+==，所以PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值为2440436PO -=-=.【点睛】此题考查平面向量的基本运算，根据向量关系求数量积的最值，此题若能记住极化恒等式，可以大大减少计算量.12．函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解. 【详解】()()()()22331x x x x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e -=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数()()23x f x x e =-图象特征，结合二次方程根的分布知识求解.二、填空题13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知27a =4b =，120A =︒，则c =______.【答案】2【解析】根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，列方程求解即可. 【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2c =，6c =-(舍). 故答案为：2【点睛】此题考查根据余弦定理求三角形的边，关键在于熟练掌握公式，准确求解方程. 14．从三双不同的袜子中随机抽取2只，则这2只恰好是同一双的概率为______. 【答案】15【解析】三双不同的袜子中随机抽取2只，共15种可能情况，恰好是同一双3种情况即可求解概率. 【详解】将三双不同的袜子标记为(),A a ，(),B b ，(),C c ，则从这三双的袜子中随机抽取3只的情况有(),A a ，(),B b ，(),C c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，(),a B ，(),a C ，(),b A ，(),b C ，(),c A ，(),c B ，(),A B ，(),A C ，(),B C ，共15种情况，其中2只恰好是同一双的情况有(),A a ，(),B b ，(),C c ，共3种， 即概率为31155=. 故答案为：15【点睛】此题考查根据古典概型求解概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.15．把函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象.若函数()g x 在,12πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则θ=______. 【答案】712π 【解析】根据平移关系求出()3sin 26x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合函数图象求解. 【详解】由题知()3sin 23sin 21236g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 作出函数大致图象函数()3sin 26x g x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在,12πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上先增后减，且012g π⎛⎫⎪⎝⎭-=，若函数()3sin 26x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,12πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 必()33g θ=，结合图象： 则4263πθπ+=，712θπ=. 故答案为：712π【点睛】此题考查根据三角函数平移得到新函数，根据值域求定义域端点，数形结合利于解题. 16．在三棱锥P ABC -中，8AB BC ==，120ABC ∠=︒，D 为AC 的中点，PD ⊥平面ABC ，且8PD =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为______. 【答案】260π【解析】结合立体图形，找出球心的位置建立等量关系求解方程组，即可得解. 【详解】在ABC ∆中，8AB BC ==，120ABC ∠=︒， 所以ABC ∆的外接圆的半径18382sin120r ⨯︒==， 结合图形分析：圆心到D 点的距离为4.另设三棱锥P ABC -的外接球球心到平面ABC 的距离为d ，设外接球的半径为R ， 则1O OB ∆中，2228d R +=，直角梯形1O ODP 中，()222248PD d R =+-=， 解得1d =，265R =，所以24260S R ππ==. 故答案为：260π 【点睛】此题考查与锥体有关的解决锥体外接球的问题，关键在于熟练掌握球的几何特征，建立等量关系求解半径.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足310n n S a +-=. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设16log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)41n n + 【解析】（1）310n n S a +-=，当2n ≥时，11310n n S a --+-=，两式相减得14n n a a -=，即可求得通项公式； （2）求出16log 2n n nb a ==-，利用裂项求和的方式求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T .【详解】（1）由11310S a +-=，得114a =. 310n n S a +-=当2n ≥时，11310n n S a --+-=，两式相减得14n n a a -=， 所以数列{}n a 是以14为首项，14为公比的等比数列， 则1111444n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）因为16log 2n n n b a ==-， 所以()11411411n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭，所以1111111141223341n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭L 144111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】此题考查求数列的通项公式和数列求和，涉及裂项相消求和方法，属于基础题目. 18．某地区实施“光盘行动”以后，某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划，进店的每一位客人需预交50元，啤酒根据需要自己用量杯量取.结账时，剩余酒量不足1升的，按0升计算(如剩余1.7升，记为剩余1升).统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系，下面是随机采集的5组数据(),x y (其中x 表示饮酒人数，y (升)表示饮酒量):()1,0.8，()2,1.5，()3,2.5，()4,3.2，()5,4.5. (1)求由这5组数据得到的y 关于x 的回归直线方程；(2)小王约了5位朋友一同来饮酒，小王及朋友用量杯共量取了8升啤酒，这时，酒吧服务生对小王说，根据他的经验，小王和朋友量取的啤酒可能喝不完，可以考虑再邀请一个或两个朋友一起来饮酒，会更划算.试问小王是否该接受服务生的建议. 参考数据:回归直线的方程是y bx a =+$$$，其中()()()1221121niii nnin i i ii i i x y nx y bn x x x x y x xy ====-=---=-∑∑∑∑$，$ay bx =-$. 【答案】（1）$0.910.23y x =-；（2）应该接受建议，且再邀请1位朋友更划算.【解析】（1）根据公式计算回归直线相关量得回归直线方程； （2）分别计算不邀请和邀请一位或两位朋友需要支付的费用即可得解. 【详解】 （1）1234535x ++++==，0.8 1.5 2.5 3.2 4.5 2.55y ++++==，515221546.637.50.9155455i ii i i x y x ybx x=---===--∑∑$，$ 2.50.9130.23ay bx =⨯=---=$， 所求回归直线方程为$0.910.23y x =-.（2）小王和5位朋友共6人大约需要饮酒0.9160.23 5.23⨯-=升， 若不再邀请人，则剩余酒量8 5.23 2.77-=升，酒吧记为剩余2升， 预计需要支付506120%360⨯⨯=元；若再邀请1人，大约需饮酒0.9170.23 6.14⨯-=升，剩余酒量8 6.14 1.86-=升， 酒吧记为剩余1升，预计支付5071350⨯⨯=元；若再邀请2人，大约需饮酒0.9180.237.05⨯-=升，剩余酒量87.050.95-=升， 酒吧记为剩余0升，预计支付50890%360⨯⨯=元. 所以应该接受建议，且再邀请1位朋友更划算. 【点睛】此题考查计算线性回归直线方程和根据结果进行预测，关键在于熟练掌握计算法则，根据题意进行计算并作出决策.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，17PA PD ==，E 为PA 的中点，点F 在PD 上，EF ⊥平面PCD ，M 在DC 的延长线上，且215MC CD =.(1)证明://EF 平面PBM .(2)过点C 作BD 的平行线，与直线AB 相交于点G ，点Q 为CG 的中点，求E 到平面PDQ 的距离.【答案】（1）见解析；（2）1213【解析】（1）取PB 的中点为H ，连接EH ，过F 作//FK DM 交PM 于K ，连接HK ，通过证明四边形EFKF 是平行四边形，得//EF HK ，证得线面平行；（2）考虑三棱锥P ADQ -的体积，利用等体积法求出A 到平面PDQ 的距离为d ，E 到平面PDQ 的距离是A 到平面PDQ 的距离的一半，即可得解. 【详解】（1）证明:记PB 的中点为H ，连接EH ，过F 作//FK DM 交PM 于K ，连接HK ， 则//EH AB ，且112EH AB ==. 因为EF ⊥平面PCD ，所以EF PD ⊥.在PAD ∆中，17PA PD ==，2AD =，易求17EF =，217PF =. 又215MC CD =，则3415MD =. 因为PF KFPD MD=，所以1KF =. 因为EH FK =，且//////AB EH CD FK ，所以四边形EFKF 是平行四边形， 所以//EF HK ，又HK ⊂平面PBM ，EF ⊄平面PBM ， 所以//EF 平面PBM .（2）因为EF ⊥平面PCD ，所以EF CD ⊥，而ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥. 因为EF 与AD 显然是相交直线，所以CD ⊥平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面ABCD .记AD 的中点为O ，连接OP ，OQ ，则PO ⊥平面ABCD ，且1714PO =-=. 因为点Q 为CG 的中点，所以3OQ =，5PQ =，10QD =在PQD ∆中，5PQ =，QD =，PD =cosPQD ∠=sinPQD ∠=，所以113522PQD S ∆=⨯=， 而三棱锥P ADQ -的体积11234432V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 记A 到平面PDQ 的距离为d ， 则143PQD S d ∆⨯⨯=，所以2413d =. 因为E 到平面PDQ 的距离是A 到平面PDQ 的距离的一半， 所以E 到平面PDQ 的距离为1213. 【点睛】此题考查线面平行的证明和求点到直线的距离，寻找线线平行证明线面平行，也可通过寻找面面平行得线面平行，求点到平面的距离常用等体积法. 20．已知()11xx f x e x+=-，()()1g x a x =+. （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0a >时，若关于x 的方程()()0f x g x +=存在两个正实数根，证明:2a e >. 【答案】（1）310x y -+=；（2）见解析【解析】（1）求出导函数，得出切线斜率，即可得到切线方程；（2）将方程的根的问题转化为构造函数()xh x e ax a =-+，分类讨论单调性即可得证.【详解】（1）解:∵()()2231xx e f x x '-=-， ∴()01f =，()'03f =，∴曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为310x y -+=.（2）证明:由()()0f x g x +=存在两个正实数根，整理得方程()()11xe a x x =-≠存在两个正实数根，记这两个正实数根为()1212,x x x x <， 由0a >，知211x x >>，令()xh x e ax a =-+，则()xh x e a '=-，当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在()ln ,a +∞上单调递增; 当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在()0,ln a 上单调递减. 所以()()min ln 2ln h x h a a a a ==-.因为()xh x e ax a =-+有两个零点，即2ln 0a a a -<，所以2ln 0a -<，解得2a e >. 【点睛】此题考查导数的几何意义和利用导函数讨论函数单调性解决参数取值范围问题，可以正面分类讨论，也可考虑分离参数求解.21．已知椭圆2222:1x y W a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =u u u u r u u u u r ，且1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r . （1）求W 的方程；（2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若26CD MN =，求2F CD S △.【答案】（1）2214x y +=；（2. 【解析】（1）设12(,0),(,0)F c F c -，由已知227PF F Q =u u u u r u u u u r ，求得Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程，得2234c a =；再由1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，求得222c b -=，结合222a b c =+，求出,a b 值，即可求得结论；（2）先讨论直线2l 斜率不存在和斜率为0的情况，验证不满足条件，设直线2l 的方程为(()0y k x k =+≠，与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出||MN ；再将直线1l 方程1=-y x k与椭圆联立，求出2CD ，由26CD MN =求出k 的值，进而求出||CD ，再求出点2F 到直线CD 的距离，即可求解.【详解】（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =u u u u r u u u u r， ∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫-⎪⎝⎭.∵Q 在W 上， 将8,77Q c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭代人22221x y a b+=，得2234c a =.又∵1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，∴()8816,777,c b c b ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭--， ∴222c b -=.又∵222a b c =+，∴24a =，21b =，W 的方程为2214x y +=.（2）当直线2l 的斜率不存在时，||2CD =，||4MN =，不符合题意； 当直线2l 的斜率为0时，||4CD =，||1MN =，也不符合题意. ∴可设直线2l的方程为(()0y k x k =≠,联立(22,1,4y k x xy ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得()2222411240k x x k +++-=，则12x x +=，212212441k x x k -=+.()2241||41k MN k +==+.由221,1,4y x kx y ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()222161||4k CD k +=+.又∵26||||MN CD =，∴()()2222241161444k k k k ++=++，∴22k =，∴||CD =∵2F 到直线CD的距离1d ==，∴2112F CD S =⨯⨯=△. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设直线方程时要注意特殊情况，要熟练掌握求相交弦长的方法，考查计算能力，属于较难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos 3sin x y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数)，将曲线1C 上的所有点的横坐标缩短为原来的232C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （1）求2C 的极坐标方程和l 的直角坐标方程； （2）在极坐标系中，射线4πθ=与l ，2C 分别交于A ，B 两点(异于极点)，定点()14,0M ，求MAB ∆的面积.【答案】（1）22123sin ρθ=+，60x y +-=；（2）21-【解析】（1）根据极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程的转化关系即可求解； （2）求出M 到射线4πθ=的距离，结合极坐标方程求出7A B AB ρρ=-=即可求解面积. 【详解】 （1）将曲线1C :3cos 3sin x y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数)，消去β得229x y +=，经过伸缩变换233x x y y⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩后得曲线2C :22143x y +=，化为极坐标方程为22123sin ρθ=+.直线l的极坐标方程为sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即cos sin 60ρθρθ+-=，所以l 的直角坐标方程为60x y +-=. （2）M 到射线4πθ=的距离14sin4d π==因为A ρ=，B ρ=，所以7A B AB ρρ=-=，1121227MABS AB d ∆⎛=⋅=⨯⨯=- ⎝⎭【点睛】此题考查极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程的互化，利用极坐标方程求距离再求三角形面积公式，考查通式通法. 23．已知函数()212f x x x =-++. （1）解不等式()6f x <；（2）若()f x 的最小值为m ，2223522a b c m ++=，求64ab bc +的最大值. 【答案】（1）7533x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）5. 【解析】（1）分类讨论去绝对值，求解不等式；（2）结合（1）所得分段函数求出最小值，利用基本不等式即可证明. 【详解】（1）()31,213,22131,2x x f x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，当2x -≤时，由316x --<，得73x >-，所以723x -<≤-; 当122x -<<时，由36x -<，得3x >-，所以122x -<<;当12x ≥时，由316x +<，得53x <，所以1523x ≤<.综上，不等式()6f x <的解集为7533x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.（2）由（1）知()f x 的最小值52m =， 所以22252352m a b c ==++()()22223264a bcb ab bc =+++≥+，所以64ab bc +的最大值为5，当且仅当a b c ==时取等号. 【点睛】此题考查解绝对值不等式和证明不等式，涉及分类讨论，绝对值函数最值问题，利用基本不等式进行证明.。
2020年河南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)
2020年河南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2⩽x<3},B={0,2,4}，则A∩B=()A. {0,2,4}B. {0,2}C. {0,1,2}D. ϕ2.复数z满足z(3−4i)=1(i是虚数单位)，则|z|=()A. √55B. √525C. 125D. 153.CPI是居民消费价格指数(consumerpriceindex)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1月−7月的CPI同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2018年2月与2017年2月相比较，叫同比；2018年2月与2018年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是()A. 2018年1月−7月CPI有涨有跌B. 2018年2月−7月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳C. 2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，1月CPI涨幅最大D. 2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI有涨有跌4.已知命题p：对∀x∈(−∞,0)，x2019<x2018，则￢p为()A. ∃x0∈[0,+∞)，使得x02019<x02018B. ∀x∈[0,+∞)，使得x2019≥x2018C. ∃x0∈(−∞,0)，使得x02019≥x02018D. ∀x∈(−∞,0)，使得x02019<x020185.已知向量a⃗=(1,−1),b⃗ =(m,2)，若a⃗//b⃗ ，则实数m的值为()A. 0B. 2C. −2D. 2或−26.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，则b的值等于()A. 12B. 1C. 2D. 47. 已知x 与y 之间的一组数据如右表，根据表中提供的数据求出y 关于x 的线性回归方程为y ̂=0.8x +0.5，那么t 的值为x 2 4 6 8 y345tA. 5B. 6C. 7D. 88. 已知某个三棱锥的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，则这个三棱锥的体积是( )A. 13cm 3B. 23cm 3C. 43cm 3D. 83cm 39. 在区域{x +y −√2≤0x −y +√2≥0y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率为( )A. π8B. π6C. π4D. π210. 函数f(x)=sin(2x +φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则φ等于( )A. π6B. −π6C. π3D. −π311. 有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母．现规定：当卡片的一面为字母P 时，它的另一面必须是数字2.如图，下面的四张卡片的一个面分别写有P ，Q ，2，3，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是( )A. 第一张，第三张B. 第一张，第四张C. 第二张，第四张D. 第二张，第三张12. 已知f(x)=x 2+ax +3ln x 在(1,+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−2√6]B. [−2√6,+∞)C. (−∞,√62]D. [−5,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=(x+1)lnx−4(x−1)在(1,f(1))处的切线方程为______ ．14.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)和椭圆x216+y29=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为______．15.△ABC中，∠C=90°，点M在边BC上，且满足BC=3BM，若sin∠BAM=15，则sin∠BAC= ______ ．16.A，B，C，D是同一球面上的四个点，△ABC中∠BAC=π2,AB=AC,AD⊥平面ABC，AD=2，BC=√6，则该球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{2a n}的公比为2，且a4+a32=21．(1)求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求数列{1(2a n−1)(2n−1)}的前n项和S n．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面ABC，D，E分别为BC，CC1的中点，AA1=AC=AB=2，BC=3．(Ⅰ)证明：A1B//平面ADC1；(Ⅱ)求三棱锥E−A1BC的体积．19.某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况，在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本，测量树苗高度(单位：cm).经统计，高度均在区间[20,50]内，将其按[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，其中高度不低于40cm 的树苗为优质树苗．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区，部分数据如下2×2列联表所示，将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关？甲地区乙地区合计优质树苗5非优质树苗25合计附：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(2√3,√3)且离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上存在三个不同的点A ，B ，P ，满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求弦长|AB|的取值范围．21. 已知函数f(x)=x 2+2x ，g(x)=xe x ．(1)求f(x)−g(x)的极值；(2)当x ∈(−2,0)时，f(x)+1≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√2ty =t 2(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=4，M 为曲线C 2上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|⋅|OP|=16.(Ⅰ)求点P的轨迹C3的直角坐标方程；(Ⅱ)设C1与C3的交点为A，B，求△AOB的面积．23.已知函数f(x)=|x|+|x−4|．(1)若f(x)≥|m+2|恒成立，求实数m的最大值；(2)记(1)中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题解：集合A={−2,−1,0,1,2}，B={0,2,4}，所以A∩B={0,2}．故选B．2.答案：D解析：解：复数z满足z(3−4i)=1(i是虚数单位)，可得|z(3−4i)|=1，即|z||3−4i|=1，可得5|z|=1，∴|z|=1，5故选：D．直接通过复数方程两边求模，化简求解即可．本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．3.答案：D解析：解：对于A：2018年1月−7月CPI有4，7月涨有2，3，5，6，跌，故A正确；对于B：2018年2月−7月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳，涨跌幅均在±0.1，0.2，故B正确；对于C：2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，1月涨幅2.5，其值最大，故C正确；对于D：2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI全部上涨，故D错误．故选：D．根据同比和环比的概念逐项分析可得．本题考查统计图的应用，属中档题．4.答案：C解析：本题主要考查含有量词的命题的否定，为基础题．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题命题p：对∀x∈(−∞,0)，x2019<x2018为全称命题，则命题的否定为：∃x0∈(−∞,0)，使得x02019≥x02018，故选：C．5.答案：C解析：解：∵a⃗=(1,−1),b⃗ =(m,2)，且a⃗//b⃗ ，∴1×2−(−1)×m=0，解得m=−2故选：C由向量的平行可得1×2−(−1)×m=0，解方程可得．本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题．6.答案：C解析：本题考查双曲线的渐近线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．利用双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，可得b1=2，即可求出b的值．解：∵双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，∴b1=2，∴b=2，故选：C．7.答案：B解析：先计算平均数，然后根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论，本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用线性回归方程恒过样本中心点是解题的关键，属于基础题．解：由题意，x=2+4+6+84=5，y=3+4+5+t4=12+t4，代入线性回归方程ŷ=0.8x+0.5，可得12+t4=0.8×5+0.5，解得t=6．故选B．8.答案：C解析：【试题解析】解：由三视图可得原几何体如图，底面三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，且BD=DC=1，AD=2，面PBC⊥面ABC，PD=2为棱锥的高，所以V P−ABC=13×S△ABC×PD=13×12×2×2×2=43cm3．故选C．俯视图是等腰三角形，且内部有一条实线，该实线是三棱锥的一条侧棱在地面上的垂直投影，所以棱锥顶点在底面的射影为底面三角形一边的中点，结合正视和左视图即可还原得到原图形，底面积可求，高已知，则体积可求．本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是由三视图还原得到原几何体，由三视图得原几何体的方法是，先看俯视图，结合正视图和左视图．此题是基础题．9.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则B(−√2,0)，C(√2,0)，A(0,√2)，则△ABC的面积S=12×√2×2√2=2，点P落在单位圆x2+y2=1内的面积S=12×π×12=π2，则由几何概型的概率公式得则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为π22=π4，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，利用数形结合求出对应的区域面积是解决本题的关键．10.答案：D解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得π3+φ=kπ，k∈Z，由此根据|φ|<π2求得φ的值．解：函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位后，得到函数y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+π3+φ)的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得π3+φ=kπ，k∈Z，由|φ|<π2得φ=−π3，故选：D．11.答案：B解析：解：由于当牌的一面为字母P时，它的另一面必须写数字2，则必须翻看P是否正确，这样2就不用翻看了，3后面不能是Q，要查3．故为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法，翻看第一张，第四张两张牌就够了．故选：B．由于题意知，一定要翻看P，而3后面不能是Q，要查3．本题考查了归纳推理，注意推理要合乎情理，利用p后面要写2，并没有说2这个数字后面是其他字母违规进而得出是解题关键．12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的单调性.属于一般题．先对函数进行求导，然后根据二次函数的性质可列不等式，进而求得a的范围．解：由题意得f′(x)=2x+a+3x =2x2+ax+3x≥0在(1,+∞)上恒成立，⇔g(x)=2x2+ax+3≥0在(1,+∞)上恒成立，⇔Δ=a2−24≤0或{−a4≤1, g(1)≥0⇔−2√6≤a≤2√6或a≥−4，综上实数a的取值范围为a≥−2√6．故选B．13.答案：2x+y−2=0解析：解：函数f(x)=(x+1)lnx−4(x−1)的导数为f′(x)=lnx+x+1x−4，可得在(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=ln1+2−4=−2，切点为(1,0)，则在(1,f(1))处的切线方程为y−0=−2(x−1)，即为2x+y−2=0．故答案为：2x+y−2=0．求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程．本题考查函数导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和运用导数的几何意义是解题的关键，属于基础题．14.答案：x24−y23=1解析：解：由题得，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点坐标为(√7,0)，(−√7,0)，c=√7：且双曲线的离心率为2×√74=√72=ca⇒a=2.⇒b2=c2−a2=3，双曲线的方程为x 24−y 23=1．故答案为：x 24−y 23=1．先利用双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)和椭圆有相同的焦点求出c =√7，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出a =2，即可求双曲线的方程．本题是对椭圆与双曲线的综合考查．在做关于椭圆与双曲线离心率的题时，一定要注意椭圆中a 最大，而双曲线中c 最大．15.答案：√155解析：解：设AC =b ，AB =c ，BM =a 3，MC =2a 3，∠MAC =β，在△ABM 中，由正弦定理可得：a3sin∠BAM=csin∠AMB ，代入解得：sin∠AMB =3c5a ，cosβ=cos(π2−∠AMC)=sin∠AMC =sin(π−∠AMC)=sin∠AMB =3c5a ， 在RT △ACM 中，cosβ=AC AM =√(23a)+b ，√(23a)+b =3c5a ，由勾股定理可得a 2+b 2=c 2，化简整理得：(2a 2−3b 2)2=0， a =√62b ，c =√102b ， 在RT △ABC 中，sin∠BAC =a c=√6b2√10b 2=√155． 故答案为：√155．在△ABM 中，由正弦定理可知，sin∠AMB =3c 5a，进而可得cosβ=3c5a ，在RT △ACM 中，还可得cosβ=√(23a)2+b 2，建立等式后可得a =√62b ，c =√102b ，在RT △ABC 中，sin∠BAC =a c=√155． 本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题．16.答案：10π解析：解：由题意画出几何体的图形如图， 把A 、B 、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心F 、E 连线的中点O 与A 的距离为球的半径，AD=2，AB=AC=√3，OE=1，△ABC是等腰直角三角形，E是BC中点，AE=12BC=√62，∴球半径AO=√32+1=√52．所求球的表面积S=4π(√52)2=60π．故答案为：10π画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．17.答案：解：(1)依题意可得：2a n+12a n=2a n+1−a n=2，则a n+1−a n=1，从而数列{a n}是公差为1的等差数列．∵a4+a32=a1+3+(a1+2)2=21，∴a1=2或a1=−7，当a1=2时，a n=n+1，当a1=−7时，a n=n−8.(2)因为a1>0，所以a n=n+1，1(2a n−1)(2n−1)=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，则S n=12(1−13+13−1 5+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．解析：本题考查数列的基本运算，等差数列的通项公式以及裂项相消法求和．(1)由等比数列的概念得到{a n}为等差数列，由通项公式求得{a n}的通项；(2)直接对通项裂项，由裂项相消法求和即可．18.答案：(Ⅰ)证明：设A1C与AC1相交于O点，连接OD，则O为A1C的中点，∵D为BC的中点，∴OD是△A1CB的中位线，∴OD//A1B，∵A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，∴A1B//平面ADC1；(Ⅱ)解：∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵BB1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC，∴BB1⊥AD，又BB1∩BC=B，BB1、BC⊂平面BCE，∴AD⊥平面BCE，又AD=√AB2−BD2=√72，S△BCE=12×3×1=32．∴V E−A1BC=V A1−EBC=13S△EBC⋅AD=13×32×√72=√74．解析：本题考查线面平行的判定，考查多面体体积的求法，属于中档题．(Ⅰ)设A1C与AC1相交于O点，连接OD，则O为A1C的中点，由三角形中位线定理可得OD//A1B，再由线面平行的判定可得A1B//平面ADC1；(Ⅱ)由题意得到AD⊥BC和BB1⊥AD，进而证明AD⊥平面BCE.由勾股定理求得AD，再求出三角形BEC的面积，由等体积法求三棱锥E−A1BC的体积．19.答案：解：(1)根据概率的性质可得：(a+3a+0.04+0.07+0.04+a)×5=1，解得a=0.01．(2)2×2列联表如下：K2=100×(5×25−20×50)255×45×25×75，≈16.50>10.828．所以有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关．解析：本题考查了独立性检验，属于中档题．(1)根据概率的性质可得：(a +3a +0.04+0.07+0.04+a)×5=1，解得a =0.01； (2)根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．20.答案：解：(1)由题意知c a =12,(2√3)2a 2+(√3)2b2=1，又因为c 2+b 2=a 2，解得a 2=16，b 2=12．则椭圆标准方程为x 216+y 212=1；(2)因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则由向量加法的意义知四边形OAPB 为平行四边形， 设直线l 过A 、B 两点，①若直线l 垂直于x 轴，易得：P(4,0)，A(2,3)，B(2,−3)或者P(−4,0)，A(−2,3)，B(−2,−3)， 此时|AB|=6，②若直线l 不垂直于x 轴，设l ：y =kx +m(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)， 将直线y =kx +m 代入C 的方程得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−48=0， 故x 1+x 2=−8km3+4k 2,x 1x 2=4m 2−483+4k 2，因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x 0=x 1+x 2，y 0=y 1+y 2， 则x 0=−8km 3+4k ，y 0=y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m 3+4k 2，即P(−8km 3+4k ,6m3+4k )， 因为P 在椭圆上，有(−8km 3+4k 2)216+(6m 3+4k 2)212=1，化简得m 2=3+4k 2，验证，△=64k 2m 2−16(3+4k 2)(m 2−12)=144m 2>0， 所以x 1+x 2=−8km3+4k 2=−8k m,x 1x 2=4m 2−483+4k 2=4m 2−48m 2，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=12√1+k 2|m|=12√1+k 23+4k 2=12√14+14(3+4k 2)，因为3+4k 2≥3，则0<13+4k 2≤13，即14<14+14(3+4k 2)≤13，得6<|AB|≤4√3， 综上可得，弦长|AB|的取值范围为[6,4√3]．解析：(1)根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆的标准方程； (2)由题意可知四边形OAPB 为平行四边形，设直线l 过A 、B 两点，对直线l 的斜率分情况讨论，若直线l 垂直于x 轴此时|AB|=6，若直线l 不垂直于x 轴，设l ：y =kx +m(m ≠0)，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出P(−8km3+4k 2,6m3+4k 2)，代入椭圆方程得到m 2=3+4k 2，再利用弦长公式求出|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=12√1+k 2|m|=12√1+k 23+4k 2=12√14+14(3+4k 2)，因为3+4k 2≥3，则0<13+4k 2≤13，解得6<|AB|≤4√3．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ′(x)=(x +1)(2−e x )，∴ℎ(x)极小值=ℎ(−1)=1e −1， ∴ℎ(x)极大值=ℎ(ln2)=ln 22；(2)由已知，当x ∈(−2,0)时，x 2+2x +1≥axe x 恒成立 即a ≥x 2+2x+1xe =x+2+x −1e 恒成立，令t(x)=x+2+x −1e x，则t′(x)=−(x 2+1)(x+1)x 2e x，∴当x ∈(−2,−1)时，t′(x)>0，t(x)单调递增， 当x ∈(−1,0)时，t′(x)<0，t(x)单调递减， 故当x ∈(−2,0)时，t(x)max =t(−1)=0，∴a ≥0．解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，求导数，确定函数的单调性，即可求f(x)−g(x)的极值； (2)当x ∈(−2,0)时，x 2+2x +1≥axe x 恒成立，即a ≥x 2+2x+1xe x=x+2+x −1e x恒成立，求出右边的最大值，即可求实数a 的取值范围．22.答案：解：(Ⅰ)根据题意，设M(ρ0,θ0)，P(ρ,θ)，则|OM|=ρ0，|OP|=ρ，易知ρ≠0．由题意，得{ρρ0=16ρ0sinθ0=4θ=θ0，解得ρ=4sinθ．故轨迹C 3的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4(y ≠0)．(Ⅱ)将参数方程曲线C 1的参数方程为{x =√2ty =t 2(t 为参数)，转化为普通方程为y =x 22．联立{x 2+(y −2)2=4(y ≠0)y =x 22，可得A(2,2)，B(−2,2)．所以|AB|=4，所以S △AOB =12×2×|AB|=4．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，抛物线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用抛物线和圆的位置关系的应用及三角形的面积公式的应用求出结果． 23.答案：解：(1)由已知可得f(x)={−2x +4,x ≤04,0<x <42x −4,x ≥4，所以f min (x)=4，所以只需|m +2|≤4，解得−6≤m ≤2， 所以实数m 的最大值M =2； ( 2)由(1)知a 2+b 2=2， 又a 2+b 2⩾2ab ，∴ab ≤1，∴√ab ≤1 ①,当且仅当a =b 时取等号， 又∵√ab a+b≤12，∴ab a+b ≤√ab2②，当且仅当a =b 时取等号，由①②得aba+b ≤12， 所以a +b ≥2ab ．解析：本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．(1)求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m +2|≤4，求解m 的范围，得到m 的最大值M ．(2)综合法，利用基本不等式证明即可．。
河南省名校联盟高考2020年高考4月份模拟 文科数学(试卷 (解析版)
2020年名校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（共12小题）1．已知i为虚数单位，则（）A．i B．i C．i D．i2．已知集合A＝{x|2x≤2}，B＝{x|x2﹣2x0}，则A∩（∁R B）＝（）A．∅B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣1，1]3．设（1，λ），（﹣2，3），若∥（2），则λ＝（）A．B．C．1D．1或54．已知双曲线1的离心率为2，则双曲线y2＝1的焦距是（）A．2B．C．4D．25．已知函数f（x），在等差数列{a n}中，a7＝7，a9＝11，则f（a8）＝（）A．1B．2C．3D．46．下列命题为真命题的个数是（）①∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；②若•0，则或；③命题“若x2+y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0“的逆否命题为真命题；④函数f（x）是偶函数．A．1B．2C．3D．47．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转经过点（﹣3，4），则cosα＝（）A．B．C．D．8．5名学生中有且只有3名同学会颠足球，从中任意选取2人，则这2人都会颠足球的概率为（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝x2﹣x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝4，AC⊥BC，CC1＝5，D，E分别是AB，B1C1的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x﹣1）为偶函数，且函数f（x）与直线y＝x 有一个交点（1，f（1）），则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）+f（2019）＝（）A．﹣2B．0C．﹣1D．112．已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2，则该椭圆方程为（）A．1B．1C．1D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y在x＝1处的切线方程为．14．已知实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为．15．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，且S4＝a5﹣1，则公比q＝．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点均在表面积为的同一球面上，AB＝AC＝BC＝4，则这个三棱柱的高是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现分数都位于20～55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]共七组．其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n．（1）求频率分布直方图中m，n的值：（2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数．（每组数据用该组区间中点值作为代表）18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cos A sin B＝sin A+2sin C．（1）求角B的大小；（2）若a＝2，△ABC的面积为2，求b．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形且AD＝2AB＝4，平面PAD ⊥平面ABCD，且△PAD是正三角形，E是AD的中点．（1）证明：CE⊥平面PBE；（2）求点E到平面PBC的距离．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）若过点F作互相垂直的两条直线11，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|•|NF|的最小值．21．已知函数f（x）＝a（x﹣e）e x﹣1（a∈R），g（x）＝﹣x﹣1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1且x＞1时，求证：f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分）[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ）．（1）写出曲线C的普通方程和直线1的直角坐标方程．（2）若直线1与曲线C相交于A，B两点，求△OAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤7的解集；（2）若∃x0∈R，f（x0）≤|3﹣a|，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则（）A．i B．i C．i D．i【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：原式i．故选：C．2．已知集合A＝{x|2x≤2}，B＝{x|x2﹣2x0}，则A∩（∁R B）＝（）A．∅B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣1，1]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．解：，∴，．故选：B．3．设（1，λ），（﹣2，3），若∥（2），则λ＝（）A．B．C．1D．1或5【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．解：由（1，λ），（﹣2，3），则2（5，λ﹣6），又∥（2），所以（λ﹣6）﹣5λ＝0，解得λ．故选：A．4．已知双曲线1的离心率为2，则双曲线y2＝1的焦距是（）A．2B．C．4D．2【分析】根据所给双曲线的方程和离心率求出m即可解：因为e2，所以m＝12，则y2＝1的焦距为22，故选：D．5．已知函数f（x），在等差数列{a n}中，a7＝7，a9＝11，则f（a8）＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用等差数列的性质求出a8，然后利用分段函数求解函数值即可．解：在等差数列{a n}中，a7＝7，a9＝11，可得a89，所以f（a8）＝f（9）＝1+log39＝3．故选：C．6．下列命题为真命题的个数是（）①∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；②若•0，则或；③命题“若x2+y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0“的逆否命题为真命题；④函数f（x）是偶函数．A．1B．2C．3D．4【分析】根据函数，向量，整数，命题的基本概念，逐一分析四个结论的真假，可得答案．解：对于（1）中，当x时，x2＝2为有理数，故错；对于（2）若•0，可以有，故错；对于（3）∵命题“若x2+y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0“是真命题，则它的逆否命题为真命题，故对；对于（4）∵f（﹣x）f（x），且函数定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，则函数f（x）是偶函数，故对，综上真命题有2个故选：B．7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转经过点（﹣3，4），则cosα＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用三角函数的定义可得cos（α），sin（α）的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解cosα的值．解：∵角α的终边按顺时针方向旋转后得到的角为α，由三角函数的定义，可得cos （α），sin（α），∴cosα＝cos（α）＝cos（α）cos sin（α）sin（）．故选：D．8．5名学生中有且只有3名同学会颠足球，从中任意选取2人，则这2人都会颠足球的概率为（）A．B．C．D．【分析】从中任意选取2人，基本事件总数n10，这2人都会颠足球包含的基本事件个数m3，由此能求出这2人都会颠足球的概率．解：5名学生中有且只有3名同学会颠足球，从中任意选取2人，基本事件总数n10，这2人都会颠足球包含的基本事件个数m3，∴这2人都会颠足球的概率p．故选：A．9．函数f（x）＝x2﹣x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，可排除B，利用导数研究可知当x＞0时，f（x）＞0，且f （x）单调递增，可排除C、D，由此得出正确选项．解：∵f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）sin（﹣x）＝x2﹣x sin x＝f（x），且定义域为R，∴f（x）为偶函数，故排除选项B；f（x）＝x（x﹣sin x），设g（x）＝x﹣sin x，则g′（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，∴g（x）单调递增，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＝0，∴当x＞0时，f（x）＝xg（x）＞0，且f（x）单调递增，故排除选项C、D；故选：A．10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝4，AC⊥BC，CC1＝5，D，E分别是AB，B1C1的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意可分别以CA，CB，CC1三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可得出C，D，B，E的坐标，进而得出向量的坐标，从而可求出的值，进而得出异面直线BE与CD所成的角的余弦值．解：可知CA，CB，CC1三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：C（0，0，0），B（0，4，0），A（4，0，0），D（2，2，0），E（0，2，5），∴，∴，∴异面直线BE与CD所成的角的余弦值为．故选：C．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x﹣1）为偶函数，且函数f（x）与直线y＝x 有一个交点（1，f（1）），则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）+f（2019）＝（）A．﹣2B．0C．﹣1D．1【分析】根据题意，分析可得f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数，据此可得f（1）＝﹣f（3），f（2）＝﹣f（4）＝0，结合函数的周期性可得f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）+f（2019）＝f（1）+f（2）+f（3），计算可得答案．解：根据题意，f（x﹣1）为偶函数，函数f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，则有f （﹣x）＝f（x﹣2），又由f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（x+2）＝﹣f（x），则f（1）＝﹣f（3），f（2）＝﹣f（4）＝0，故f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）+f（2019）＝f（1）+f（2）+f（3）＝f（2）＝0；故选：B．12．已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2，则该椭圆方程为（）A．1B．1C．1D．1【分析】由以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，可得AP⊥PF1，若F2B ∥AP，所以F2B⊥BF1，所以△F1F2B是等腰直角三角形，cos45°，可得a，b，c的值可得椭圆的方程．解：设椭圆的半个焦距为c，因为点P在以线段F1A位直径的圆上，所以AP⊥PF1，因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1，又因为|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B是等腰直角三角形，于是|F2B|＝|BF1|＝a，cos45°，|F1A||AP|，可得a+c（2），解得：a＝2，c＝2，b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆的方程为：1，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y在x＝1处的切线方程为x+2y﹣3＝0．【分析】先求出函数的导数，然后分别求出切点的纵坐标和切点处的导数，最后代入点斜式求出切线方程．解：由已知，∴．所以切线方程为，即：x+2y﹣3＝0．故答案为：x+2y﹣3＝014．已知实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过数形结合即可的得到结论．解：作出可行域如图，由z＝2x+2y知，y＝﹣2x+z，所以动直线y＝﹣2x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得M（，）．结合可行域可知当动直线经过点M（，）时，目标函数取得最大值z＝2．故答案为：．15．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，且S4＝a5﹣1，则公比q＝2或﹣1．【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解．解：由题意可得q≠1，因为a1＝1，且S4＝a5﹣1，所以，则可得（1﹣q4）（2﹣q）＝0，故q＝2或q＝﹣1．故答案为：2或﹣116．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点均在表面积为的同一球面上，AB＝AC＝BC＝4，则这个三棱柱的高是8．【分析】由外接球的表面积求出球的半径R，计算△ABC外接圆的半径r；判断三棱柱为直三棱柱，再利用勾股定理求出三棱柱的高．解：外接球的表面积为S＝4πR2，解得R；因为AB＝AC＝BC＝4，所以△ABC外接圆的半径为：r；又三棱柱的各个顶点在同一球面上，所以该三棱柱是直三棱柱，如图所示；所以三棱柱的高是：h＝228．故答案为：8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现分数都位于20～55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]共七组．其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n．（1）求频率分布直方图中m，n的值：（2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数．（每组数据用该组区间中点值作为代表）【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组，能求出m，n．（2）由频率分布直方图能求出该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数．解：（1）由频率分布直方图得：，解得m＝0.04，n＝0.02．（2）该班级这次月考语文作文分数的平均数为：（22.5×0.01+27.5×0.03+32.5×0.06+37.5×0.04+42.5×0.03+47.5×0.02+52.5×0.01）×5＝36.25．∵（0.01+0.03+0.06）×5＝0.5，∴该班级这次月考语文作文分数的中位数为35．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cos A sin B＝sin A+2sin C．（1）求角B的大小；（2）若a＝2，△ABC的面积为2，求b．【分析】（1）由已知利用两角和的正弦函数公式可得sin A+2sin A cos B＝0，结合sin A≠0，可求得cos B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而根据余弦定理即可解得b的值．解：（1）∵2cos A sin B＝sin A+2sin C＝sin A+2sin（A+B）＝sin A+2sin A cos B+2sin B cos A，∴sin A+2sin A cos B＝0，∵sin A≠0，∴1+2cos B＝0，解得cos B，∵B∈（0，π），∴B．（2）∵a＝2，△ABC的面积为2，∴ac sin B c×sin2，解得c＝4，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得b2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形且AD＝2AB＝4，平面PAD ⊥平面ABCD，且△PAD是正三角形，E是AD的中点．（1）证明：CE⊥平面PBE；（2）求点E到平面PBC的距离．【分析】（1）连接PE，CE，证明BE⊥CE，PE⊥平面ABCD，CE⊥BE，于是由线面垂直的判定可得CE⊥平面PBE；（2）求解三角形求出三角形PBC的面积与三角形BEC的面积，再由等体积法求点E 到平面PBC的距离．【解答】（1）证明：∵ABCD为矩形且AD＝2AB，E为AD的中点，∴△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠DEC，得∠BEC，∴BE⊥CE．连接PE，△PAD是等边三角形，E是AD的中点，∴PE⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，PE⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD．∴PE⊥平面ABCD．又CE⊂平面ABCD，∴CE⊥PE．又BE∩PE＝E，BE，PE⊂平面PBE．∴CE⊥平面PBE；（2）解：∵AD＝2AB＝4，侧面PAD是正三角形，E是AD的中点，∴AE＝DE＝2，∴由勾股定理可得BE＝CE，PE，PB＝PC．∴，设点E到平面PBC的距离为h，由V P﹣BEC＝V E﹣PBC，得，即h．∴点E到平面PBC的距离为．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）若过点F作互相垂直的两条直线11，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|•|NF|的最小值．【分析】（1）由题意可知，所以p＝4，从而得到抛物线C的方程；（2）显然直线AB，CD的斜率都存在且均不为0，设直线AB的斜率为k，则直线CD 的斜率为，所以直线AB的方程为y＝k（x﹣2），与椭圆方程联立，利用韦达定理得到点M的坐标，同理可得点N的坐标，进而求出|NF|，|MF|，再利用基本不等式即可求出|MF|•|NF|的最小值．解：（1）因为抛物线C上的点到准线的最小距离为2，所以，解得p＝4，故抛物线C的方程为：y2＝8x；（2）由（1）可知焦点为F（2，0），由已知可得AB⊥CD，所以两直线AB，CD的斜率都存在且均不为0，设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，故直线AB的方程为y＝k（x﹣2），联立方程，消去x得：ky2﹣8y﹣16k＝0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则，因为M（x M，y M）为弦AB的中点，所以，由y M＝k（x M﹣2），得，故点M（，），同理可得：N（4k2+2，﹣4k），故|NF|4，|MF|，所以|MF|•|NF|41616（|k|）≥1632，当且仅当|k|，即k＝±1时，等号成立，所以|MF|•|NF|的最小值为32．21．已知函数f（x）＝a（x﹣e）e x﹣1（a∈一、选择题），g（x）＝﹣x﹣1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1且x＞1时，求证：f（x）＞g（x）．【分析】（1）由题意，得f′（x）＝ae x﹣1（1+x﹣e），分a＞0，a＜0，a＝0三类讨论，即可得到函数f（x）的单调性；（2）利用分析法，要证f（x）＞g（x），即证（x﹣e）e x﹣1＞﹣x﹣1，即证得1，设p（x），利用导数可得p（x）在（1，+∞）上单调递增，从而得到p（x）＞p（1）1，即1成立．解：（1）由题意，得f′（x）＝a[e x﹣1+（x﹣e）e x﹣1]＝ae x﹣1（1+x﹣e）…1分①若a＞0，令f′（x）＞0，得x＞e﹣1，令f′（x）＜0，得x＜e﹣1故函数f（x）在（﹣∞，e﹣1）上单调递减，在（e﹣1，+∞）上单调递增；…2分②若a＜0，令f′（x）＞0，得x＜e﹣1，令f′（x）＜0，得x＞e﹣1故函数f（x）在（﹣∞，e﹣1）上单调递增，在（e﹣1，+∞）上单调递减；…3分③若a＝0，令f（x）＝0，为常量函数，不存在单调性…4分（2）证明：当a＝1时，f（x）＝（x﹣e）e x﹣1，则证f（x）＞g（x），即证（x﹣e）e x ﹣1＞﹣x﹣1，不等式两端同时除以e x，即证，得1，…5分记函数p（x），则p′（x）．设q（x）•e x﹣x， (6)当x＞1时，q′（x）＝e x﹣1﹣1＞0，所以函数q（x）在（1，+∞）上单调递增．所以当x＞1时，q（x）＞q（1）•e1﹣1＝0…8分所以p′（x）＞0，所以函数p（x）在（1，+∞）上单调递增．所以p（x）＞p（1）1，即1成立，故f（x）＞g（x）得证…12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分）[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ）．（1）写出曲线C的普通方程和直线1的直角坐标方程．（2）若直线1与曲线C相交于A，B两点，求△OAB的面积．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为，（θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．直线l的极坐标方程为ρsin（θ），整理得转换为直角坐标方程为x+y﹣3＝0．（2）由于原点（0，0）到直线x+y﹣3＝0的距离d，所以|AB|＝2，所以．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤7的解集；（2）若∃x0∈R，f（x0）≤|3﹣a|，求实数a的取值范围．【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，求并集可得所求解集；（2）由题意可得f（x0）min≤|3﹣a|，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围．解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≤7即|x﹣1|+|x+2|≤7，等价为或或，解得1≤x≤3或﹣2＜x＜1或﹣4≤x≤﹣2，则原不等式的解集为[﹣4，3]；（2）∃x0∈R，f（x0）≤|3﹣a|，可得f（x0）min≤|3﹣a|，由|x﹣a|+|x+2|≥|x﹣a﹣x﹣2|＝|a+2|，当（x﹣a）（x+2）≤0时，取得等号．则|a+2|≤|3﹣a|，即为a2+4a+4≤a2﹣6a+9，解得a，可得实数a的取值范围为（﹣∞，]．。
2020届河南省名校联盟高三模拟仿真考试数学(文科)试题(带答案)
10．执行如图所示的程序框图，若输出的 ，则输入的 的取值范围是( )
A． B． C． D．
11．在 中， ，斜边 ，点 ， 在其内切圆上运动，且 是一条直径，点 在 的三条边上运动，则 的最大值是( )
A．36B．24C．16D．12
12．函数 ，关于 的方程 恰有四个不同实数根，则正数 的取值范围为( )
（2）当 时，若关于 的方程 存在两个正实数根，证明: .
21．已知椭圆 ( )的左、右焦点分别是 ， ，点 为 的上顶点，点 在 上， ，且 .
（1）求 的方程；
（2）已知过原点的直线 与椭圆 交于 ， 两点，垂直于 的直线 过 且与椭圆 交于 ， 两点，若 ，求 .
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，将曲线 上的所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标缩短为原来的 后得到曲线 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
2020届河南省名校联盟高三模拟仿真考试
数学（文科)试题
第I卷（选择题)
一、单选题
1．设集合 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
2．复数 在复平面内对应的点位于第四象限，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
3．已知 ， ， ，则( )
A． B． C． D．
4．学校按年级采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取135人进行问卷调查，已知该校高一､高二､高三的学生分别有450人､400人､500人，则从高一年级的学生中应抽取的人数为( )
统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系，下面是随机采集的5组数据 (其中 表示饮酒人数， (升)表示饮酒量): ， ， ， ， .
2020届河南省名校联盟高三模拟(4月份)数学(文)试题(解析版)
其逆否命题为真命题，故③正确；
对于④中， ，
且函数的定义域是 ，定义域关于原点对称，
所以函数 是偶函数，故④正确.
综上，真命题的个数是 .
故选：B.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
由余弦定理可得 ，解得 .
【点睛】
本题考查三角形中角的计算，同时也考查了利用三角形的面积公式和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.
19．如图，在四棱锥 中，底面四边形 为矩形且 ，平面 底面 ，且 是正三角形， 是 中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）见解析；（2） .
【详解】
因为双曲线 的离心率 ，所以 ，解得 ，
则双曲线 的焦距 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用双曲线的离心率求参数，同时也考查了双曲线焦距的计算，解答的关键就是求出 的值，考查运算求解能力，属于基础题.
5．已知函数 ，在等差数列 中， ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用等差中项的性质求出 的值，再结合函数 的解析式可计算出 的值.
（2）若 ， 的面积为 ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）利用 化简得出 ，可求得 的值，进而可得出角 的值；
（2）利用三角形的面积公式求出 ，进而利用余弦定理可求得 的值.
【详解】
（1）因为 ，所以 .
所以 ，所以 .
， ，所以 .
因为 ，所以 ；
（2）由 20．已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 上的点到准线的最小距离为2.
2020年河南省名校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)
2020年河南省名校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知i 为虚数单位，则4(3ii=- ) A ．2655i + B ．2655i -C ．2655i -+D ．2655i --2．（5分）已知集合1{|22}2x A x =<„，23{|20}4B x x x =-+„，则()(R A B =⋂ð ) A ．∅B ．1(1,)2-C ．1(2，1) D ．(1-，1]3．（5分）设(1,)a λ=r，(2,3)b =-r ，若//(2)a a b -r r r ，则(λ= ) A ．32-B ．32C ．1D ．1或54．（5分）已知双曲线2214x y m -=的离心率为2，则双曲线221x y m-=的焦距是( )A．BC．D．5．（5分）已知函数314,0()1,0x x f x log x x -⎧=⎨+>⎩„，在等差数列{}n a 中，77a =，911a =，则8()(f a =) A ．1B ．2C ．3D ．46．（5分）下列命题为真命题的个数是( ) ①{|x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b =r r g ，则0a =rr 或0b =r r ；③命题“若220x y +=，x R ∈，y R ∈，则0x y == “的逆否命题为真命题；④函数()x x e e f x x--=是偶函数．A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转6π经过点(3,4)-，则cos (α= ) ABCD．8．（5分）5名学生中有且只有3名同学会颠足球，从中任意选取2人，则这2人都会颠足球的概率为( ) A ．310B ．25C ．12 D ．359．（5分）函数2()sin f x x x x =-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．10．（5分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D ，E 分别是AB ，11B C 的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为( )A 3B ．13C 58D 38711．（5分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)f x -为偶函数，且函数()f x 与直线y x =有一个交点(1，f （1）)，则f （1）f +（2）f +（3）(2018)(2019)(f f +⋯⋯++=) A ．2-B ．0C ．1-D ．112．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段1F A 为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP 且线段AP 的长为22+( )A ．22142x y +=B ．22183x y +=C ．22154x y +=D ．22184x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）曲线12lnxy x =+在1x =处的切线方程为 ． 14．（5分）已知实数x ，y 满足1036010x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪+-⎩„……，则2z x y =+的最大值为 ． 15．（5分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，11a =，且451S a =-，则公比q = ． 16．（5分）已知三棱柱111ABC A B C -的各顶点均在表面积为2563π的同一球面上，4AB AC BC ===，则这个三棱柱的高是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现分数都位于20~55之间，现将所有分数情况分为[20，25)，[25，30)，[30，35)，[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55]共七组．其频率分布直方图如图所示，已知2m n =． （1）求频率分布直方图中m ，n 的值：（2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数．（每组数据用该组区间中点值作为代表）。
2020年河南省名校联盟尖子生高考数学模拟试卷(文科)(含答案解析)
2020年河南省名校联盟尖子生高考数学模拟试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x 2−1≥0}，B ={x|0<x <4}，则A ∩B =( )A. (−∞,−1)B. [0,4)C. [1,4)D. (4,+∞)2. (2−i)2−(1+3i)=( )A. 2−7iB. 2+iC. 4−7iD. 4+i 3. 已知a 、b 都是实数，那么“a <b <0”是“1a >1b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 已知tan (α+π6)=1，则tan (α−π6)=( )A. 2−√3B. 2+√3C. −2−√3D. −2+√35. 已知实数x ，y 满足条件{2x +y ≥4x −y ≥1x −2y ≤2，则z =x +y 的最小值为( )A. 43B. 4C. 2D. 36. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E,G 分别是BC ，C 1D 1的中点，如图.则直线EG 与平面BB 1D 1D( )A. 平行B. 相交C. 有无数多个公共点D. 以上都不对7. 设f(cosα+sinα)=12sin2α(α∈R)，则f(sin π3)的值是( )A. √38B. 18C. −18D. 以上都不正确 8. 若函数f(x)满足f(−x)f(x)=1，则f(x)的图像的对称轴( )A. 是x 轴B. 是y 轴C. 是直线y =xD. 不能确定9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A. 14B. 15C. 16D. 1710.在某拍卖会上成交的唐代著名风鸟花弃纹浮雕银杯如图①，银杯由杯托和盛酒容器两部分组成，盛酒容器可近似地看成由圆柱和一个半球组成，盛酒容器的主视图如图2.若AB=6，AC=3，则该容器的容积(不考虑材料的厚度)为()A. 45πB. 50πC. 60πD. 63π11.已知直线y=−x+1与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A、B两点，若椭圆的离心率为√22，焦距为2，则线段AB的长是()A. 2√23B. 4√23C. √2D. 212.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+4)=16，当x∈(0,4]时，f(x)=x2−2x，则函数f(x)在[−4,2016]上的零点个数是()A. 504B. 505C. 1008D. 1009二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(x,−3)，且a⃗⊥b⃗ ，则x=______ ．14.已知双曲线C的离心率为2，左右焦点分别为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=______．15.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若(√3b−c)cosA=acosC，则cosA=____________．16.已知f(x)={2x,x>01,x≤0，则不等式f(2a−1)>f(a−1)的解集为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=1，a n b n+1+b n+1=nb n，3(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求{a n b n}的前n项和．18.唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史，某陶瓷厂在生产过程中，对仿制100件工艺品测得其重量(单位：kg)数据，将数据分组如下表：(1)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[2.20,2.30)的中点值是2.25)作为代表.据此，估计这100个数据的平均值；(2)根据样本数据，以频率作为槪率，若该陶瓷厂生产这样的工艺品5000件，试估计重量落在[2.40,2.70)中的件数；(3)从第一组和第六组6件工艺品中随机抽取2个工艺品，求一个来自第一组，一个来自第六组的概率．19.如图，在三棱锥P−ABC中，AP⊥PC，AB⊥BC，AC=2，∠ACP=30°，AB=BC．(1)当PB=√2时，求证：平面ABC⊥平面PAC；(2)当AP⊥BC时，求三棱锥A−PBC的体积．20.已知抛物线C1：y2=2px(p>0)上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4．(Ⅰ)求p的值；(Ⅱ)设P(x0,y0)(0≤x≤2)为抛物线C1上的动点，过P作圆(x+1)2+y2=1的两条切线分别与y轴交于A、B两点.求|AB|的取值范围．x3−x221.已知函数f(x)=13(1)求f(x)在R上的极值；(2)已知a∈R，若g(x)=f(x)+ax，讨论g(x)的单调性．22.已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(2√3,π6)，曲线C的参数方程为{x=2cosθy=−√3+2sinθ(θ为参数)．(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；(2)若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l:ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距离的最小值．23.已知函数f(x)=|x−a2|+|x+2|，其中a∈R．(1)当a=−1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若∀x∈R，使得f(x)>3a恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={x|x2−1≥0}={x|x≤−1或x≥1}，B={x|0<x<4}，∴A∩B=[1,4)．故选：C．本题考查集合的交集，是基础题．求出集合A，再根据交集的定义求解即可．2.答案：A解析：解：(2−i)2−(1+3i)=3−4i−(1+3i)=2−7i．故选：A．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：A解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题目．根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：若1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，若a<b<0，则1a >1b成立，当a>0，b<0时，满足1a >1b，但a<b<0不成立，故“a<b<0”是“1a >1b”的充分不必要条件，故选A．4.答案：D解析：本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用两角和差的正切公式求得tanα的值，再利用两角和差的正切公式求得要求式子的值． 解：∵已知tan(α+π6)=1，即tanα+tan π61−tanα⋅tan π6=tanα+√331−tanα⋅√33=1， ∴tanα=3−√33+√3=2−√3， 则tan(α−π6)=tanα−√331+tanα⋅√33=√3−2，故选：D ． 5.答案：C解析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．解：由约束条件{2x +y ⩾4x −y ⩾1x −2y ⩽2写出可行域如图，作出直线l 0：x +y =0，平移直线，当直线过A(2,0)时，目标函数z 有最小值等于z =2+0=2． 故选C ．6.答案：A解析：本题考查线面平行的判定，取BD 的中点F ，连接EF ，D 1F ，通过证明结合线面平行的判定求解即可．解：取BD 的中点F ，连接EF ，D 1F ，∵E 为BC 的中点，为ΔBCD 的中位线，则EF//DC ，且，∵G 为C 1D 1的中点，且， 且， ∴四边形EFD 1G 为平行四边形，，而D 1F ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面，平面BDD 1B 1，故选A ． 7.答案：C解析：令t =cosα+sinα，则t 2=1+sin2α，∴sin2α=t 2−1.由f(cosα+sinα)=12sin2α，可得f(t)=t 2−12，∴f(sin π3)=f(√32)=34−12=−18，故选：C ． 8.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性的判断及应用，属于基础题．由题意可得f(−x)=f(x)，则f(x)为偶函数，其图像的对称轴为y 轴．解：由f(−x)f(x)=1，可得f(−x)=f(x)，则f(x)为偶函数，∴其图像的对称轴为y轴．故选B．9.答案：C解析：本题考查程序框图，理解程序的功能是解题的关键．根据程序框图，，当n=14时，，所以到n=15得到S<−3，因此将输出n=15+1=16．故选C．10.答案：A解析：本题考查以传统文化为背景的三视图还原几何体及圆柱和球的体积计算，属于基础题．由图可知：几何体是由一个圆柱和一个半球组成的，然后分别利用柱体和球体体积公式求解．解：由题知：半球的半径R=3，圆柱的底面半径为R=3，高ℎ=3，则容器的容积V=V圆柱+V半球=πR2⋅ℎ+12×43πR3=45π．故选A．11.答案：B解析：本题考查了直线与椭圆的位置关系，联立方程组求解出点的坐标，运用距离公式，属于中档题． 求出椭圆的方程为x 22+y 2=1，联立{x 22+y 2=1y =−x +1得出A(0,1)，B(43,−13)，即可得出两点距离．解：∵e =√22，2c =2，c =1， ∴a =√2，c =1，则b =√a 2−c 2=1，∴椭圆的方程为x 22+y 2=1， 联立{x 22+y 2=1y =−x +1， 化简得：3x 2−4x =0，解得x =0或x =43，代入直线得出y =1或y =−13，则A(0,1)，B(43,−13)，∴|AB|=√(0−43)2+(1+13)2=4√23，故选：B ． 12.答案：B解析：解：当x ∈(−4,0]时，x +4∈(0,4]，f(x)=16−f(x +4)=16−((x +4)2−2x+4)，∵f(x)+f(x +4)=16，∴f(x +4)+f(x +8)=16，∴f(x)=f(x +8)，∴函数f(x)是R 上周期为8的函数；当x ∈(−4,4]时，f(2)=f(4)=0；而2020=8×252+4，f(2)=f(10)=f(18)=⋯=f(8×251+2)，f(−4)=f(4)=f(8×251+4)，故函数f(x)在[−4,2016]上的零点个数是251+1+251+2=505，。
2020年河南省高考文科科数学仿真模拟试题一(附答案)
2020年河南省高考文科数学仿真模拟试题一（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( )A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，0，1}C ．{－1，0，2}D ．{0，1} 2．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y=lnxB.21y x =+ C.y=sinx D.y=cosx 4．已知命题p ：∀x>2，x 3－8>0，那么¬p 是( ) A ．∀x≤2，x 3－8≤0 B ．∃x>2，x 3－8≤0 C ．∀x>2，x 3－8≤0 D ．∃x≤2，x 3－8≤05. 若函数22,0()(),0x x f x g x x -⎧-<=⎨>⎩为奇函数，则f （g （2））＝（ ）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 26. 从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A.23B.12C.25D.137. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 3+B. 3+C. 2D. 2+8. 已知直线2y kx =-与抛物线24x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率等于( )A.2B.29. 已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切，则平面1ACB 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为 （ ）B.18C.27D. 5410. 已知函数()sin cos f x x x ωω=-（0ω>），若()3y f x π=+的图象与()6y f x π=-的图象重合，记ω的最小值为0ω，函数0()cos()3g x x πω=-的单调递增区间为 （ ）A. 2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）B. 27[,]36k k ππππ+++（k Z ∈） C. [,]12232k k ππππ++（k Z ∈） D. 7[,]32122k k ππππ++（k Z ∈） 11. 若x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数z ax y =+仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是 （ ） A. 1(2,)2-B. 1100,32（-，）（）C. 1(0,)2D. 11(,)32-12. 若函数212[]22(xf x a x e ax ax a R =---+∈（）（）（））在1,12（）上有极大值，则a 的取值范围为 （ ）A. )eB.)C. (2,eD. (),e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟(三)数学(文)试题(解析版)
2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}222450,20A x x y x y B x x =+-++==>，则集合A B =U （ ）A ．[)1,+∞B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()0,1【答案】A【解析】通过配方求出集合A ，解不等式求出集合B ，进而可得并集. 【详解】对于集合A ：配方得()()22120,1,2x y x y -++=∴==-， 从而{}1A =.对于集合):120,0B >Q20,10>>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B ∞=+U . 故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题.2．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ）A ．24i +B ．22i -C ．D ．【答案】C【解析】先由已知求出z ，进而可得z i +，则复数的模可求. 【详解】 由题意可知3223iz i i+==-，从而23,24,z i z i i z i =+∴+=+∴+==.故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：1z +易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.3．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（ ）A ．80.5B ．80.6C ．80.7D ．80.8【答案】A【解析】根据频率分布折线图计算该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.25⨯+⨯+⨯+⨯.【详解】由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】此题考查根据频率分布折线图求平均数，关键在于熟练掌握平均数的求解公式. 4．已知数列{}n a 是等比数列，4a ，8a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ） A ．4 B ．2±C ．2D ．2-【答案】C【解析】根据韦达定理，结合等比数列性质2486a a a =即可得解.【详解】∵方程2840x x -+=的两根分别为4a ，8a ，∴484880,40,a a a a +=>⎧⎨=>⎩∴480,0.a a >⎧⎨>⎩由等比数列性质可知24864a a a ==，∴62a =±.又2640a a q =>，∴62a =.故选：C. 【点睛】此题考查等比数列性质，根据韦达定理得两根之积，结合等比数列性质求解指定项，易错点在于漏掉考虑符号. 5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】D【解析】先根据函数(1)f x +是偶函数可得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，再由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，根据131,,42t t+的大小关系可得函数值的大小. 【详解】Q 函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称，由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而1731731,4242t f t f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即b a c <<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若直线m α⊂，直线,,n l m l βαβ⊂⋂=⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B【解析】通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可. 【详解】当//n l 时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥； 反之，若αβ⊥，因为,,m l m l ααβ⊂⋂=⊥，可推出m β⊥.又n β⊂， 所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．392B ．216+C ．20D ．206+【答案】D【解析】在正方体中，根据三视图还原几何体，分别求解各表面的面积即可得解. 【详解】由三视图可知该几何体为正方体ABCD A B C D ''''-截去一个小三棱锥D AD E -'， 如图.()112232ABCE S =⨯+⨯=，()112232CED C S ''=⨯+⨯=，12222AA D S ''=⨯⨯=V .在AED '△中，22125AE ED ==+='22AD '=可计算AD'边上的高为3，∴122362AEDS'=⨯⨯=V，从而可得该几何体的表面积为332634206++++⨯=+.故选：D.【点睛】此题考查根据三视图求几何体的表面积，关键在于准确识别三视图，借助正方体还原几何体.8．如图，已知圆的半径为1，直线l被圆截得的弦长为2，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（）A．1142π-B．1132π-C．113π-D．114π-【答案】A【解析】根据面积公式求解阴影部分面积，结合几何概型求解概率.【详解】由题意知222OA OB AB+=，∴2AOBπ∠=，阴影部分面积为142π-，∴所求事件概率为1114242πππ-=-.故选：A.【点睛】此题考查几何概型，利用面积关系求解概率，关键在于熟练掌握相关面积公式及求解方法.9．已知实数,a b满足,a b R+∈，且31a b+=，则()1924a b a b+++的最小值为（）A．173B．174C．163D．194【答案】C【解析】由31a b+=得()()283a b a b+++=，变形()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭，展开，利用基本不等式即可求最值. 【详解】因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭ ()()()928111610102924333a b a b a b a b ⎡⎤++=++⨯≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当()283a b a b +=+即51,88a b ==时取等号. 故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.10．如图，在ABC V 中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD于点M ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则FM =u u u u r（ ）A ．171515a b -r rB ．171515a b +r rC ．241515a b -r r D ．241515a b +r r【答案】A【解析】根据共线定理由E ，M ，A 三点共线，设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，则21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ，同理由D ，M ，C 三点共线，可得()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，建立方程组求解．【详解】连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，由题意知()1133FE CB AB AC ==-u u u v u u u v u u u v u u u v， ()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，所以21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r. 同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-u u u u r v r ． 故选：A. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，关键在于根据共线定理处理三点共线关系，建立等式求解参数．11．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，满足9A B x x =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】设直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合9A B x x =利用韦达定理即可求解直线斜率得到倾斜角. 【详解】由题意知，直线l 的斜率存在且大于0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=， ∴22A B p x x p k +=+，24A B p x x =.又9A B x x =，∴32A p x =，6B p x =，∴2523A B px x p p k+==+，∴23k =，3k =， ∴倾斜角为60°. 故选：C. 【点睛】此题考查直线与抛物线位置关系，根据交点坐标，结合韦达定理求解参数是解析几何中常用的处理办法.二、双空题12．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x =_________；乙组的中位数为________. 【答案】2 22.5【解析】根据公式计算平均数，将乙组数据从小到大排序，可得中位数. 【详解】由题意，先计算甲组平均数10+12+11+23+21+20+35+30+41+47==2510x 甲，因为=x x 甲乙， 所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 故答案为：2；22.5. 【点睛】本题考查统计中的数字特征：平均数､中位数，考查学生的运算能力，是基础题.三、填空题13．某事业单位欲指派甲､乙､丙､丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到,A B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己的分配地的是_________. 【答案】乙､丁【解析】从甲还不知道自己该去哪里开始分析，可得乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地，再根据乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地可分析出结果. 【详解】四人知道的情况是：组织分配的名额､自已看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地；所以甲、丁一个在A 地，一个在B 地. 又给乙看了丙的分配地， 所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地， 故填乙､丁. 故答案为：乙､丁. 【点睛】本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.14．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120︒，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与xC 的方程为_________.【答案】22y x =或 26y x = 【解析】过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，与抛物线联立，求得y ，进而根据条件列方程可得p 的值，则抛物线方程可求. 【详解】过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y ==y ==从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =. 故答案为：22y x =或26y x =. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力，是基础题. 15．已知函数[)21()sin ,0,2f x x x ax x =++∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】[)1,-+∞【解析】由题意可知'()cos f x x x a =++，设()cos h x x x a =++，可得'()1sin 0h x x =-≥，求出()h x 的单调性，分1a ≥-，1a <-讨论，求出()f x 的单调性和最值，进而可得答案. 【详解】由题意可知'()cos f x x x a =++， 设()cos h x x x a =++，则'()1sin 0h x x =-≥，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，(0)1h a =+，（1）当10a +≥，即1a ≥-时，()(0)0h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()(0)0f x f ≥=恒成立；（2）当10a +<，即1a <-，令2x a =-，则()(2)2cos 20h a a -=+->. 又(0)10h a =+<，所以()00,x ∃∈+∞，使得0()0h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()(0)0f x f <=，不合题意. 综上a 得取值范围为{}1a a ≥-. 故答案为：[)1,-+∞. 【点睛】本题考查三角函数与导函数的综合问题，考查灵活运用导数处理恒成立问题的能力，是中档题.四、解答题16．如图，ABC ∆为等边三角形，边长为3，D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（1）求sin ADB ∠的值； （2）求DE 的长. 【答案】（1）32114.（27【解析】（1）在ABD ∆中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值； （2）在CDE ∆中，应用正弦定理，求出DE . 【详解】（1）由题意可知60,3,2A AB AD =︒==，由余弦定理， 得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯= 从而7BD =设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BD Aθ=，即37sin 3θ=， 得321sin 14θ=； （2）由题意知θ为锐角，所以27cos 1sin 14θθ=-=， 而()3157sin sin 30cos 2E θθθ=+︒=+=， 在CDE ∆中，由正弦定理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 3072sin 557CD DE E ⨯⋅︒===. 【点睛】本题考查解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正､余弦定理；（3）三角形有关公式，是基础题.17．如图，多面体ABCDE 中，CD ⊥平面ABC ，//AE CD ，F 为BE 的中点，2AB BC CA AE ====，1CD =.（1）求证：//DF 平面ABC ； （2）求点F 到平面ABD 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）通过证明//DF GC 得证线面平行；（2）根据F ABD D ABF V V --=，利用等体积法求解点到平面距离. 【详解】（1）取AB 中点G ，连接FG ，GC ，由题意知F 为BE 中点，∴FG 为ABE △的中位线， ∴1//,2FG AE FG AE =，而1//,2CD AE CD AE =，∴FGCD 为平行四边形， ∴//DF GC ，而GC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴//DF 平面ABC . （2）∵ABC V 为等边三角形，G 为AB 中点，∴GC AB ⊥. 又∵AE ⊥平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，∴GC AE ⊥. 又AE AB A =I ，∴GC ⊥平面ABE .由（1）可得，DF ⊥平面ABE .由2AB AE ==，EA AB ⊥， 可得12222ABE S =⨯⨯=V ，∴1ABF S =V .在Rt BCD V 中，2BC =，1CD =，∴BD =AD =2AB =，易得2ABD S =V ，而DF CG ==F ABD D ABF V V --=，得1133ABD ABF S d S DF ⋅=⋅V V，即d =，∴点F 到平面ABD的距离是2. 【点睛】此题考查线面平行的证明和求解点到平面的距离，关键在于熟练掌握相关定理推理证明，常用换顶点的方式等体积法求解点到平面距离.18．已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F，点P ⎛ ⎝⎭在椭（1）求椭圆的标准方程；（2）直线():0l y kx m k =+≠过椭圆左焦点1F ，与椭圆交于A ，B 两点，求2ABF V 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）2 【解析】（1）根据离心率和椭圆上的点建立方程组求解； （2）联立直线和椭圆的方程，得出面积2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=V 求解面积最值. 【详解】（1）由题意得22222131,42,a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,1,a b =⎧⎨=⎩ ∴椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）由22,440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214240k y my m k +-+-=， ∵l过()1F ，∴0m +=，即m =，∴()222140ky k +--=，∴12y y +=212214k y y k =-+，∴2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=V== 令214k t +=，则1t >且()()()2422222214116162314t t k k t t t t k -+-++-==+，令1p t=，则01p <<，且2222231231321t t p p t t t+-=-⋅++=-++. ∵()0,1p ∈，∴当13p =时，()2max 43213p p -++=， ∴2ABF V2=. 【点睛】此题考查求椭圆的方程，关键在于准确计算基本量，利用韦达定理处理直线和曲线形成弦长问题，转化为函数问题求解面积最值.19．甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；（2）设第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p .【答案】（1）11831728.（2）1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭【解析】（1）搞清两种状况，①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，分别计算概率；（2）由第n 次与1n +次的关系，建立递推公式115612n n p p +=+，构造等比数列数列，求出通项公式即可. 【详解】由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有()()()()()()()()1,6,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,3,4,4()()()()()()()()4,5,4,6,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1()()()()()6,2,6,3,6,4,6,5,6,6共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （1）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6， 其概率为7711212⨯=， ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，其概率为55717511212121728⨯⨯⨯=， 甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=； （2）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类： ①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ， ②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫--⎪⎝⎭， 从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， 1111262n n p p +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭1111111210,122262n n p p p +--=-=≠∴=-Q ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列1111226n n p -⎛⎫∴-=⨯ ⎪⎝⎭，1111262n n p -⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查递推数列在概率统计中的应用，一般考查递推公式求通项公式，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些，是一道难度较大的题目. 20．已知函数()()212xa f x xe x =-+. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当0x ≥时，不等式()222xaf x e ≥--恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-；（2）(],1-∞- 【解析】（1）求出导函数，结合不等式得函数的单调区间； （2）将问题转化为()()222202xa x e x x --++≥恒成立，利用导函数讨论函数的单调性，分类讨论求解最值，利用最小值大于等于0求解参数取值范围. 【详解】（1）1a =时()()2112xf x xe x =-+， ()()()()()1111x x f x x e x x e =+-+=+-'，若()0f x ¢³，则1x ≤-或0x ≥，若()0f x ¢<，则10x -<<，所以()f x 的增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-. （2）由题意得()2202xaf x e -++≥恒成立， 即()()222202xa x e x x --++≥恒成立. 设()()()22222xa h x x e x x =--++， 则()()()11xh x x e a x '=--+，令()()()11xg x x e a x =--+，则()xg x xe a '=-.令()xF x xe a =-，则()()1xF x x e +'=.∵0x ≥，∴()0F x '>，()F x 为[)0,+∞上的增函数，①当0a ≤时，()()00F x F a ≥=-≥， 从而()g x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()01g x g a ≥=--，当10a --≥，即1a ≤-时，()()00g x g ≥≥，从而()h x 在[)0,+∞上为增函数，∴()()00h x h ≥=恒成立.若10a --<，即10a -<≤时，由()g x 在[)0,+∞上为增函数，且()010g a =--<，()120g a =->，∴在()0,+?上，存在0x 使得()00g x =，从而()h x 在(]00,x 上为减函数， 此时()()00h x h <=，不满足题意.②0a >时，由()F x 在[)0,+∞上为增函数， 且()00F a =-<，()()10aaF a ae a a e =-=->，∴在()0,a 上，存在1x ，使得()10g x =， 从而()g x 在()10,x 上为减函数， 此时()()010g x g a <=--<，∴()h x 在()10,x 上也为减函数，此时()()00h x h <=，不满足题意， 综上所述，a 的取值范围为(],1-∞-. 【点睛】此题考查导函数的应用，利用导函数讨论函数的单调性，分类讨论求解最值，解决不等式的恒成立问题，求解参数，涉及转化与化归，分类讨论思想.21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0απ≤≤)，曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设l 与C 交于,D E 两点(异于原点)，求OD OE +的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=.（2）【解析】（1）展开曲线C 的方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==，从而得曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值. 【详解】（1）曲线C 可化为2240x x y -+=，即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（2）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心， 从而2DOE π∠=设()12,,,2D E ρθρθπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则124cos 4cos 2OD OE ρρθθπ⎛⎫+=+=++⎪⎝⎭4θπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为【点睛】本题考查三种方程间的相互转化，是该类问题的考察对象，应用极坐标求最值问题也是常见方法，要求学生必须掌握，考查了转化与化归思想，是基础题. 22．已知实数,a b 满足0,0a b >>且1a b +=. （1）证明：()()2222119a b a b --≥；（2≤【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析【解析】（1）应用,a b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行作差比较；另外可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明；（2）设t =1a b +=可得23t =+，利用基本不等式求得最大值，即可证明.【详解】（1）解法1： ()()2222911a b a b ---222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++-- ()3224851a a a a =-+- ()()22121a a a =--10,1,01b a a a =->∴<∴<<Q()()221210a a a ∴--≤从而可得()()2222119a b a b --≥； 解法2：220,0,0a b a b >>∴>Q∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1a b +=Q 且0,0a b >>221111a b ⎛⎫⎛⎫∴-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b a b +-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225a b b a=++59≥= 当且仅当12a b ==时取等号，得证；（2）设t =，则()()211t a b =++++1a b +=Q22130,0,24a b t a b ab +⎛⎫∴=+>>∴≤=⎪⎝⎭2336 t∴=+≤+=t ∴≤12a b==时等号成立，得证.【点睛】本题考查不等式的证明，考察转化与化归思想，不等式证明问题多与基本不等式有关，用基本不等式证明应思考等号成立的条件，是中档题.。
河南省名校2020届高三3月联合考试 数学(文) 含答案
河南名校(四校)高三联合考试数学(文科)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设z＝2ii-，则z的共轭复数z在复平面内的对应点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合M＝{0，1}，N＝{x|lgx≤0}，则集合M∪N＝A.[0，1]B.(0，1]C.[0，1)D.(－∞，1]3.设a＝30.5，b＝log0.50.6，c＝cos 45π，则A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b.4.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位…用纵式表示，十位、千位、十万位…用横式表示，则56846可用算筹表示为5.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是A.f(x)＝sin x xe B.f(x)＝e |x|－x 2 C.f(x)＝e |x|－|x| D.f(x)＝e |x|－2x 26.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是A.522B.324C.535D.5787.已知sin63°≈0.8912(cos72°＋cos18°)的近似值为A.1.773B.1.782C.1.796D.1.8158.已知向量OM ＝(1，0)，ON ＝(0，2)，MP ＝t MN ，则当|OP |取最小值时，实数t ＝A.15 B.13 C.12 D.19.在如图所示的程序框图中，执行所给的程序后，则输出的T 和k 的关系为A.T ＝7(k －2)B.T ＝10k －3C.T ＝9(k －2)D.T ＝8k －110.抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，半径为3的圆C 过点O 、F ，且与抛物线的准线l 相切，则p 的值为A.1B.2C.4D.811.将函数f(x)＝sinxcosx 的图象向右平移φ(|φ|<2π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0，6π]上单调递增，则满足条件的实数φ的最小值与最大值的和是A.2π B.3π C.4π D.6π12.已知F 1，F 2是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线AF 1与双曲线的一条渐近线y ＝b ax 平行，△AF 1F 2的周长为9a ，则该双曲线的离心率为A.2C.3第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020年河南省高考数学(文科)模拟试卷(5) 含详细答案解析
-1 ?? ∴ =，
12 解得 x＝﹣ 2，
→
∴ |??|= √ (-1) 2 + (-2) 2 = √5．
D．5
故选： C．
4．（ 5 分）已知圆
C：x2+y2﹣ 10y+21 ＝ 0
与双曲线
??2 ??2
-
??2 ??2 =
1(??＞0，?＞? 0) 的渐近线相切，
则该双曲线的离心率是（
）
A ．√2
-
??2 ??2 =
1(??＞0，?＞? 0) 的渐近线相切，
则该双曲线的离心率是（
）
A ．√2
5 B．
3
5 C．
2
D． √5
5．（ 5 分）数列 { an} 满足 2an+1＝ an+an+2，且 a2，a4038 是函数 f（ x）＝ x2﹣ 8x+3 的两个零点，
则 a2020 的值为（
）
A ．4
|0-5??|
5??
即 √ ?2?+??2 =
= 2， ??
?? 5 解得 = ，
?? 2
即双曲线的离心率是
e=
5 2
．
故选： C． 5．（ 5 分）数列 { an} 满足 2an+1＝ an+an+2，且 a2，a4038 是函数 f（ x）＝ x2﹣ 8x+3 的两个零点，
则 a2020 的值为（
3 2
，
0)
时， f（ x）＝ log 2（﹣ 3x+1），则 f（ 2020 ）＝（
）
A ．4
B ．log27
C． 2
D．﹣ 2