动力学大题

快练3 动力学方法和能量观点的综合应用

1．如图1所示，半径分别为2R和R的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD，甲圆形轨道左侧有一个与轨道CD完全一样的水平轨道OC.一质量为m的滑块以一定的速度从O点出发，先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道，若滑块在两圆轨道的最高点对轨道的压力都恰好为零，试求：(重力加速度为g)

图1

(1)CD段的长度；

(2)滑块在O点的速度大小．

2．如图2所示，一内壁光滑的细管弯成半径为R＝0.4 m的半圆形轨道CD，竖直放置，其内径略大于小球的直径，水平轨道与竖直半圆形轨道在C点连接完好．置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B处为弹簧的自然状态．将一个质量为m＝0.8 kg的小球放在弹簧的右侧后，用力向左侧推小球而压缩弹簧至A处，然后将小球由静止释放，小球运动到C处后对轨道的压力为F1＝58 N．水平轨道以B处为界，左侧AB段长为x＝0.3 m，与小球的动摩擦因数为μ＝0.5，右侧BC段光滑．g＝10 m/s2，求：

图2

(1)弹簧在压缩状态时所储存的弹性势能；

(2)小球运动到轨道最高处D点时对轨道的压力大小．

3．(2018·西湖高级中学月考)水上滑梯可简化成如图3所示的模型：倾角为θ＝37°的倾斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接，起点A距水面的高度H＝7.0 m，BC的长度d＝2.0 m，端点C距水面的高度h＝1.0 m．一质量m＝50 kg的运动员从滑道起点A无初速度地自由滑下，运动员与AB、BC间的动摩擦因数均为μ＝0.1(取重力加速度g＝10 m/s2，cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6，运动员可视为质点)

图3

(1)求运动员沿AB下滑时的加速度的大小a；

(2)求运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W和到达C点时的速度的大小v C；

(3)保持水平滑道左端点在同一竖直线上，调节水平滑道高度h和长度d到图中B′C′位置时，运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大，求此时滑道B′C′距水面的高度h′.

4．(2018·诸暨市牌头中学期中)雪橇运动在北方很受人们欢迎，其简化模型如图4所示．倾角θ＝37°的直线雪道AB与曲线雪道BCDE在B点平滑连接，其中A、E两点在同一水平面上，雪道最高点C所对应的圆弧半径R＝10 m，B、C两点距离水平面AE的高度分别为h1＝18 m、h2＝18.1 m，雪橇与雪道间的动摩擦因数μ＝0.1.游客可坐在电动雪橇上由A点从静止开始向上运动．若电动雪橇以恒定功率P＝1.03 kW工作t＝10 s时间后自动关闭，则雪橇和游客(总质量M＝50 kg)到达C点时的速度v C＝1 m/s，到达E点时的速度v E＝9 m/s.已知雪橇运动过程中不脱离雪道，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.

图4

(1)求雪橇在C点时对雪道的压力大小；

(2)求雪橇在BC段克服摩擦力做的功；

(3)求雪橇从C点运动到E点过程中损失的机械能；

(4)若仅将DE段改成与曲线雪道CD段平滑连接的倾斜直线轨道(如图中虚线所示)，则雪橇从C点运动到E点过程中损失的机械能将如何变化(增加，减少还是不变)？请简要说明理由．

5．(2018·台州市外国语学校期末)如图5所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝1.0 m，现有一个质量为m＝0.2 kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，D、E两点间的距离h＝1.6 m，物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，不计空气阻力．求：

图5

(1)物体第一次通过C点时轨道对物体的支持力F N的大小；

(2)要使物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L AB至少要多长；

(3)若斜面已经满足(2)要求，物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，求在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小．

6．(2017·嘉兴市一中期末)如图6所示，一质量m＝0.4 kg的滑块(可视为质点)静止于动摩擦因数μ＝0.1的水平轨道上的A点．现对滑块施加一水平外力，使其向右运动，外力的功率恒为P＝10 W．经过一段时间后撤去外力，滑块继续滑行至B点后水平飞出，恰好在C点沿切线方向进入固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道，轨道的最低点D处装有压力传感器，当滑块到达传感器上方时，传感器的示数为25.6 N．已知轨道AB的长度L＝2.0 m，半径OC 和竖直方向的夹角α＝37°，圆弧形轨道的半径R＝0.5 m．(空气阻力可忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：

图6

(1)滑块运动到C点时速度v C的大小；

(2)B、C两点的高度差h及水平距离x；

(3)水平外力作用在滑块上的时间t.

7．如图7所示为某种弹射小球的游戏装置，水平面上固定一轻质弹簧及长度可调节的竖直细管AB.细管下端接有一小段长度不计的圆滑弯管，上端B与四分之一圆弧弯管BC相接，每次弹射前，推动小球将弹簧压缩到同一位置后锁定．解除锁定，小球即被弹簧弹出，水平射进细管A端，再沿管ABC从C端水平射出．已知弯管BC的半径R＝0.30 m，小球的质量为m＝50 g，当调节竖直细管AB的长度L至L0＝0.90 m时，发现小球恰好能过管口C端．不计小球运动过程中的机械能损失．(g取10 m/s2)

图7

(1)求每次弹射时弹簧对小球所做的功W.

(2)当L取多大时，小球落至水平面的位置离细直管AB最远？

(3)调节L时，小球到达管口C时管壁对球的作用力F N也相应变化，考虑到游戏装置的实际情况，L不能小于0.15 m，请在图8坐标纸上作出F N随长度L变化的关系图线．(取管壁对球的作用力F N方向向上为正，并要求在纵轴上标上必要的刻度值)

图8

答案精析

1．(1)5R

2μ

(2)15gR

解析 (1)在甲轨道的最高点，由牛顿第二定律可知：

mg ＝m v 1 22R

在乙轨道的最高点，由牛顿第二定律可知：mg ＝m v 2

2R

从甲轨道的最高点到乙轨道的最高点，根据动能定理可得

mg (4R －2R )－μmgl ＝1

2mv 2 2－12

mv 1 2

联立解得：l ＝5R

2μ

(2)从O 点到甲圆的最高点，由动能定理可得： －mg (4R )－μmgl ＝12mv 1 2－12mv 0 2

解得：v 0＝15gR . 2．(1)11.2 J (2)10 N 解析 (1)小球运动到C 处时， 由牛顿第二定律和牛顿第三定律得：

F 1′－mg ＝m v 1

2

R

代入数据解得v 1＝5 m/s

由A →C ，根据动能定理有E p －μmgx ＝12mv 1 2

解得E p ＝11.2 J

(2)小球从C 到D 过程，由机械能守恒定律得 12mv 1 2＝2mgR ＋12mv 2 2 代入数据解得v 2＝3 m/s 由于v 2>gR ＝2 m/s

所以小球在D 处对轨道外壁有压力，由牛顿第二定律得

F 2＋mg ＝m v 2

2

R

，

代入数据解得F 2＝10 N

根据牛顿第三定律得，小球对轨道的压力大小为10 N.

3．(1)5.2 m/s 2

(2)500 J 10 m/s (3)3 m 解析 (1)运动员沿AB 下滑时，受力情况如图所示

F f ＝μF N ＝μmg cos θ

根据牛顿第二定律有：mg sin θ－μmg cos θ＝ma

得运动员沿AB 下滑时加速度的大小为：a ＝g sin θ－μg cos θ＝5.2 m/s 2

(2)运动员从A 滑到C 的过程中，克服摩擦力做功为：

W ＝μmg cos θ(

H －h

sin θ)＋μmgd ＝μmg (d ＋H －h

tan θ

)＝500 J 由动能定理得：mg (H －h )－W ＝12mv C 2

得运动员滑到C 点时速度的大小v C ＝10 m/s

(3)在从C ′点滑出至落到水面的过程中，运动员做平抛运动的时间为t ，

h ′＝12

gt 2，t ＝

2h ′

g

下滑过程中克服摩擦力做功仍为W ＝500 J 根据动能定理得：mg (H －h ′)－W ＝12

mv 2

，

v ＝

2g (H －h ′)－2W

m

运动员在水平方向的位移：x ＝vt ＝

2g (H －h ′)－2W

m

·

2h ′

g

＝2－h ′2

＋6h ′＝2－(h ′－3)2

＋9 当h ′＝3 m 时，水平位移最大.

4．(1)495 N (2)25 J (3)7 050 J (4)见解析

解析 (1)在C 点时，据牛顿第二定律有Mg －F N C ＝M v C

2R

，

解得：F N C ＝495 N

根据牛顿第三定律，雪橇在C 点时对雪道的压力：F N C ′＝F N C ＝495 N

(2)设雪橇在BC 段克服摩擦力做的功为W BC ，从A 到C 对雪橇和游客的整体运用动能定理可得：

Pt －Mgh 2－μMg cos θ·

h 1

sin θ－W BC ＝12

Mv C 2

，解得：W BC ＝25 J (3)对雪橇和游客的整体从C 到E 运用动能定理可得：Mgh 2－W CE ＝12Mv E 2－12Mv C 2

解得从C 到E 克服摩擦力做功：W CE ＝7 050 J

所以雪橇和游客的整体从C 点运动到E 点过程中损失的机械能：ΔE 损＝W CE ＝7 050 J (4)设D 到E 的水平距离为L ，平滑连接的倾斜直线轨道倾角为α，

摩擦力做功：W fl ＝－μmg cos θ ·L

cos θ＝－μmgL

曲线轨道上任选极短一段如图所示，

将这一小段近似看成倾角为γ的倾斜直线轨道，该段轨道在水平方向上的投影长为Δx ，则摩擦力在该段轨道上做功：

W f ＝－μmg cos γ·

Δx

cos γ

＝－μmg Δx ，所以整个曲线轨道摩擦力做功等于每一小段摩擦力做功的累加，

即：W f2＝－μmg ΣΔx ＝－μmgL

故两轨道的摩擦力做功相同：W fl ＝W f2＝ΔE 损

所以雪橇和游客的整体从C 点运动到E 点过程中损失的机械能相同． 5．(1)12.4 N (2)2.4 m (3)4.8 J

解析 (1)物体从E 到C ，由机械能守恒定律得：

mg (h ＋R )＝1

2

mv C 2

①

在C 点，由牛顿第二定律得：F N －mg ＝m v C

2R

②

联立①②代入数据解得：F N ＝12.4 N (2)从E →D →C →B →A 过程，由动能定理得

W G ＋W f ＝0③

W G ＝mg [(h ＋R cos 37°)－L AB sin 37°]④ W f ＝－μmg cos 37°L AB ⑤

联立③④⑤解得斜面长度至少为：L AB ＝2.4 m.

(3)因为mg sin 37°＞μmg cos 37°(或μ＜tan 37°)，所以物体不会停在斜面上，物体最后以C 为中心，B 为一侧最高点沿圆弧轨道做周期性运动．从E 点开始直至稳定，系统因摩擦所产生的热量Q ＝ΔE p ⑥ ΔE p ＝mg (h ＋R cos 37°)⑦ 联立⑥⑦解得Q ＝4.8 J.

6．(1)5 m/s (2)0.45 m 1.2 m (3)0.4 s

解析 (1)滑块运动到D 点时，由牛顿第二定律和牛顿第三定律得F N －mg ＝m v D

2R

滑块由C 点运动到D 点的过程，由机械能守恒定律得

mgR (1－cos α)＋1

2mv C 2＝12

mv D 2

联立解得v C ＝5 m/s

(2)滑块在C 点时，速度的竖直分量为v y ＝v C sin α＝3 m/s

B 、

C 两点的高度差为h ＝v y

22g

＝0.45 m

滑块由B 运动到C 所用的时间为t y ＝v y g

＝0.3 s 滑块运动到B 点时的速度为v B ＝v C cos α＝4 m/s

B 、

C 两点间的水平距离为x ＝v B t y ＝1.2 m

(3)滑块由A 点运动到B 点的过程，由动能定理得

Pt －μmgL ＝1

2

mv B 2

，解得t ＝0.4 s

7．(1)0.60 J (2)0.30 m (3)见解析图 解析 (1)小球恰好过C 点，其速度v C ＝0① 根据功能关系，每次弹射时弹簧对小球所做的功为：

W ＝mg (L 0＋R )＝0.60 J②

(2)设小球被弹出时的初速度为v 0，到达C 时的速度为v ，根据动能定理有W ＝12mv 0

2

－0③ 根据机械能守恒定律有 12mv 0 2＝mg (L ＋R )＋12mv 2④ 联立②③④得v ＝2g (L 0－L )⑤

根据平抛运动规律，小球落至水平面时的位置离细直管AB 的距离为x ＝vt ＋R ⑥ 其中t ＝

2(L ＋R )

g

⑦

联立⑤⑥⑦得x ＝2(L 0－L )(L ＋R )＋R 根据数学知识可判知，当L ＝

L 0－R

2

＝0.30 m 时，x 最大．

即当L 取0.30 m 时，小球落至水平面的位置离细直管AB 最远．

(3)设小球经过C 端时所受管壁作用力方向向上，根据牛顿运动定律有mg －F N ＝m v 2

R

又v ＝2g (L 0－L )

则有F N ＝2mg R L ＋mg (1－2L 0

R

)

代入数据得F N ＝10

3L －2.5 (N)(0.15 m≤L ≤0.90 m)

据此作出所求图线如图：