图论GraphTheory教学
代数结构-图论
记作Nn，特别地，称N1为平凡图（Trivial graph）。 在图的定义中规定结点集V为非空集，但在图的运算
中可能产生结点集为空集的运算结果，为此规定结
点集为空集的图为空图（Empty Graph），并将空图
记为。阶为有限的图称为有限图(Finite Graph)，
否则称为无限图(Infinite Graph)。结点没有标号
的图称为非标号图（Unlabeled Graph），否则为标
号图（Labeled heory
10.2 图与图模型
如果图中存在某两条边的端点都相同，则称该
图为多重图(Multigraph)，该两条边称为平行边。
如果一条边关联的两个结点是相同的结点，则称该边 为圈或自环(Loop)。
请你思考？
如何找到物流运输的最优路径？ 如何找到最优的网络通信线路？ 如果你想周游全国所有城市，如何设计旅游线路？ 化学化合物分析：结构是否相同？ 程序结构度量：程序是否结构相似？ 如何为考试分配教室，使得资源利用率最优？ 如何安排工作流程而达到最高效率？ 如何设计为众多的电视台频道分配最优方案？ 如何设计通信编码以提高信息传输效率？ 操作系统中,如何调度进程而使得系统效率最优？
图的类型：
（1）有向图/无向图；简单图/多重图/伪图；零图，平凡图，空图； 有限图/无限图；带权图、标记图；
（2）特殊图：环图(Cn)、轮图(Wn)、立方图(Qn)、网格、正则图 (r-图)；偶图(G(V1,V2), 二分图/二部图, Bipartite graph) 、 完全偶图(Km,n)；
（3）特殊图：子图、完全图、补图 （4）特殊图：Euler图、Hamilton图、树图、平面图
主要内容
8
中国地质大学计算机学院
图论讲义1图路树
7. 连通性 图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。 连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
3
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）ν 、边数 ε
（10） 顶点 v 的度(degree)：d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图 G 的最大度： ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度：δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
图论讲座
指派问题（assignment problem）
一家公司经理准备安排 名员工去完成 项任务， 每人一项。由于各员工的特点不同，不同的员 工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。 如何分配工作方案可以使总回报最大？
2013.11.10
中国邮递员问题(CPP－chinese postman problem)
图论的起源
图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士 数学家欧拉于1736年发表的“哥尼斯堡的七 座桥”。 1857年，凯莱发现了“树”。 1895年，哈密尔顿提出周游世界游戏。
2013.11.10
图论的运用
近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发 展，大大促进了图论研究和运用，图论的理论 和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建 筑学、运筹学、生物遗传学、心理学、经济学、 社会学等学科中。
2013.11.10
哥尼斯堡七桥问题
2013.11.10
哥尼斯堡七桥问题的数学模型
2013.11.10
图与网络
图与网络是运筹学(Operations Research)中一 个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济 管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信 息技术通讯与网络技术等诸多领域。下面将要 讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流 问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。
2013.11.10
最短路问题(SSP—shortest path problem)
一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货 物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵 横交错，因此有多种行车路线，这名司机应该 选择哪条路线？假设货柜车行车速度是恒定的， 那么这一问题相当于需要找一条从甲地到乙地 的最短路。
图 论(Graph Theory) ----图与网络模型及方法
图论课件-PPT课件
学习方法
目的明确
态度端正 理论和实践相结合
充分利用资源
逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
课程考核
平时成绩 （30%-40%）
闭卷考试 （60%-70%）
图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关 系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图 是常用的数学模型。 (1) 化学中的图论模型 19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢 化合物 用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间 的化学键。
E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个 零售店间的关联。则图模型图形为： w1 w2 w3
r1
r2
r3
r4
r5
29
(3) 最短航线问题 用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了 求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。 例如：令V={a, b, c, d, e}代表5个城市} E={a b, ad, b c , be, de}代表城市间的直达航线 则航线图的图形为： a 320 500 d 370 b 140 430 e c
图论学科简介 （2）
19世纪末期，图论应用于电网络方程组
和有机化学中的分子结构 20世纪中叶，由于计算机的发展，图论 用来求解生产管理、军事、交通运输、 计算机和网络通信等领域中的离散性问 题 物理学、化学、运筹学、计算机科学、 电子学、信息论、控制论、网络理论、 社会科学、管理科学等领域应用
七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题:
穿过Kö nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过 一次且仅通过一次。
图论GraphTheory教学讲义
边(edge)
有向边(directed edge)
端点有始点和终点之分的边。 用有序二元组<始点,终点>表示
结点v的入度: 以v为终点的有向边的数目， 记为deg-(v)或d-(v)
有向图中结点v的度d(v)：d(v)=d+(v)+d-(v)
a
deg+(c) = 2
deg-(c) = 3
b
c
deg(c) = deg+(c) + deg-(c) = 5
23
定理 1
设图G是具有n个顶点、m条边的有向图，
第五章 图 论 (Graph Theory)
1
图论的起源
Konigsberg(柯尼斯堡)七桥问题
能否从河岸或小岛出发，恰好通过每一座桥一次 再回到出发地?
2
欧拉引进了图论
瑞士数学家Euler(欧拉)于1736年从理论上圆满 解决这个问题。
A
抽象
D
B
D
A B
C
C
3
图论发展过程
1736年 － 欧拉解决柯尼斯堡七桥问题－图论产生 1936 年－图论第一部专著出现《有界图和无界图的
理论》 经过近六十多年的发展，逐渐成为一门相对独立的学
科。
4
图论的应用
网络技术的理论基础和重要的研究工具 生物和化学：区别分子式相同但结构不同的两
种化合物。 计算机和通信：用于通信网络和计算机网络的
设计，交通网络的合理分布
图论(Graph Theory)学习笔记2
图论学习笔记（2）基本概念设图G，u∈V(G)，v∈V(G)，u-v通道（u-v path）是指从结点u出发，经过一个交互的结点和边的序列，最后回到结点v的路径，其中连续的结点和边是关联的。
通道的长度（length）是指通道经过边的数量。
若一个通道中没有重复的边，则称该通道为迹（trace）。
（注：迹中的结点是可以重复的）若迹开始和结束于相同的结点，则称该迹是闭的（closed），称该迹为回路（loop）。
若一个通道中没有重复的节点，则称该通道为路（pathway）。
若u∈V(G)，v∈V(G)，则一个将u和v连接起来的路称为u-v路（u-v pathway）。
注：显然，如果结点不重复，则边必然不重复，所以，一个路也是迹，一个闭路称为圈（circle）。
若图中的任意两个结点间都存在路，则称此图为连通图（connected graph），否则，称之为非连通图（disconnected graph）。
在连通图中，各个分支称为连通分量，严格来说，图的连通分量指的是极大连通子图（[unknown]）。
若u∈V(G)，v∈V(G)，则节点u和v之间的测地线路是指长度最短的u-v路，简称测地线（geodesic）。
注：当你要在最短时间内从u到达v，测地线路是你的最佳选择。
途中可能存在多条测地线路。
测地线路也常被称为最短路。
图G的结点集V(G)，边集E(G)。
当图H满足结点集V(H)的子集，边集E(H)是E(G)的子集，边界对每一条边e=uv∈E(H)，其中u∈V(H)，v∈V(H)，则称图H是G的子图（subgraph），通常称图G为图H的超图（supergraph）。
定义结点都给以标号的图称为标记图（labeled graph），否则，称为非标记图（unlabeled graph）。
注：对标记图G，若S⊆V(G)，并且在标记图G中共有k条边连接了S中的所有结点，那么，G的以S为结点集的子图数为2k。
若V(H)=V(G)，则称子图H是图G的生成子图（spanning subgraph）。
图论介绍（GraphTheory）
图论介绍（GraphTheory）1 图论概述1.1 发展历史第⼀阶段：1736：欧拉发表⾸篇关于图论的⽂章，研究了哥尼斯堡七桥问题，被称为图论之⽗1750：提出了拓扑学的第⼀个定理，多⾯体欧拉公式：V-E+F=2第⼆阶段（19~20世纪）：1852: Francis Guthrie提出四⾊问题1856: Thomas P. Kirkman & William R.Hamilton研究了哈密尔顿图1878: Alfred Kempe给出给出四⾊定理证明1890: 希伍德（Heawood）推翻原有四⾊定理证明1891: 彼得森（Petersen 丹麦）给出关于图论的理论知识的第⼀篇论⽂1936: 哥尼格(Dénes Kőnig Hungarian), 写出第⼀本图论专著《有限图与⽆限图的理论》，图论成为了⼀门独⽴学科第三阶段（现代图论）：1941: F. P. Ramsey开创 Extremal graph theory1959: Erd˝os and Rényi 引⼊随机图理论（边的存在的概率为p）1976: Kenneth Appel & Wolfgang Haken使⽤计算机最终证明了四⾊问题1.2 参考教材Graph Theory with Application - J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Elsevier, 1976《图论及其应⽤》经典教材，吴望名译，有电⼦版Graph theory - J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Springer, 2008《图论》GTM244，可以认为是 “Graph Theory with Application” 的第⼆版，推荐教材Graph Theory, 5th - Reinhard Diestel, Springer, 2017《图论》GTM173，有电⼦版Introduction to Graph Theory, 2nd- Douglas B. West, 2017⼊门教材2 图的初步知识（注：⼀般考虑simple graph (no graph loops or multiple edges), 且阶⼤于等于2）2.1 不规则图Definition: 所有顶点的度都不同的图叫不规则图 (irregular graph)Definition: 只有⼀对顶点的度相同的图叫⼏乎不规则图 (almost irregular graph)Theorem:1）不规则图不存在2）恰好存在两个阶数相同的⼏乎不规则图，且互为补图（顶点相同，边合起来是完全图）3）对于任意最⼤值为n的正整数集合，存在n+1阶的图，使其顶点数正好等于这些整数（以上结论不适⽤于多重图和加权图）2.2 正则图Definition: 所有顶点的度为r的图叫 r-正则图 (r-regular graph)e.g. 单连通的0-regular是单个点，单连通的1-regular是⼀条边的图，单连通的2-regular是⼀个圈，单连通的3-regular称为⽴⽅图Theorem: n阶r正则图存在，只要r, n不都是奇数，且r<=n-1常⽤正则图：Kn: n阶完全图，r = n-1Cn: n(n>=3)阶圈， r = 2Qr: n=2^r阶的超⽴⽅体(r-cube)Kr,r: n=2r阶的⼆分图2.3 ⼆分图（bipartite graph）Definition：顶点被分为两个集合，所有边只在两个集合之间连接的图叫⼆分图Theorem：图G是⼆分图\Leftrightarrow G中⽆奇圈2.4 ⼦图图G，⼦图（subgraph）Hsubgraph ---> spanning subgraph---> induced subgraph ---> vertex-delete subgraphspanning subgraph: ⽣成⼦图，H和G的顶点相同induced subgraph: 诱导⼦图，H = G[S] (从图中去除1个或多个顶点)vertex-delete subgraph: 去顶点⼦图，从图中去除1个顶点Theorem：任意图都可以表⽰为某个正则图的导出⼦图未解问题：给定某⼀图G的所有去顶点⼦图，是否能够重构出唯⼀的图G（同构意义上是唯⼀的）？2.5 距离Definition：连通图（connected），由多个连通分⽀（component）构成的图为不连通图（disconnected）G-v ⽐ G有更多的连通分⽀，则点v称为G的割点（cut-vertex）G-e ⽐ G有更多的连通分⽀，则边e称为G的桥（bridge）Theorem:连通图G，e是桥\Leftrightarrow e不属于G的任何⼀个圈\Leftrightarrow存在顶点u，v，使得任意路径u-v的路径经过e连通图G，w是割点\Leftrightarrow存在顶点u，v，使得任意路径u-v的路径经过wDefinition：点u, v之间的距离（distance）：u,v之间最短路径的长度d(u,v)点u的离⼼率（eccentricity）：u 与其它点的最⼤距离\epsilon(u)=\max\limits_v d(u,v)最⼩离⼼率为图的半径（radius），达到最⼩离⼼率的点为中⼼点（central vertex）最⼤离⼼率为图的直径（diameter），达到最⼤离⼼率的点为边缘点（peripheral vertex）2.6 TreeDefinition：不包含圈的连通图为树（Tree）Theorem：图G是树\Leftrightarrow G中任意两个顶点都有且只有⼀条连通路径n阶树有n-1条边在G内添加任意⼀条边，就会形成⼀个回路。
图论82905000中文
图论课程介绍
课程代码:82905000
课程名称:图论
英文名称:Graph Theory
学分：2 修读期：循环开设
授课对象：理科本科生各专业
课程主任：宋慧敏，副教授，理学博士
课程简介：图论是近二十年来发展十分迅速，应用比较广泛的一个新兴的数学分支。
本课程旨在介绍图论的基础概念、理论、算法及其应用。
学习图论，不仅帮助学生
有效地采用它的成果与方法解决实际问题，还可以提高学生思考问题和解决问
题的能力。
实践教学环节：无
课程考核：
课程最终成绩=平时成绩*30%+期末考试成绩*70%；
平时成绩包括小论文、读书报告、作业成绩等情况；
期末考试采取开卷考试
指定教材：
王树禾.《图论》.北京:科学出版社,2004年1月,第一版.
参考书目：
[1] 王朝瑞.《图论》.北京:北京理工大学出版社,2001年12月,第三版.
[2]J. A. Bondy , U.S.R. Murty. 《Graph Theory with Application》.London: The Macmillan Press Ltd,1976年,第1版.。
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a
15
回顾
类型
有向图 无向图 混合图 多重图 简单图 有限图 无限图
特点
所有边都有方向 所有边都无方向
既有有向边又有无向边 有平行边
无平行边和环 结点数有限 结点数无限
a
16
练习题
判断下面给出的两个图的类型。
有向图 无向图 混合图 多重图 简单图
无向图
有向图 简单图
a
17
图的基本分类（4）
底图 定向图 逆图
无向完全图
任意两个不同的顶点间都有一条边关联的无向简单图 称为无向完全图
n阶无向完全图记为：Kn
K1
K2
K3
K4
K5
a
30
有向完全图
任意两个不同的顶点之间都有两条方向相反的有向边 相连并且每一个顶点都有一条自回路的有向图 称为有向完全图
a
31
完全图边数
结点v的入度: 以v为终点的有向边的数目， 记为deg-(v)或d-(v)
有向图中结点v的度d(v)：d(v)=d+(v)+d-(v)
a
deg+(c) = 2
deg-(c) = 3
b
c
deg(c) = deg+(c) + deg-(c) = 5
a
23
定理 1
设图G是具有n个顶点、m条边的有向图，
a
11
图的基本类型（1）
根据图中边的类型可将图分为：
无向图(undirected graph) 有向图(directed graph) 混合图(mixed graph)
多重图(multiple graph)
简单图(simple graph)
a
12
图的基本类型（2）
无向图(undirected graph)：所有边都是无向边的图。 有向图(directed graph)：所有边都是有向边的图。 混合图：既有有向边又有无向边的图。
V(G)={v1,v2,···,vn}，则
n
n
de(gvi) de(gvi)m
i1
i1
a
24
定理 2 （Hankshaking）
设 则图G是具有n个顶点、m条边，V(G)={v1,v2,···,vn}，
n
degv(i) 2m
i1
推论：度数为奇数的顶点个数必为偶数。
a
25
常用的简单图
赋权图 无向完全图 有向完全图 竞赛图 正则图
1936 年－图论第一部专著出现《有界图和无界图的 理论》
经过近六十多年的发展，逐渐成为一门相对独立的学 科。
a
4
图论的应用
网络技术的理论基础和重要的研究工具
生物和化学：区别分子式相同但结构不同的两 种化合物。
计算机和通信：用于通信网络和计算机网络的 设计，交通网络的合理分布
大型工程项目的计划管理。
第五章 图 论 (Graph Theory)
a
1
图论的起源
Konigsberg(柯尼斯堡)七桥问题
能否从河岸或小岛出发，恰好通过每一座桥一次 再回到出发地?
a
2
欧拉引进了图论
瑞士数学家Euler(欧拉)于1736年从理论上圆满 解决这个问题。
A
抽象
D
B
D
A B
C
C
a
3
图论发展过程
1736年 － 欧拉解决柯尼斯堡七桥问题－图论产生
a
5
图的基本概念 1
图（graph）：由结点（顶点）(vertex) 和连接结点的边所构成的图形.
A
V(G)表示图G的结点集
E(G)表示图G的边集。
B
D
图G可记为<V(G),E(G)>或<V,E> C
有n个顶点和m条边的图记为(n,m)图或称 为n阶图。
a
6
注意：图论中研究的图只关心图的结点之 间是否有边相连，不关心结点的位置和边 的长短
A
B
D C
B
D
A
C
a
7
图的基本概念 2(1)
边(edge)
有向边(directed edge) 无向边(indirected edge) 平行边(parallel edge ) 自回路（环）(Self-loop / Ring)
a8Leabharlann 图的基本概念 2(2)边(edge)
有向边(directed edge)
(a)
(b)
a
(c)
13
图的基本分类（2）
多重图(multiple graph)：含平行边的图 简单图(simple graph)：无环和平行边的图
a
b
c
a
14
图的基本分类（3）
根据图中结点的数目可分为： 有限图(finite graph)：顶点个数有限的图 无限图(infinite graph)：顶点个数无限的图
端点有始点和终点之分的边。 用有序二元组<始点,终点>表示
v1
v2
<v1,v2>
无向边(indirected edge)
边的两个端点都可以作始点和终点的边 v1
v2
端点为v1和v2的无向边表示为 (v1, v2) 或v1v2
a
9
图的基本概念 2(2)
边(edge)
平行边(parallel edge )
a
18
图的基本类型（5）
底图：将有向图G的所有有向边换成无向边，得到 的无向图称为G的底图。
a
19
图的基本类型（6）
定向图：将无向图G中每条无向边指定一个方向所 得到的图称为G的定向图。
a
20
图的基本分类（7）
逆图
称将为有G向的图逆G图的，每记一为条～G边。的方向颠倒所得到的图
a
a
b
c
逆图 b
两结点之间的多条无向边或
多条方向相同的有向边称为平行边。 a
b
两个端点a和b之间平行边的条数
称为边(a,b)（或<a,b>）的重数
自回路（环）(Self-loop / Ring) v1
两个端点重合的无向（有向）边。
a
10
图的基本概念 3
边与结点的关系
设边e的端点为a和b
边e关联(incident)于顶点a和b（或a和b关联边e） a、b是邻接（相邻）的(adjacent)
a
26
赋权图
赋权图是顶点或边附加了信息的图。 顶点或边中附加的信息称为权。
a
27
赋权图例
A
5
B 15 C
20
8
2
1D
7
2 4
F
E
6
a
28
普通图和赋权图
[比较] 对普通图，主要研究结点和边之间的拓扑关系
度，连通，通路等性质
赋权图给普通图附加了数量关系
距离，成本，代价，规模等性质
a
29
c
a
21
结点的度（1）
结点v的度: 指结点v关联的边数， 记为deg(v)或d(v)。
注意：每个环看作两条边
d(c)=4
c
d(d)=2
d
b d(b)=2
a d(a)=4
a
22
结点的度（2）
有向图中，度可分为：出度(out-degree)和入度 (in-degree)
结点v的出度: 以v为起点的有向边的数目 记为deg+(v) 或d+(v)