概率1-4 乘法公式与全概率公式
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概率公式大全概率公式大全（上篇）概率公式在概率论中起着非常重要的作用，它们用于描述随机事件的发生概率以及事件之间的关系。
本文将介绍一些常见的概率公式，帮助读者更好地理解和应用概率论。
1. 基本概率公式1) 事件的概率公式：在概率论中，事件的概率通常用P(A)表示，其中A表示一个事件。
事件A的概率可以用下述公式计算：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间S 中的总次数。
2) 样本空间的概率公式：当样本空间S的每个样本点发生的概率相同且为1/N(S)时，我们可以使用下述公式计算事件A的概率：P(A) = N(A) / N(S)这个公式在实际问题中应用广泛，是基本的概率公式之一。
2. 条件概率公式1) 条件概率的定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A在B 条件下的条件概率，用P(A|B)表示。
条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
2) 乘法公式：乘法公式是条件概率的推广形式，用于计算两个事件同时发生的概率。
根据乘法公式，我们可以得到：P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)这个公式在计算复杂事件的概率时非常有用。
3. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件发生的总概率，它假设事件发生的样本空间可以划分为若干个互斥事件。
全概率公式如下：P(A) = Σi P(A|Bi) * P(Bi)其中，Bi表示样本空间S的一个划分，P(A|Bi)表示在Bi条件下事件A发生的概率。
这个公式可以在一些复杂问题中计算事件发生的概率，非常实用。
4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的逆运算，用于通过已知的条件概率反推出相反的条件概率。
根据贝叶斯公式，可以得到：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
1-4全概率公式与贝叶斯公式
P(C A) P( A C ) P(C ) P( A C ) P(C ) P( A C ) P(C ) 0.087.
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例4 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良 好时，产品的合格率为98％，而当机器发生某种 故障时，其合格率为55％. 每天早上机器开动时， 机器调整良好的概率为95％. 试求已知某日早上 第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率 是多少? 解 设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调 整良好”.已知P(A∣B)＝0.98，P(A∣ )＝0.55， P(B)＝0.95，P( )＝0.05，由贝叶斯公式得
由概率的可列可加性 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn). 利用乘法定理即得 B1
B4 B3 A
B2
P A i 1 P Bi P A Bi .
n
3
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例1 考卷中一道选择题有4个答案，仅有一 个是正确的，设一个学生知道正确答案或不知道 而乱猜是等可能的. 如果这个学生答对了，求它 确实知道正确答案的概率. 解 样本空间可以划分为事件A:知道正确答案与 :不知道.以B表示事件:学生答对，则A B， P(AB)＝P(A)＝1／2.P(B∣A)=1，而P(B∣ )＝ 1／4. 由全概率公式 P(B)＝P(A)P(B∣A)+P( )P(B∣ )=5／8， 故 P(A∣B)＝P(AB)／P(B)＝4／5．
§1.4 全概率公式与贝叶斯公式
一.全概率公式 二.贝叶斯公式
1
概率论公式
第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ)概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp (θ))()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==nk k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤badxx f b X a P )()(1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=)(1)(b x a ab x f ≤≤-=分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法联合密度函数 联合分布函数联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数)0(1)(/≥=-x e x f x θθ∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x dtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ⎰+∞∞-=dyy x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dxy x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k k kP xX E )(⎰+∞∞-⋅=dxx f x X E )()()()('x f x F =E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式方差 定义式常用计算式常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数∑=kkk p x g X g E )())((∑∑=ijiji p x X E )(dxdyy x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=ijijj i p y x XY E )(dxdyy x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dxx f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--协方差的性质独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章正态分布标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =),(),(),(Z Y Cov Z X Cov Z Y X Cov +=+),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔)()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P ()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P卡方分布t 分布F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比第六章点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计最大似然估计 似然函数均值的区间估计——大样本结果)(~)1,0(~212n X N X ni i χ∑=，则若())(~1),,(~21222n Y N Y ni iχμσσμ∑=-则若),(~//),(~),(~21212212n n F n V n U n V n U 则若χχ),(~2n N X σμ)1,0(~/N n X σμ-)1(~)1(222--n S n χσ)1(~/--n t n s X μ)1,1(~//2122212221--n n F S S σσ);(1θi ni x f L ∏==);(1θi ni x p L ∏==⎪⎭⎫ ⎝⎛±n z x σα2/正态分布的分位点—大样本要求样本容量—代替准差通常未知，可用样本标标准差—样本均值—2/)50()(ασz n ns x >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±n p p z p )1(2/α正态分布的分位点—大样本要求样本容量—样本比例—2/)50(αz n np >则若),(~),1,0(~2n Y N X χ)(~/n t nY X正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知 两个正态总体方差比的置信区间第七章假设检验的步骤① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1 ② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
第五章5.2条件概率,乘法公式,全概率
i 1 n
Bn -1 A
B2
Bn
B3
全概率公式的证明
n i 1
显然 A = A A B i ( AB i )
i 1
n
A= AB1 AB2
AB1 AB2 …... …...
ABn
ABn
B i B j ( AB i )( A B j ) ,
某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求 该球是取自1号箱的概率. 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B).
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
P ( A1 ) P ( B | A1 )
P ( A ) P ( B｜A )
这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为0.4825。
例 2 三个罐子分别编号为 1, 2, 3，1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球， 3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球， 求取得红球的概率. 解 记 A ={ 取得红球 } 1 2 3 Bi ={ 球取自 i 号罐 } i=1, 2, 3; 则 A 发生总是伴随着 B1，B2，B3 之一同时发生， 即 A = AB1 + AB2 + AB3， 且AB1、AB2、AB3两两互斥，利用有限可加性 P(A) = P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)
解：（1）第一次取得一等品后，剩下的9件产品中 还有6件一等品，即
6 2 P ( B A) . 9 3
（2）第一次取得二等品后，剩下的9件产品中 还有7件一等品，即
全概率论公式
全概率论公式总结概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=ni ini iA A 11=== ni ini iA A 11===2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i kjinj i jini i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P)()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()( 4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞→λn n np 有,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k ep p C kkn n k nkn n λλ(3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE ⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 ) +∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ ⎰∞---=xt t ex F d 21)(22)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x tex xt d 21)(22π7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x yd v d uv u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数 ⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x A y x f(2)二维正态分布 +∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222121121)())((2)()1(21221σμμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y f y x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征 数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E ⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 )(k X E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|k X EX 的 k 阶中心矩 )))(((k X E X E - X 的 方差 )()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 )(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ()l k Y E Y X E X E ))(())((-- X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数 XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())((( X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -= 协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。
《概率论与数理统计》1-4全概公式
365 400 97 146097
146097 20871 7
20871 52 400 71 P B 400 400
方法二 利用全概公式
A 表示平年,
则 A, A 构成一划分
B 表示有53个星期天
P A 97 400
1 2 P B | A , P B | A 7 7
125 198
注 : 一定要写清事件, 公式 , 不得只写算式.
p 2500 2000 1500 5% 3% 1% 3.3% X 6000 6000 6000
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个重要公式,
有着广泛的应用.若把事件Ai 理解为‘原因’, 而把 B理 解为‘结果’ P, 则 B| A 是原因 Ai
为 0.01, 各车间的产品数量分别为2500, 2000, 1500件 . 出厂时 , 三车间的产品完全混合, 现从中任取一产品, 求该 产品是次品的概率. 若已知抽到的产品是次品, 求该产品 是一车间的概率.
解 : 设 Ai 为取到第 i个车间的产品, B为取到次品 由全概率公式得:
P( B) P( Ai ) P( B Ai )
i 1
3
P( A1 ) P( B A1 ) P( A2 ) P( B A2 ) P( A3 ) P( B A3 )
2500 2000 1500 5% 3% 1% 3.3% 6000 6000 6000
由贝叶斯公式得:
P A1 B
P A1 P B A1 P B
P B P BA1 P BA2 P BA3 P A1 P B | A1 P A2 P B | A2 P A3 P B | A3
概率论公式总结
第一章PA+B=PA+PB- PAB 特别地,当A 、B 互斥时, PA+B=PA+PB条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布Bernoulli 分布——X~Bn,p泊松分布——X~P λ概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~Ua,b指数分布X~Exp θ分布函数对离散型随机变量 )(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望 离散型随机变量,数学期望定义 连续型随机变量,数学期望定义Ea=a,其中a 为常数Ea+bX=a+bEX,其中a 、b 为常数EX+Y=EX+EY,X 、Y 为任意随机变量⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F ∑+∞-∞=⋅=k kk P x X E )(随机变量gX 的数学期望常用公式方差定义式常用计算式 常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质Da=0,其中a 为常数Da+bX=b2DX,其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时,DX+Y=DX+DY协方差与相关系数协方差的性质独立与相关独立必定不相关相关必定不独立 []22)()()(X E X E X D -=不相关不一定独立第四章 正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章卡方分布t 分布F 分布正态总体条件下样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比第六章 ),(~2σμN X )(~)1,0(~212n X N X n i i χ∑=，则若),(~//),(~),(~21212212n n F n V n U n V n U 则若χχ点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计似然函数均值的区间估计——大样本结果 正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知两个正态总体方差比的置信区间第七章假设检验的步骤① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1② 根据假设选择检验统计量,并计算检验统计值③ 看检验统计值是否落在拒绝域,若落在拒绝域则拒绝原假设,否则就不拒绝原假设; 不可避免的两类错误第1类弃真错误：原假设为真,但拒绝了原假设);(1θi n i x f L ∏==);(1θi ni x p L ∏==()22/1222/2)1()1(,ααχχ---S n S n 卡方分布的分位点—样本方差—22/2αχS第2类取伪错误：原假设为假,但接受了原假设 单个正态总体的显着性检验单正态总体均值的检验大样本情形——Z 检验正态总体小样本、方差已知——Z 检验 正态总体小样本、方差未知—— t 检验 单正态总体方差的检验正态总体、均值未知——卡方检验单正态总体均值的显着性检验统计假设的形式双边检验 左边检验右边检验单正态总体均值的Z 检验拒绝域的代数表示 双边检验 0100::)1(μμμμ≠=H H 2/αZ Z ≥左边检验右边检验 比例——特殊的均值的Z 检验 单正态总体均值的 t 检验 单正态总体方差的卡方检验 拒绝域双边检验左边检验右边检验 αZ Z ≥22/1222/2ααχχχχ-≤≥或αZ Z -≤。
概率论与数理统计超全公式总结
E (X )=∑∑x i p i jijxxn+∞ n n−λλkP (X = k ) = e ， (k = 0,1,...)k !(a ≤ x ≤ b )1b − af (x ) =概率论与数理统计公式总结F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑P (X = k )k ≤x分布函数 对离散型随机变量F ' (x ) = f (x )第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)对连续型随机变量F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt条件概率公式分布函数与密度函数的重要关系：P (A | B ) =P (AB )P (B )F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt概率的乘法公式P (AB ) = P (B )P (A | B )= P (A )P (B | A )二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法全概率公式：从原因计算结果P (A ) = ∑ P (B k )P (A | B k )k =1联合密度函数联合分布函数f (x , y ) ≥ 0f (x , y ) F (x , y )+∞ +∞Bayes 公式：从结果找原因∫−∞ ∫−∞f (x , y )dx dy = 1 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1P (B k| A ) = P (B i )P (A | B i ) ∑P (B )P (A | B )F (x , y ) = P {X ≤ x ,Y ≤ y }f (x ) = ∫ f (x , y )d y 联合密度与边缘密度第二章kkk =1Xf Y (y ) = −∞+∞−∞f (x , y )dx二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)P (X =k )=C k p k (1−p)n −k，(k =0,1,...n , ) 泊松分布——X~P(λ)概率密度函数离散型随机变量的独立性P {X = i ,Y = j } = P {X = i }P {Y = j }连续型随机变量的独立性f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义怎样计算概率P (a ≤ X ≤ b )b连续型随机变量，数学期望定义� E(a)=a ，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = ∫af (x )d x均匀分布 X~U(a,b)指数分布 X~Exp (θ)• E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a 、b 为常数 � E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量 g(X)的数学期望常用公式+∞∫−∞ f (x )dx = 1+∞E (X ) = ∑x k ⋅P kk =−∞+∞E (X ) = ∫−∞x ⋅ f (x )dxE (g (X )) = ∑ g (x k ) p kk∫Y / nD (X +Y ) = D (X ) + D (Y ) + 2E {(X − E (X ))(Y − E (Y ))} X ~ N (µ,σ2 )i σ 12 σ E (X Y ) = ∑∑x i y j p i jij2σ22−(x −µ) e 12πσf (x ) =不相关不一定独立第四章 正态分布E (X ) = µ,D (X ) = σ2方 差 定义式常用计算式常用公式当 X 、Y 相互独立时：标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式P (Z ≤ a ) = P (Z < a ) = Φ(a )P (Z ≥ a ) = P (Z > a ) = 1− Φ(a )P (a ≤ Z ≤ b ) = Φ(b ) − Φ(a )P (−a ≤ Z ≤ a ) = Φ(a ) − Φ(−a ) = 2Φ(a ) −1一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式 P (X ≤ a ) = P (X < a ) = Φ(a − µσ ) a − µ方差的性质P (X ≥ a ) = P (X > a ) = 1− Φ( σ)D(a)=0，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = Φ(b − µ− Φ(a − µD(a+bX)=b2D(X)，其中 a 、b 为常数当 X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数E {[X − E (X )][Y − E (Y )]}= E (XY ) − E (X )E (Y )第 五 章卡方分布σ ) σ)n若X ~ N (0,1)，则∑ X 2 ~ χ2(n )i =121n2 2协方差的性质若Y ~ N (µ,σ ),t 分布则 2 ∑(Y i− µ) i =1 ~ χ (n )若X ~ N (0,1), Y ~ χ2(n ),则X ~ t (n )独立与相关独立必定不相关 Cov (aX ,bY ) = abCov (X ,Y )若U ~ χ2 (n ), F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：V ~ χ2(n ),则U / n 1 V / n 2~ F (n 1,n 2 )相关必定不独立2X ~ N (µ,)nX − µ~ N (0,1)σ/ n 2− E (X )) ⋅ f (x )dx x +∞−∞∫ D (X ) =( E (XY ) = ∫ ∫ xyf (x , y )dxdy σX ~ N (µ,σ2 ) ⇔ Z = X − µ~ N (0,1)D (X )D (Y )XY ρ =C ov (X ,Y )Cov (X +Y , Z ) = Cov (X , Z ) + Cov (Y , Z )C ov (X , X ) = E (X 2 ) − (E (X ))2 =D (X )Cov (X ,Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y )D (X +Y ) = D (X ) + D (Y )D (X ) =E (X 2 ) − [E (X )]2当X 与Y 独立时,E (XY ) = E (X )E (Y )Φ(a ) = 1− Φ(−a ) E (X +Y ) = E (X ) + E (Y )E (X ) = ∫ ∫ xf (x , y )dxdyn ⎠ n ⎠ n ⎠σ2 1 + 2 n 1 n 2 σ2 σ / n(x 1 − x 2 )± z α/ 2 2 2 ⎜ χ χ ⎛ ⎜ ⎟12x ± z样本方差的分布：正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间(n −1)S 2 ~ χ2 (n −1) X − µ~ t (n −1) 大样本或正态小样本且方差已知σ2两个正态总体的方差之比⎛⎜ ⎜ ⎝S 2 / S 2两个正态总体方差比的置信区间1 2~ F (n 1 −1,σ2 /σ2n 2 −1)2 / S 2 , 2 / S 2⎞ ⎝ F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) ⎠第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计 最大似然估计n似然函数第七章假设检验的步骤1 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H12 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值3 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则L = Π i =1f (x i ;θ)L = Π i =1p (x i ;θ)拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
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从中任取1件,记A=“取到正品”,B=“取到甲厂产品”,
试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).
解: P( A) 70 0.7 100
P(AB) 40 0.4 100
P(B) 60 0.6 100
P(B | A) 40 4 P(A | B) 40 2
90 98
0.0083.
所以, 第三次才取到正品的概率为 0.0083 .
5
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
三、全概率公式
设Ω是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,…,An满足：
(1) Ai Aj (i j);
n
(2)
i 1
Ai
, P( Ai )
才取到正品的概率 .
解 设 Ai {第 i 次取到正品}, i 1, 2, 3, A {第 三次才取到正品 }, 则 A A1 A2 A3 ,
于是 P( A) P( A1 A2 A3 )
P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
10 100
9 99
解：(1) 设Ai表示取到第i 个工厂产品,i=1,2,3, B表示 取到次品, 由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04。 由全概率公式得:
P(B) P(A1B) P(A2B) P(A3B)
发生的条件下事件B发生的概率为
P(BAi ) P( Ai )P(B Ai ),
则
P(B) P(A1)P(B A1) P( A10 )P(B A10 )
7
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
市场上某种商品由三个厂同时供货,其供应量为:甲厂
是乙厂的2倍,乙、丙两个厂相等,且各厂产品的次品率 分别为2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率. (2) 若从市场上的商品中随机抽取一件,发现是次品,求它是 甲厂生产的概率.
设Ai表示取到第i 个工厂产品,i=1,2,3, B表示取到次品,
P( A1
|
B)
P( A1B) P(B)
P( A1)P(B | A1)
3
P( Ai )P(B | Ai )
=0.4
i 1
即抽取到的次品是甲厂生产的概率为0.4.
9
1-4 乘法公式与全概考率公研式真题 第一章 随机事件及其概率
P( A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 ) P( A3)P(B | A3) =0.025
即市场上该种商品的次品率为 2.5%.
8
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
(2)若从市场上的商品中随机抽取一件,发现是次品, 求它是甲厂生产的概率.
分析 所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B).
0(i
1,2,
n
, n)
则 对于任何一个事件B，有 P(B)= P(Ai )P(B / Ai )
i 1
P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An)
全概率公式
证明 P(B) P(B) P[B( A1 A2 An )]
P[(BA1) (BA2 ) (BAn )]
|
B)
P(Aj B) P(B)
P(Aj )P(B | Aj )
n
P( Ai )P(B | Ai )
( j 1, 2,..., n)
i 1
P( A1
|
B)
P( A1B) P(B)
P( A1)P(B
P( A1)P(B | A1) | A1) P( A2 )P(B
|
A2 )
L
P(Aj|B)一般称为“后验概率”;Bayes公式又称为“后 验概率公式”或“逆概公式”;P(Aj)对应可以称为 11 “先验概率”
70 7
60 3
3
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
二、乘法公式
对于两个事件A与B， 若P(A)>0,则有 P(AB)=P(A)P(B|A), 若P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A|B),
若P(AB)＞0,则有 P(ABC) = P(C|AB)P(AB) = P(C|AB)P(B|A) P(A) = P(A)P(B|A)P(C|AB)
B)P(B) P(A| B)P(B
)
0.97.
概率 0.95是由以往的数据分析得到的,叫做 先验概率
所求的概率为 P(B | A) 0.97.
这就是说, 当生产出第一件产品是合格时, 此时
机器调整良好的概率为 0.97. 这里, 概率 0.95
是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率. 而在
P(ABCD)= P(D|ABC)P(ABC) =P(A)P(B|A)P(C|AB)P(D|ABC)
乘法法则一般用于计算n个事件同时发生的概率
4
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
例 一批灯泡共 100 只 , 其中 10 只是次品 , 其
余为正品 . 作不放回抽取 , 每次取一只 , 求第三次
解 设 A 为事件“产品合格”B, 为事件“机器调
整良好”.
P( A | B) 0.98, P( A | B ) 0.55,
P(B) 0.95,
P(B ) 0.05,
12
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
所求的概率为
P(B
|
A)
P(
A|
P( A | B)P(B)
P( AB)
C32 C120
3 10
P(B | A)
2 9
P( A)P(B P( AB)
|
A)
P( A)
1
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
定义：对于两个事件A、B,若P(A)＞0,则称 P(B|A）=P(AB)/P(A)
为事件A出现的条件下，事件B出现的条件概率。
条件概率P(B|A)满足概率的各种性质
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
例 对以往数据分析结果表明, 当机器调整的良
好时, 产品的合格率为 98%, 而当机器发生某种 故障时, 其合格率为 55%. 每天早上机器开动时,
机器调整良好的概率为 95%, 试求已知某日早上 第一件产品是合格品时, 机器调整得良好的概率 是多少?
P(BA1) P(BA2 ) P(BAn )
=P(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An)
6
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
全概率公式的图解
设有样本空间S及其中某一事件B, 按如下方式构造
一完备事件组 Ai(i 1,2, ,10), 注意到事件 Ai
得到信息 (即生产的第一件产品是合格品) 之后再
重新加以修正的概率 (即0.97) 叫做 后验概率.
13
• P(B|Ω)=P(B); P(B|B)=1; • 若B1，B2互不相容,则有:
P[(B1+B2)|A]=P(B1|A)+P(B2|A)
2
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
一批产品100件
甲厂生产40件 70件正品 乙厂生产30件
30件次品 甲厂生产20件 乙厂生产10件
10
1-4 乘法公式与全概率公式
第一章 随机事件及其概率
四、贝叶斯(Bayes)公式
设Ω是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,…,An满足，
n
(1)
Ai Aj
(i
Ai
, P( Ai )
0(i
1, 2,L
, n)
则 对于任何一个正概率事件B，有
P( Aj
1-4 乘法公式与全概率公式
一、条件概率
第一章 随机事件及其概率
在10个产品中有7个正品,3个次品,按不放回抽样, 每次一个,抽取两次,已知第一次取到次品，求第二 次又取到次品的概率。
解 设第一次取到次品为事件A,第二次又取到次品 为事件B,记所求概率为P(B|A),则
P( A) 3 10
P(B | A) 2 9