人教新课标版数学高二-选修2-2课时作业2 导数的概念
人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.1.2导数的概念
第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数的观点A 级基础稳固一、选择题1． y＝ x2在 x＝ 1 处的导数为 ()A． 2x B． 2 C． 2＋ x D． 1分析：由于 f(x)＝ x2，x＝ 1，因此y＝ f(1＋x)－ f (1)＝ (1＋x)2－ 1＝ 2x＋ (x)2，所以y＝(2＋x)＝ 2.x答案： B2．一物体运动知足曲线方程s＝4t2＋ 2t－ 3，且 s′(5)＝ 42(m/s)，其实质意义是 () A．物体 5 秒内共走过42 米B．物体每 5 秒钟运动42 米C．物体从开始运动到第 5 秒运动的均匀速度是42 米/秒D．物体以 t＝ 5 秒时的刹时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的行程为42 米分析：由导数的物理意义知，s′ (5)＝ 42(m/s)表示物体在t＝ 5 秒时的刹时速度．答案： D3．设函数 f (x)在点 x0邻近有定义，且有 f(x0＋x)－ f(x0 )＝ a x＋ b(x)2，(a，b 为常数 )，则 ()A． f′ (x)＝ a B． f′ (x)＝ bC． f′ (x0)＝ a D． f′ (x0)＝ b分析：由于 f′(x＝f（ x0＋x）－f（x）＝0)xa x＋ b（x）2＝(a＋ b x)＝ a，因此 f′(xx0)＝a.答案： C4．已知 y＝x＋ 4，则 y′|x1＝ ________．＝555A. 2B. 10C. 5 D．－10分析：由题意知y＝1＋x＋ 4－ 1＋ 4＝5＋x－5，y＋－5＋－5所以＝5x1＝5x＝. 所以 y′|xx x＝xx＝5x （ 5＋ x ＋5） 10.答案： B5．假如某物体做运动方程为s ＝ 2(1－ t 2)的直线运动 (s 的单位为 m ， t 的单位为 s)，那么 其在 1.2 s 末的刹时速度为 ()A ．－ 4.8 m/sB ．－ 0.88 m/sC ． 0.88 m/sD ． 4.8 m/s解 析 ： 运 动 物 体 在1.2s 末 的 瞬 时 速 度 即 为 s 在 1.2 处 的 导数 ， 所 以f （ 1.2＋ t ）－ f （ 1.2）＝t222[1－（ 1.2＋t ） ]－ 2×（ 1－ 1.2 ）＝2(－ 答案： A 二、填空题6．设函数t － 2.4)＝－ 4.8(m/s)．f(x)知足f （ 1）－ f （ 1－ x ）＝－ 1，则 f ′(1)＝ ________．x分析： f （ 1）－ f （ 1－ x ） ＝ f （ 1－ x ）－ f （ 1）＝ f ′(1)＝－ 1.x－ x答案：－ 17．函数 f(x)＝ x 2＋ 1 在 x ＝ 1 处可导，在求 f ′(1)的过程中，设自变量的增量为x ，则函数的增量y ＝ ________．分析：y ＝ f(1＋ x)－ f(1) ＝－ (1 2＋ 1)＝2 x ＋ ( x)2.答案： 2 x ＋ (x)28．某物体做匀速直线运动，其运动方程是 s ＝ vt ，则该物体在运动过程中其均匀速度与任何时辰的刹时速度的大小关系是________．s （ ＋t ）－ s （ t ）分析： v 0＝＝ s t 0＝ttv （ t 0＋ t ）－ v （ t 0）＝v tt＝ v.t答案：相等三、解答题19．利用导数的定义，求函数y ＝ x 2＋ 2 在点 x ＝ 1 处的导数． 解：由于y ＝ 1 2＋2 － 1 ＝（ x ＋ x ） x 2＋ 2－ 2x x －（x ） 2，因此y ＝－ 2x － x ，（ x ＋ x ） 2· x 2 x （ x ＋ x ） 2· x 2因此 y ′＝y ＝ － 2x － x2＝－ 23，（ x ＋2xx ） · xx因此 y ′|x ＝1＝－ 2.10．在自行车竞赛中，运动员的位移与竞赛时间t 存在关系 s(t)＝ 10t ＋ 5t 2(s 的单位是 m ，t 的单位是 s)．(1)求 t ＝ 20，t ＝ 0.1 时的s 与s ；t(2)求 t ＝ 20 时的速度．解： (1) 当 t ＝ 20， t ＝ 0.1 时，s ＝ s(20＋ t)－ s(20)＝ 10(20＋ 0.1)＋ 5(20＋ 0.1)2－ (10 ×20＋ 5× 202)＝ 1＋ 20＋ 5×0.01＝21.05.因此s 21.05 ＝ 210.5.＝ 0.1ts（ ＋ t）＋（＋ t） 2－ 10t － 5t 2(2)v ＝＝10 t 5 t ＝tt5（t ） 2＋ 10 t ＋ 10tt(5 t ＋ 10＋ 10t)＝ 10＋ 10t ，t＝因此 t ＝ 20 时的速度即为10＋ 10×20＝ 210(m/s)．B 级 能力提高1．某物体运动规律是 s ＝ t 2 － 4t ＋ 5，若此物体的刹时速度为 0，则 t ＝ ()A ．3B ．2.5C ．2D ．1分析： s ＝ (t ＋ t)2－ 4(t ＋t) ＋ 5－ ( t 2－ 4t ＋ 5)＝ 2t t ＋ ( t)2－ 4 t ，由于 v ＝st＝ 2t － 4＝ 0，因此 t ＝ 2.答案： C2．婴儿从出生到第24 个月的体重变化如下图，第二年婴儿体重的均匀变化率为________kg/ 月．分析：第二年婴儿体重的均匀变化率为14.25－ 11.25＝ 0.25(kg/月 )．24－ 12答案： 0.253．若一物体运动方程是 (s 的单位是 m ， t 的单位是 s)3t 2＋ 2（ t ≥3），s ＝29＋ 3（ t － 3） 2（ 0≤t ＜ 3） .求： (1) 物体在 t ∈内的均匀速度；(2) 物体的初速度v 0；(3) 物体在 t ＝ 1 时的刹时速度．解： (1) 由于物体在 t ∈内的时间变化量为t ＝ 5－3＝ 2，物体在 t ∈内的位移变化量为：＝ × 2＋ 2－ (3 ×32＋ 2)＝ 3×(52－ 32s 3 5 )＝ 48，因此物体在 t ∈上的均匀速度为 s 48 ＝ 24(m/s)．＝ 2t (2) 求物体的初速度 v 0 即求物体在 t ＝ 0 时的刹时速度．由于物体在 t ＝ 0 邻近的均匀变化率为s （ ＋）－ （ ） ＝＝ ftftt29＋ 3[（ 0＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 0－ 3） 2＝ 3t － 18.t因此物体在 t ＝ 0 处的刹时变化率为，s (3 t － 18)＝－ 18，t ＝即物体的初速度为－ 18 m/s.(3)物体在 t ＝ 1 时的刹时速度即为函数在 t ＝ 1 处的刹时变化率．由于物体在 t ＝ 1 邻近的均匀变化率为：s （ ＋ ）－ （ ）＝ f 1 t f 1 ＝ tt29＋ 3[（ 1＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 1－ 3） 2t － 12，＝ 3t因此物体在 t ＝ 1 处的刹时变化率为：s ＝ (3 t － 12)＝－ 12.t即物体在 t ＝ 1 时的速度为－ 12 m/s.。
人教版人教课标高中数学选修2-2基本初等函数的导数公式及导数的演算法则课件
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
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基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
一.基本初等函数的导数公式
• 我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x 返回
解：因为y ' ( x3 2 x 3) ' ( x3 ) ' (2 x) ' (3) ' 3x 2 2 所以函数y x3 2 x 3的导数是y ' 3x 2 2
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高中数学人教版选修22导数及其应用知识点总结.pdf
数学选修 2-2 数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么？ 答：形如 a．+．b．i．的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位， a 叫实部， b 叫虚部，数集
C = a + bi | a,b R 叫做复数集。
规定：a + bi = c + di a．=．c．且．b．=．d．，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相
和综合法常结合使用，不要将它们：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的
否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么？
答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
22.什么是综合法？
答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条
件，直至推出要证的结论。
23.什么是分析法？
答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法
个是最小值。 注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质有哪些？ 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质 1
b
1dx = b − a
a
性质 5
若 f (x) 0,
特别地：
b
kf (x)dx = k
a
b f (x)dx(k为常数)
a
人教新课标A版高二数学《选修2-2》1.1.2 导数的概念
＝
Δt
65 ht0＋Δt－ht0 －4.9 ＋Δt＋6.5＝0 ∴Δ lim ＝Δ lim → t→0 t 0 Δt 49
65 即运动员在 t0＝98 s 时的瞬时速度为 0 m/s. 说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．
点评：运动物体瞬时速度问题实际上是函数平均变化率在物理知识上 的一个深入的应用．事实上，瞬时速度就是位移函数相对于时间的瞬 Δs 时 变 化 率 ． 这 里 需 强 调 的 是 ： 依 题 意 在 求 完 平 均 变 化 率 Δt ＝ st0＋Δt－st0 Δs Δs 后需对 求极限，只有当 Δ lim 为一个常数时，此常数 → t 0 Δt Δt Δt 才称为物体在 t＝t0 时的瞬时速度．
Δy 点评： 的最终结果要先化简约分，再令 Δx＝0 代入求出导数值． Δx
变式探究 2
若函数 y＝x ＋ax 在 x＝2 处的导数为 8，求 a 的值．
2
f2＋Δx－f2 解：f′(2)＝Δ lim x→0 Δx 2＋Δx ＋a2＋Δx－2 ＋2a ＝Δ lim x→0 Δx ＝Δ lim (Δx＋4＋a) x→0 ＝4＋a. 由题意知 f′(2)＝8， ∴4＋a＝8. 解得 a＝4.
【答案】C
知识讲解： 1.了解导数的概念需注意 (1)Δx 是自变量 x 在 x0 处的改变量， 所以 Δx 可正、 可负， 但不能为零． 当 Δx＞0(或 Δx＜0)时， Δx→0 表示 x0＋Δx 从右边(或从左边)趋近于 x0， Δy 是相应函数的改变量，Δy 可正、可负，也可以为零． (2)导数是一个局部概念，它只与函数 y＝f(x)在 x＝x0 处及其附近的函 数值有关，与 Δx 无关． fx0＋Δx－fx0 (3)f′(x0)是一个常数，即当 Δx→0 时，存在一个常数与 Δx Δy 无限接近．如果当 Δx→0 时，Δ lim 不存在，则称函数 f ( x ) 在 x ＝ x 处 0 → x 0Δx 不可导．
高中数学 导数的概念_说课课件 新人教A版选修2-2
有了新的概念， 当然少不了例题和 练习.
例1的设置是对 导数概念的及时巩 固和诠释，同时规 范解题的格式.
让学生从中总结 求导的步骤，实现 由理论到技能的转 化.
导 数 DAOSHU
（四）成果巩固
分组练习
1、求函数 y 在x3
x1,2处， 的， 导6 数. 2、求函数y=x4在
x1,2处， 的， 导6数.
人民教育出版社
普通高中课程标准实验教科书 选修2-2 第一章
导 数 DAOSHU
五 教学过程
导 数 DAOSHU
微积分的创立是数学发展中的里程 碑，导数是微积分的核心概念之一．
在本节课中学生将经历由平均变化率 到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解 导数的含义，体会导数的内涵，感受导数 在解决数学问题和实际问题中的作用．
在第 2h与第 6h时,原油温度的瞬时 分变 别化 为 3 率 与5.它说明在 2h附 第近 ,原油温度大 30C约 /h的 以速 率下;降 在6h附近 ,原油温度大 50C约 /h的 以速率.上升
意义，这也是 本节课的重点.
强一
般 ,f'地 x0反
映
了
原
油x温 附度 近在 的时 变刻 化 0
当然别忘了
的瞬时变化,率 并说明它们的意. 义
设计意图
实际生产 生活中的应 用最能体现 数学的价值.
导 数 DAOSHU
（七）实际应用
设计意图
解：
，根据导数的定义
在例题的解
和 f' 6 同理 .f可 '6得 5.
在2第 h和6第 h时,原油温度 f'2的瞬时
析中要特别强 调x=2和x=6处
的导数的实际
特 别
高中数学选修2-2-导数的概念-课件.ppt
x
x2 x1
3.求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度 v s
t
（3）求极限
s
s(t t) s(t)
lim lim
t t 0
t 0
t
.
4.由导数的定义求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
A．f′(1)
B．3f′(1)
C.31f′(1)
[答案] C
D．f′(3)
2．若 f′(x0)＝2，则 likm→0 f(x0－k2)k－f(x0)等于(
)
A．－1
B．－2
C．1
1 D.2
[答案] A
3. 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝329t2＋＋32(t－3)2
(t≥3) (0≤t<3)
一.复习回顾：
1.平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ] 的平均变化率
为 y f (x2) f (x1)＝f x1＋x－f x1
x x2 x1
x
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)再计算自变量的改变量 x x2 x1
有关。
6.若极限 lim f (x0 x不) 存f (在x0 )，则称函数在点x0处
x0
x
不可导。
求函数 y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法:
1.求函数的改变量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
2. 求平均变化率 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
人教版高中数学高二选修2-2课时作业1-2导数的计算
课时作业2 导数的计算一、选择题1．若对任意x 属于R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )是( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝4x 3－5D ．f (x )＝x 4＋2设f (x )＝x 4＋b ，∵f (1)＝－1，∴b ＝－2，∴f (x )＝x 4－2.故应选B.B2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －xy ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )． 故应选A.A3．若函数y ＝x 2＋a 2x (a ＞0)的导数为0，则实数x 是( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 2－a 2＝0得x ＝±a .故应选B.B4．函数f (x )＝2a 3＋5a 2x 2－x 6的导数为( )A ．6a 2＋10ax 2－x 6B ．2a 3＋10a 2x －6x 5C ．10a 2x －6x 5D ．5a 2x －6x 5f ′(x )＝(2a 3＋5a 2x 2－x 6)′＝10a 2x －6x 5.故应选C.C5．下列函数在x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos xB ．y ＝x sin xC ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＋(2x )′＝－1x 2＋2， ∴当x ＝0时，函数无定义，且y ′不存在，故该函数在x ＝0处没有切线．故应选C.C6．若曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4y ′＝(x n )′＝n ·x n －1.由n ·2n －1＝12得n ＝3.故应选C.C7．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)，∵f ′(x )＝3(x －1)2＋3，∴f ′(1)＝3.故应选A.A8．设函数y ＝f (x )是线性函数，已知f (0)＝1，f (1)＝－3，则f ′(x )＝( )A ．4xB ．－4C ．－2D ．6由f (x )是线性函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)，由f (0)＝1，f (1)＝－3，解得a ＝－4，b ＝1，∴f (x )＝－4x ＋1，∴f ′(x )＝－4.故应选B.B二、填空题9．曲线y ＝4x 3在点Q (16,8)处的切线的斜率是________．∵y ＝x 34 ，∴y ′＝34x 34 -1 ＝34x -14 ， ∴y ′| x =16＝38.3810．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线方程是________．令f (x )＝x 3＋x ＋1，由导数的几何意义知在点(1,3)处的切线斜率k ＝f ′(1)＝3×12＋1＝4.所以由点斜式得切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.4x －y －1＝1011．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________．y ′＝3x 2，所以k ＝y ′⎪⎪x ＝1＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.由⎩⎨⎧ y ＝3x －2x ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝4，所以S ＝12×43×4＝83. 83 12．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝________. y ′＝3x 2，所以切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，即y ＝3a 2x －2a 3.可求得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0，与直线x ＝a 的交点为(a ，a 3)，所以三角形面积为S ＝12×a 3×a 3＝16，解得a ＝±1. ±1三、解答题13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，∴a ＋b ＋c ＝1. ① ∵y ′＝2ax ＋b ，∴y ′|x =2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1. ②又曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ③ 联立①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.14．(1)求曲线y ＝2x x 2＋1在点(1,1)处的切线方程； (2)运动曲线方程为S ＝t －1t 2＋2t 2，求t ＝3时的速度． (1)∵y ′＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2 ＝2－2x 2(x 2＋1)2，y ′| x =1＝2－24＝0， 即曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝0，因此曲线y ＝2x x 2＋1在(1,1)处的切线方程为y ＝1.(2)S ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －1t 2′＋(2t 2)′ ＝t 2－2t (t －1)t 4＋4t＝－1t 2＋2t 3＋4t . S ′| t =3＝－19＋227＋12＝112627. 15．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 为偶函数，它的图象过点A (0，－1)，且在x ＝1处的切线方程为2x ＋y －2＝0，求函数y ＝f (x )的表达式．∵f (x )是偶函数，f (－x )＝f (x )，∴b ＝d ＝0，f (x )＝ax 4＋cx 2＋e ，又∵图象过点A (0，－1)，∴e ＝－1，∴f (x )＝ax 4＋cx 2－1，f ′(x )＝4ax 3＋2cx ，当x ＝1时，f ′(1)＝4a ＋2c ＝－2， ①对于2x ＋y －2＝0，当x ＝1时，y ＝0.∴点(1,0)在f (x )图象上，∴a ＋c －1＝0. ②由①②解得a ＝－2，c ＝3，因此f (x )＝－2x 4＋3x 2－1.16．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1，C 2都相切，求直线l 的方程．设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x－x 1)，即y ＝2x 1x －x 21. ①对C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴⎩⎨⎧ 2x 1＝－2(x 2－2)－x 21＝x 22－4，解得⎩⎨⎧ x 1＝0x 2＝2或⎩⎨⎧ x 1＝2x 2＝0，∴直线方程为y ＝0或y ＝4x －4.。
(完整版)高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结,推荐文档
19 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否 定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确， 即所求证命题正确。反证法的思维方法:正难则反。矛盾（1）与已知条件矛盾: （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾． 20 常见的“结论词”与“反义词”
常见的导数和定积分运算公式:若 f x， g x均可导（可积），则有：
和差的导数运算 积的导数运算 商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理
和差的积分运算
积分的区间可加性
-1-
六安一中东校区高二数学选修 2-x)的导数 f '(x) ②令 f '(x) >0,解不等
证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数
n
都正确
新疆 王新敞
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
b
f (x)dx
a
a
c1
ck
11 定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，
也可能取负值，还可能是 0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，
定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的 相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于 位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值 为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图 形的面积．
原结论词
反义词
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＝li
＝li 2(－Δt－2.4)＝－4.8(m/s)．
答案：A
6．设f(x)在点x＝x0处可导，且f′(x0)＝－2，则
li ＝()
A．0B．2
C．－2 D．不存在解源自：li ＝li ＝f′(x0)＝－2.
答案：C
7．函数y＝x＋ 在x＝1处的导数是__________．
解析：∵Δy＝1＋Δx＋ －1－ ＝Δx－1＋ ＝ ，∴ ＝ ，因此，y′|x＝1＝ ＝0.
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：∵f′(1)＝
＝ ＝a，∴a＝2.
答案：A
3．一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为()
A．0B．3
C．－2 D．3－2t
解析：∵ ＝ ＝3－Δt，
∴s′(0)＝ ＝3.
答案：B
4．已知函数f(x)在x＝1处的导数为1，则 ＝()
A. B．1
C．2 D.
解析：∵f′(1)＝1，∴ ＝1，
∴ ＝ ＝ .
答案：A
5．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为()
A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s
C．0.88 m/sD．4.8 m/s
解析：运动物体在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．
13．某一物体运动方程为s＝
求此物体在t＝1和t＝3时的速度．
解析：当t＝1时，s＝3t2＋2，
Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝3(1＋Δt)2＋2－(3＋2)＝6Δt＋3(Δt)2，∴v＝ ＝ ＝ (6＋3Δt)＝6.
当t＝3时，s＝29＋3(t－3)2，
Δs＝s(3＋Δt)－s(t)
＝29＋3(3＋Δt－3)2－29－3(3－3)2＝3(Δt)2.
＝2－3f′(3)＝8.
答案：C
11．已知a＝li ，
b＝li ，
c＝li ，
d＝li ，e＝li ，则a，b，c，d，e有相等关系的是________．
解析：a＝li ＝f′(x)，
b＝li ＝－li ＝－f′(x)，
c＝li ＝2li ＝2f′(x)，
d＝li
＝li
＝ li ＋ li
＝ f′(x)＋ f′(x)＝f′(x)，
∴v＝ ＝ ＝0.
所以物体在t＝1和t＝3时的速度分别是6和0.
14．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．
(1)li ；
(2)li ；
(3)li .
解析：(1)li
＝－mli ＝－mf′(x0)．
(2)li ＝
li ＝ f′(x0)．
(3)原式
＝li
＝li －li
＝4li －5li
＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．
当x＝－1时， ＝
＝
＝Δx－2.
由导数的定义，得f′(－1)＝li (Δx－2)＝－2.
所以，f′(1)·f′(－1)＝ ×(－2)＝－1.
B组 能力提升
10．已知f′(x0)＝li ，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则li 的值是()
A．4 B．6
C．8 D．不存在
解析：li ＝li
＝li ＝2－3li
课时作业(二)导数
A组 基础巩固
1．y＝x2在x＝1处的导数为()
A．2xB．2
C．2＋ΔxD．1
解析：∵f(x)＝x2，x＝1，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2.
∴ ＝2＋Δx，当Δx→0时， →2，∴f′(1)＝2.
答案：B
2．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝()
答案：0
8．某物体做匀速直线运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．
解析：v0＝li ＝li
＝li ＝li ＝v.
答案：相等
9．已知函数f(x)＝ 求f′(1)·f′(－1)的值．
解析：当x＝1时， ＝
＝
＝ .
由导数的定义，得f′(1)＝li ＝ .
e＝li ＝f′(x)，
故a＝d＝e＝f′(x)．
答案：a，d，e
12．已知一个质点从固定点A开始运动，位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，求t＝4时，li 的值．
解析：∵Δy＝(Δt＋4)3＋3－(43＋3)＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48Δt，
∴ ＝ ＝(Δt)2＋12Δt＋48，
∴li ＝li [(Δt)2＋12Δt＋48]＝48.