高二数学选修2-2~113导数的概念

(3)求曲线过Q1,0的切线方程
对于导数定义以及几何意义的说明：
注意(1)函数应在点x0 的附近有定义，否则导数不存在;
(2)在定义导数的极限式中，x 趋近于0且可正、可负,但不为
0，而 y 可能为0;
(3) y 是函数对自变量在某范围内的平均变化率,其几何意义 x
是过曲线上点( x0 , f (x0 )及点( (x0 x, f (x0 x))的割线斜率;
苏教高中数学选修2-2
1.1.3导数的概念2
2021年3月30日星期W
复习提问
1、y = f (x)在 点x0处 的 导 数:f ' (x0 ) = 2、y = f (x)的 导 函 数(导 数) f '(x) =
注意： 3①y=f(x)在点P(x0, y0)处的切线的斜率
k f ' (x0 ) f ' (x) xx0
x0 x
y
1 1
x0 .
x0
巩 固2 :已 知 函 数y = x在x = x0处 附 近 有 定 义,
且y'|x=x0
=
1 2
,则x0的
值
为_________;
解 :y x0 x x0 ,
y x0 x x0 ( x0 x x0 )( x0 x x0 )
x
x
x( x0 x x0 )
f (x 0)f (x) xx0 ．．
4.导数的几何意义
f′(x0 )表 示 曲 线y = f (x)
在 点P(x0 ,f (x0 ))处 的
y
切 线 的 斜 率,即
f′(x0 ) = tanα, (α为 倾 角)
过( x0 , f ( x0 ))的切线方程为 o
y f (x)
T
P
x0
x
y y0 f ( x0 )(x x0 ).
内每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f /(x0), 这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这
一新函数叫做
f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，
简称为导数，记作
即
注意： f (x0)与f (x)之间的关
系： 1、y=f ’(x)是y=f(x)的导函数（是一个函数）
2、f ’(x0)是y=f(x)在点x0处的导数（值是一个常数） 也即f ’(x)在点x0处的函数值
x0
2x
1 f (1) f (1 x)
f (1 x) f (1)
lim
1,lim
2,
2 x0 1 (1 x)
x0 (1 x) 1
f (1) 2. 故所求的斜率为-2.
巩固4 已知曲线y 1 x
(1)求曲线在点P1,1处的切线方程;
(2)求满足斜率为 1的曲线的切线方程; 3
巩 固1： 利 用 导 数 的 定 义 求数函y =| x | (x ≠0)的 导 数.
解 ： y | x |,当x 0时, y x,则 y ( x x) x
x
x
y 1, lim 1;
x0 x
当x 0时, y x, y ( x x) ( x) 1,
x
x
y lim 1;
(4)导数f
/ (x0 )
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
是函数 y
f (x) 在点x0
处瞬时变化率,它反映函数 y f (x) 在点 x0处变化快慢程度.
它的几何意义是曲线y f (x)上点（x0 , f (x0 )）处的切线的
斜率.如果y f (x) 在点x0 可导,则曲线 y f (x) 在点
1
.
x0 xx0 x x0 x0 x x0 2 x0
由y'|x x0
1 ,得 22
1 x0
1 2
,
x0
1.
巩3设f(x)为可导函数,且满足条件 lim f (1) f (1 x), 1
x0
2x
求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.
解： f ( x)是可导函数且lim f (1) f (1 x) 1,
(1)求函数的增量y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(2)求平均变化率 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
x
x
(3)取极限，得导数f
( x0
)
lim
x0
y x
.
2、函数在一区间上的导数：
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导,就
说f(x)在开区间 (a,b)内可导.这时,对于开区间 (a,b)
f
(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
.
如瞬时速度就是位移函数s (t)对时间t的导数.
y f ( x0 x) 是f ( x函0 )数f (x)在以x0与x0+Δx
x
x
为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化率, 而导数则是函数f (x)在点x0 处的变化率,它反映了函数
②物体在时刻t0的瞬时速度v S't0 S't tt0
数学理论梳理
1.导数的概念
定义：设函数y=f (x)在点x0处及其附近有定义,当自 变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量 Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限 存在,这个极限就叫做函数f (x)在点x0处的导数(或变化 率)记作 f ( x0 )或y |即: x x0 ,
随自变量变化而变化的快慢程度．
事实上，导数也可以用下式表示：
f (x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
如果函数y=f (x)在点x=x0存在导数,就说函数y= f (x) 在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f (x)在点 x0处不可导.
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基 本方法是:
f
/
(x0 )
lim
xo
f (x0
x) x
f (x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
(7)若极限lixm0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
不存在，则称
函数y f (x) 在点x0 处不可导;
(8)若f (x) 在 x0 可导，则曲线 y f (x)在点
（x0 , f (x0 ) ）处的切线方程为 y f (x0 ) f / (x0 )( x x0 )
(5)导数是一个局部概念，它只与函数y f (x)在 x0 及其
附近的函数值有关，与 x 无关.
(6)在定义式中,设 x x0 x,则 x x x0,当x趋近于
0时，x 趋近于 x0 ，因此，导数的定义式可写成